RC及RL电路的过渡过程

RC 及RL 电路的过渡过程

刘训永（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）

指导老师：潘康生

摘 要：一个电路从原来的稳定状态向新的稳定状态变化需要经过另一个时间过程，这就是电路的过渡过程。电路的过渡过程虽然往往很短暂，但它的作用和影响很重要。本文将用数学分析方法对RC 及RL 一阶线性电路进行全面分析，目的就在于认识和掌握有关的规律，利用过渡过程特性的有利的一面，对其有害的一面进行预防或抑制。

关键词：过度过程，放电过程，充电过程，零状态，非零状态

I ．RC 电路的过渡过程

1．1 RC 电路的放电过程

设开关原在位置2，电路达到稳态后，电容电压等于U,在0t =时开关突然倒向位置1,则在0t ≥时，按照基尔霍夫电压定律列出电路方程

0C iR u +=

因为 C

du i C dt

= 故得 0C

C du RC

u dt

+= （1） 这是一个一阶、线性、常系数、齐次微分方程，其通解为

pt

C u Ae =

将上式代入式（1），消去公因子,pt

Ae 则得到该微分方程的特征方程

10RCP +=

该特征方程根（特征根）为

1

p RC

=-

因此，式（1）的通解为

t RC

C u Ae

-=

其中A 为待定的积分常数，由初始条件确定。根据换路定律，换路瞬间电容上的电压不能突变，即在0t +=时，C u =U ，故有A =U 。于是微分方程（1）的解为

t t RC

C u Ue

Ue τ

--== （2）

将电容电压C u 随时间的变化曲线画在图（2）（a ）中，这是一个指数曲线，其初始值为U ，衰减的终了值为零。

图（1）RC 电路

式（2）中τ=RC ，称为RC 电路的时间常数，它决定了电压C u 衰减的快慢。τ的单位

[][]RC τ⋅==⋅⋅

⋅库仑安秒

欧法拉=欧=欧=秒伏伏

即τ代表时间，其单位为秒。

当t =τ时

8.36718

.21

==

=-U

U u e c ℅U 可见时间常数τ等于电压C u 衰减到初始值U 的36.8%所需的时间。可以证明，指数曲线上任一点的次切距的长度ab 都等于τ，见图（2）（b ），图中在0t t =点曲线的变化率

00()

t C C t t du u t U

e

dt

τ

τ

τ

-

==-

=-

它就是曲线在c 点的切线的斜率。在直角三角形abc 中

0()C ac u t =

0()

C C t t du u t tg dt

θτ

==

故

00

()()C C u t ac ab u t tg τθτ

===

这就意味着，如果在0t t =点，按曲线在该点的切线cb 的斜率衰减，经τ秒后电容上的电压C u 就会衰减到零。[1]

下表列出RC 电路放电时，电容电压C u 随时间的变化情况

从表中可见，当3t τ=时，C u 衰减到初始值的5%，当5t τ=时，C u 已衰减到初始值的1%以下。所以一般认为(3~5)t =τ时，电路已经达到稳定状态。虽然从理论上讲，当t =∞时电路才到达稳定。

RC 电路放电过程中电容的放电电流和电阻的电压如下面的式子所示

t t

C RC

du U U i C e e dt R R

τ--==-=-

（a ） （b ）

图（2）RC 放电电路中电容电压uc 随时间的变化曲线。

t

t RC

R u iR Ue

Ue

τ

-

-

==-=-

上面式中的负号表示放电电流和电阻电压的实际方向与图（1）中的参考方向相反。

在图（3）中画出了,C R u u 和i 随时间的变化曲线，从中可以清楚地看出三者之间的关系，从能量关系上讲，RC 电路的放电过程实际上是电容C 的电场能量转换为电阻上的热能的过程。到达稳态后，电容上的电场能量全部转化为电阻上的热能。这个关系可证明如下：

电容原来储存的电场能量为 21

2

C u CU =

在整个放电过程中，电阻上消耗的热能为

c t RC t

RC R CU e R U RC dt e R

U Rdt i ωω==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===∞

--∞

∞

⎰

⎰20222

20

2

2

1

2

放电过程的快慢以时间常数RC τ=为标志，C 越大，表示储存的电场能量越大；R 越大，表示放电电流越小，这都使放电变慢。所以，改变电路中R 或C 的数值，就可改变电路的时间常数，从而改变电容放电的快慢。[2]

1．2 RC 电路的充电过程

图（1）中，当开关K 合向位置2时，RC 串联电路即与直流电源U 接通，电源通过电阻R 向电容C 充电。这实际上就是图（4）的电路。下面讨论RC 充电电路的过渡过程。 选0t =时换路，则0t ≥时电路的微分方程为

C

C C du U iR u RC

u dt =+=+ （3） 式中 C du

i C dt

=

式（3）是一个一阶、线性、常系数、非齐次微分方程，它的通解由它的一个特解C u '及对应的齐次微分方程的通解C u ''组成。特解C u '与方程中的已知函数U （即电源电压）有相同的形式，设,C u K '=代入式（3）得

dK

U RC

K dt

=+ 故 K U =

因而得到方程的特解 C u U '=

图（3）

,C R u u 和i 随时间的变化曲线

图（4） RC 充电电路