第三章 电路的过渡过程

第三章 电路的过渡过程
uC U 0 e 时间常数： τ 即： （t 0 ） t U0 τ iC e τ ＝RC，单位为秒（s） R 时间常数的大小直接影响 uC 及 i C 的衰减快慢。
t τ
故改变R或C的数值，也就是改变τ值,就可以改 变电容器放电的快慢 。 理论上，电路经过无穷大的时间才能进入 稳态。由于当 t = 3τ 时，uC 已衰减到 0.05 U0， 所以工程上通常在 t > 3τ以后认为暂态过程已 经结束，即电路已进入新的稳态。τ愈小，曲 线增长或衰减就愈快。
t = 0+ 时的等效电路为
u2(0+) =0
iL(0+) = iL(0) = 0
uL(0+) = U
第三章 电路的过渡过程
3.2 一阶RC、RL电路的过渡过程分析
一阶电路 只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的动态电路。 一阶电路的零输入响应 在一阶电路中，若输入激励信号为零，仅由储能元件的初始储能 所激发的响应。
过渡到另一种稳定状态 (iL U / R) 的过程就是过渡过 程。电感支路电流变化规律如图所示。
第三章 电路的过渡过程
(2)电容支路的灯泡在开关合上后，由最亮到逐渐变暗直至最后熄灭。
即开关合上的瞬间，电容开始充电，电容 两端电压 u C 逐渐增大，经过一段时间后， u C 等于电源端电压，电容相当于断路，此时电路 进入稳态。这种u C由零状态过渡到等于电源端 电压的过程，也是过渡过程。其电压变化曲线 如图所示。
100e1 36.8 V
5e1 18.4V
uR (t ) 5
e5104 2105
第三章 电路的过渡过程
3.2.2 RL电路的零输入响应 RL电路的零输入响应，是指电感中储存的 磁场能量通过电阻 R 进行释放的物理过程。在 如图所示电路中，开关 S 在位置 1时，电路已 处于稳态，此时电感中的电流 I 0 ，若在 RL电路的零输入响应 t ＝0时，把开关由位置1扳到位置2，电路脱离电源，输入信号为零，电路 进入过渡过程，电路的初始值 iL (0 ) I 0 。电路中各电压、电流方向如图 所示，由基尔霍夫定律得：
(3)电阻支路的灯泡，开关合上后，灯泡亮度不变，支 路电流由零立即跃变到稳定值，不存在过渡过程。 其电流变化规律如所示。
第三章 电路的过渡过程
换路
引起电路工作状态变化的各种因素。如电路接通、断开或结构 和参数发生变化等。 过渡过程产生原因:
内因是电路中存在动态元件L或C；
外因是电路发生换路 。
第三章 电路的过渡过程
在应用换路定律时，要注意的是电容电压u C和电感电流i L 不能跃起变,而电容电流 i C和电感电压u L以及电阻上的电压u R 、电流 i R等 是可以跃变的，因为它们的跃变不会导致能量的跃变。
注 意
iL(0+)= iL(0–)
uC(0+)= uC(0–)
第三章 电路的过渡过程
初始值的计算
步骤： (1)由换路前的稳态电路，即t=0－时的等效电路求出电容电压uC(0–)
（2）确定稳态值，由换路后f（∞)时的稳态等效电路求得； （3）确定时间常数τ，τ只与电路的结构和参数有关，在RC电路中， τ ＝RC；在RL电路中， τ ＝R／L。其中电阻R是换路后，在动态元 件两端的戴维宁等效电阻。
第三章 电路的过渡过程
(1)电感支路的灯泡亮度逐渐增强，最后到达稳 定状态。 在开关S合上经过一段时间后，灯泡维持 某一亮度不变，我们就说电路达到了稳定状态， 简称稳态。而从开关合上的这一瞬间开始到进 入另一稳态的这段时间里，电流是从零逐渐上 升到稳定值的 ，这种电路由一种稳定状态 (iL 0)
4
u R (t ) RiC (t ) 10 3 (0.005 e 510 t ) 5e 510 t V
（t 0 ）
6 5 将 t 20 µ s＝ 2010 2 10 s 分别代入 uC (t ),u R (t ) 得
uC (t ) 100e
5104 2105
电路中含有储能元件(电感或电容)，在换路瞬间储能元件的能 量不能跃变，即
电感元件的储能
电容元件的储能
1 2 WL LiC 2 2 WC CuC 2
不能跃变 不能跃变
否则将使功率达到无穷大
第三章 电路的过渡过程
3.1.2 换路定律及电压、电流初始值的确定 设 t = 0 为换路瞬间，而以 t = 0– 表示换路前的终了瞬间，t = 0+ 表示 换路后的初始瞬间。 换路定律用公式表示为
τ＝
L ，单位为秒（s） R
电感上的零输入响应电流、电压曲 线左图所示 。
第三章 电路的过渡过程
时间常数 τ 的大小同样反映了RL电路响应衰减的快慢程度。在同样大 的初始电流I0下， L愈大，电感储存磁场能量越多，通过电阻释放电量所需 的时间就愈长，暂态过程也就愈长。而当电阻愈小时，在同样大的初始电 流I0下，电阻消耗的功率也就越小，暂态过程也就越长。因此，改变L或R 的数值，也就是改变τ 值，即可以改变RL电路暂态过程的时间。
根据换路定律，此时电容元件已储有能量， u C (0 ) uC (0 ) U 0 ， 电容元件通过电阻R开始放电。
第三章 电路的过渡过程
电路中各电压、电流参考方向如图所示。根据基尔霍夫电压定律可得
u R uC 0
将 u R RiC , iC C
（t 0 ）
duC dt 代入上式得
电容上的零输入响应电流、电压曲线
例 如图所示，已知 U S 100 V， R 10 kΩ， R 10 kΩ， C 1000 pF，当开关S 0 在1时，电路已达到稳态，试求开关S由1扳到2经过20µs时的 uC , u R 各为多少？
第三章 电路的过渡过程
解：
uC (0 ) uC (0 ) U S 100V
RC ( R0 R)C
(10 10) 103 10001012
2 106 s
uC (t ) U0e
iC (t )
t

100e

t 2105
100e
5104 t
V （t 0 ）
（t 0 ）
4
4 uC (t ) 0.005e510 t A R0 R
duC RC uC 0 dt
（t 0 ）
经过数学分析和推导可得，当电路的初始值 u C (0 ) U 0 时，电容上 的零输入响应电压为：
u C U 0e

t RC
（t 0 ）
电容上的零输入响应电流为:
duC U 0 RC iC C e dt R
t
（t 0 ）
电感上的零输入响应电压为 ：
t / t / US diL R uL L I 0 Re Re R dt R1 L L
（t 0 ）
（t 0 ） 时间常数： τ
即：
t US uL Re τ R1 t U i S e τ R1
（t 0 ）
第三章 电路的过渡过程
3.2.1 RC电路的零输入响应 RC电路的零输入响应，实际上就是分 析已经充电的电容通过电阻的放电过程。 在如图所示的电路中，开关S在位置1时， 电源对电容C充电且已达到稳态，若在 t=0时刻 把开关从位置1扳到位置2，使电路脱离电源， 输入信号为零，电路进入 过渡过程。
RC电路的零输入响应
US R1
uR uL 0
将
（t 0 ）
diL u R RiL , u L L 代入上式可得 dt
L diL iL 0 R dt
（t 0 ）
同样，根据数学分析推导，当电路的初始值 iL (0 ) I 0 时，
第三章 电路的过渡过程
电感上的零输入响应电流为： L L t / t / U iL I 0 e R S e R R1
第三章 电路的过渡过程
例 已知 iL (0 ) = 0，uC (0 ) = 0，试求 S 闭合瞬间，电路中各电压、电流的初始值。
解
根据换路定则及已知条件可知， iL(0+) = iL(0–) = 0 uC(0+) = uC(0) = 0
电路中各电压电流的初始值为 U i1(0+) = iC(0+) = u1(0+) = i1(0+) R1 = U R1
第三章 电路的过渡过程
3.2.3 一阶电路的三要素法
一阶电路的暂态过程通常是：电路的响应是由初始值向新的稳态值过 渡，并且按指数规律逐渐趋向新的稳态值，趋向新稳态值的速率与时间常 数τ有关。 一阶电路的三要素法
只要知道换路后的初始值、稳态值和时间常数τ这三个要素，就能直 接求出一阶电路暂态过程的解。
第三章 电路的过渡过程
3.1 换路定律与初始值
3.1.1 电路的过渡过程 稳态: 过渡过程: 是指电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流不变。 凡是事物的运动和变化，从一种稳定状态变化到另一 种新的稳定状态，往往不能发生跃变，而是需要一定的过 程（时间），这个物理过程就称为过渡过程或瞬态过程。
如图所示电路中，将R、L、C三个元件 分别串接一只同样的灯泡，然后并接在直流 电源上，当开关S闭合后就会看到如下现象：
一阶电路响应的一般公式为：
t τ
f ( t ) f ( ) f ( 0 ) f ( )e

（t 0 ）
f（t)表示电路的响应， f（0+)表示电路的初始值， f（∞)表示电路的稳态值
第三章 电路的过渡过程
求解方法如下： （1）确定初始值，利用换路定律和 t ＝0＋时的等效电路求得；