样本平均数分布的方差
第2课时 用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差
第2课时用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差教学目标【知识与技能】会用样本平均数、方差估计总体的平均数方差，并进行简单的分析.【过程与方法】经历用样本平均数、方差估计总体的平均数方差的过程，积累统计经验.【情感态度】培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义.【教学重点】会用样本平均数、方差估计总体的平均数方差，并进行简单的分析.【教学难点】理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断.教学过程一、创设情境，导入新课某园艺场采摘苹果，边采摘、边装箱，共装了2 000箱.苹果的市场收购价为4元/kg.现在要估计出这2 000箱苹果的销售收入，我们可以怎样去做？方法一：全面调查，就是一箱箱的称，再根据苹果的总质量估计这2 000箱苹果的销售收入.方法二：采取抽样的方法.该园艺场从中任意抽出了10箱苹果，称出它们的质量，算出平均质量，再估计2 000箱苹果的总质量，从而估计这2 000箱苹果的销售收入.你觉得哪一种方法最合适？【教学说明】教师出示一个实际问题让学生思考，比较两种调查方法，提出自己的观点，激发学生探究的兴趣.二、合作探究，探索新知1.上述问题中，如果10箱苹果的质量分别如下(单位：kg)16，15，16.5，16.5，15.5，14.5，14，14，14.5，15你能估计出2 000箱苹果的销售收入是多少吗？怎样计算？学生尝试解答：(1)算出它们的平均数：x＝15.15kg(2)把x作为每箱苹果的平均质量，由此估计出2 000箱苹果的销售收入为：4×15.15×2 000＝121 200(元)2.小结：现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数.但是要注意：用样本的平均数估计总体的平均数，如果样本容量太小，往往差异较大.【教学说明】学生通过解决问题，体会用样本平均数估计总体平均数的方法和过程，教师强调应该注意的问题.3.我们可以用样本的平均数估计总体的平均数，那么，怎样用样本的方差估计总体的方差呢？问题：甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的白糖，怎样比较这两种包装机那一台质量更好呢？4.学生尝试解答：从中各随机抽出10袋，测得实际质量如下(单位：g)甲：501 500 503 506 504 506 500 498 497 495乙：503 504 502 498 499 501 505 497 502 499(1)分别计算两个样本的平均数；(2)分别计算两个样本的方差；(3)哪台包装机包装的质量较稳定？解：(1)x甲＝(501＋500＋503＋506＋504＋506＋500＋498＋497＋495)÷10＝501，x乙＝(503＋504＋502＋498＋499＋501＋505＋497＋502＋499)÷10＝501；(2)s2甲＝110[(501－501)2＋(500－501)2＋…＋(495－501)2]＝12.6，s2乙＝110[(503－501)2＋(504－501)2＋…＋(499－501)2]＝6.4；(3)∵s2甲＝s2乙，∴乙包装机包装10袋糖果的质量比较稳定.5.小结：我们可以用样本的方差来估计总体的方差，从而估计总体数据的波动情况.【教学说明】教师引导学生解决实际问题，经历用样本方差估计总体方差的过程，对解题过程有一个清晰的认识.三、示例讲解，掌握新知【例】王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%.现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示.(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；(2)试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？【分析】(1)根据平均数的求法求出平均数，再用样本估计总体的方法求出产量总和即可解答.(2)要比较哪个山上的杨梅产量较稳定，只要求出两组数据的方差，再比较即可解答.解：(1)x甲＝40(千克)，x乙＝40(千克)，总产量为40×100×98%×2＝7 840(千克)；(2)s2甲＝14[(50－40)2＋(36－40)2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝38，s2乙＝14[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24，∵s2甲＞s2乙，∴乙山上的杨梅产量较稳定.【教学说明】教师要引导学生先观察图像获取相关的信息，然后结合问题尝试进行解答，教师对相关的方法进行总结.四、练习反馈，巩固提高为调查八年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成家庭作业所需时间(单位：min)分别为：60，55，75，55，55，43，65，40.(1)求这组数据的众数、中位数.(2)求这8名学生每天完成家庭作业的平均时间；如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业时间不能超过60分钟，问该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？解：(1)在这8个数据中，55出现了3次，出现的次数最多，即这组数据的众数是55；将这8个数据按从小到大的顺序排列为40，43，55，55，55，60，65，75，其中最中间的两个数据都是55，即这组数据的中位数是55.(2)这8个数据的平均数是56，所以这8名学生每天完成家庭作业的平均时间为56分钟.所以该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求.五、师生互动，课堂小结1.现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数.但是要注意：用样本的平均数估计总体的平均数，如果样本容量太小，往往差异较大.2.我们可以用样本的方差来估计总体的方差，从而估计总体数据的波动情况.课后作业完成同步练习册中本课时的练习.。
样本方差与总体方差
样本⽅差与总体⽅差⼀、⽅差（variance)：衡量随机变量或⼀组数据时离散程度的度量。
概率论中⽅差⽤来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的⽅差（样本⽅差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平⽅值的平均数。
概率论中的⽅差表⽰⽅法：样本⽅差，⽆偏估计、⽆偏⽅差（unbiased variance）。
对于⼀组随机变量，从中随机抽取N个样本，这组样本的⽅差就是Xi^2平⽅和除以N-1。
总体⽅差，也叫做有偏估计，其实就是我们从初⾼中就学到的那个标准定义的⽅差，除数是N。
统计中的⽅差表⽰⽅法：⼆、为什么样本⽅差的分母是n-1？为什么它⼜叫做⽆偏估计？简单的回答，是因为因为均值你已经⽤了n个数的平均来做估计在求⽅差时，只有(n-1)个数和均值信息是不相关的。
⽽你的第ｎ个数已经可以由前(n-1)个数和均值来唯⼀确定，实际上没有信息量。
所以在计算⽅差时，只除以(n-1)。
那么更严格的证明呢？样本⽅差计算公式⾥分母为n-1的⽬的是为了让⽅差的估计是⽆偏的。
⽆偏的估计(unbiased estimator)⽐有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的，尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最⼩才更有意义，这个问题我们不在这⾥探讨；不符合直觉的是，为什么分母必须得是n-1⽽不是n才能使得该估计⽆偏。
⾸先，我们假定随机变量的数学期望是已知的，然⽽⽅差未知。
在这个条件下，根据⽅差的定义我们有由此可得是⽅差的⼀个⽆偏估计，注意式中的分母不偏不倚正好是！这个结果符合直觉，并且在数学上也是显⽽易见的。
现在，我们考虑随机变量的数学期望是未知的情形。
这时，我们会倾向于⽆脑直接⽤样本均值替换掉上⾯式⼦中的。
这样做有什么后果呢？后果就是，如果直接使⽤作为估计，那么你会倾向于低估⽅差！这是因为：换⾔之，除⾮正好，否则我们⼀定有,⽽不等式右边的那位才是的对⽅差的“正确”估计！这个不等式说明了，为什么直接使⽤会导致对⽅差的低估。
概率分布函数的均值方差和标准差
概率分布函数的均值方差和标准差
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数；标准差是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。
１.方差和标准差都是对一组（一维）数据进行统计的，反映的是一维数组的离散程度；而协方差是对2维数据进行的，反映的是2组数据之间的相关性。
２.标准差和均值的量纲（单位）就是一致的.，在叙述一个波动范围时标准差比方差更便利。
方差可以看作就是协方差的一种特定情况，即2组与数据完全相同。
３.协方差只表示线性相关的方向，取值正无穷到负无穷。
４.协方差只是说明了线性相关的方向，说道无法表明线性相关的程度，若来衡量有关程度，则采用相关系数。
生物统计学简答
生物统计学简答题1.实验设计的基本要求①实验目的要明确。
安排实验时，需要对试验的预期结果及其生产和科研中的作用做到心中有数。
②试验条件要有代表性。
试验条件要符合代表性，实验结果才能符合实际被推广利用。
③试验结果要可靠。
试验误差越小，精确度越高，试验具有的价值才能被体现和应用。
④试验结果要能重演。
在相同的条件下，重复进行相同试验要能得到与原试验结果相同或相近的结果。
2.试验设计的作用①合理的试验设计对科学试验非常重要,它不仅能够节省人力、物力、财力和时间，更重要的是它能够减少试验误差，提高试验的精确度,取得真实可靠的试验资料，为统计分析得出正确的推断和结论奠定基础。
②在生物学研究中，一项工作要取得客观理想的结果，必须做到试验目的明确、试验设计合理、试验操作精细，并采用正确的统计方法对试验结果进行分析。
3、控制试验误差的途径：①选择纯合一致的试验材料。
②改进操作制度，使之标准化。
③精心选择试验单位，各试验单位的性质和组成要求均匀一致。
④采用合理的试验设计4.试验设计的基本原则及作用：①重复。
作用：（1）可以通过不同重复之间的差异估计实验误差；（2）降低试验误差，有效提高试验的精确度；②随机。
作用：（1）不掺杂任何人为主观因素，避免任何主观成见（2）与重复结合，能提供无偏的试验误差估计值；③局部控制。
作用：（1）可以控制和减少非试验因素对试验结果的影响，最大限度地降低试验误差。
5.试验误差的来源①试验材料固有的差异。
指试验中各处理的供试材料在其遗传和生长发育方面或多或少存在着差异。
②试验条件不一致。
指各试验单位的构成不一致和各试验单位所处的外部环境条件不一致，即非试验因素的不一致。
③操作技术不一致。
包括各处理或处理组合在培养、采样、滴定、比色等操作存在时间上或质量上的差别。
④偶然性因素的影响。
包括人工无法控制的环境差异和遗传差异、试验工作中疏忽大意造成的错误等引起的误差6.随机区组设计、优缺点：随机区组设计是根据局部控制和随机原理进行的，将试验单位按性质不同分成与重复数一样多的区组，使区组内非试验因素差异最小而区组间非试验因素差异最大，每个区组均包括全部的处理。
用样本估计总体(频率分布直方图、平均数、方差等)
s2
1 10
4 (2 5)2
2 (5 5)2
4 (8 5)2
7.2
3．（2015 江苏苏州市高三上调考）如图是小王
所做的六套数学附加题得分（满分 40）的茎叶
图，则其平均得分为 ．
JSY33
第 3 题图
【考点】茎叶图.
【答案】 31．
【分析】 根据茎叶图的数据，得；
数据的平均分为
x = 18 28 30 32 38 40 =31． 6
55、在公路发展的早期，它们的趋势还能顺从地貌，即沿河流或森林的边缘发展。可 如今，公路已无所不在，狼、熊等原本可以自由游荡的动物种群被分割得七零八落。 与大型动物的种群相比，较小动物的种群在数量上具有更大的波动性，更容易发生杂 居现象。这段话主要讲述的是 。 A.公路发展的趋势 B.公路对动物的影响 C.动物生存状态的变化 D.不同动物的不同命运
56、从3月下旬到10月上旬，太阳在地球上直射位置的移动规律是： A.赤道→南回归线→赤道 B.赤道→北回归线→赤道 C.南回归线→赤道→北回归线
D.人权是个人权利和集体人权的统一
67、在觅食过程中，成百上千只蚂蚁在蚁穴和食物所在处之间来来往往，最终都能够 在相对最短时间内得到食物，却从来不会有拥堵现象出现。德国科学家赫尔冰发现， 避免道路拥堵是基于蚂蚁之间的交流。在一条路有可能出现拥堵时，返回的蚂蚁就向 迎面过来的同伴发出信息素，让它选择另一条路。他认为，人类可以采取相同方法减 少车辆拥塞现象。
这段文字的主旨是 。
A.城市发展面临危机 B.城市是人类文明的中心所在 C.城市的演进伴随着各种问题 D.城市要健康发展必须积极有效地应对各种挑战
69、1983年，沃伦和马歇尔发现人的胃内有幽螺菌(HP)，并分离培养成功，为常见的 胃病病因和诊治作出了划时代的贡献。世界上约1/3人口感染HP，我国感染率较高， 儿童占50%以上，成人占70%以上。HP主要通过口口传播，也可经中介物如餐具、牙 具或患者排泄物污染他人的手或食物从而导致感染。防止儿童感染HP，在防止青少年 胃病，促进儿童健康成长和社会公共卫生等方面都有重大意义。
样本方差的期望
样本方差
先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。
样本方差用来表示一列数的变异程度。
样本均值又叫样本均数。
即为样本的均值。
均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
公式
样本方差的公式为
简介
在许多实际情况下，人口的真实差异事先是不知道的，必须以某种方式计算。
当处理非常大的人口时，不可能对人口中的每个物体进行计数，因此必须对人口样本进行计算。
样本方差也可以应用于从该分布的样本的连续分布的方差的估计。
样本方差的无偏性
我们从一个样本取n个值y1，...，yn，其中n <N，并根据这个样本估计方差。
直接取样本数据的方差给出平均偏差的平均值：
样本方差分布
作为随机变量的函数，样本方差本身就是一个随机变量，研究其分布是很自然的。
在yi是来自正态分布的独立观察的情况下，Cochran 定理表明s2服从卡方分布：
如果大数定律的条件对于平方观测值同样适用，则s2是σ2的一致估计量。
可以看出，估计的方差趋于零。
在Kenney and Keeping （1951：164），Rose和Smith（2002：264）和Weisstein（n.d.）中给出了渐近等效的公式。
正态总体的样本均值和样本方差相互独立。
总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数知识要点整理
● 本章重点：1．了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念，会作频数直方图和频率直方图．2．掌握均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数的计算方法．● 知识要点：1. 样本均值：∑=i x nx 1 2. 加权平均： 0,1,11>==∑∑==i ni i n i i i p p p x x3. 方差：∑∑==-=-=n i i n i i x x n x x n s 1221221)(1 标准差（均方差）2s s =4. 中位数：将数据),,2,1(n i x i=由小到大重新排列为**2*1n x x x ，，， ，其中位数（处于中间位置的数）⎪⎩⎪⎨⎧+=++为偶数为奇数n x x n x m x n n n )(21*12*2215. 众数：重复出现次数最多的那个数给定一组数据x 1, x 2, …, x n ，则这组数据的均值、方差和标准差分别为：∑==n j j x n x 11，∑=-=n j j x x n s 122)(1，∑=-=n j j x x n s 12)(1若存在一组数p 1, p 2, …, p n ，满足11=∑=n j j p ，则数据x 1, x 2, …, x n 的加权平均数为， ∑==n j j j x p n x 11● 例题示范 例1 设有一组5个数据: x 1=0.051, x 2=0.055, x 3=0.045, x 4=0.065, x 5=0.048. 记 0528.05151==∑=k k x x , 则∑=-51)(51k k x x =( )A.0B.0.0528C.150⨯.0528D. 1500000(.051.055.045.065.048)++++解 因为∑=-51)(51k k x x =∑∑==-51515151k k k x x =x x -= 0所以，应该选A ．例2 一组数据19，16，22，25，35，20，32，24的中位数是（ ）．A . 22B . 23C . 24D . 25解 因为将这组数据按大小顺序排列：35，32，25，24，22，20，19，16，所以这些数据的中位数为23)2224(21=+所以，应该选B ．例 3 设一组数据1x =0, 2x =1, 3x =2，它们的权数分别为1.01=p ,6.02=p , 3.03=p ，则这组数据的加权平均数是x = .解 加权平均数x =∑=31j j j x p =23.016.001.0⨯+⨯+⨯= 1.2 所以，应该填写：1.2。
均值
4．1．2．1 样本均值的数字特征可以证明，样本均值的数学期望（或称样本均值的均值）等于总体均值，即： (4.2)样本均值的方差有以下两种：1、当从无限总体抽样时，(4.3)2、当从有限总体不放回抽样时，(4.4)( N-n）/（N-1）称为有限总体的校正系数，通常情况下，N很大，N-1几乎等于N，所以校正系数可简化为1-n/M,方差也可简化为(4.5) ，n/N称为抽样比。
实际工作中当抽样比小于5%时，1-n/N也近似于1 ，故校正系数往往可以忽略不计。
若从有限总体放回抽样，这时，有限总体可视为无限总体，样本均值的方差(4.6)4．1．2．2 中心极限定理当总体X 服从正态分布N（μ，σ2）时，由正态分布的性质知，样本均值也服从正态分布，即∽N（μ，σ2/n）;当总体不服从正态分布时，的抽样分布又是怎么样一种情况呢？统计学中的一个极其重要的定理中心极限定理,可以回答这一问题：即无论总体的分布具有何种形式，只要样本容量n 足够大，的分布就近似标准正态分布N（0,1），因而样本均值的抽样分布，也就近似正态分布N（μ，σ2/n）。
例2:设总体有5名工人A，B，C，D，E，的日产量分别为10，20，30，40，50解：由此计算出总体平均日产量=30 总体标准差现按不考虑顺序不重复抽样的方法，随机抽取2名工人组成一个样本，则可能样本数目为（个）我们将这10个可能样本列表如下：由以上资料计算：所有可能样本均值的标准差（平均误差）= （式中m为可能样本数目）所有可能样本均值的平均数（期望值）E（）= （总体均值）又：如按不重复抽样公式计算：（与抽样平均误差概念计算结果一致）（放回抽样也是一样，这里不再举例，见教材151-153页）从以上例题和中心极限定理的意义中，我们可以得到以下几点结论：1、无论是放回或是不放回抽样，样本均值的数学期望总是等于总体的均值2、样本均值的标准差即抽样误差，总是按一定比例小于总体的标准差，而且不放回抽样的抽样误差比放回抽样的抽样误差要小；3、扩大样本容量，样本均值的标准差（抽样误差）减小4、从分布形式看，当总体为非正态分布时，样本均值的抽样分布随着样本容量的扩大而趋近于正态分布。
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σ2与总体方差σ2、样本容量n的关系是xσ2=（σ2 1.样本平均数分布的方差x
／）。
2.样本中各观察值与其平均数的差数的平方的总和为（P42 ）。
3.样本中各观察值与其平均数的差数的总和为（0 ）；样本中各观察值与平
均数的差数的平方的总和为（P42 ）。
4.一般而言，假设测验可能犯（ 2 ）类错误。
5.一般正态分布的正态离差U=（）；样本平均数分布的正态离差U=
（）。
6.一个4因素3水平试验的所有可能处理组合数为（81 ）。
7.由回归方程估计x为某一定值时条件总体平均数的95％置信区间为
（）；估计x为某一定值时条件总体预测值的95％置信区间为（）。
8.有12个处理，要进行随机区组设计，可查得随机数字表中任一页的任一行，去掉
（00 ）、（97 ）、（98 ）和（99 ）四个数字后，凡大于12的数均被12除后得余数，将重复数字划去，即得12个处理的排列次序。
9.有6个处理，每处理3次重复，用对比法设计，至少要安排（9 ）个对照。
10.有8个处理，每处理3次重复，用对比法设计，至少要安排（12 ）个对照。
11.有一个总体共有4个个体，分别为2，4，6，8，从总体中进行复置随机抽样，每次抽2
个观察值，抽出所有样本，则共有（）个可能样本；所有样本平均数分布的平均数为（），标准差为（）。
12.有一样本，其6个观察值分别为6，3，8，4，1，3；则其中数为（ 3.5 ），均
方为（22.5 ）。
13.有一样本，其6个观察值分别为7，3，8，4，2，3；则其中数为（ 3.5 ）。
14.有一样本，其6个观察值分别为7，4，8，5，2，3；则其中数为（ 4.5 ）。
15.有一样本的5个观察值为2，7，7，5，4；则其样本均方为（28.6 ）。
16.有一正态分布N(16,4),已知U0.05＝1.96，则其分布中间有95％观察值的全距为
（7.84 ）。
17.有一正态分布N（30，9），则落于24与36之间的观察值的百分数为（）。
18.有一正态分布N（36，9），已知U0.01＝2.58，则其分布中间有99％观察值的全距为
（10.32 ）。
19.有一组观察值为11，26，15，24，9，22；则其极差为（17 ）。
20.在成组数据的平均数比较时，当两样本的总体方差已知时用（u ）测验；
当两样本的总体方差未知，但可假定二者相等且为小样本时用（t ）测验。
21.在对比法和间比法试验结果的统计分析中，凡相对生产力超过（）的品种
一般可以认为显著优于对照；相对生产力仅超过（）则宜继续观察。
22.在随机区组设计中，小区的随机可借助于随机数字表来进行。
如有12个处理，可查得
表中任一页的任一行，去掉00、（97 ）、（98 ）和（99 ）四个数字后，凡大于12的数均被12除后得余数，将重复数字划去，即得12个处理的排列次序。
23.在一定的概率保证之下，估计出一个能够覆盖参数μ的区间称为（置信区
间），区间的上下限称为（置信限），区间的长度称为（），保证该区间能覆盖参数的概率（1-α）称为（置信限）。
24.在正互作时，从各因素的最佳水平推论最优组合，估计值将偏（）。
25.2χ值与观察次数O、理论次数E、分组数k的关系是2χ＝（），
2
χ分布是（）变数的理论分布。