样本均值的抽样分布
第5章--抽样分布与参数估计教案资料
(5)
(5.5)
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9
9,1
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10,9
10,10
数是 ，标准差是 ，从这个总体中抽出一 个容量是 n 的样本，则样本平均数 X 也服从 正态分布，其平均数 E( X ) 仍为 ，其标准
差为 。 X 5-19
从正态分布的再生定理可以看出，只要总体 变量服从正态分布，则从中抽取的样本，不管n 是多少，样本平均数都服从正态分布。但是在 客观实际中，总体并非都是正态分布。对于从 非正态分布的总体中抽取的样本平均数的分布 问题，需要由中心极限定理来解决。
第5章--抽样分布与参数估计
第一节 抽样的基本概念与数学原理
一、有关抽样的基本概念 二、大数定理与中心极限定理
5-2
一、有关抽样的基本概念
（一）样本容量与样本个数 1.样本容量。样本是从总体中抽出的部分
单位的集合，这个集合的大小称为样本容量， 一般用n表示，它表明一个样本中所包含的单 位数。
lim
n
1 n
p
n
i 1
X
i
1
(5.5)
5-17
大数定理表明：尽管个别现象受偶然因 素影响，有各自不同的表现。但是，对总体 的大量观察后进行平均，就能使偶然因素的 影响相互抵消，消除由个别偶然因素引起的 极端性影响，从而使总体平均数稳定下来， 反映出事物变化的一般规律。
统计学第6章统计量及其抽样分布
整理ppt
16
2. T统计量
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N～ (μ,σ2 )
n
的一个样本，
X
1 n
n i 1
Xi
(Xi X )2 s 2 i1
n 1
则 T(X) ~t(n1)
S/ n
称为T统计量,它服从自由度为(n-1)的t分布。
整理ppt
17
F分布
定义：设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服 从自由度为m和n的c2分布，随机变量X有如下表达式：
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8
中心极限定理
设从均值为，方差为2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时， 样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、 方差为σ2/n的正态分布。
当样本容量足够大时
(n≥30)，样本均值的抽样
分布逐渐趋于正态分布
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9
标准误差
标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异
1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本 均值的离散程度
因此，估计这100名患者治愈成功的比 例在85%至95%的概率为90.5%
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22
6.5 两个样本平均值之差的分布
设
X
1
是独立地抽自总体
X1 ~N(1,12)
的一个容量
为n1的样本的均值。 X 2 是独立地抽自总体
X2 ~N(2,22)的一个容量为n2的样本的均值，则有
E (X 1X 2)E (X 1) E (X 2)12
2. 样本均值的标准误差小于总体标准差
3. 计算公式为
x
n
整理ppt
10
【例】设从一个均值μ=8、标准差σ=0.7的总 体中随机抽取容量为n=49的样本。要求：
抽样分布习题
抽样分布习题1.抽样分布是指（ C ）A 一个样本各观测值的分布B 总体中各观测值的分布C 样本统计量的分布D 样本数量的分布2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ A ）。
A μ B x C 2σ D n 2σ3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ D ）。
A μ B x C 2σ D n 2σ4.从一个均值μ=10，标准差σ=0.6的总体中随机选取容量为n=36的样本。
假定该总体并不是很偏的，则样本均值x 小于9.9的近似概率为（ A ）。
A 0.1587B 0.1268C 0.2735D 0.63245.假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（ B ）A 服从非正态分布B 近似正态分布C 服从均匀分布D 服从2χ分布6.从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差（ C ）A 保持不变 B 增加 C 减小D 无法确定7. 总体均值为50，标准差为8，从此总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的抽样分布的均值和标准误差分布为（ B ）。
A 50，8B 50，1C 50，4D 8，88.某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。
由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（ B ）。
A 正态分布，均值为250元，标准差为40元B 正态分布，均值为2500元，标准差为40元C 右偏分布，均值为2500元，标准差为400元D 正态分布，均值为2500元，标准差为400元9. 某班学生的年龄分布是右偏的，均值为22，标准差为4.45，如果采取重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，则样本均值的抽样分布是（ A ）A 正态分布，均值为22，标准差为0.445B 分布形状未知，均值为22，标准差为4.45C 正态分布，均值为22，标准差为4.45D 分布形状未知，均值为22，标准差为0.44510.在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟，如果从饭店门口随机抽取100名顾客并记录他们等待出租车的时间，则该样本均值的分布服从（ A ）A 正态分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟B 正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟C 左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟D 左偏分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟11. 某厂家生产的灯泡寿命的均值为60小时，标准差为4小时，如果从中随机抽取30只灯泡进行检查，则样本均值（ D ）A 抽样分布的标准差为4小时B 抽样分布近似等于总体分布C 抽样分布的中位数为60小时D 抽样分布近似等同于正态分布，均值为60小时12.假设某学校学生的年龄分布是右偏的，均值为23岁，标准差为3岁。
抽样分布和七种理论分布
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
管理科学与工程考试：2021应用统计学真题模拟及答案(2)
管理科学与工程考试：2021应用统计学真题模拟及答案(2)共121道题1、用一组有30个观测值的样本估计模型=β1X 1i+β2 X 2i+μi后，在显著性水平0.05下对方程的显著性作检验，此检验的备择假设是（）。
（单选题）A. β0=0B. β1=β2=0C. β1=β2≠0D. β1和β2不全为0试题答案：D2、在其他条件不变的情况下，要使置信区间的宽度缩小一半，样本量应增加（）。
（单选题）A. 一半B. 一倍C. 三倍D. 四倍试题答案：C3、下列关于数据2，5，5，7，9，5，9的的说法，不正确的是（）。
（单选题）A. 平均数为5B. 中位数为5C. 众数为5D. 极差为7试题答案：A4、在其他条件不变的情况下，要使置信区间的宽度缩小一半，样本量应增加（）。
（单选题）A. 一半B. 一倍C. 三倍D. 四倍试题答案：C5、下列图形中最适合于描述结构性问题的是（）。
（单选题）A. 曲线图B. 饼图C. 折线图D. 直方图试题答案：B6、用一组有15个观测值的样本估计模型Y i=β0+β1 X i+μi ，在0.01的显著性水平下对β1的显著性进行检验，则β1显著地不等于零的条件是（）。
（单选题）A. ｜t｜＜t0.005（13）B. ｜t｜＞t0.005（13）C. ｜t｜＜t0.005（14）D. ｜t｜＞t0.005（14）试题答案：B7、在假设检验中，原假设为H0，备择假设为H1，则称（）为犯第二类错误。
（单选题）A. H0为真，接受H1B. H0为真，拒绝H1C. H0不真，接受H0D. H0不真，拒绝H0试题答案：C8、随机抽取一个n=100的样本，计算得到=60，s=15，要检验假设H0：μ=65，H1：μ≠65，检验的统计量的值为（）。
（单选题）A. －3.33B. 3.33C. －2.36D. 2.36试题答案：A9、在n=45的一组样本估计的线性回归模型，包含有4个解释变量，若计算的多重判定系数为0.8232，则调整的多重判定系数为（）。
样本均值的抽样分布(详细资料)
抽样分布根据样本统计量去估计总体参数，必须知道样本统计量分布。
定义6.2 某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n 的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对数频数分布或概率分布。
由于现实中我们不可能将所有的样本都抽出来，因此，统计的抽样分布实际上是一种理论分布。
（一）样本均值的抽样分布从单位数为N 的总体中抽取样本容量为n 的随机样本，在重复抽样的条件下共有n N 个可能的样本，在不重复抽样条件下，共有!!()!nNN C n N n =-个可能样本。
对于每一个样本，我们都可以计算出样本的均值2()x s 或或p ，因此，样本均值是一个随机变量。
所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。
[例6.4]设一个总体含有4个个体（元素），即N=4，取值分别为：12341234x x x x ====总体分布为均匀分布，如图6.1所示。
图6.1总体均值：102.54X μ=== x总体方差：22() 1.25x x nσ-==∑若重复抽样，n=2 则共有2416=个可能样本。
具体列示如表5.1.1。
表6.1 可能的样本及其均值每个样本被抽中的概率相同，均值为116样本均值的抽样分布如表5.1.2和图5.1.2所示。
样本均值x 抽样分布的形状与原有总体的分布有关，如果原有总体是正态分布，样本均值也服从正态分布。
如果总体分布是非正态分布，当x 为大样本（30n ≥）时，样本均值的分布趋于服从正态分布；当x 为小样本时，其分布不是正态分布。
下面再让我们来看看样本均值x 抽样分布的特征：数学期望和方差。
设总体共有N 个元素，其均值为μ，方差为2σ，从中抽取容量为n 的样本。
E()x x X μ=== （6.1）22xnσσ=（重复抽样） （6.2）22()1xN nn N σσ-=-（不重复抽样） （6.3）对于无限总体，样本均值的方差，不重复抽样也可按重复抽样来处理；对于有限总体，当N 很大，而/n N 又很小，修正系数1N nN --会趋于1，不重复抽样也可按重复抽样来处理。
样本均值的抽样分布定理
样本均值的抽样分布定理
样本均值的抽样分布定理，是统计学中的一种重要定理。
它的含义是：从一个
总体无限独立抽取多个完全独立的样本，随着样本量的增大，样本均值的抽样分布渐近地趋于正态分布，即抽样分布的均值趋于总体均值。
样本均值的抽样分布定理，由数学家卡尔·罗斯·克里姆森（Karl Pearson）
首先提出，即长期以来统计学家熟知的“中心极限定理”或“根均值方差定理”。
克里姆森实验设计法中，由于受试者的数量往往会受到限制，因此很多情况下，只针对猜测的总体理论分布可以抽取有限的样本，并利用此定理来预测总体的判断均值。
因此，样本均值的抽样分布定理在以往统计调查中具有广泛的应用。
例如，在
商业统计学中，对市场对特定品牌的满意度进行调查，人们可以根据样本均值的抽样分布定理，来设置一定数量的抽样容量，以得到满意度的总体趋势。
在管理学中，经理们可以通过利用这一定理，对一定的实验样本进行抽样，从而观测出客户的实际情况，并给出相应的改进措施。
从而可见，样本均值的抽样分布定理，是一种非常重要的统计原理。
在实际应
用中，可以用以预测抽样结果，并给出合理的参考建议，有助于提高统计模型的准确性，从而有效指导企业的营销策略。
抽样分布公式样本均值与样本比例的抽样分布计算
抽样分布公式样本均值与样本比例的抽样分布计算抽样分布公式是在统计学中常用的工具，用于计算样本均值和样本比例的抽样分布。
通过了解这些公式的计算方法和应用场景，可以更好地进行数据分析和推断。
本文将从理论的角度介绍样本均值和样本比例的抽样分布计算。
一、样本均值的抽样分布计算在统计学中，样本均值是指从总体中抽取的样本的平均值。
样本均值的抽样分布计算可以通过中心极限定理来实现。
中心极限定理指出，当样本量趋向无穷大时，样本均值的抽样分布逼近一个近似正态分布。
抽样分布的标准差被称为标准误差，可以通过总体标准差除以样本容量的平方根来计算。
具体公式如下：标准误差 = 总体标准差/ √(样本容量)假设总体服从正态分布，根据中心极限定理，样本均值的抽样分布近似正态分布，并且其均值等于总体均值，标准差等于标准误差。
二、样本比例的抽样分布计算样本比例是指样本中具有某种性质或特征的个体数量与样本容量的比值。
样本比例的抽样分布计算可以应用二项分布的理论。
二项分布是一种离散概率分布，适用于满足以下条件的实验：每次实验只有两个可能的结果（成功或失败），每次实验的结果相互独立，成功的概率在每次实验中保持不变。
对于一个具有成功概率 p 的二项分布，样本比例的抽样分布的均值为 p，标准差可以通过公式计算：标准差= √(p(1-p)/n)其中，n 表示样本容量。
三、样本均值和样本比例的应用场景样本均值和样本比例的抽样分布计算在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在市场调研中，可以通过对样本的均值进行抽样分布计算，来推断总体的平均水平。
同样，在制造业中，通过对样本比例的抽样分布计算，可以评估产品合格率。
此外，样本均值和样本比例的抽样分布计算还可以应用于统计推断，例如构建置信区间和假设检验。
这些方法使得我们能够基于样本数据对总体进行推断，并得出相关的结论。
结论通过抽样分布公式计算样本均值和样本比例的抽样分布，可以帮助我们做出合理的统计分析和推断。
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X ~ N ( 0 ,1 ), / n
或 X ~ N ( , 2 / n )
从正态总体中抽样得到的均值的分布也服从正
态分布, 那么从非正态总体中抽样得到的均值的
分布呢？
.
中心极限定理：
设从均值为 ，方差为（2 有限）的任意
一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分
大时，样本均值 X 的抽样分布近似服从均值
2 1
2 2
样本统计量
x
pˆ
s2
x1 x2
pˆ 1 pˆ 2
s
2 1
s
2 2
.
样本统计量的概念
设 X1,X2,L,Xn 是从某总体X中抽取的容量为 n的一个样本，如果由此样本构造一个函数
T(X1,X2,L,Xn)，不依赖任何未知参数，则称函数
T(X1,X2,L,Xn) 是一个统计量
如：
X =
为 、方差为 2 n 的正态分布。
一个任分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ，
样本均值的抽样
分布逐渐趋于正
态分布
x
X
.
不同总体分布构造均值的抽样分布
.
思考：
+ 当样本量n逐渐增大时，样本均值的抽样分 布到底发生了什么样的变化？
+ 当用样本均值估计总体均值时，平均来说 没有偏差（无偏性），即n逐渐增大时，样 本均值的期望值不发生变化；
1 n
n i 1
Xi
S2
1 n
n i1
(Xi
X)2
.
6.1.2 常用统计量
1 n
X = n i1 X i
V S/X
S2
1 n
n i1
(Xi
X)2
mk
1 n
n i 1
X
k i
vk
1 n
n i1
(Xi
X)k
3
3
n
n
(XiX)3/n
(XiX)22
i1
i1
4ni n1(XiX)4/i n1(XiX)223
样本均值的抽样分布
1 总体参数与样本统计量的对应关系 2 如何理解统计量的抽样分布 3 构造均值的抽样分布 4 样本均值的抽样分布 5 样本均值抽样分布的应用与计算
.
一、总体参数与样本统计量的对应关系
一个总体 两个总体
总体参数 均值 比例 方差
均值之差 比例之差 方差比
符号表示
P
2
1 2
P1 P2
.
二、如何理解统计量的抽样分布
+ 你认为 x 会恰好等于总体均值 吗？
+ 如果又抽取一个样本，它的均值会与第一 个样本均值相等吗？它又会与总体均值相 等吗？
+ 怎样才叫“接近”？如何测量接近的程度？ + 重复抽样得到的统计量是如何分布的？ + 样本统计量的抽样分布是所有来自同一总
体、容量完全相同的样本在某一个统计量 上的取值的概率分布情况
+ 例2b：沿用以上幼儿园孩子身高的例子， 对于容量为100的样本均值抽样分布而言， 我们可以计算出样本均值落在中间90%区间 上的两个端点值
.
.
样本均值的分布与总体分布的比较
总体分布
.3
.2
.1 0
1
234
= 2.5
σ2 =1.25
.3 P ( x ) 抽样分布
.2
.1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
x 2.5
x2 0.625
.
小结
+ 计算总体的均值和标准差 + 计算所有可能的样本均值 + 构造样本均值的抽样分布 + 计算抽样分布的均值、方差 + 将样本和总体的均值、方差进行比较，发
+ 当n越来越大时， 样本均值的标准差变小， 即样本均值分布变窄，其分散程度越来越 小，意味着样本均值对总体均值的估计越 来越准确
.
五、样本均值抽样分布的应用与计算 + 计算样本均值的概率 + 根据样本均值的概率计算其所在的区间
.
例1.设从一个均值为10，标准差为0.6的总体 中随机选取容量为36的样本。假设该总体 不是很偏，要求：
P X 9 .9 1 P X 9 .9
P9.9X10.1P9.90 .110X0 .11010.0 1. 110
211
.
+ 例2a:某国际幼儿园孩子身高近似服从正态 分布，均值为39英寸，标准差为2英寸，抽 取由25个孩子构成的随机样本，那么样本 均值落在38.5到40.0之间的概率是多少？
现了什么吗？
.
四、样本均值的抽样分布——任意 总体
+ 对于任意分布总体，当总体期望值为 ， 方差为 2 ，则样本均值的期望值为 ， 方差为 2 n
用公式表示为：
E(x) x
2 x
2
n
x
n
2
.
样本均值的抽样分布——正态总体
当总体分布为正态分布 N ,2时，可以
得到下面的结果：X 的抽样分布仍为正态分布， 数学期望为 ，方差为 2 n ，则
（1）计算样本均值小于9.9的近似概率 （2）计算样本均值超过9.9的近似概率 （3）计算样本均值在总体均值附近0.1范围内
的近似概率
.
根据中心极限定理，不论总体分布是什么形 状，当n充分大时，样本均值的分布近似服从 正态分布 X~N(1,00.62/3)6
P X 9 .9 P X 0 .1 1 0 9 .9 0 .1 1 0 1 1 1
.
样本均值的抽样分布
.
三、构造均值的抽样分布
【例】设一个总体，含有4个元素（个体）， 即总体单位数N=4。4 个个体分别为X1=1、 X2=2、X3=3 、X4=4 。 总体的均值、方差及分布如下
N 1i n1Xi 12 434=2.5
2N 1i n1(Xi )2
12.5222.5232.5242.52
=
1.25
4
.
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重 复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本 的结果如下表
.
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本 均值的抽样分布
xM 1i n 1xi1 .0 1 .5 1 6 L 4 .02 .5
x 2 M 1 i n 1 ( x i x ) 2 ( 1 .0 2 .5 ) 2 L 1 6 ( 4 .0 2 .5 ) 2 0 .6 2 5 n 2