向量正交化

Gram-Schmidt 正交化方法 正射影设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令;11αβ=111122,,ββββααβ-=; (1)222231111333,,,,ββββαββββααβ--=; (11)1122221111,,,,,,--------=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ .则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1i ii ββγ= s i ,.2,1 =则},,,{21s γγγ 为规范正交组.将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中kk ki ik t βββα,,=,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k{},,,2,1,s j i ∈∀有∑∑-=-=++=1111,,j k jk jk i k i k ikj i t tββββαα()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-001,000,000,0,,0,1,,,1112222111,21 j j j i i i i t t t t t t ββββββ 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---10001001011,2,2,11,1,121s s s s s s t t t t t t T则T T ss s s s s s s s s s s s s ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----ββββββββααααααααααααααααααααααα,0000,0000,0000,,,,,,,,,,,,,112211/21121112221212111上式左端的实方阵是s ααα,,,21 的格兰母矩阵，记为：()s G ααα,,,21 ，上式右端中间的对角阵是sβββ,,,21 的Gram 矩阵.即有:()()T G T G s s βββααα,,,,,,21/21 =因此()()s s s s G G βββββββββααα,,,,,,det ,,,det 22112121 ==注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram 矩阵（或者事先给出定义）.例1 设s ααα,,,21 欧式空间V 中向量，则（1）()⇔≠0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性无关; （2）()⇔=0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性相关. 证明:只证（2）)⇐设s ααα,,,21 线性相关，则存在一个向量，不妨设为1α,可由其余向量线性表示:s s k k ααα++= 221给s 阶的行列式()s G ααα,,,det 21 的第i 行乘数()i k -加到第1行，s i ,,3,2 =得()ss s s ssi si i s si i i si i i s k k k G αααααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,det 2122212212221211121∑∑∑===---=0=)⇒法一：由上页证明推理过程立即得证。

法二：当()0,,,det 21=s G ααα 时，()s G ααα,,,21 的行向量组线性相关，因此存在不全为零的实数12,,,s k k k ，使1,0,1,2,,sii j i kj s αα===∑ .即1,0,1,2,,si iji k j s αα===∑ .故11,0ssi iiii i k k αα===∑∑，即有10si i i k α==∑.即有12,,,s ααα 线性相关.注：当12,,,s ααα 线性无关时，12det (,,,)0s G ααα≠ ，且12det (,,,)0s G ααα> .推论1 设12,,,s ααα 是欧氏空间V 中任意向量，则 (ⅰ) 12(,,,)s G ααα 是半正定矩阵；(ⅱ) 12(,,,)s G ααα 是正定阵⇔12,,,s ααα 线性无关. 证明(ⅰ)对任意121k i i i s ≤<<<≤ ，主子式12121212det[(,,,)]det (,,,)k k s i i i k i i i G G i i i αααααα⎛⎫= ⎪⎝⎭ 总大于或等于零.因此12(,,,)s G ααα 是半正定矩阵.(ⅱ)（⇐）当12,,,s ααα 线性无关时，对任意121k i i i s ≤<<<≤ ，主子式12121212det[(,,,)]det (,,,)k k s i i i k i i i G G i i i αααααα⎛⎫= ⎪⎝⎭ 总大于零（因为12,,,ki i i ααα 线性无关）.故12(,,,)s G ααα 是正定阵.（⇒）由例1，这是显然的.推论2 (ⅰ)设欧氏空间V 中向量12,,,s ααα 线性无关，则121det (,,,),ss i i i G αααα=≤∏ ，且上式取等号⇔12,,,s ααα 两两正交.(ⅱ)设12,,,s V ααα∈ （欧），则121det (,,,),ss i i i G αααα=≤∏ .(ⅲ)设()n A M ∈ ，12(,,,),n n i A αααα=∈ ，则12(,,,)s G A A ααα'= ，故2211det()(det )nnjij i A A A a =='=≤∑∏. 当A 可逆时，上式取等号⇔,{1,2,,},i k n i k ∀∈≠ ，有10nji jk j a a ==∑.例2 设12(),(),,()s f x f x f x 是欧氏空间[,]C a b 中的向量，且它们线性无关.证明21max ()()(),;,1,2,,bbi j k a ai sf x dx f x f x dx j k j k s ≤≤≥≠=⎰⎰.证明 令()ij n n B b ⨯=，其中(),()()()b ij i j i j ab f x f x f x f x dx ==⎰. 则B 是线性无关向量组12,,,s f f f 的Gram 矩阵，故B 正定.假如B 的元素中，绝对值最大者不在主对角线，设max{,1,2,,}kl ij b b i j s == ，k l ≠.则0kl kk b b >>，0kl ll b b >>.故2kl kk ll b b b >.这样B 的二阶主子式20kk kl kk ll kl lk kk ll kl lkllb b b b b b b b b b b =-=-<.这与B 是正定阵相矛盾.因此B 的元素中，绝对值最大者必是主对角元，结论得证.注：从例2的证明中，可以看出这样一个结论：任意m 阶（实对称）正定阵的元素中，绝对值最大者必在主对角线上.设12{,,,}n ααα 是(0)n >维欧氏空间V 的规范正交基，,V ξη∀∈，1n i i i a ξα==∑，1ni i i b ηα==∑，则1）,,1,2,,i i a i n ξα== . 2）1,ni i i a b ξη==∑.3）2,ξξξξ=⇒=4）(,)d ξηξη=-=设W 是欧氏空间V 的有限维子空间，则V W W ⊥=⊕.,,,V W W ξξηζηζ⊥∀∈=+∈∈，表示法唯一.称η为ξ在W 上的正射影.当12,,,t γγγ 为W 的规范正交基时，ξ在W 上的正射影为1122,,,n n ηγγγγγγ=+++ .例3 证明，3 中向量000(,,)x y z 到平面3{(,,)|0}W x y z ax by cz =∈++=证明 000(,,)x y z ξ=，,,)a b c γ=，ξ在L （γ）的正射影的长度即为所求：,ξγ==例4 设12{,,,}m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明，对于任意V ξ∈，以下不等式成立：22,1i mi ξαξ≤∑=.证明：令W =L 12(,,,)m ααα ，则V W W ⊥=⊕，,V ξξηζ∀∈=+，,W W ηζ⊥∈∈.简单的计算表明222ξηζ=+.故22ηξ≤.而ξ在W 上的正射影,1i i m i ηξαα=∑=.因此由22ηξ≤知22,1i mi ξαξ≤∑=.注：设12,,,m ααα 与12,,,m γγγ 均是V 的规范正交基，且L 12(,,,)m ααα = L 12(,,,)m γγγ，则22,,11ii mmi i ξαξγ=∑∑== .。