高三数学一模试卷分析
高三一模数学一模试卷分析
一、试卷中反映的问题：
教的问题：
对学生解题方法与能力的培养有待进一步加强，增强解题方法指导性教学。
学生问题：
1、基础知识不扎实，基本概念、基本公式、基本性质、基本
定理不熟，造成失分；
2、审题不清，导致严重失分；
3、解题过程不规范，不严谨，解题基本技能不熟练，基本思
路不明确，造成失分；
4、数学思想方法不灵活，转化思想、分类讨论思想等能力差，
综合、灵活应用知识能力差造成失分。
二、试卷分析
这次测试参加的人数为44人，均分39.55分，格率仅仅为0%。
这次试卷检测的内容我感觉略难，原因有两个：1.考试时第一轮复习还没有结束，第一轮复习的是基础知识，对综合题的训练很少，导致解答题中失分很多。
2.学生做题速度较慢，基础薄弱，计算能力较差，失分严重。
而从试卷成绩来看，未能达到了预期目标，题大致可分为两类：第一类是基础知识，通过选择、填空、计算、进行检测，第二类是综合应用。
在基本知识中，选择填空的情况不理想，学生的应变能力差。
选择题失分情况最多的是第6题到第9题。
三、下一阶段复习建议：
抓好基础：重视课本（在一模分析的基础上，查缺补漏，结合考试说明有针对性的强化训练）
1、重视基本概念、公式、法则、性质、定理的理解和掌握；
2、重视运算等基本技能的训练；
3、重视知识间的内在联系，多在知识网络交汇点设计试题；
4、重视数学思想方法的专题训练，常见解题思路方法的总结、
归纳和整理。
注重综合能力的训练
方法：（1）专题形式展开，系统训练
（2）基础知识的系统复习与综合能力训练有机组合，螺旋推进，注意分析能力的训练，注重思想方法运用的训练。
2024-山东省潍坊市2024届高三一模数学-试题含解析
山东省潍坊市2024届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，若a b ⊥ ，则实数λ=（）A ．12B ．12-C ．2-D ．22．已知抛物线:C 2x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（）A ．1B ．54C ．32D ．23．已知集合(){}3log 212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ⋃=，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =-=+，则4S =（）A ．6B ．7C ．8D ．105．12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：I V X L C D M 1510501005001000例如：58LVIII =，464CCCCLXIIII =．依据此记数方法，MMXXXV =（）A ．2025B ．2035C ．2050D ．20556．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP AC ⊥，则点P 的轨迹长度是（）17．已知数列{}n a 满足10a =，21a =．若数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则2024a =（）A ．2023213+B ．2024213+C ．101221-D ．101121-8．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且AB BC ⊥，2BC =，则该棱柱体积的最大值为（）A ．8B ．12C ．16D ．24二、多选题9．某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则（）A ．8a =B ．6人年龄的平均数为35C ．6人年龄的75%分位数为36D ．6人年龄的方差为64310．函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．)3π(2y f x =+是奇函数C ．π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D ．若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，且()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=，则（）A ．()01g =B ．()f x y x=的图象关于点()0,1对称C ．()()20f x f x +-=D ．()212nk n n g k =-=∑（*N n ∈）三、填空题12．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()2i i z +=，则i2z =-．13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种．（结果用数值表示）14．已知平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x =，2l ：2y x =-，点P 为平面内一动点，过P 作2//DP l 交1l 于D ，作1//EP l 交2l 于E ，得到的平行四边形ODPE 面积为1，记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是．四、解答题15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos a B B c +=．(1)求A ；(2)若c =a =D 为BC 的中点，求AD ．16．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）中，点A ，C 分别是E 的左、上顶点，AC =且E的焦距为(1)求E 的方程和离心率；(2)过点()1,0且斜率不为零的直线交椭圆于R ，S 两点，设直线RS ，CR ，CS 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k +=-，求k 的值．17．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC的中点．(1)求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；(2)若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值．18．若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(,)i j a b ，,1,2,i j =⋅⋅⋅，记ij p 表示(,)i j a b 在Ω中出现的概率，其中(,)[()()]ij i j i j p P a b P a b ξηξη====== ．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m ，n 表示）；(2)()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：1()i ij j P a p ξ+∞===∑．19．已知函数1()2ln f x m x x x=-+（0m >）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：2322221111(1)(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<（*n ∈N ，2n ≥）；(3)若函数221()ln 2g x m x x x=--+有三个不同的零点，求m 的取值范围．参考答案：1．A【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，由a b ⊥，得120a b λ⋅=-+= ，所以12λ=.故选：A 2．B【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线:C 2x y =的准线方程为14y =-，又点M 在抛物线上且纵坐标为1，所以点M 到C 的焦点的距离为41154⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故选：B 3．D【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log 2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ⋃=，即A B ⊆，所以4a =.故选：D 4．C【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式即可得到45a =，再由等差数列的求和公式即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则()17474772722a a a S a +⨯===，又74510S a =+，则447510a a =+，即45a =，则()()1444415822a a S +-+===.故选：C 5．B【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.【详解】依题意，每个M 表示1000，左起两个M 就表示2000，每个X 表示10，中间3个X 就表示30，最后一个V 表示5，因此MMXXXV 表示的数是20003052035++=所以2035MMXXXV =.故选：B 6．B【分析】连接1,DC BD ，利用线面垂直的判定推理证得1AC 平面1BC D 即可确定点P 的轨迹得解.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，连接1,,DC BD AC ，由1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得1BD AA ⊥，而BD AC ⊥，11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1AA C ，则BD ⊥平面1AA C ，又1AC ⊂平面1AA C ，于是1BD AC ⊥，同理11BC A C ^，而11,,BC BD B BC BD =⊂ 平面1BC D ，因此1A C ⊥平面1BC D ，因为1DP A C ⊥，则DP ⊂平面1BC D ，而点P 为截面11A C B 上的动点，平面11AC B ⋂平面11BC D BC =，所以点P 的轨迹是线段1BC .故选：B 7．A 【分析】利用等比数列求出112n n n a a -++=，进而求得2112(2)n n n a a n -+--=≥，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，121a a +=，112n n n a a -++=，当2n ≥时，212n n n a a --+=，则2112n n n a a -+--=，所以35202120242426420242022()()()12222a a a a a a a a =+-+-++-=+++++101120232(14)211143-+=+=-.故选：A 8．C【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设(06)AB x x =<<，把棱锥体积用含有x 的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中AB BC ⊥，所以ABC 为直角三角形，则ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点，同理111A B C △外接圆的圆心为斜边11A C 的中点，如图，直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，∴外接球的半径3R =，设上下底面的中心分别为1O ，O ，连接1O O ，则外接球的球心G 为1O O 的中点，连接GC ，则3GC =，设(06)AB x x =<<，所以AC =，则OC =，在Rt COG 中，OG =1OO =∴该棱柱的体积12162V x =⨯=≤=．当且仅当2232x x =-，即4x =时等号成立．故选：C ．9．ACD 【分析】根据极差求出a ，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.【详解】因为这6人年龄的极差为14，即()422014a -+=，解得8a =，故A 正确；所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42，则6人年龄的平均数为()1283032363642346+++++=，故B 错误；又675% 4.5⨯=，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C 正确；又6人年龄的方差()()()()()()222222216428343034323436343634423463S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ACD 10．ACD【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(22co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ(cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin()cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin()cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,)66t ∈，D 正确.故选：ACD 11．ABD【分析】对于A ，对条件()()2f x f x x --=，求导可得；对于B ，对条件()()2f x f x x --=，两边同时除以x 可得；对于C ，反证法，假设C 正确，求导，结合条件()(2)0g x g x +-=，可得(0)0g =与(0)1g =矛盾，可判断C ；对于D ，求出()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，()()211g g -=-，*N n ∈，得出数列{()}g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．【详解】因为()()2f x f x x --=，所以()()2f x f x '+-='，即()()2g x g x +-=，令0x =，得(0)1g =，故A 正确；因为()()2f x f x x --=，当0x ≠时，()()2f x f x x x-+=-，所以()f x y x=的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C ，假设()(2)0f x f x +-=成立，求导得()(2)0f x f x ''--=，即()(2)0g x g x --=，又()(2)0g x g x +-=，所以()0g x =，所以(0)0g =与(0)1g =矛盾，故C 错误；对于D ，因为()()2g x g x +-=，()(2)0g x g x +-=，所以(2)()2g x g x ---=-，(0)1g =，()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，所以数列{}()g n 的奇数项是以0为首项，2-为公差的等差数列，数列{}()g n 的偶数项是以1-为首项，2-为公差的等差数列，又()()211g g -=-，*N n ∈，所以数列{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，所以()1g n n =-，所以21()2nk n n g k =-=∑，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=的应用，D 选项关键是推出{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列.12．i 5【分析】利用复数除法法则进行计算出答案..【详解】()i 2i i 2iz z +=⇒=+，故()()2i i i i i i i 22245z ===-+--.故答案为：i 513．120【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种，则剩下的4人全排列有44A 种排法，故一共有445A 120⨯=种排法．故答案为：120．14．()1,4【分析】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =再联立直线PD 与2y x =的方程，求出点D 的坐标，进而表达出平行四边形ODPE 面积，再结合平行四边形ODPE 面积为1求出点P 的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．【详解】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =，直线PD 方程为0022y x x y =-++，联立00222y x x y y x =-++⎧⎨=⎩，解得0024D x y x +=，所以OD =所以1ODPE S OD d ===平行四边形，所以22014y x -=±，所以点P 的轨迹Γ为两个双曲线2214y x -=、2214y x -=，因为双曲线2214y x -=的实半轴长为1，双曲线2214y x -=的实半轴长为2，若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则12<，即14t <<，所以实数t 的取值范围是(1,4)．故答案为：()1,4．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P 的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出t 的取值范围.15．(1)π42【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin cos A A =，即可得解；（2）由余弦定理求出b ，再由()12AD AB AC =+，根据数量积的运算律计算可得.【详解】（1）因为()sin cos a B B c +=，由正弦定理得sin (sin cos )sin A B B C +=，在ABC 中，sin sin()C A B =+，则有sin (sin cos )sin()A B B A B +=+，sin sin sin cos sin cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=，又()0,πB ∈，sin 0B ∴>，sin cos A A ∴=，tan 1A ∴=，又()0,πA ∈，π4A ∴=；（2）根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，则有2522b b =+-，解得3b =或1b =-（舍去），D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+，()222111722923444AD AB AC AB AC ⎛∴=++⋅=⨯++= ⎝⎭，AD ∴=16．(1)2214x y +=，2e =(2)3【分析】（1）由||AC 的值，可得a ，b 的关系，再由焦距可得c 的值，又可得a ，b 的关系，两式联立，可得a ，b 的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线RS 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线CR ，CS 的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS 的斜率的大小．【详解】（1）由题意可得(,0)A a -，(0,)C b ，可得AC ==2c =c =可得2223a b c -==，225a b +=，解得24a =，21b =，所以离心率c e a ==所以椭圆的方程为2214x y +=，离心率2e =；（2）由（1）可得(0,1)C ，（3）（4）由题意设直线RS 的方程为1x my =+()0m ≠，则1k m=，设()11,R x y ，()22,S x y ()120x x ≠，联立22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得22(4)230m y my ++-=，显然0∆>，且12224my y m +=-+，12234y y m =-+，直线CR ，CS 的斜率1111y k x -=，2221y k x -=，则12211212121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y my y my y k k x x my my --+-++-+=+=++1212212122(1)()2()1my y m y y m y y m y y +-+-=+++22222322(1)2244321144mm m m m m m m m m m --⋅+-⋅-++==---⋅+⋅+++，因为123k k +=-，即231m -=-，解得13m =，所以直线RS 的斜率13k m==．即k 的值为3．17．(1)证明见解析；(2)67.【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）在ABCD Y 中，由120ABC ∠=︒，得60DCM ∠=︒，而2,4DC CM ==，在DCM △中，由余弦定理，得DM =则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1CD D D ⊥，1DD DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，所以平面11CDD C ⊥平面1D DM .（2）在四棱台1111ABCD A B C D -中，由112AB A B =，得1128AD A D ==，有114A D =，在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ，则14,4AE A E ==，又1AA =22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥，又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC =-=- ，设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则12040MC n y CC n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令z =，得(4,n =，而DM =，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||4sin |cos ,|67||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉==，所以直线DM 与平面11BCC B18．(1)①(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②9!!(3)!2m n m n ⋅--；(2)证明见解析.【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.【详解】（1）①该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值为：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意，03m n ≤+≤，(,)(|)()P m n P m n P n ξηξηη=====⋅=，显然3312()C ()(33n n n P n η-==，则3333111(|)C ()(C (222m m n m mn n n P m n ξη-----====，所以3333112(,)C ()C (()233mn n n n n P m n ξη---===⋅331C C 279!!(3)!2n m n m n m n -==⋅--.（2）由定义及全概率公式知，12({([(]})))()()i i j P a P a b b b ξξηηη====== 12{[([(([(})()]))])()]i i i j P a b a b a b ξηξηξη======= 12[([(()()]))]))][((i i i j P a b P a b Pa b ξηξηξη===+==++==+ 11[))](((,)i j i j j j P a b P a b ξηξη+∞+∞========∑∑ 1ij j p +∞==∑.【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 的概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.19．(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)(1,)+∞.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，按01m <≤与1m >分类讨论求出()f x 的单调区间.（2）利用（1）中1m =时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.（3）变形函数()g x ，将()g x 的零点个数问题转化为()f t 的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解.【详解】（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得2222121()1m x mx f x x x x -+-'=--=，设2()21k x x mx =-+-，则24(1)m ∆=-，①当01m <≤时，0,()0f x ∆'≤≤恒成立，且至多一点处为0，函数()f x 在(0,)+∞上递减；②当1m >时，0,()k x ∆>有两个零点120,0x m x m =->=+>，则当10x x <<或2x x >时，()0k x <，即()0f x '<；当12x x x <<时，()0k x >，即()0f x '>，即函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增，所以当01m <≤时，()f x 的递减区间为(0,)+∞；当1m >时，()f x的递减区间为(0,)m m +∞，递增区间为(m m .（2）由（1）知，当1m =时，(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=，则1ln 22x x x<-，令*211(,2)x n n n =+∈≥N ，于是2222222111111111ln(1)(1()112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+，22221111ln(1)ln(1)ln(1ln(1234n ++++++++ 111111212()(()11111113322332222222n n n <-+-++-=-<-+-+-++ ，所以2322221111(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<.（3）函数222221(1)()ln 2ln (ln )(ln )x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=，由于ln x 与1x -同号，则ln y m x =+1x =，令t =(1)0f =，则()g x 有三个不同的零点等价于函数()f t 有三个不同的零点，由（1）知，当01m <≤时，()f t 在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m >时，由（1）知，()f x 的两极值点12,x x 满足121=x x ，所以121t t =，得121t t <<，由(1)0f =，则12)((1)(0)f t f f t <=<，由（2）知，当1t >时，1ln 22t t t<-，则<，即ln t <因此2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m -=-+<--+=<，由零点存在性定理知，()f t 在区间()22,4t m 上有唯一的一个零点0t ，显然000000001111(()2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=-++-+=，而0()0f t =，则0)(10f t =，于是当1m >时，()f t 存在三个不同的零点001,1,t t ，所以m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。
广东省深圳市高级中学2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
广东省深圳市高级中学2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．342．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π3．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14±D ．144．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3D ．25．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 7．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌 （块） 银牌（块） 铜牌（块） 奖牌总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 3038272388A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.58．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种9．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．223B ．223-C ．223±D ．1310．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ） A ．110B ．15C ．140D ．94011．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B 3C ．22D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学一模考试总结分析（2篇）
高三数学一模考试总结分析一、试卷分析二、答卷分析通过本次阅卷的探讨和本人对试卷的分析，学生在答卷中存在的主要问题有一下几点：2.基础知识不扎实，基本技能和方法掌握不熟练.3.审题不到位，运算能力差，书写不规范.审题不到位在的第18题表现的较为明显。
这是一道概率题，由于审题不到位致使将概率模型搞错、在(Ⅰ)问中学生出现结果重复与遗漏的现象严重导致后面全错，还有不会应用数学语言，表达五花八门。
在考生的试卷中，因审题不到位、运算能力差等原因导致的书写不规范问题到处可见.4.综合能力不够，运用能力欠佳.第21题为例，这道题是导数问题(Ⅰ)求单调区间，(Ⅱ)求恒成立问题(Ⅲ)最值问题"由于学生综合运用能力较弱，致使考生不知如何分类讨论，或考虑问题不全面，导致解题思路受阻。
绝大部分学生几乎白卷。
5.心态不好，应变能力较弱.考试本身的巨大压力，考生信心不足，造成考生情绪紧张，缺乏冷静，不能灵活应变，会而不对、对而不全，甚至会而不得分的情形常可见到三、教学建议后阶段的复习，特别是第二轮复习具有承上启下，知识系统化、条理化的作用，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，如何才能在最后阶段充分利用有限的时间，取得满意的效果从这次的检测结果来看：1、研读考纲和说明，明确复习方向认真研读考试大纲和考试说明，关注考试的最新动向，不做无用功，弄清了“不考什么”后，还要弄清“考什么”，做到“有备无患”。
2、把所学知识和方法系统化、网络化(1)注重基础知识，整合主干内容，建构知识网络体系。
专题训练和综合训练相结合，课本例习题和模拟试题都重视，继续查漏补缺，归纳总结，巩固和深化一轮复习成果。
(2)多思考感悟，养成良好的做题习惯。
分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。
做到审题三读：一读明结构，二读抓关键，三读查缺漏;答题三思：一思找通法，二思找巧法，三思解;题后三变：一变同类题，二变出拓展，三变出规律。
天津市天津一中2025届高考数学一模试卷含解析
天津市天津一中2025届高考数学一模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值2．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．74-D ．121-3． 若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( ) A ．21B ．22C ．23D ．244．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．06．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ） A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为88．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．510．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．23πB ．3π C ．6π D ．56π 11．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．6312．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向左平移5π12个长度单位二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三年级一模数学成绩分析
高三年级一模数学成绩分析高三数学一模质量分析一、试卷分析：1、试卷质量高，这次模拟考试试卷质量较高，但相对来说，质量高、难度大，不符合我们当前教学的考察。
目前只复习了第一章，复习内容只涉及到了20分，其他内容学生都已经忘完。
学生第一次见到这种综合性考题，考成这个分数完全正常。
主观上来说，学生基础特别薄弱，主观能动性差，作业完成上存在许多问题，数学成绩就靠选择题60分的运气分，其他全都不会。
就本次考试而言，我们对考察内容毫无准备，以往届同期进行的相比阶段性考试，而本次考试是综合性的考察，且覆盖面广，难度大，都超出了我们的预料。
2、试卷知识点分布，试卷涵盖高中数学五个必修重点内容，符合高考模式，不仅考察了学生的基础知识和运用知识解决问题的能力，而且对培养学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力有一定的指导和促进作用。
二、得分分析：与州中成绩对比三、存在问题：1、备课组层面。
从目前的情况看，“学案导学”教学模式虽然有了很好的推广，但是我们的学生在自觉性和能动性上还是相对比较差，上课效率极其低下。
学生自主学习的能力还有待进一步提高，学生的基础也尤其薄弱，因此我们一定要高度重视教材的落实。
2、教师层面。
教师应关注每一位学生，尤其是中下游学生，，对中下游学生一定要引起重视，复习过程中还是应该落实双基。
在数学考试中学生思维跟不上，解题速度跟不上，我们在平时的教学中应该注重发挥学生的主体作用，留给学生思考的空间，给他们足够的动手、动脑的时间。
3、学生方面。
基础知识不扎实，对公式、定理、概念、方法的记忆、理解模糊。
计算能力薄弱，知识的迁移能力差，综合运用知识的能力差。
审题不清，答题不全面、不完整、不规范。
考试心态不佳。
时间安排不合理。
四、针对问题我们制定了下阶段措施1、备课组层面。
加强集体备课和科学教研，精心设计学案，整体规划，使其前者为后者服务，注意以基础知识为主，同事培养综合能力。
互相听课、评课，提高课堂效率。
浙江省温州市平阳中学2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
浙江省温州市平阳中学2025届高三下学期一模考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ）A ．49-B ．23C ．32或49-D ．322．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．3．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 4．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞D ．(),0-∞5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④6．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．21313-B ．21313C ．61365-D ．613657．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB ，BP OA ，则DP =（ ）A ．2DA DC +B ．32DA DC + C ．2DA DC +D ．3122DA DC +8．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π9．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．110．要得到函数312y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数323y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度11．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B C ．73D ．312．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S h =+下上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年高三数学一模考试总结分析
2024年高三数学一模考试总结分析____年高三数学一模考试在考察的内容和难度上与往年相比并没有太大的变化。
本次考试主要覆盖了高中数学的基础知识和解题方法，考察内容较为全面。
总体来说，本次考试难度适中，但在部分题型上也存在一定的难点，对学生的理解能力和解题技巧提出了一定的要求。
一、题型分布本次考试的题型分布较为均衡，主要涵盖了选择题、填空题、解答题和应用题等。
各题型的难度适中，并且题目的命制方式也各具特色。
选择题占据了本次考试的相当一部分，主要考察基础知识的掌握和运用能力。
其中，有一些题目通过设置陷阱选项来考察学生对题目的深入理解能力，要求学生细致仔细地分析和思考。
填空题的出题范围较广，关注学生对基本公式的灵活运用和解题方法的熟练掌握。
有些题目需要学生自主寻找解题思路，需要一定的逻辑推理能力和灵活性。
解答题主要考察学生的解题能力和思维能力，需要学生对问题进行分析和归纳，并给出详细的解题步骤和证明过程。
这一部分的题目较为灵活多样，需要学生具备较强的思维和推理能力。
应用题是本次考试的难点所在。
其中，一些应用题需要学生综合运用所学的知识和技巧来解决实际问题，需要学生具备较强的逻辑思维和抽象能力。
二、难点分析本次考试的难点主要体现在选择题和应用题上。
具体来说，以下几个方面是学生容易出错的地方：1.题目理解：不少学生在做选择题时，容易将题目理解错或者没有完全理解题意就进行解题，导致选错选项。
因此，在考试前一定要仔细阅读题目，明确题目的要求和思路。
2.解题思路：一些题目需要学生自主寻找解题思路，特别是一些较为复杂的填空题和解答题。
因此，要提醒学生要注重解题思路的培养，加强对数学概念和定理的理解和运用。
3.运算错误：在计算过程中，学生常常会出现因计算错误而导致整个题目答案错误的情况。
为了避免这种情况的发生，学生在解题时要谨慎对待每一个步骤，避免疏忽导致的错误。
4.知识点掌握：一些选择题和解答题考察了较为高层次的知识点，学生在准备阶段要重点把握这些知识点，并加强对其运用的理解。
高三数学第一次模拟考试试卷分析
溧阳市高三数学第一次模拟考试试卷分析苏锡常镇第一次模拟考试是高考的预演, 既可检测教与学的基本状况, 也能为后续复习教学有效展开提供必要的参考依据。
今年的模拟试题延续了期末考试命题的基本思路, 也与2011年高考命题的指导思想大致吻合。
一、抽样数据分析表1（各题的难度与均分）表2（大题与总体的难度与均分）从抽样情况看, 1-9题的难度基本适中；10-12题偏难；13-14属难题, 正常； 15-16题的难度适当；17-18题第⑴问属常规题型, 第⑵问难度过大, 许多学生在此消耗的时间和精力过多；19题属常规题型, 但到此许多学生不是时间不够, 就是运算不过关或精力不集中等等原因, 致使得分仍不理想；20题主要是时间问题或试题的呈现方式等因素, 学生读题、审题和寻找解决问题的方法和途径等各个环节都没有处理好, 得分不理想, 但难度是恰当的。
由此可以看出: 填空题稍有失控, 解答题基本恰当, 整体的难度尚能够接受。
二、各题简要分析第2题, 学生对渐近线的理解和求解不到位,靠死记硬背而出错的情况比较多。
第5题, 抽样函数的性质应用不熟练, 转化的能力尚存在不足, 数形结合的意识不强。
第6题学生对含参变量 的不等式的解法不习惯, 或者由于区间端点不注意造成错误。
第7题, 读题、审题, 并从中提取有效信息的能力还有待进一步提高。
第10题, 本身不是难题, 但学生类比推理能力不够, 尤其从二维拓展为三维时不能把握数据的变化。
事实上, 考试说明的没有相关运算的要求, 学生又不会也在情理之中。
第11题, 线性规划和数列相结合, 由于 表示的平面区域图比较难画, 再加上坐标系的选取不同, 计算的失误也是失分的主要因素第12题, 学生不能把相关条件转化为图形, 再从图象上寻找等量关系；再加上审题不过关和对数的运算能力比较差而造成出错。
第13题, 学生很难寻找到问题解决的方法和途径, 平面向量和函数最值本身就是难点。
2023年哈三中高三一模数学试题含答案解析
设PEPC，则E(2,3,
3),AE(21,3,3
3)
OP平面ABC,D平面
AB的法向量n1(0,0,1)
，解得1，E(2,
3
3
平面ADE的法向量n2(0,2,1)
3
平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为cos
20.（1）①设事件A=“摸出的两个球中恰好有一个红球”
2e
a
D. 当a0时，a11
1212
b22b2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.1212x4的展开式中，常数项为．
x
14.已知xy4，且xy0，则
的最小值为．
xyy
15.设Sn是数列{an}的前n项和，Sn2ann3，令bnlog4(an1)，则
b1b2b125．
125
x2y2x2y2
sin(B)sin(2B)
33
3cosB1sinB2(3cosB1sinB)
2222
3sinB3cosB
22
tanB33
3a112d27
18.（1）
，d0，a11
a(a4d)(a
d)2
d2
111
an2n1
(2n1)2n
2n12n
（2）bn(2n1)(2n3)2n
32n1
2n12
Tn2n
19.（1）取AD中点O，连接OB,OP
①求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；
②记摸出的红球个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
（2）若1号盒中有4个红球和4个白球，2号盒中有2个红球和2个白球，现甲、
广东省江门市2024届高三一模考试数学试卷含答案解析
江门市2024年高考模拟考试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某市高三年级男生的身高X (单位：cm)近似服从正态分布()2175,5N .现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm 的概率是（）参考数据：()0.6827P x μσμσ-≤≤+≈A.0.6827B.0.34135C.0.3173D.0.158652.在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或153.已知{}n a 是等比数列，3548a a a =，且2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，则m =（）A.8B.8- C.64 D.64-4.已知角α的终边上有一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+⎪⎝⎭=（）A.45-B.45C.35-D.355.设1F ，2F 为双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，点A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于M 、N 两点，且点M 、N 分别在第一、三象限，若2π3MAN ∠=，则双曲线的离心率为（）A.153B.C.213D.6.已知()()()()()()451121101211111222x x x a a x a x a x ++++++=+++++++ ，则02410a a a a ++++ 的值是（）A.680B.680- C.1360D.1360-7.已知9名女生的身高平均值为162(单位：cm)，方差为26，若增加一名身高172(单位：cm)的女生，则这10名女生身高的方差为（）A.32.4B.32.8C.31.4D.31.88.物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（）A.7B.8C.9D.10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.2z z z ⋅=，z C ∈B.2024i 1=-C.若1z =，z C ∈，则2z -的最小值为1D.若43i -+是关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=∈的根，则8p =10.已知函数()2ππsin 2sin 20)33f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则2ω=B.当1ω=，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x的值域为2⎡⎤⎣⎦C.当1ω=时，()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.若()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，则58ω≤<11.已知曲线:148x x y y E +=，则下列结论正确的是（）A.y 随着x 增大而减小B.曲线E 的横坐标取值范围为[]22-,C.曲线E 与直线 1.4y x =-相交，且交点在第二象限D.()00,Mxy 是曲线E 00y +的取值范围为(]0,4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,0a = ，()1,1b = ，若a b λ+ 与b垂直，则λ=__________.13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有_____________个面；若被截正方体的棱长是60cm ，那么该几何体的表面积是___________cm 2.14.函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ，y ，恒有ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立.请写出满足上述条件的函数()f x 的一个解析式__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接矩形，PA 是圆柱的母线.（1）证明：在侧棱PD 上存在点E ，使//PB 平面AEC ；（2）在（1）的条件下，设二面角D AE C --为60︒，1AP =，AD =，求三棱锥E ACD -的体积.16.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为()0l αα<<，收到0的概率为1α-：发送1时，收到0的概率为()01ββ<<，收到1.的概率为1β-.假设发送信号0和1是等可能的.（1）已知接收的信号为1，且01005.,.αβ==，求发送的信号是0的概率；（2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.17.己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是33，过点()2,0M 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 被椭圆E截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在与点M 不同的定点N ，使得NA MA NBMB=恒成立?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.18.已知关于x 的方程()e R xx m m =∈有三个根，分别为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<.（1）求m 的取值范围；（2）设13x t x =-，证明：3x 随着t 的增大而减小.19.将2024表示成5个正整数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 之和，得到方程413522024x x x x x +++=+①，称五元有序数组()12345,,,,x x x x x 为方程①的解，对于上述的五元有序数组()12345,,,,x x x x x ，当1,5i j ≤≤时，若)m )ax((N i j x x t t -=∈，则称()12345,,,,x x x x x 是t -密集的一组解.（1）方程①是否存在一组解()12345,,,,x x x x x ，使得1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；（2）方程①的解中共有多少组是1-密集的?（3）记521i i S x ==∑，问S 是否存在最小值?若存在，请求出S 的最小值；若不存在，请说明理由.江门市2024年高考模拟考试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某市高三年级男生的身高X (单位：cm)近似服从正态分布()2175,5N .现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm 的概率是（）参考数据：()0.6827P x μσμσ-≤≤+≈A.0.6827 B.0.34135C.0.3173D.0.15865【答案】D 【解析】【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.【详解】由题意，175,5μσ==，且()0.6827P x μσμσ-≤≤+≈，所以()()10.68271700.158652P X P X μσ-≤=≤-≈=.故选：D2.在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或15【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理求得角C ，根据三角形内角和，即可求得答案.【详解】由题意知ABC 中，30,2B b == ，c =故sin sin b c B C =，即sin 22sin302sin 22c B C b === ，由于c b >，故30C B >= ，则45C = 或135 ，故A 的大小为1803045105--= 或1803013515--= ，故选：D3.已知{}n a 是等比数列，3548a a a =，且2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，则m =（）A.8B.8- C.64 D.64-【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列下标和性质计算可得.【详解】在{}n a 是等比数列，2354a a a =，2264a a a =，又3548a a a =，所以48a =，又2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，所以226464m a a a ===.故选：C4.已知角α的终边上有一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+⎪⎝⎭=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义可求得sin α的值，再利用诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意知角α的终边上有一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则||1OP ==，故4sin 5α=，则4cos sin 25παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，故选：A5.设1F ，2F 为双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，点A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于M 、N 两点，且点M 、N 分别在第一、三象限，若2π3MAN ∠=，则双曲线的离心率为（）A.153B.C.213D.【答案】C 【解析】【分析】先求出点M ，N 的坐标，再利用余弦定理求出,a c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【详解】由题意得圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为b y x a=．设点M 的坐标为()00,x y ，则点N 的坐标为()00,x y --，由222b y xax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又222c a b =+，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，∴(),M a b ，(),N a b --．又(),0A a -，∴AM =AN ==在MAN △中，2π3MAN∠=，由余弦定理得2222π||||2cos3MN AM AN AM AN =+-即22222π4()cos 3c a a b b b =+++-，化简得2273a c =，∴3e =．故选：C ．6.已知()()()()()()451121101211111222x x x a a x a x a x ++++++=+++++++ ，则02410a a a a ++++ 的值是（）A.680B.680- C.1360D.1360-【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法，分别令=1x -和3x =-，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案.【详解】令=1x -，则012110a a a a =++++ ，即012110a a a a ++++= 令3x =-，则()()()4110123115222a a a a a -+-++-=-+-+- ，即48012311(2)[1(2)]13601(2)a a a a a ----+-+-==--- ，两式相加可得0241013606802a a a a ++++=-=- ，故选：B7.已知9名女生的身高平均值为162(单位：cm)，方差为26，若增加一名身高172(单位：cm)的女生，则这10名女生身高的方差为（）A.32.4 B.32.8C.31.4D.31.8【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的计算公式计算得解.【详解】令9名女生的身高为(N ,9)i a i i *∈≤，依题意，919162i ii a===⨯∑，921(162)926i i i a ==-=⨯∑，因此增加一名女生后身高的平均值为9111(172)(9162172)1631010i i i a ==+=⨯+=∑，所以这10名女生身高的方差为992221111[(163)(172163)]{[(162)1]81}1010i i i i i i a a ====-+-=--+∑∑92111{[(162)2(162)9]81}(926981)32.41010i i i i a a ===---++=⨯++=∑.故选：A8.物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（）A.7 B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.【详解】1010118000128181()()(1)(80)lglg lg lg 180n kk k P n P k P k P k k k=++=++++=+++=+∑ ，而42lg814lg 3log 81lg 42lg 22lg 3lg 9lg 5lg 51log 511lg 2lg 2====+++，故9k =．故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.2z z z ⋅=，z C ∈B.2024i 1=-C.若1z =，z C ∈，则2z -的最小值为1D.若43i -+是关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=∈的根，则8p =【答案】ACD 【解析】【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A ；根据虚数单位的性质可判断B ；设i,(,R)z x y x y =+∈，根据复数的模的计算公式，可得221x y +=，以及2z -=，结合x 的范围可判断C ；将43i -+代入方程，结合复数的相等，求出p ，即可判断D.【详解】对于A ，z C ∈，设复数i,(,R)z a b a b =+∈，则i,(R)z a b a,b =-∈，||z =，故222i)(i ()z a b a b a b z z +-+⋅===，A 正确；对于B ，由于24i 1,i 1=-=，故20244506i (i )1==，B 错误；对于C ，z C ∈，设i,(,R)z x y x y =+∈，由于1z =，则2211,x y =∴+=，故2z -===由221x y +=，得11x -≤≤，则451x -+≥，故当1x =时，2z -的最小值为1，C 正确；对于D ，43i -+是关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=∈的根，故2)43i 43()(),R (0i p q p q +-++=∈-+，即04(3i 724)p p q -+-+=，故7408,324025p q p p q -+==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩，D 正确，故选：ACD10.已知函数()2ππsin 2sin 20)33f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则2ω=B.当1ω=，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦C.当1ω=时，()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.若()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，则58ω≤<【答案】BCD 【解析】【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再结合各选项的条件及正弦函数的性质计算可得.【详解】因为()2ππsin 2sin 233f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin 23333x x x x x ωωωωω=++-sin 22x x ωω=+1π2sin 2cos 22sin 2223x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ：若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，即π22T =，所以πT =，则2ππ2T ω==，解得1ω=，故A 错误；对于B ：当1ω=时()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 2,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦，故B 正确；对于C ：将()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2ππππ2sin 22sin 22sin 22cos 2633266y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故C 正确；对于D ：由π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππππ2,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，所以ππ2π3π33ω≤+<，解得58ω≤<，故D 正确.故选：BCD 11.已知曲线:148x x y y E +=，则下列结论正确的是（）A.y 随着x 增大而减小B.曲线E 的横坐标取值范围为[]22-,C.曲线E 与直线 1.4y x =-相交，且交点在第二象限D.()00,Mxy 是曲线E 00y +的取值范围为(]0,4【答案】AD【解析】【分析】首先对x 、y 分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A 、B ，由双曲线的渐近线与 1.4y x =-的关系判断C 00y +，即点()00,M x y 到直线0y +=0y c ++=与曲线()2210,048x y x y +=≥≥相切时c 的值，再00y +的最大值，即可判断D.【详解】因为曲线:148x x y y E +=，当0x ≥，0y ≥时22148x y +=，则曲线E 为椭圆22148x y +=的一部分；当0x >，0y <时22148x y -=，则曲线E 为双曲线22148x y-=的一部分，且双曲线的渐近线为y =；当0x <，0y >时22184y x -=，则曲线E 为双曲线22184y x-=的一部分，且双曲线的渐近线为y =；可得曲线的图形如下所示：由图可知y 随着x 增大而减小，故A 正确；曲线E 的横坐标取值范围为R ，故B 错误；因为 1.4->E 与直线 1.4y x =-相交，且交点在第四象限，故C 错误；00y +=，即点()00,Mxy 0y+=倍，0y c ++=与曲线()2210,048x y x y +=≥≥相切时，由221480x y y c ⎧+=⎪++=，消去y 整理得22480x c ++-=，则()()221680c ∆=--=，解得4c =（舍去）或4c=-，y +=40y +-=的距离d ==，00max4y +==，00y +的取值范围为(]0,4，故D 正确；故选：AD【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出曲线E 的图形，D 选项的关键是转化为点到直线的距离.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,0a = ，()1,1b = ，若a b λ+ 与b垂直，则λ=__________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】首先求出a b λ+的坐标，再依题意可得()0a b b λ+⋅= ，即可得到方程，解得即可.【详解】因为()1,0a = ，()1,1b = ，所以()1,a b λλλ+=+，又a b λ+ 与b 垂直，所以()10a b b λλλ+⋅=++= ，解得12λ=-.故答案为：12-13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有_____________个面；若被截正方体的棱长是60cm ，那么该几何体的表面积是___________cm 2.【答案】①.14②.1080036003+【解析】【分析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是60cm ，那么石凳的表面积是(()21822sin 60623021080036003cm2S =⨯⨯︒+⨯⨯+.故答案为：14，1080036003+14.函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ，y ，恒有ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立.请写出满足上述条件的函数()f x 的一个解析式__________.【答案】()sin f x x =（答案不唯一）【解析】【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可，不妨令()sin f x x =，根据两角和的正弦公式及诱导公式证明即可.【详解】依题意不妨令()sin f x x =，则()()sin sin cos cos sin f x y x y x y x y +=+=+，又ππππ()()sin sin sin sin 2222f x f y f x f y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin x y x y =+，所以ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()sin f x x =符合题意.同理可证明()sin 5f x x =，()sin 9f x x =，L ，也符合题意.故答案为：()sin f x x =（答案不唯一）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接矩形，PA 是圆柱的母线.（1）证明：在侧棱PD 上存在点E ，使//PB 平面AEC ；（2）在（1）的条件下，设二面角D AE C --为60︒，1AP =，AD =，求三棱锥E ACD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）38【解析】【分析】（1）取PD 的中点E ，连接BD 交AC 于O ，连接EO ，即可证明//EO PB ，从而得证；（2）设()0AB t t =>，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出t ，再根据锥体的体积公式计算可得.【小问1详解】取PD 的中点E ，连接BD 交AC 于O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，所以//EO PB ，又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ，【小问2详解】设()0AB t t =>，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()C t ，()D ，310,,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()AC t =，()0AD = ，310,,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又平面ADE 的法向量可以为()1,0,0n =r，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z = ，则031022m AC tx m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取)m t =- ，因为二面角D AE C --为60︒，所以1cos 602m n m n ⋅︒==⋅，解得32t =（负值舍去），所以32AB CD ==，所以113332224ACD S AD CD =⋅==，又点E 到平面ACD 的距离1122d PA ==，所以11331333428E ACD ACD V S d -==⨯⨯=.16.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为()0l αα<<，收到0的概率为1α-：发送1时，收到0的概率为()01ββ<<，收到1.的概率为1β-.假设发送信号0和1是等可能的.（1）已知接收的信号为1，且01005.,.αβ==，求发送的信号是0的概率；（2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.【答案】（1）221（2）102β<<【解析】【分析】（1）由题意确定发送的信号为0、1的概率以及接收信号为0、1的概率，根据全概率公式可求出已知接收的信号为1的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；（2）分别求出采用三次传输方案译码为1的概率和采用单次传输方案译码为1的概率，由题意列出不等式，解不等式，即可求得答案.【小问1详解】设A ：发送的信号为1，B ：接收到的信号为1，则A ：发送的信号为0，B ：接收到的信号为0，则()()()()1,|0.95,|0.12P A P A P B A P B A ====，故()()()()P B P AB AB P AB P AB ==+ ()()()()||P A P B A P A P B A =+0.50.950.50.10.525=⨯=⨯+，故()()()()()()|0.50.12|0.52521P ABP A P B A P A B P B P B ⨯====；【小问2详解】采用三次传输方案译码为1的概率为()()()()2323113C 11311P ββββββ=-+-=-+-，采用单次传输方案译码为1的概率为21P β=-，由题意得()()()232123111(1)(2)(1)(12)0P P ββββββββββ-=-+---=--+=-->而01β<<，故1120,2ββ->∴<，故102β<<.17.己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是3，过点()2,0M 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为433.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在与点M 不同的定点N ，使得NA MA NBMB=恒成立?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22164x y +=（2）存在定点()3,0N ，使得NA MA NBMB=恒成立【解析】【分析】（1）由离心率及过点232,3⎛ ⎝⎭列方程组求解,a b .（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出()3,0N ，设点B 关于x 轴的对称点B '，证得,,N A B '三点共线得到NA MA NBMB=成立.【小问1详解】依题意可得点2,3⎛ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以2222244133a b c e a a b c⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222642a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为22164x y +=.【小问2详解】当l 垂直于x 轴时，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，如果存在点N 满足条件，则有||||1||||NA MA NB MB ==，即NA NB =，所以点N 在x 轴上，设()0,0N x ，当l 与x 轴重合时，设直线l 与椭圆相交于A ，B两点，不妨设()A，)B，则由||||1||||NA MA NB MB ==，即=，解得02x =或03x =，所以若存在不同于点M 的定点N 满足条件，则点N 的坐标为()3,0；下面证明：对任意的直线l ，均有||||1||||NA MA NB MB ==，当l 不平行于x 轴且不垂直于x 轴时，设直线l 方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()222164y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222321212120k x k x k +-+-=，因为直线l 恒过椭圆内定点()2,0M ，故0∆>恒成立，所以21221232k x x k +=+，2122123212x k x k -=+，所以()()()12121212121266112333339x x x x x x x x x x x x +-+-+===------++，易知点B 关于x 轴的对称点B '的坐标为()22,x y -，又()111112333NA k x y k k k x x x -===+---，()21222232333NB k x y k k x k x x k x k '--=+-==--=----，所以NANB k k '=，则,,N A B '三点共线，所以12NA NA y MANB NB y MB ='==；综上：存在与点M 不同的定点()3,0N ，使NA MA NBMB=恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.18.已知关于x 的方程()e R xx m m =∈有三个根，分别为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<.（1）求m 的取值范围；（2）设13x t x =-，证明：3x 随着t 的增大而减小.【答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再利用导数分别求出函数在各段的单调性，即可画出函数图象，从而求出m 的取值范围；（2）由（1）可知12310x x x <-<<<，且()00,1x ∃∈，使得()01ef x =，则()300,x x ∈，再由()3113e e x x x x m -=⋅=，得到1313ln x x x x -=-，令13x t x =-，则01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，从而得到3ln 1tx t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，再令()ln 1th t t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，利用导数说明函数的单调性即可.【小问1详解】令()e ,0e 0,0e ,0x xx x x f x x x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，当0x >时()()1e 0xf x x '=+>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当0x <时()()e 01xf x x '=->+，所以10x -<<时()0f x '<，1x <-时()0f x ¢>，所以()f x 在()1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增，又()11ef -=，当0x <时()0f x >，且x →-∞时()0f x →，当x →+∞时()f x →+∞，则()f x的图象如下所示：因为关于x 的方程()e R xx m m =∈有三个根，即()y f x =与y m =有三个交点，由图可知10e m <<，即实数m 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知12310x x x <-<<<，又()00f =，()11e ef =>，且()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()00,1x ∃∈，使得()01e f x =，所以()300,x x ∈，由()3113e e x x x x m -=⋅=，所以3113e x x x x -=-，即1313ln x x x x -=-，令13x t x =-，则01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以3ln 1t x t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令()ln 1t h t t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()()21ln 1t t th t t t +-'=+，令()1ln g t t t t =+-，011t x >>，所以()ln 0g t t '=-<，即()g t 在01,x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()00000001ln 11111ln x x g t g x x x x x ⎛⎫++<=+-= ⎪⎝⎭，又001e e x x =，即00ln 1x x +=-，所以00001ln 10x x g x x ⎛⎫++== ⎪⎝⎭，即()0g t <，所以()0h t '<，所以()h t 在01,x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即3x 随着t 的增大而减小.【点睛】关键点点睛：第一问关键是由导数说明函数的单调性，从而得到函数的图象，第二问关键是得到3ln 1t x t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.19.将2024表示成5个正整数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 之和，得到方程413522024x x x x x +++=+①，称五元有序数组()12345,,,,x x x x x 为方程①的解，对于上述的五元有序数组()12345,,,,x x x x x ，当1,5i j ≤≤时，若)m )ax((N i j x x t t -=∈，则称()12345,,,,x x x x x 是t -密集的一组解.（1）方程①是否存在一组解()12345,,,,x x x x x ，使得1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；（2）方程①的解中共有多少组是1-密集的?（3）记521i i S x==∑，问S 是否存在最小值?若存在，请求出S 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析（2）5（3）存在，最小值为819316.【解析】【分析】（1）若1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数，则{}i x 构成等差数列，根据等差数列下标和性质得到320245x =，推出矛盾即可得解；（2）依题意1t =时，即当1,5i j ≤≤时，1m x()a i j x x -=，则{}max 405i x =，{}min 404j x =，即可求出1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中有4个405，1个404，从而得解；（3）由方差公式得到2255S x σ=+（2σ为方差），从而得到当方差2σ取最小值时S 取最小值，从而推出()12345,,,,x x x x x 是1-密集，即可求出S 的最小值.【小问1详解】若1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数，根据等差数列的定义可得{}i x 构成等差数列，所以41532352024x x x x x x ++==++，解得320245x =，与3N *x ∈矛盾，所以不存在一组解()12345,,,,x x x x x ，使得1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数；【小问2详解】因为()351422024404.8551x x x x x x +++==+=，依题意1t =时，即当1,5i j ≤≤时，1m x()a i j x x -=，所以{}max 405i x =，{}min 404j x =，设有y 个405，则有5y -个404，由()40540452024y y +-=，解得4y =，所以1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中有4个405，1个404，所以方程①的解共有5组.【小问3详解】因为平均数()351422024404.8551x x x x x x +++==+=，又方差()522115i i x x σ==-∑，即()5522221155i i i i x x x x σ===-=-∑∑，所以2255S x σ=+，因为x 为常数，所以当方差2σ取最小值时S 取最小值，又当0=t 时12345x x x x x ====，即152024x =，方程无正整数解，故舍去；当1t =时，即()12345,,,,x x x x x 是1-密集时，S 取得最小值，且22min 4405404819316S =⨯+=.【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解题意，第三问的关键是方差公式的应用.。