初中数学知识点:一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用

一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1.一元二次方程的根的判别式:b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.通常用符号“Δ”来表示.2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.反过来也成立.3.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-ab,x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q【基础知识讲解】1.根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ=b2-4ac,而不是指Δ=acb42 .3.根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的,因此,必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况.要注意方程中各项系数的符号.4.如果说一元二次方程有实根,那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况,此时b2-4ac≥0,不要丢掉等号.5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是:(1)二次项系数a≠0,即保证是一元二次方程;(2)由于我们目前只研究实数根的问题,故还要考虑实数根存在的前提,即:b2-4ac≥06.判别式有以下应用:(1)不解方程,判定一元二次方程根的情况;(2)根据一元二次方程根的情况,确定方程中未知系数的取值范围;(3)应用判别式进行有关的证明.根与系数的关系有以下应用:(1)已知一根,求另一根及求知系数;(2)不解方程,求与方程两根有关的代数式的值;(3)已知两数,求以这两数为跟的方程;已知两数的和与积,求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1:不解方程,判别下列方程的根的情况:(1)3x2-2x-1=0;(2)y2=2y-4;(3)(2k2+1)x2-2kx+1=0;(4)9x2-(p+7)x+p-3=0.(系数中有字母的情况)解:(1)∵Δ=(-2)2-4×3×(-1)=4+12>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(2)原方程就是y2-2y+4=0.∵Δ=(-2)2-4×1×4=4-16<0,∴原方程无实数根.(3)∵2k2+1≠0,∴原方程为一元二次方程.又∵Δ=(-2k)2-4(2k2+1)×1=-4k2-4<0,∴原方程无实数根.(4)Δ=[-(p+7)]2-4×9×(p-3)=(p-11)2+36,∵不论p取何实数,(p-11)2均为非负数,∴(p-11)2+36>0,即Δ>0,∴原方程有两个不相等的实数根.升级:如果关于x的方程x2+2x=m+9没有实数根,试判断关于y的方程y2+my-2m+5=0的根的情况.这是一类需要自己找出隐含条件的题解:∵x2+2x-m-9=0没有实数根,∴Δ1=22-4(-m-9)=4m+40<0,即m<-10.又y 2+my -2m +5=0的判断式Δ2.Δ2=m 2-4(-2m +5)=m 2+8m -20 当m <-10时,m 2+8m -20>0,即Δ2>0.∴方程y 2+my -2m +5=0有两个不相等的实数根. 类型2:1.已知关于x 的一元二次方程(k -1)x 2+2kx +k +3=0.k 取什么值时, (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解:Δ=(2k )2-4(k -1)(k +3)=-8k +12.(1)当-8k +12>0,且k -1≠0,即k <23且k ≠1时,方程有两个不相等的实数根;(2)当-8k +12=0,且k -1≠0,即k =23时,方程有两个相等的实数根;(3)当-8k +12<0,且k -1≠0,即k >23时,方程没有实数根.说明:当已知方程为一元二次方程时,要特别注意隐含的条件:二次项系数不等于零.2.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根,则此三角形为( )A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解:原方程可化为(a+c )x 2+2bx +a-c =0,Δ=(2b)2-4(a +c )(a -c )=0得到a 2=b 2+c 2,因此此三角形为直角三角形。
人教版同步教参数学九年级-一元二次方程:根的判别式和根与系数的关系

一元二次方程第2节 根的判别式和根与系数的关系【知识梳理】1、一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ,用配方法可得222442a ac b a b x -=+)(ac b 42-=∆称为根的判别式0>∆,则方程有两个不相等的实数根 0<∆,则方程没有实数根0=∆,则方程有两个相等的实数根反过来也成立。
2、一元二次方程根与系数的关系如果21,x x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根, 则acx x a b x x =-=+2121 【诊断自测】1.一元二次方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 的关系:。
2.若方程3x 2−4x −4=0的两个实数根分别为x 1,x 2,则x 1+x 2=( ) A .−4B .3C .−43D .433.已知x 1、x 2是一元二次方程x 2−4x+1=0的两个根,则x 1•x 2等于( ) A .−4B .−1C .1D .44.已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6−2x 的两根,则x 1−x 1x 2+x 2的值是( )A .B .83C .−83D 【考点突破】类型一:根的判别式常见题型1、已知关于x的方程x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m﹣1)2+(3+m)(3﹣m)+7m﹣5的值(要求先化简再求值).答案:见解析。
解析:(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0.∴△=(2m+1)2﹣4m(m+1)=1>0,∴方程总有两个不相等的实数根;(2)∵x=0是此方程的一个根,∴把x=0代入方程中得到m(m+1)=0,∴m=0或m=﹣1,∵(2m﹣1)2+(3+m)(3﹣m)+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5,把m=0代入3m2+3m+5得:3m2+3m+5=5;把m=﹣1代入3m2+3m+5得:3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5.例2、已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣)=0(1)求证:无论k取何值,这个方程总有实数根;(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.答案:见解析解析:对于等腰三角形,需要讨论a是腰还是底边。
一元二次方程根与系数的关系公式有哪些

⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些
韦达定理指出了⼀元⼆次⽅程根与系数的关系,让我们⼀起来了解⼀下吧。
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⼀元⼆次⽅程根与系数的关系
韦达定理指出:⼀元⼆次⽅程中两根的和等于它的⼀次项系数除以⼆次项系数所得的商的相反数;两根的积等于它的常数项除以⼆次项系数所得的商。
设⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0中(a,b,c∈R,a≠0),设此⼀元⼆次⽅程有两根x₁、x₂,有如下关系:
由⼀元⼆次⽅程求根公式如下:
达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
⼀元⼆次⽅程的根的判别式为:△=b2-4ac(a,b,c分别为⼀元⼆次⽅程的⼆次项系数,⼀次项系数和常数项)。
根的判别式是判定⽅程是否有实根的充要条件,韦达定理说明了根与系数的关系。
⽆论⽅程有⽆实数根,实系数⼀元⼆次⽅程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合,则更有效地说明与判定⼀元⼆次⽅程根的状况和特征。
韦达定理为数学中的⼀元⽅程的研究奠定了基础,对⼀元⽅程的应⽤创造开拓了⼴泛的发展空间。
已知两个根其中的⼀个,就可以代⼊韦达定理的关系式⾥求得另⼀个根,并且还可以⽤另⼀个关系式来检验。
3、一元二次方程判别式、根与系数的关系

关于x的方程ax2-2x+1=0中,如果a<0,那么根的情况是 .
方程2x(mx-4)=x2-6没有实数根,则最小的整数m= .
已知方程(b-x)2-4(a-x)(c-x)=0(a,b,c为实数)。求证: (1)此方程必有实根; (2)若方程有两个相等的实数根,则a=b=c.
若方程(c2+a2)x+2(b2-c2)x+c2-b2=0有两个相等的实数根,且a,b,c 是三角形ABC的三边,证明此三角形是等腰三角形。
已知r1,r2,d均大于零且方程x2-2r1x+r22+r1d-r2d=0有相等的实数根, 求证:r1=r2或r1+r2=d.
根与系数的关系:
若关于x的方程(m2-2)x2-(m-2)x+1=0的两个根互为倒数,则m=
以方程 x2+2x-3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是 。
如果x1、x2是方程两个不相等实数,且满足x12-2x1=1,x22-2x2=1,那么 x1x2= . 已知x1,x2是方程2x2-7x+4=0的两根,则x1+x2= ,x1x2= ,(x1-x2)2= 。
一元二次方程 根与系数的关系
一元二次方程一般式:ax2+bx+c=0(a≠0)
根的判别式:
1、不解方程,判别下列方程根的情况:
(1)x2-5=0
(2)9x2-6√2x+2=0
(3)x2-x+2=0
当m= 当m
时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根; 时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根;
求证:方程(x-a)(x-a-b)=1有两个实数根,其中一个大于a,另一个 小于a.
一元二次方程判别式和根与系数的关系

一元二次方程(2)★★知识点精讲1. 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为△= . (1)△>0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即=2,1x .(2)△ = 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即==21x x .(3)△<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.(4)△ ≥ 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2. 一元二次方程根与系数的关系(1)如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ,2x ,那么=+21x x ,=⋅21x x .(2)如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q =0的两个根是1x ,2x ,那么=+21x x ,=⋅21x x .3. 不解方程,求二次方程的根x 1,x 2的对称式的值,特别注意以下公式:①222121212()2x x x x x x +=+- ; ②12121211x x x x x x ++= ; ③22121212()()4x x x x x x -=+- ; ④2121212||()4x x x x x x -=+-.★★典例讲解及思维拓展 ●例1.不解方程,判定方程根的情况(1)x 2-7x-18=0 ; (2)9x 2+6x+1=0;(3)2x 2=9x-8 ; (4)16x 2+8x=-3 .★刘老点津★ 1.使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2.按照“一求二判”的思路来完成。
“一求”是指第一步求方程中“△”的值,“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。
●例2.求证:不论k 取什么实数,方程x 2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.练习和拓展及思维能力提升1 1、(1)下列方程中,有两个不相等实数根的是( )A .2x -2x-1=0 B. 2x -2x+3=0 C. 2x =23x-3 D. 2x -4x+4=0(2)关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根,则m 的值是( ) A .0B .8C .42±D .0或8(3)关于x 的一元二次方程2x -mx+(m-2)=0的根的情况是( )A .有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C .没有实数根 D.无法确定 (4)如果关于x 的一元二次方程2k 2x -(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是( ) A.k>-14 B.k>-14且k ≠0 C.k<-14 D.k ≥-14且k ≠0 2、 m 为何值时,方程0m x 10x 32=+- ①有两个相等的实数根;②无实数根;③有两个不相等的实数根.●例3.已知x x 21,是方程01322=-+x x的两个根,不解方程,求下列代数式的值.xx 2122)1(+ ; xx2111)2(+ ;)3)(321)(3(--x x ;))(4(212x x - ;x x x x 212122)5(⋅+⋅ ; xxx x 2112)6(+ .★刘老点津★ 1.运用根与系数的关系,求某些代数式的值,关键是将所求的代数式恒等变形为用x 1+x 2和x 1x 2表示的代数式.2.求关于一元二次方程的根的代数式的值的方法:遇平方,先配方;遇括号,先展开;遇分式,先通分;遇公因式,先提出;遇两根差,先平方,再开方。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系

一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点,在中考中占有重要的地位,纵观近年全国各地的中考试题,这个知 识点的考查可以解决以下几个问题:
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1,x 2,那么
J.特哈依琦妖女音速般地用自己有飘;广州漫沛科技有限公司-麻将 / 广州漫沛科技有限公司-麻将;带的皮肤窃取出淡蓝色壮观摇晃的菱角,只 见她瘦长的嫩黄色细小瓜秧造型的胡须中,突然弹出五簇摆舞着『青丝香神灯泡剑』的仙翅枕头砖状的羽毛,随着女武师J.特哈依琦妖女的颤动,仙翅枕头砖状的羽毛像鱼 卵一样在双手上高雅地克隆出片片光柱……紧接着女武师J.特哈依琦妖女又发出八声浅紫色的震撼怒嚷,只见她淡绿色门柱似的舌头中,威猛地滚出五片喷头状的温泉锡肝 鸭,随着女武师J.特哈依琦妖女的耍动,喷头状的温泉锡肝鸭像报亭一样,朝着月光妹妹雪国仙境一样的玉牙神跃过来……紧跟着女武师J.特哈依琦妖女也斜耍着兵器像 地砖般的怪影一样向月光妹妹神跃过来月光妹妹飘然像浅黑色的荡泪沙海贝一样狂哼了一声,突然弄了一个盘坐疯耍的特技神功,身上闪眼间生出了六只仿佛排骨般的纯蓝色 手臂。接着忽悠了一个,舞贝柴刀滚一千四百四十度外加凤笑鸭掌转九周半的招数!接着又秀了一个,直体贝颤前空翻三百六十度外加瞎转八十一周的粗犷招式!紧接着甩动 明爽灿烂的嫩月脸一笑,露出一副虚幻的神色,接着转动轻灵雅秀的妙耳朵,像纯黑色的百心旷野蟒般的一抛,古怪的轻灵似风的玉臂顷刻伸长了五倍,清丽超脱的梦幻气质 也骤然膨胀了六倍……最后晃起空灵玉白的嫩掌一耍,轻飘地从里面跳出一道怪影,她抓住怪影疯狂地一抖,一套蓝冰冰、白惨惨的兵器⊙绿烟水晶笛@便显露出来,只见这 个这玩意儿,一边蜕变,一边发出“喇喇”的猛声……飘然间月光妹妹音速般地用自己极似玉白色天穹样的额头总结出青兰花色急速闪耀的泳圈,只见她颊如流光樱花般的嫩 月脸中,酷酷地飞出四道颤舞着⊙绿烟水晶笛@的仙翅枕头剑状的光盘,随着月光妹妹的扭动,仙翅枕头剑状的光盘像刀峰一样在双手上高雅地克隆出片片光柱……紧接着月 光妹妹又发出二声残明色的荒凉大嚷,只见她水嫩香柔的粉颈中,飘然射出五团耍舞着⊙绿烟水晶笛@的野猫状的旷野银眼狗,随着月光妹妹的甩动,野猫状的旷野银眼狗像 面具一样,朝着女武师J.特哈依琦妖女怪异的牙齿神跃过去……紧跟着月光妹妹也斜耍着兵器像地砖般的怪影一样向女武师J.特哈依琦妖女神跃过去随着两条怪异光影的 瞬间
一元二次方程的判别式及跟与系数的关系

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1.定义:在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中,只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根.这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式,记作△.2.判别式与根的关系:在实数范围内,一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定. 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0,其根的判别式为:△b ac 2=−4,则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12.②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2. ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根. 特殊的:(1)若a ,b ,c 为有理数,且△为完全平方式,则方程的解为有理根;(2)若△为完全平方式,同时b −±2a 的整数倍,则方程的根为整数根.【例1】(1)不解方程,直接判断下列方程的解的情况: ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02(m 为常数)(2)已知a 、b 、c 分别是三角形的三边,则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是( ) A .没有实数根B .可能有且只有一个实数根C .有两个相等的实数根D .有两个不相等的实数根【解析】(1)①△>0,有两个不等实根;②△=0,有两个相等实根; ③△<0,无实根;④△m 2=+1>0,方程有两个不等实根. (2)由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0,c a b −−<0,故方程没有实根.选A .【点评】这道题(1)主要考察判别式与根的关系,属于特别基础的题,锻炼孩子们的思维,(2)结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系.【例2】(1)若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根,则k 的取值范围为______. 【解析】(1)≥k 0且≠k 1;【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根,则k 的非负整数值是( ) A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示:根据题意得:△=16﹣12k≥0,且k≠0,解得:k≤,且k≠0. 则k 的非负整数值为1.【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根,则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根,所以,解得, 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0,即, ∴ m 的取值范围是且m≠1. 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0,即,m≠1.【例3】已知:关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围______.≤k −1<2且k 1≠2, 由题意,得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩,解得≤k −1<2且k 1≠2;2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠>-且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0.(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a 的取值范围; (2)当该方程的一个根为1时,求a 的值及方程的另一根. 【思路点拨】(1已知方程有两个不相等的实数根,即判别式△=b 2﹣4ac >0.即可得到关于a 的不等式,从而求得a 的范围.(2)设方程的另一根为x 1,根据根与系数的关系列出方程组,求出a 的值和方程的另一根. 【答案与解析】解:(1)∵b 2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×(a ﹣2)=12﹣4a >0,解得:a <3.∴a 的取值范围是a <3;(2)设方程的另一根为x 1,由根与系数的关系得:,解得:,则a 的值是﹣1,该方程的另一根为﹣3.【变式3-2】关于x 的一元二次方程(k ﹣1)x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是 .【思路点拨】此题要考虑两方面:判别式要大于0,二次项系数不等于0. 【答案】k <2且k≠1;【解析】解:∵关于x 的一元二次方程(k ﹣1)x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根, ∴k ﹣1≠0且△=(﹣2)2﹣4(k ﹣1)>0, 解得:k <2且k≠1. 故答案为:k <2且k≠1.【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时,方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根?(3)要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根,则必有△≥0,即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20,得()()a b a 22+2+−1≤0.又因为()()a b a 22+2+−1≥0,所以()()a b a 22+2+−1=0,得a =1,b 1=−2.【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根,求代数式a a a21−2+1+的值.【解析】由题,一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根, 所以a a 2−3+1=0.所以有a a a 2−2+1=,a a 2+1=3.代入a a a21−2+1+,得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3.【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合,难度不大.【变式4-2】m 为任意实数,试说明关于x 的方程x 2-(m-1)x-3(m+3)= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3)]=m 2+10m+37=(m+5)2+12>0,∴关于x 的方程x 2-(m-1)x-3(m+3)= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中,A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ,已知a =3,b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根,求△ABC 的周长.【解析】当b c =时,方程有两个相等的实数根,则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭,∴m 1=−4,m 2=2.若m =−4,原方程化为x x 2−4+4=0, 则x x 12==2,即b c ==2, ∴△ABC 的周长为2+2+3=7. 若m =2,原方程化为x x 2+2+1=0, 则x x 12==−1,不合题意.当a b =或a c =时,x =3是方程的一个根, 则m m 19+3+2−=02,则m 22=−5,原方程化为x x 22221−+=055,解得x 1=3,x 27=5, ∴ABC △的周长为7373+3+=55.综上所述,ABC △的周长为7或375. 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力,应对多种情况是要理清思路.要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1.韦达定理:如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1,x 2,则b x x a 12+=−,cx x a12=.(使用前提:△≥0)特别地,当一元二次方程的二次项系数为1时,设x 1,x 2是方程x px q 2++=0的两个根,则x x p 12+=−,x x q 12=. 2.韦达定理的逆定理:如果有两个数x 1,x 2满足b x x a 12+=−,cx x a12=,那么x 1,x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根.特别地,以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是()x x x x x x 21212−++=0. 3.韦达定理与根的符号关系:在△≥b ac 2=−40的条件下,我们有如下结论: (1)当ca<0时,方程的两根必一正一负. ①若≥b a −0,则此方程的正根不小于负根的绝对值;②若ba−<0,则此方程的正根小于负根的绝对值.(2)当ca>0时,方程的两根同正或同负. ①若b a −>0,则此方程的两根均为正根;②若ba−<0,则此方程的两根均为负根.注意:(1)若ac <0,则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根.(2)若ac >0,方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根.【例6】(1)已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2,则方程的另一根______x 2=.(2)已知x 1,x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根,则:①x x 2212+;②()()x x 12−2⋅−2;③x x x x 221122+⋅+;④x x x x 2112+;⑤x x 12−;⑥x x 2212−;⑦x x 1211−.【解析】(1)−4;(2)()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7, ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1, ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8,x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1,()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5,∴x x 12−=,∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==.【点评】第三小题,主要是考察韦达定理的灵活运用,包含了各种变形情况.【例7】(1)已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1,x 2,且x x x x 121211+=+,求k 值.(2)已知x 1,x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根,是否能适当选取a 的值,使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54.【解析】(1)∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1,x 2,∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得:≤k 74. 由韦达定理得,()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩. ∵x x x x 121211+=+,∴x xx x x x 121212++=,x x 12+=0或x x 12=1,当x x 12+=0时,k 3−2=0,k 3=2,∵k 37=<24,所以k 3=2符合题意. 当x x 12=1时,k 2−3=1,k =±2,∵k 7≤4,∴k =2舍去.∴k 的值为32或−2. (2)显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0, 由韦达定理知x x 12+=1,a x x a12+4=4, 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44,∴a =9,这与0a <矛盾, 故不存在a ,使()()x x x x 12215−2⋅−2=4. 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程,以及有两个实根,解出来别忘了限制条件,这种类型的题比较常见,一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件.【例8】(1)若m ,n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根,则m m n 2+2+−1的值为________.(2)已知a ,b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根,则a ab a b 2−+3+的值为__________.(3)已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根,则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________.【解析】(1)∵m ,n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根,∴m n +=−1,m m 2+−1=0,则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1,(2)∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根,∴a a 2+2−5=0,∴a a 2=5−2,∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5, ∵a ,b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根,∴a b +=−2,ab =−5,∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8. 故答案为8.(3)∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根,∴m n +=−2016,mn =7;∴m m 2+2016+7=0,n n 2+2016+7=0,()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是:2008.【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用,进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解.【例9】(1)已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数,则k 的取值范围是_________.(2)已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数,则k 的取值范围是__________.【解析】(1)此方程两实根为,x x 12,由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥,∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤.(2)此方程两实根为,x x 12,由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩,得:∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3. 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况,这类题是比较常见一类题,要将这种不等的思想传授给孩子.【课后作业】1.已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围为_____________. A .k 1≥4 B .k 1>4且≠k 1 C .k 1<4且≠k 1 D .k 1≥4且≠k 1【解析】B .2.已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围__________.3.关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根,则m 的取值范围__________.【解析】2.由题意可知,原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3.又≥≤m m 1−0⇒1, 故≤m 1−<13.3.题设中的方程未指明是一元二次方程,还是一元一次方程,所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0,两种情形讨论:当m 2−4=0即m =±2时,()m 2+1≠0,方程为一元一次方程,总有实根; 当m 2−4≠0即m ≠±2时,方程有根的条件是: [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0,解得m 5≥−2.∴当m 5≥−2且m ≠±2时,方程有实根.综上所述:当m 5≥−2时,方程有实根.4.已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0. (1)求证:无论k 为何值,方程总有实根;(2)若等腰ABC △,底边a =3,另两边b 、c 恰好是此方程的两根,求ABC △的周长.【解析】(1)()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30,∴无论k 为何值,方程总有实根.(2)当a =3为底,b ,c 为腰时,b c =,∴方程有两个相等的实根,∴∆=0,即()k 2−3=0,k =3,此时方程为x x 2−4+4=0,解x x 12==2,∴ABC △的周长为3+2+2=7,当a =3为腰,则方程有一根为3,将x =3代入方程,得k =4,方程为x x 2−5+6=0,解得x 1=2,x 2=3,∴ABC △的周长为2+3+3=8,综上所述,ABC △的周长为7或8.5.关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2,则方程的另一根是_______;k =________.6.已知a ,b ,c 为正数,若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根,那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是( ) A .有两个不相等的正实数根 B .有两个异号的实数根 C .有两个不相等的负实数根D .不一定有实数根7.设α,β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根,则ααβ2+4+=________.【解析】5.设另一根为x ,由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组,解之即得.x 5=2,k =−1. 6.a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2, ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根, ∴≥b ac 2−40, ∴b ac 2−2>0,∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根,而两根之和为负,两根之积为正. 故有两个负根.故选C .7.∵α,β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根, ∴αβ+=−3,αα2+3−7=0, ∴αα2+3=7,∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4,故答案为:4.11 8.已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求m 的值.【解析】有实数根,则∆≥0,且x x x x 221212+−=16,联立解得m 的值.依题意有:()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩,解得:m =−1或m =−15且m 9≥−4, ∴ m =−1.韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
8一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识讲解基础

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(基础)【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况,由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围;2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式222)?0c?0(aax?0(a?0)?bx?cax?bx?acb?4的叫做一元二次方程中,一元二次方程2ac4b????根的判别式,通常用“”来表示,即 2个不相等的实数根;1()当△>0时,一元二次方程有 2个相等的实数根;2)当△=0时,一元二次方程有(. <0时,一元二次方程没有实数根(3)当△要点诠释:cb.a,②确定利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤:①把一元二次方程化为一般形式;22ac?4b?4acb. 的符号判定方程根的情况的值;③计算的值;④根据一元二次方程根的判别式的逆用 2.??200?aax?bx?c?在方程中,?2ac?4b0(1)方程有两个不相等的实数根;﹥?2ac4b?;=0(2)方程有两个相等的实数根?2ac?4b0.)方程没有实数根﹤(3要点诠释:(1)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围,但不能忽略二次项系数不为0这一条件;2ac4?b0. ≥ 2()若一元二次方程有两个实数根则【典型例题】类型一、的应用一元二次方程根的判别式1.不解方程,判断下列方程的根的情况:≠0)(1)2x+3x-4=022 (2)ax+bx=0(a【答案与解析】2+3x-4=0 (1) 2xa=2, b=3, c=-4,×2×(-4ac=3- ∵Δ=b.22-4)=41>0 4∴方程有两个不相等的实数根(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零,22,0=b ∵Δ=b-4·a·b ∵无论b2均为非负数,取任何关数,. 故方程有两个实数根∴Δ≥0,2ac4b?. 的符号判定方程根的情况【总结升华】根据举一反三:(1)】【高清ID号:388522 关联的位置名称(播放点名称):判别含字母系数的方程根的情况---例222?1xaax???0 .】不解方程,判别方程根的情况:【变式. 无实根【答案】2的kx?2.(2015本溪)关于x的一元二次方程(k﹣1)﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数取值范围是.0.此题要考虑两方面:判别式要大于0,二次项系数不等于【思路点拨】k≠1;2【答案】k<且2)x﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,1【解析】解:∵关于x的一元二次方程(k﹣2﹣﹣)4(k1)>0,=≠∴k﹣10且△(﹣2 .≠2且k1<解得:k 2且k≠1.故答案为:k<. 0这一条件【总结升华】不能忽略二次项系数不为举一反三: ID【高清号:388522 关联的位置名称(播放点名称)】---例3:证明根的情况2.恒有两个不相等的实数根)((x x】m为任意实数,试说明关于的方程-m-1)x-3m+3= 0变式【222>+10m+37=(m+5))×=[-(m-1)]∵【答案】Δ-4[-3(m+3]=m+120,2 x-3)m-1-x的方程∴关于x((= 0)m+3恒有两个不相等的实数根.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系2xx,)?00?bx?c?(aax的两个实数根是如果一元二次方程,21bcx?x?x?x?. 那么,2112aa注意它的使用条件为a≠0,Δ≥0.也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根.不解方程,利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根;(2)已知方程的一个根,求方程的另一根及未知系数;(3)不解方程,可以利用根与系数的关系求关于x、x的对称式的值.此时,常常涉及代数式的一些21重要变形;如:222x?x?(x?x)?2xx;①212211x?x1121??;②xxxx221122xx?xx?xx(x?x);③22221111222xx?xx?2xx(x?x)22112121???;④xxxxxx21221122(x?x)?(x?x)?4xx;⑤2121212?xx?k(x?x)?k)kx(x?k)(?;⑥22112122x?4x?(x?x)||x?x?(x?x);⑦21112221222x??2xx?(xx)x11221112???;⑧22222)x(xxxxx22112122x?4x?(x?x)??x?x?(x?x)⑨;211212212222?2xx?2|xx|)?x?||+2?|)x?|(|x|?x|x?||x|?xxx(x.⑩222已知方程的两根,求作一个一元二次方程;(4).以两个数为根的一元二次方程是已知一元二次方程两根满足某种关系,确定方程中字母系数的值或取值范围;(5).. )利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号(620)c?0(a?ax?bx?xx的两根为设一元二次方程,则、210xx?时,两根同号.①当△≥0且210?x?xxx?0当△≥0且时,两根同为正数;,21120?x?xxx?0时,两根同为负数.0且,当△≥22110?xx时,两根异号.0且②当△>210x??xx?0x,时,两根异号且正根的绝对值较大;当△>0且21120x?xx?0x?时,两根异号且负根的绝对值较大.当△>0且,2211要点诠释:.一些考试中,往1)利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后,一定要验证方程的(?往利用这一点设置陷阱;)若有理系数一元二次方程有一根.,则必有一根(,为有理数)(2b?a?abba类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用20kx5x??6?的一个根是2,求另一个根及k的值.3.已知方程【思路点拨】代入原方程,可求k的值,再由根与系数的关系求出方程的另外一个根.x根据方程解的意义,将=2 【答案与解析】方法一:设方程另外一个根为x,则由一元二次方程根与系数的关系,136k?xx?2??2x??? 7.,,得,从而解得:k=-1115552.=-7+2k-6=0,从而2 方法二:将x=2代入方程,得5×k x设另外一根为,则由一元二次方程根与系数的关系,137?2?xx??得,,从而11553?故方程的另一根为-,k的值为7.5cb??xxx?x?易得另一根及,k根据一元二次方程根与系数的关系【总结升华】的值.2211aa举一反三:2---【高清课堂:一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(二)例】2c0x?x2??c3的一个根是,求它的另一根及的值.】已知方程【变式c.-3的值为;-1另一根为【答案】.2.m+2)x+2=0咸宁)已知关于x的一元二次方程mx﹣(4.(2015?为何值时,方程总有实数根;1)证明:不论m(为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.2)m(【答案与解析】28m ﹣△=(m+2)解:(1)24m+4﹣=m2,(m﹣2)=2,2)≥0m∵不论m为何值时,(﹣,∴△≥0 ∴方程总有实数根;2)解方程得,,x=(2,x=1,x= 21m∵方程有两个不相等的正整数根,∴m=1或2,m=2不合题意,∴m=1.【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用,此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根.【巩固练习】一、选择题1. 下列方程,有实数根的是( )203?2x?x?2222 0 D.x-0.1x-1=0 C=0 B.x+3x+21=.2xA.+x+1220)??0(aax?bc?cac4b?有两个不相等的实数根,则).一元二次方程2满足的条件是(22220b?4ac?4ac?0b?4ac?0??b4ac?0b.. DA. B. C2))x﹣2x+2=0有实数根,则整数a的最大值为(1(3.2015?贵港)若关于x的一元二次方程(a﹣0 C.1 D.2 B.A.﹣12x,x0?2x?x3?的说法正确的是(4.关于方程的两根)212?x??2x?x?x?x?3x? D.C. B.无实数根A. 2122112+4x+k=0有实数解,则k的取值范围是()x5.关于的一元二次方程xD.k=4>4 B.A. k≥4 k≤4 C.k22????)(?02x3x?6??.)的值为(,则、的两根为.一元二次方程6.A.3 B.6 C.18 D.24二、填空题2.kx﹣4x ﹣=0有实数根,则k的取值范围是(7.2015?酒泉)关于x的方程11??2??_______,?=______x,则x+x=______,xx,x8.已知3x-2x-1=0的二根为,222111xx2122=________. x+x=_______,x-x2112,则代数式的值是。
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初中数学知识点:一元二次方程根的判别式及根与系数的关
系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示,即
(1)当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;
(2)当△=0时,一元二次方程有2个相等的实数根;
(3)当△<0时,一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是, 那么,. 注意它的使用条件为a ≠0, Δ≥0.
要点诠释:
1.一元二次方程
的根的判别式正反都成立.利用其可以解决以下问题:
(1)不解方程判定方程根的情况;
(2)根据参系数的性质确定根的范围;
(3)解与根有关的证明题.
2. 一元二次方程根与系数的应用很多:
)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆)0(02≠=++a c bx ax 21x x ,a b
x x -=+21a
c x x =21
(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;
(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;
(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.。