改进灰狼优化算法的研究与分析
一种改进多目标灰狼优化算法的多无人机任务分配
一种改进多目标灰狼优化算法的多无人机任务分配多目标灰狼优化算法是一种用于解决多目标优化问题的优化算法。
将其应用于多无人机任务分配问题中，可以有效地解决该问题。
本文将介绍多目标灰狼优化算法以及如何改进该算法来解决多无人机任务分配问题。
一、多目标灰狼优化算法多目标灰狼优化算法是灰狼优化算法（Gray Wolf Optimization，GWO）的扩展版本。
作为一种全局优化算法，GWO 模拟了灰狼在群体中搜索目标的行为。
在GWO 中，每只狼代表一个候选解，狼的位置表示该解的属性值。
每只狼都有一个目标函数值，这些目标函数值可以看作是狼的生存能力指标。
GWO 的搜索过程是通过不断地更新狼的位置（解的属性值）来实现的。
在更新位置的过程中，狼会受到其它狼的影响，以此提高全局搜索能力。
多目标灰狼优化算法是将GWO 扩展到多目标优化问题中的版本。
在这个算法中，每只狼都有多个目标函数值，因此每只狼都被描述为一个可行解向量。
直接应用GWO 算法来解决多目标优化问题时，需要将多个目标函数转化成一个综合目标函数。
这种转化方式可能会导致一些重要的目标函数被忽略，影响了搜索效果。
因此，多目标灰狼优化算法被提出来，避免了这个问题。
二、多无人机任务分配问题多无人机任务分配问题是指，在多个无人机和多个任务之间进行任务分配的问题。
其目标是最大化分配完成的任务数量，同时最小化完成任务所需的时间和能量消耗。
在该问题中，每个无人机都有一组任务，每个任务都有一个时间窗口（任务完成的时间限制），并且每个任务的特定属性对无人机有不同的影响。
任务分配的目标是使得每个无人机可以在时间和能量的限制下完成分配给他们的任务。
三、改进多目标灰狼优化算法来解决多无人机任务分配问题将多目标灰狼优化算法应用于多无人机任务分配问题时，需要将无人机和任务之间的关系转化为一组可行解向量。
每一个解向量表示一个无人机和任务之间的匹配。
这些解向量可以被描述为一个NP 问题中的解。
改进灰狼优化算法的研究
2020.16科学技术创新改进灰狼优化算法的研究凌颖杨春燕黎新宾冬梅余通（广西电网有限责任公司电力科学研究院，广西南宁530023）1概述灰狼优化算法（GWO ）[1]是由澳大利亚学者Mirjalili 提出的一种模仿大自然中灰狼群体捕食行为的群智能优化算法。
基本的灰狼优化算法中，灰狼分为4个不同的种群：α，β，δ和ω。
其中种群ω将跟随着另外三个种群更新自身的位置。
通过寻找猎物，包围猎物和攻击猎物的三个主要步骤来实现优化搜索目的。
算法的提出者证明，与其他最新的群智能优化算法相比，GWO 具有非常有竞争力的性能。
但是，GWO 仍存在收敛速度慢、收敛精度低的缺陷。
为了提高GWO 的性能，已有不同的学者提出各种改进版本的GWO 算法用于提高其性能。
例如，张悦等人于2017年提出具有自适应调整策略的混沌灰狼优化算法[2]。
朱海波等于2018年提出了基于差分进化与优胜劣汰策略的灰狼优化算法[3]。
裴丁彦等于2019年提出了基于修正灰狼算法的水火电系统优化调度研究[4]。
这些研究表明，GWO 算法的性能可以进一步改进及提高。
L évy 飞行策略[5]可以增强算法种群多样性、具有很强全局搜索能力并能避免算法陷入局部最优。
因此，本文通过引用L évy 飞行策略嵌入基本的灰狼优化算法中，提出了基于L évy 飞行的灰狼优化算法（LGWO ）。
通过将LGWO 应用于8个标准测试函数并与基本灰狼优化算法（GWO ）及粒子群-引力搜索算法（PSOGSA ）进行对比，实验仿真表明，GWO 算法收敛速度更快且寻优精度更高。
2基本灰狼优化算法2014年澳大利亚学者Mirjalili 模仿狼群种群围攻、捕获猎物的过程提出了灰狼优化算法[1]。
同其他群智能优化算法相似，灰狼优化算法在设定上下边界的基础上进行种群初始化。
在每一次迭代的过程中，取得最优解的三只狼的位置为α，β，δ。
其余的狼的位置则设定为ω跟随着三只头狼α，β，δ的位置进行更新，其位置更新公式如下[1]：（1）（2）其中，t 表示当前的迭代，C ⭢=2·r ⭢2，A ⭢=2a ⭢·r ⭢1-a ⭢，X ⭢p 表示猎物的位置，X ⭢表示狼的位置。
改进灰狼优化算法及其数值仿真研究
0引言
灰狼优化（GWO）算法是一种新型群智能算法 [1]，模拟 了自然界中具有严格等级制度的灰狼群的捕食行为。GWO 算法原理简单，依赖参数少，全局搜索能力较强，已经广泛 应用在仓库作业优化调度 [2]、移动机器人路径规划 [3]、传感 网络节点定位 [4]、电力负荷控制 [5] 中。研究表明，GWO 算 法的收敛速度、寻优精度明显要优于粒子群优化（PSO）算 法、差分进化（DE）算法及引力搜索算法（GSA）。但传统 GWO 算法具有与其它群体智能算法一样的不足，即：当函 数维数增加到一定位置时，GWO 算法会逐渐出现寻优解精 度低、收敛速度慢、易于陷入局部最优等问题。为此，研究 人员给出了各自的解决方案。文献 [6] 利用柯西变异和混沌 改进 GWO 算法的初始种群结构和个体寻优能力，能有效跳 离局部最优，提升寻优精度。文献 [7] 则对 GWO 算法的收 敛系数进行了改进，将线性调整为非线性，可以在局部开发 和全局搜索之间更好地协调。文献 [8] 提出利用针对精英个 体的对立学习结合混沌扰动机制，改进灰狼寻优能力。然 而，已有改进工作总体来看还是比较局部和片面的，在综合 性能上仍有性能提升空间。
关键词：灰狼优化算法；收敛因子；Logistic 映射
中图分类号：TP18
文献标识码：A
文章编号：2096-4706（2020）20-0138-04
Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｇｒｅｙ Ｗｏｌｆ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｎｄ Ｉｔｓ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ
步骤 5：按式（2）、（7）、（9）更新参数 a、A、C。
一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法
第１４卷㊀第３期Ｖｏｌ．１４Ｎｏ．３㊀㊀智㊀能㊀计㊀算㊀机㊀与㊀应㊀用ＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＣｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ㊀㊀２０２４年３月㊀Ｍａｒ．２０２４㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号：２０９５－２１６３（２０２４）０３－００４６－０８中图分类号：ＴＥ３４１文献标志码：Ａ一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法王㊀恒，杨㊀婷（铜仁职业技术学院信息工程学院，贵州铜仁５５４３００）摘㊀要：最优潮流是电力系统最关键的问题之一，本文采用一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法（ＬＭＧＷＯ）求解最优潮流（ＯＰＦ）问题，该算法引入算术优化算法（ＡｒｉｔｈｍｅｔｉｃＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＡＯＡ）中的乘除算子，利用带透镜成像的反向学习策略增强最优个体的多样性，提高算法跳出局部最优的能力㊂通过与几种常用的算法进行对比实验表明：本文提出的ＬＷＧ⁃ＷＯ算法是有竞争力的，总体上优于对比算法；ＬＭＧＷＯ算法在最小化燃料成本㊁有功输电损耗和改善电压偏差方面更有效地找到了最优潮流（ＯＰＦ）问题的最优解㊂关键词：灰狼优化算法；最优潮流；算术优化算法；燃料成本；有功输电损耗ＡｎｉｍｐｒｏｖｅｄｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗＷＡＮＧＨｅｎｇ，ＹＡＮＧＴｉｎｇ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＴｏｎｇｒｅｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＣｏｌｌｅｇｅ，Ｔｏｎｇｒｅｎ５５４３００，Ｇｕｉｚｈｏｕ，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｍｏｓｔｃｒｉｔｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ａｎｉｍｐｒｏｖｅｄＧｒｅｙＷｏｌｆＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＬＭＧＷＯ）ｉｓｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗ（ＯＰＦ）ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｉｎｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎａｎｄｄｉｖｉｓｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒｓｉｎｔｈｅＡｒｉｔｈｍｅｔｉｃＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＡＯＡ）ａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｒｅｖｅｒｓｅｌｅａｒｎｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙｗｉｔｈｌｅｎｓｉｍａｇｉｎｇｉｓｕｓｅｄｔｏｅｎｈａｎｃｅｔｈｅｄｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆｏｐｔｉｍａｌｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｓａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｊｕｍｐｏｕｔｏｆｔｈｅｌｏｃａｌｏｐｔｉｍａｌ．Ｔｈｒｏｕｇｈｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｓｅｖｅｒａｌｃｏｍｍｏｎｌｙｕｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄＬＷＧＷＯａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｃｏｍｐｅｔｉｔｉｖｅａｎｄｇｅｎｅｒａｌｌｙｓｕｐｅｒｉｏｒｔｏｒｅｃｅｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．ＴｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔＬＭＧＷＯａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｆｉｎｄｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆＯＰＦｐｒｏｂｌｅｍｍｏｒｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｉｎｔｅｒｍｓｏｆｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇｆｕｅｌｃｏｓｔ，ａｃｔｉｖｅｐｏｗｅｒｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｌｏｓｓａｎｄｉｍｐｒｏｖｉｎｇｖｏｌｔａｇｅｄｅｖｉａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗ；ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｆｕｅｌｃｏｓｔ；ａｃｔｉｖｅｐｏｗｅｒｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｌｏｓｓ基金项目：铜仁市科学技术局基础科学研究项目（铜市科研（２０２２）７２号）㊂作者简介：王㊀恒（１９８５－），男，博士研究生，讲师，主要研究方向：智能计算与混合系统㊁人工智能㊁故障诊断研究等㊂Ｅｍａｉｌ：ｗａｎｇｈｅｎｇ＿ｔｒｚｙ＠ｆｏｘｍａｉｌ．ｃｏｍ收稿日期：２０２３－０６－１６０㊀引㊀言最优潮流（ＯＰＦ）问题是电力系统运行过程中备受关注的焦点问题，旨在找到最优的运行方式，使得电力系统的运行成本最低，同时满足安全㊁稳定和环保等约束条件㊂ＯＰＦ问题的求解是在满足一系列物理㊁环境㊁实际和运行的约束条件下，通过优化特定的目标来确定电力系统的运行状态㊂在此之前，许多传统的优化技术的应用已获成功，包括基于梯度的方法㊁牛顿法㊁单纯形法㊁序列线性规划和内点法［１－５］㊂由于ＯＰＦ问题本质上是一个多极㊁多约束㊁非凸的复杂优化问题，使用传统的数值方法来求解，过程复杂㊁耗时且精度较差㊂近年来，元启发式算法的快速发展为解决ＯＰＦ问题提供了更多的选择㊂元启发式算法具有参数少㊁易于操作㊁不需要梯度信息等优点，能够在合理的时间内和高度复杂的约束条件下找到复杂问题的最优解㊂刘自发等学者［６］提出了一种基于混沌粒子群优化方法的电力系统无功最优潮流（ＯＰＦ）问题㊂Ｆａｒｈａｔ等学者［７］提出了一种基于邻域维度学习搜索策略的增强型黏液霉菌算法（ｅｎｈａｎｃｅｄｓｌｉｍｅｍｏｕｌｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＥＳＭＡ）用于求解最优潮流（ＯＰＦ）问题等等㊂越来越多的元启发式算法被广泛用于解决电力系统优化相关问题［８－１３］㊂灰狼优化算法（ｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚｅｒ，ＧＷＯ）是由Ｍｉｒｊａｌｉｌｉ等学者［１４］在２０１４年上提出的一种新的元启发式算法㊂灰狼优化算法（ＧＷＯ）原理简单㊁编程容易㊁需要调整的参数少，现已陆续应用于电力系统㊁自动控制㊁能源市场战略招标等领域［１５－１７］㊂然而，与许多元启发式优化算法一样，灰狼优化算法（ＧＷＯ）在求解复杂的非线性问题时容易陷入局部最优且收敛速度慢㊂针对原有灰狼优化算法在求解最优潮流（ＯＰＦ）问题时存在的不足，提出了一种改进的灰狼优化算法（ＬＭＧＷＯ算法）㊂基于镜头成像学习和乘除算子策略对原灰狼优化算法（ＧＷＯ）进行改进，主要有２点改进：（１）为了增强算法的全局探索能力，引入乘除算子策略，提高算法的收敛速度；（２）为增强最优个体的多样性，引入透镜成像修正反向学习策略，提高算法跳出局部最优的能力㊂１㊀最优潮流公式最优潮流（ＯＰＦ）问题是典型的多变量㊁多约束的非线性组合优化问题㊂最优潮流（ＯＰＦ）问题的求解过程是通过寻找最优的控制变量来获得最小的目标函数㊂数学模型定义如下：ｍｉｎＦ（ｕ，ｘ）ｓ．ｔ．ｇ（ｕ，ｘ）＝０ｈ（ｕ，ｘ）ɤ０{㊀㊀其中，Ｆ表示目标函数；ｘ表示控制变量；ｕ表示状态变量；ｇ（ｕ，ｘ）＝０是等式约束；ｈ（ｕ，ｘ）ɤ０是不等式约束㊂１．１㊀控制变量和状态变量最优潮流（ＯＰＦ）问题公式中的控制变量集合为：㊀㊀ｘ＝［ＰＧ２， ，ＰＧＮＧ，ＶＧ１， ，ＶＧＮＧ，Ｔ１， ，ＴＮＴ，ＱＣ１， ，ＱＣＮＣ］（１）其中，ＰＧ２， ，ＰＧＮＧ为系统除松弛母线外的有功发电量；ＶＧ１， ，ＶＧＮＧ为系统的电压幅值；Ｔ１， ，ＴＮＴ为变压器分接设定值；ＱＣ１， ，ＱＣＮＣ为并联无功补偿；ＮＧ㊁ＮＴ㊁ＮＣ分别为发电机个数㊁调节变压器个数㊁无功补偿器个数㊂最优潮流（ＯＰＦ）问题表述的状态变量集合为：ｕ＝［ＰＧ１，ＶＬ１， ，ＶＬＮＬ，ＱＧ１， ，ＱＧＮＧ，Ｓｌ１， ，Ｓｌｎｌ］（２）其中，ＰＧ为空闲母线输出有功功率；ＶＬ为负载母线电压幅值；ＱＧ为各发电机组输出无功功率；Ｓｌ为输电线路负载㊂１．２㊀目标函数将燃油成本㊁有源输电损耗和电压偏差作为最优潮流（ＯＰＦ）问题的目标函数㊂各目标函数的数学模型定义如下㊂（１）燃料成本（ＦＣ）㊂描述发电成本的目标函数，可得数学建模如下：Ｆ１（ｘ，ｕ）＝ðＮｇｉ＝１（ａｉ＋ｂｉＰＧｉ＋ｃｉＰ２Ｇｉ）（３）㊀㊀其中，Ｎｇ为发电机个数；ａｉ，ｂｉ，ｃｉ为第ｉ台发电机组的燃料成本系数；ＰＧｉ为第ｉ台发电机组的实际发电量㊂（２）有功输电损耗（ＡＰＬ）㊂传输线的ＡＰＬ可表示为：㊀Ｆ２（ｘ，ｕ）＝ðｉ，ｊɪＮｌＧｉｊＶ２ｉ＋Ｖ２ｊ－２ＶｉＶｊｃｏｓ（θｉｊ）()（４）㊀㊀其中，Ｎｌ为输电线路数；Ｇｉｊ为线路ｉｊ的传递电导；Ｖｉ为第ｉ根母线的电压幅值；Ｖｊ为第ｊ根母线的电压幅值；θｉｊ为母线ｉ与ｊ之间的电压相角之差㊂１．３㊀约束条件在最优潮流（ＯＰＦ）问题中，等式约束和不等式约束是电力系统需要满足的约束，通常是每个节点的功率平衡约束，可以通过式（５）和式（６）进行定义：ＰＧｉ－ＰＤｉ＝ＶｉðＮｉ，ｊ＝１Ｖｊ（Ｇｉｊｃｏｓ（δｉ－δｊ）＋Ｂｉｊｓｉｎ（δｉ－δｊ））（５）ＱＧｉ－ＱＤｉ＝ＶｉðＮｉ，ｊ＝１Ｖｊ（Ｇｉｊｓｉｎ（δｉ－δｊ）－Ｂｉｊｃｏｓ（δｉ－δｊ））（６）其中，ＰＤｉ㊁ＱＤｉ分别为第ｉ台母线的有功㊁无功功率；ＰＧｉ和ＱＧｉ为第ｉ台发电机的无功发电量；Ｎ为母线个数；Ｇｉｊ和Ｂｉｊ分别为母线ｉ和ｊ之间的电导和电纳；Ｖｉ和Ｖｊ分别为母线ｉ和ｊ的电压幅值㊂２㊀改进的灰狼优化算法２．１㊀灰狼优化算法灰狼优化算法（ＧＷＯ）是模仿自然界灰狼群体社会等级和捕食行为而衍生的一种元启发式算法［１４］㊂灰狼群体的社会等级为α狼㊁β狼㊁δ狼和ω狼㊂狼的狩猎行为分为跟踪㊁包围和攻击猎物三个步骤㊂狼群包围猎物的数学模型定义为：Ｘ＝Ｘα（ｔ）－Ａ㊃｜Ｃ㊃Ｘα（ｔ）－Ｘ（ｔ）｜（７）㊀㊀其中，Ｘ和Ｘα分别表示狼个体和猎物个体的位置向量，ｔ表示当前迭代次数㊂系数向量Ａ和Ｃ定义为：Ａ＝２ａ㊃ｒ１－ａ（８）Ｃ＝２㊃ｒ２（９）㊀㊀其中，ｒ１和ｒ２是［０，１］之间的随机向量，ａ从２线性递减到０，其数学模型定义为：７４第３期王恒，等：一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法ａ＝２－２㊃ｔＴｍａｘ（１０）㊀㊀其中，Ｔｍａｘ为最大迭代次数㊂包围猎物后，β狼和δ狼在α狼的带领下追捕猎物㊂在追捕过程中，狼群的个体位置会随着猎物的逃跑而发生变化㊂因此，灰狼群可以根据α㊁β㊁δ的位置Ｘα，Ｘβ，Ｘδ更新灰狼的位置：Ｘ１＝Ｘα（ｔ）－Ａ１㊃｜Ｃ１㊃Ｘα（ｔ）－Ｘ（ｔ）｜（１１）Ｘ２＝Ｘβ（ｔ）－Ａ２㊃｜Ｃ２㊃Ｘβ（ｔ）－Ｘ（ｔ）｜（１２）Ｘ３＝Ｘδ（ｔ）－Ａ３㊃｜Ｃ３㊃Ｘδ（ｔ）－Ｘ（ｔ）｜（１３）Ｘ（ｔ＋１）＝Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３３（１４）㊀㊀其中，Ｘ（ｔ＋１）是当前个体的位置㊂２．２㊀改进ＧＷＯ算法的思路和策略２．２．１㊀算术乘除运算符策略２０２１年，Ａｂｕａｌｉｇａｈ等学者［１８］提出的一种新的元启发式算法，即算术优化算法（ＡｒｉｔｈｍｅｔｉｃＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＡＯＡ），主要利用数学中的乘㊁除运算符以及加㊁减运算符四种混合运算㊂ＡＯＡ中的乘除算子具有较强的全局探索能力㊂灰狼种群在更新位置时侧重使用α狼㊁β狼和δ狼作为精英来引导搜索，具有较强的局部开发能力㊂引入算术乘除算子策略，提高ＧＷＯ算法的全局探索能力㊂算术乘除算子策略的数学模型定义为：Ｘｊｉ（ｔ＋１）＝Ｘｊｂｅｓｔː（ＭＯＰ＋ε）㊃［（ｕｂｊ－ｌｂｊ）㊃μ＋ｌｂｊ］，㊀ｒ３ɤ０．５ＸｊｂｅｓｔˑＭＯＰ㊃［（ｕｂｊ－ｌｂｊ）㊃μ＋ｌｂｊ］，㊀㊀㊀㊀ｒ３＞０．５{（１５）㊀㊀其中，Ｘｊｂｅｓｔ表示当前最优解的第ｊ个位置；ｒ３表示介于［０，１］之间的随机数；ε表示防止分母为０的整数；μ表示调节搜索过程的控制参数，μ的值在基本ＡＯＡ中为０．５；ｕｂｊ和ｌｂｊ分别表示第ｉ个位置的上下界㊂ＭＯＰ为概率函数，其数学模型描述为：ＭＯＰ＝１－ｔ１τＴ１τｍａｘ（１６）㊀㊀其中，τ＝５是一个敏感因子，定义了迭代的搜索精度㊂由式（１５）可知，ＡＯＡ可以带来高分布，借助乘除算子实现位置更新，可以大大提高算法的全局探索能力㊂本文设置阈值为０．３㊂２．２．２㊀基于透镜成像的反向学习策略根据灰狼的位置更新公式，由α狼㊁β狼和δ狼带领群体中的其他狼进行位置更新㊂如果α狼㊁β狼和δ狼都处于局部最优，则整个群体会聚集在局部最优区域，导致种群陷入局部最优㊂针对该问题，本文提出一种基于透镜成像原理的反向学习方法，将对立个体与当前最优个体相结合，生成新个体㊂假设在一维空间中，在轴区间［ｌｂ，ｕｂ］上有一个高度为Ｈ的个体Ｐ，其在ｘ轴上的投影为Ｘ（Ｘ为全局最优个体）㊂将焦距为Ｆ的镜头放置在基点位置Ｏ上（本文取基点位置为（ｌｂ＋ｕｂ／２））㊂个体Ｐ通过透镜，以获得高度为Ｈ的倒置图像Ｐ∗，在这点上，第一个倒置的个体ｘ通过透镜成像在Ｘ轴上产生㊂镜头图像的反向学习策略如图１所示㊂㊀㊀在图１中，全局最优个体Ｘ以Ｏ为基点找到其对应的逆个体Ｘ∗㊂因此，可以从透镜成像原理推导出数学模型，推得的公式为：（ｕｂ＋ｌｂ）／２－ＸＸ∗－（ｕｂ＋ｌｂ）／２＝ｈｈ∗（１７）㊀㊀设ｈ／ｈ∗＝ｋ，ｋ表示拉伸因子㊂通过推导式（１７），可以得到反转点Ｘ∗的计算公式：Ｘ∗＝ｕｂ＋ｌｂ２＋ｕｂ＋ｌｂ２ｋ－Ｘｋ（１８）xOh PXl bu b h*X *P*yF图１㊀基于镜头图像的反向学习策略Ｆｉｇ．１㊀Ｒｅｖｅｒｓｅｌｅａｒｎｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙｂａｓｅｄｏｎｌｅｎｓｉｍａｇｅ㊀㊀在算法搜索解时，使用拉伸因子ｋ作为微观调节因子，增强算法的局部开发能力㊂然而，在基本的透镜成像逆学习策略中，拉伸因子一般作为固定值使用，不允许算法探索解空间的全范围㊂为此，本文提出一种基于非线性动态递减的伸缩因子策略，在算法迭代初期可以得到较大的值，有助于算法在不同维度的区域进行更大范围的搜索，以提高种群的多样性㊂非线性动态拉伸因子定义为：㊀ｋ＝ｋｍａｘ－（ｋｍａｘ－ｋｍｉｎ）㊃［１－ｃｏｓ（πｔ２Ｔｍａｘ）］（１９）㊀㊀其中，ｋｍａｘ和ｋｍｉｎ分别表示最大和最小拉伸因子，Ｔｍａｘ表示最大迭代次数㊂可以将式（１８）扩展到Ｄ－维搜索空间，得到数学模型为：８４智㊀能㊀计㊀算㊀机㊀与㊀应㊀用㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第１４卷㊀Ｘ∗ｊ＝ｕｂｊ＋ｌｂｊ２＋ｕｂｊ＋ｌｂｊ２ｋ－Ｘｊｋ（２０）㊀㊀其中，Ｘｊ和Ｘ∗ｊ分别表示Ｘ和Ｘ∗的的第ｊ维向量，ｕｂｊ和ｌｂｊ分别表示决策变量的第ｊ维向量㊂基于透镜的反向学习策略虽然极大地提高了算法的求解精度，但无法直接判断生成的新反向个体是否优于原始个体㊂因此，本文引入贪心机制来比较新旧个体适应度值，从而筛选出最优个体㊂该方法不断获得更好的解，提高了算法的寻优能力㊂贪婪机制的数学模型描述如下：Ｘｎｅｗ（ｔ）＝Ｘ∗，㊀ｆ（Ｘ）＞ｆ（Ｘ∗）Ｘ，㊀ｆ（Ｘ）ɤｆ（Ｘ∗）{（２１）２．２．３㊀ＬＭＧＷＯ算法实现过程ＬＭＧＷＯ算法实现流程如图２所示㊂计算每只狼的适应度，从狼群中选出α狼、β狼和δ狼开始初始化狼群的位置t =t +1i f t ＜T m a x 结束运行式(19)~（22）执行基于透镜成像的反向学习策略i f r ＜0.3通过式(17）、式(18）执行算术乘除运算符策略通过式(13)~(16)更新狼群的位置计算适应度值更新向量α狼、β狼和δ狼图２㊀ＬＭＧＷＯ算法流程图Ｆｉｇ．２㊀ＦｌｏｗｃｈａｒｔｏｆＬＭＧＷＯａｌｇｏｒｉｔｈｍ３㊀实验３．１㊀实验环境及参数设置在Ｉｎｔｅｌ（Ｒ）Ｃｏｒｅ（ＴＭ）ｉ７－ｉ７－６５００ＵＣＰＵ㊁２．５０ＧＨｚ频率㊁８ＧＢ内存㊁Ｗｉｎｄｏｗｓ１０（６４ｂｉｔ）操作系统上进行仿真实验，编程软件为ＭａｔｌａｂＲ２０１８ａ㊂采用９个基准测试函数，包括５个单峰函数Ｆ１ Ｆ５和４个非线性多峰函数Ｆ６ Ｆ９，见表１㊂参与对比的灰狼优化算法（ＧＷＯ）［１４］㊁算术优化算法（ＡＯＡ）［１８］㊁正弦余弦算法（ＳＣＡ）［１９］㊁猩猩优化算法（ＣｈＯＡ）［２０］㊁鲸鱼优化算法（ＷＯＡ）［２１］㊁ＬＭＧＷＯ的参数设置见表２㊂表１㊀基准测试函数Ｔａｂｌｅ１Ｂｅｎｃｈｍａｒｋｆｕｎｃｔｉｏｎｓ函数编号名称维度范围最优值Ｆ１Ｓｐｈｅｒｅ３０［－１００，１００］０Ｆ２Ｓｃｈｗｅｆｅｌ．２．２２３０［－１０，１０］０Ｆ３Ｓｃｈｗｅｆｅｌ．１．２３０［－１００，１００］０Ｆ４Ｓｃｈｗｅｆｅｌ．２．２１３０［－１００，１００］０Ｆ５Ｑｕａｒｔｉｃ３０［－１．２８，１．２８］０Ｆ６Ｒａｓｔｒｉｇｉｎ３０［－５．１２，５．１２］０Ｆ７Ａｃｋｌｅｙ３０［－３２，３２］０Ｆ８Ｃｒｉｅｗａｎｋ３０［－６００，６００］０Ｆ９Ａｐｌｉｎｅ３０［－１０，１０］０９４第３期王恒，等：一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法表２㊀算法参数设置Ｔａｂｌｅ２㊀Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓｅｔｔｉｎｇｓｏｆａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ算法名称参数设置ＳＣＡ［１９］Ｍ＝２ＣｈＯＡ［２０］ｆｍａｘ＝２．５，ｆｍｉｎ＝０ＷＯＡ［２１］ａｍａｘ＝２，ａｍｉｎ＝０，ｂ＝１ＡＯＡ［１８］ＭＯＰ＿Ｍａｘ＝１，ＭＯＰ＿Ｍｉｎ＝０．２，α＝５，μ＝０．４９９ＧＷＯ［１４］ａｍａｘ＝２，ａｍｉｎ＝０ＬＭＧＷＯａｍａｘ＝２，ａｍｉｎ＝０３．２㊀算法性能对比分析为了验证了ＬＭＧＷＯ算法的有效性和优越性，将ＬＭＧＷＯ算法与灰狼优化算法（ＧＷＯ）［１４］㊁算术优化算法（ＡＯＡ）［１８］㊁正弦余弦算法（ＳＣＡ）［１９］㊁猩猩优化算法（ＣｈＯＡ）［２０］㊁鲸鱼优化算法（ＷＯＡ）［２１］在９个不同特性的基准测试函数上进行仿真实验㊂在各个算法的测试环境相同的条件下，种群规模Ｎ＝３０，空间维度Ｄｉｍ＝３０，最大迭代次数Ｔｍａｘ＝５００㊂采用均值和标准差作为实验的评价指标，均值和标准差越小，表明算法的性能越好㊂６种算法对９个基准函数的求解结果见表３㊂表３㊀各算法在基准函数上的优化性能比较Ｔａｂｌｅ３㊀Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｅａｃｈａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｎｔｈｅｂｅｎｃｈｍａｒｋｆｕｎｃｔｉｏｎ函数编号指标ＳＣＡＣｈＯＡＷＯＡＡＯＡＧＷＯＬＭＧＷＯＦ１Ｍｅａｎ均值２．８２ˑ１０１５．４５ˑ１０－６２．２０ˑ１０－７２１．５７ˑ１０－７１．８４ˑ１０－２７０Ｓｔｄ标准差７．１５ˑ１０１３．３４ˑ１０－６１．３４ˑ１０－７１４．３６ˑ１０－７２．３５ˑ１０－２８０Ｆ２Ｍｅａｎ均值６．４８ˑ１０－２５．４８ˑ１０－５５．５５ˑ１０－５１４．０８１．０２ˑ１０－１６０Ｓｔｄ标准差３．４５ˑ１０－２５．０２ˑ１０－５９．５４ˑ１０－５１５．１１４．６１ˑ１０－１７０Ｆ３Ｍｅａｎ均值１．２５ˑ１０４６．４５ˑ１０２１．０２ˑ１０４９．６１ˑ１０３５．２１ˑ１０－５０Ｓｔｄ标准差３．１６ˑ１０３８．６４ˑ１０２６．３２ˑ１０４３．２２ˑ１０２１．１７ˑ１０－４０Ｆ４Ｍｅａｎ均值２．７７ˑ１０１９．１５ˑ１０－１４．１１ˑ１０１１．２１１．０４ˑ１０－６０Ｓｔｄ标准差５．６８ˑ１０１５．４７ˑ１０－１２．１９ˑ１０１１．３９１．４７ˑ１０－６０Ｆ５Ｍｅａｎ均值３．２７ˑ１０－２７．６４ˑ１０－３２．４５ˑ１０－３５．１３ˑ１０－１２．３０ˑ１０－３２．４５ˑ１０－５Ｓｔｄ标准差５．９８ˑ１０－２５．１６ˑ１０－３３．０９ˑ１０－３３．１８ˑ１０－２１．７０ˑ１０－３２．０４ˑ１０－５Ｆ６Ｍｅａｎ均值３．０２ˑ１０１８．９９ˑ１０１６．１１ˑ１０－１５４．６７ˑ１０１４．２８０Ｓｔｄ标准差６．４８ˑ１０１１．０２ˑ１０１１．９８ˑ１０－１４２．１３ˑ１０１５．４４０Ｆ７Ｍｅａｎ均值５．５１４．０７ˑ１０１１．１１ˑ１０－１５２．４５ˑ１０－１２．０５ˑ１０－１３８．８８ˑ１０－１６Ｓｔｄ标准差１．８４５．１１ˑ１０－２７．１６ˑ１０－１５４．４１１．１７ˑ１０－１４０Ｆ８Ｍｅａｎ均值３．６５３．４７ˑ１０－２６．３９ˑ１０－２２．５８ˑ１０－２４．６８ˑ１０－３０Ｓｔｄ标准差２．００ˑ１０－１５．１９ˑ１０－２４．７７ˑ１０－２８．１２ˑ１０－２７．５５ˑ１０－３０Ｆ９Ｍｅａｎ均值４．５５ˑ１０－２５．４０ˑ１０－３５．４９ˑ１０－３９４．１１ˑ１０６．７９ˑ１０－４０Ｓｔｄ标准差１．３６ˑ１０－２１．２４ˑ１０－２２．３３ˑ１０－３８２．２８ˑ１０１．１７ˑ１０－４０㊀㊀由表３可以看出，在基准测试中，对于Ｆ１ Ｆ４㊁Ｆ６㊁Ｆ８和Ｆ９函数，对比算法均未能找到最优解，而ＬＭＧＷＯ算法达到１００％的求解精度㊂在求解Ｆ５和Ｆ８函数时，ＬＭＧＷＯ的求解精度优于其他５种对比算法，但也与其他算法一样容易陷入局部最优㊂基于以上分析说明ＬＭＧＷＯ算法比其他算法具有更高的求解精度和稳定性，证明了其有效性和优越性㊂３．３㊀ＬＭＧＷＯ算法在高维条件的性能分析为了进一步验证ＬＭＧＷＯ求解高维优化问题的性能，以算法解的均值和平均变化率为评价指标，对９个函数在１００ ５００维增量下进行测试，将本文提出的ＬＭＧＷＯ算法与原始ＧＷＯ算法独立运行３０次，并记录其均值，实验结果见表４㊂由表４可知，随着维数的增加，ＬＭＧＷＯ的均值基本保持不变，Ｆ１㊁Ｆ２㊁Ｆ３㊁Ｆ４㊁Ｆ６㊁Ｆ９函数的ＬＭＧＷＯ均值保持为０㊂随着维数的增加，ＧＷＯ均值呈现增加趋势㊂在测试函数Ｆ５上，ＬＭＧＷＯ算法的均值基本保持不变，而ＧＷＯ算法的均值变化明显大于ＬＭＧＷＯ算法；在测试函数Ｆ８上，ＬＭＧＷＯ算法的平均变化率均为０，远低于ＧＷＯ算法的平均变化率㊂０５智㊀能㊀计㊀算㊀机㊀与㊀应㊀用㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第１４卷㊀表４㊀ＬＭＧＷＯ与ＧＷＯ在不同维度下优化函数均值的比较Ｔａｂｌｅ４㊀ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆＬＭＧＷＯａｎｄＧＷＯｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅａｎｖａｌｕｅｓｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ函数编号算法名称维数１００２００３００４００５００平均变化率／％Ｆ１ＧＷＯ１．４６ˑ１０－１２１．４３ˑ１０－７５．７９ˑ１０－５８．０８ˑ１０－４１．７９ˑ１０－３４．４８ˑ１０－４ＬＭＧＷＯ００００００Ｆ２ＧＷＯ５．３５ˑ１０－８３．２５ˑ１０－５６．７９ˑ１０－４３．３４ˑ１０－３１．１２ˑ１０－２２．８０ˑ１０－３ＬＭＧＷＯ００００００Ｆ３ＧＷＯ７．３１ˑ１０２２．０２ˑ１０４９．１１ˑ１０４１．９４ˑ１０５３．０９ˑ１０５７．７１ˑ１０４ＬＭＧＷＯ００００００Ｆ４ＧＷＯ８．８２ˑ１０－１２．６１ˑ１０１４．７１ˑ１０１６．０３ˑ１０１６．４８ˑ１０１１．６０ˑ１０１ＬＭＧＷＯ００００００Ｆ５ＧＷＯ７．０３ˑ１０－３１．２６ˑ１０－２３．４９ˑ１０－２６．６３ˑ１０－２９．４６ˑ１０－２２．１９ˑ１０－２ＬＭＧＷＯ３．４１ˑ１０－５３．８７ˑ１０－５４．０５ˑ１０－５４．７２ˑ１０－５６．３９ˑ１０－５７．４５ˑ１０－６Ｆ６ＧＷＯ９．２９２．４２ˑ１０１３．９１ˑ１０１５．０２ˑ１０１７．２０ˑ１０１１．５７ˑ１０１ＬＭＧＷＯ００００００Ｆ７ＧＷＯ６．７７ˑ１０－７２．２２ˑ１０－５５．７４ˑ１０－４９．０９ˑ１０－４２．０２ˑ１０－３５．０５ˑ１０－４ＬＭＧＷＯ８．８８ˑ１０－１６８．８８ˑ１０－１６８．８８ˑ１０－１６８．８８ˑ１０－１６８．８８ˑ１０－１６０Ｆ８ＧＷＯ８．０５ˑ１０－３１．４５ˑ１０－２２．１４ˑ１０－２７．５３ˑ１０－２９．４６ˑ１０－２２．１６ˑ１０－２ＬＭＧＷＯ００００００Ｆ９ＧＷＯ２．８１ˑ１０－３１．１３ˑ１０－２２．５９ˑ１０－２４．５４ˑ１０－２１．６９ˑ１０－１４．１５ˑ１０－２ＬＭＧＷＯ００００００㊀㊀２种算法在不同维度下均值的变化情况如图３所示㊂在９个函数中，ＧＷＯ的均值随着维度变大而显著增加，ＬＭＧＷＯ的均值保持不变㊂这表明维数的不断增加对ＬＭＧＷＯ的寻优能力影响不大，与ＧＷＯ相比寻优性能更加突出，进一步验证了本文所提算法的优越性㊂1.61.41.21.00.80.60.40.20100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u e /10-3G WO L M G WO(a )F 1变化曲线605040302010100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u eG WOL M G WO(d )F 4变化曲线2.01.81.61.41.21.00.80.60.40.20100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u e /10-3G WO L M G WO(g )F 7变化曲线100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u e G WOL M G WO(h )F 8变化曲线0.090.080.070.060.050.040.030.020.01100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u eG WOL M G WO(e )F 5变化曲线0.0100.0080.0060.0040.002100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u eG WOL M G WO(b )F 2变化曲线0.090.080.070.060.050.040.030.020.01100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u eG WOL M G WO (i )F 9变化曲线0.160.140.120.100.080.060.040.020100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u eG WOL M G WO (f )F 6变化曲线706050403020100100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u e /105G WOL M G WO(c )F 3变化曲线3.02.52.01.51.00.5图３㊀基于函数维数变化曲线的函数优化Ｆｉｇ．３㊀Ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｕｒｖｅｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｄｉｍｅｎｓｉｏｎｃｈａｎｇｅ１５第３期王恒，等：一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法４㊀求解最优潮流（ＯＰＦ）问题为了验证ＬＭＧＷＯ算法的有效性和可行性，在标准ＩＥＥＥ－３０总线测试系统模型上对算法进行了测试㊂该系统包括６台发电机㊁４台变压器㊁９台分流器和４１条支路㊂ＩＥＥＥ３０母线系统单线如图４所示㊂图４中母线１为平衡母线，母线２㊁５㊁８㊁１１㊁１３为电压控制（ＶｏｌｔａｇｅＣｏｎｔｒｏｌ）和无功功率（ＲｅａｃｔｉｖｅＰｏｗｅｒ）母线，其余为有功功率（ＡｃｔｉｖｅＰｏｗｅｒ）和无功功率（ＲｅａｃｔｉｖｅＰｏｗｅｒ）母线㊂本文假设变压器比及无功补偿输出为连续变量，最大迭代次数设置为２００次，种群规模为４０，ＯＰＦ问题维度为２４㊂231314121615181920212210911262524292730286431257817图４㊀ＩＥＥＥ３０总线测试系统单线图Ｆｉｇ．４㊀ＳｉｎｇｌｅｌｉｎｅｄｉａｇｒａｍｏｆＩＥＥＥ３０ｂｕｓｔｅｓｔｓｙｓｔｅｍ４．１㊀案例１：燃料成本（ＦＣ）最小化最小化燃料成本是指通过各种手段和方法，将燃料成本控制在最低水平，以提高经济效益，同时也能够减少对环境的影响㊂将ＬＭＧＷＯ算法与灰狼优化算法（ＧＷＯ）［１４］㊁算术优化算法（ＡＯＡ）［１８］㊁正弦余弦算法（ＳＣＡ）［１９］㊁猩猩优化算法（ＣｈＯＡ）［２０］㊁鲸鱼优化算法（ＷＯＡ）［２１］算法进行对比实验，实验结果见表５㊂由表５可知，优化后的ＬＭＧＷＯ算法燃油成本为７９９．３９４４Ɣ／Ｈ㊂与初始情况相比，燃料成本降低了１１．３７％，具有更加优越的性能㊂表５㊀不同算法在案例１上的比较结果Ｔａｂｌｅ５㊀ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｎＣａｓｅ１算法名称燃油成本／（Ɣ㊃ｈ－１）ＧＷＯ７９９．９６２４ＡＯＡ７９９．９２１７ＳＣＡ８０１．９７００ＣｈＯＡ８００．１８５３ＷＯＡ８００．１０１８ＬＭＧＷＯ７９９．３９４４４．２㊀案例２：有功功率损耗（ＡＰＬ）最小化有功功率损耗（ＡＰＬ）是指电路中有功电流通过负载时所产生的功率损耗㊂有功功率损耗会导致电能转换效率降低，增加能源消耗和运营成本㊂因此，对于电力系统设计和运行来说，减小有功功率损耗是非常重要的㊂将ＬＭＧＷＯ算法与灰狼优化算法（ＧＷＯ）［１４］㊁算术优化算法（ＡＯＡ）［１８］㊁正弦余弦算法（ＳＣＡ）［１９］㊁猩猩优化算法（ＣｈＯＡ）［２０］㊁鲸鱼优化算法（ＷＯＡ）［２１］算法进行对比实验，实验结果见表６㊂根据表６的实验结果，本文提出的ＬＭＧＷＯ算法以有功功率损耗（ＡＰＬ）最小为目标，优于其他用于求解最优潮流（ＯＰＦ）问题的对比算法㊂表６㊀不同算法在案例２上的比较结果Ｔａｂｌｅ６㊀ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｎＣａｓｅ２算法名称有功功率损耗／ＭＷＧＷＯ３．０２６４ＡＯＡ３．１２３２ＳＣＡ３．８２３９ＣｈＯＡ３．１６００ＷＯＡ３．５１６５ＬＭＧＷＯ２．９６９１５㊀结束语本文提出了一种改进的灰狼优化算法（ＬＭＧＷＯ），针对原始ＧＷＯ算法在求解ＯＰＦ问题时的性能进行了２方面的改进㊂将修正反向学习策略与透镜成像学习策略和乘除算子策略相结合，对９个具有不同特性的基准函数进行测试，并与现有元启发式算法进行对比实验㊂实验结果表明，ＬＭＧＷＯ比其他算法具有更好的稳定性和寻优性能㊂在实际应用案例中，将ＬＭＧＷＯ算法和其他对比算法在ＩＥＥＥ３０节点标准测试系统模型上进行对比测试㊂实验结果表明，ＬＭＧＷＯ算法具有较好的性能㊂在未来的工作中，将使用ＬＭＧＷＯ算法解决更困难的最优潮流（ＯＰＦ）问题㊂参考文献［１］ＳＡＬＧＡＤＯＲ，ＢＲＡＭＥＬＬＥＲＡ，ＡＩＴＣＨＩＳＯＮＰ．Ｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｓｏｌｕｔｉｏｎｓｕｓｉｎｇｔｈｅｇｒａｄｉｅｎｔｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ｐａｒｔ１：Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓ［Ｊ］．ＩＥＴＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓＣ（Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ，ＴｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎａｎｄＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），１９９０，１３７（６）：４２４－４２８．［２］ＴＩＮＮＥＹＷＦ，ＨＡＲＴＣＥ．ＰｏｗｅｒｆｌｏｗｓｏｌｕｔｉｏｎｂｙＮｅｗｔｏｎᶄｓｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＰｏｗｅｒＡｐｐａｒａｔｕｓａｎｄＳｙｓｔｅｍｓ，１９６７（１１）：１４４９－１４６０．［３］ＬＥＶＩＶＡ，ＮＥＤＩＣＤＰ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｍｏｄｅｌｉｎｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｅｄｕｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＰｏｗｅｒ２５智㊀能㊀计㊀算㊀机㊀与㊀应㊀用㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第１４卷㊀Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００１，１６（４）：５７２－５８０．［４］ＯＬＯＦＳＳＯＮＭ，ＡＮＤＥＲＳＳＯＮＧ，ＳÖＤＥＲＬ．Ｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｂａｓｅｄｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｕｓｉｎｇｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｉｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍ，１９９５，１０：１６９１－１６９７．［５］ＤＩＮＧＸｉａｏｙｉｎｇ，ＷＡＮＧＸｉｆａｎ，ＳＯＮＧＹｏｎｇｈｕａ，ｅｔａｌ．Ｔｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔｂｒａｎｃｈａｎｄｃｕｔｍｅｔｈｏｄｆｏｒｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗ［Ｃ］／／ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｋｕｎｍｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ：ＩＥＥＥ，２００２，１：６５１－６５５．［６］刘自发，葛少云，余贻鑫．基于混沌粒子群优化方法的电力系统无功最优潮流［Ｊ］．电力系统自动化，２００５，２９（７）：５３－５７．［７］ＦＡＲＨＡＴＭ，ＫＡＭＥＬＳ，ＡＴＡＬＬＡＨＡＭ，ｅｔａｌ．ＥＳＭＡ－ＯＰＦ：Ｅｎｈａｎｃｅｄｓｌｉｍｅｍｏｕｌｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｓｕｓｔａｉｎａｂｉｌｉｔｙ，２０２２，１４（４）：２３０５．［８］ＡｔｔｉａＡＦ，ＥｌＳｅｈｉｅｍｙＲＡ，ＨａｓａｎｉｅｎＨＭ．ＯｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｓｏｌｕｔｉｏｎｉｎｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｓｕｓｉｎｇａｎｏｖｅｌＳｉｎｅ－Ｃｏｓｉｎｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＰｏｗｅｒ＆ＥｎｅｒｇｙＳｙｓｔｅｍｓ，２０１８，９９：３３１－３４３．［９］ＷＡＲＩＤＷ．ＯｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｕｓｉｎｇｔｈｅＡＭＴＰＧ－Ｊａｙａａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＳｏｆｔＣｏｍｐｕｔｉｎｇ，２０２０，９１：１０６２５２．［１０］ＷＡＲＩＤＷ，ＨＩＺＡＭＨ，ＭＡＲＩＵＮＮ，ｅｔａｌ．ＯｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｕｓｉｎｇｔｈｅＪａｙａａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．Ｅｎｅｒｇｉｅｓ，２０１６，９（９）：６７８．［１１］ＡＢＤＥＳ，ＫＡＭＥＬＳ，ＥＢＥＥＤＭ，ｅｔａｌ．Ａｎｉｍｐｒｏｖｅｄｖｅｒｓｉｏｎｏｆｓａｌｐｓｗａｒｍａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．ＳｏｆｔＣｏｍｐｕｔｉｎｇ，２０２１，２５：４０２７－４０５２．［１２］ＮＧＵＹＥＮＴＴ．Ａｈｉｇｈｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓｏｃｉａｌｓｐｉｄｅｒｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｓｏｌｕｔｉｏｎｗｉｔｈｓｉｎｇｌｅｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｅｎｅｒｇｙ，２０１９，１７１：２１８－２４０．［１３］ＡＢＤＥＬ－ＲＡＨＩＭＡＭＭ，ＳＨＡＡＢＡＮＳＡ，ＲＡＧＬＥＮＤＩＪ．Ｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｕｓｉｎｇａｔｏｍｓｅａｒｃｈｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｃ］／／２０１９ＩｎｎｏｖａｔｉｏｎｓｉｎＰｏｗｅｒａｎｄＡｄｖａｎｃｅｄＣｏｍｐｕｔｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ（ｉ－ＰＡＣＴ）．Ｖｅｌｌｏｒｅ，Ｉｎｄｉａ：ＩＥＥＥ，２０１９，１：１－４．［１４］ＭＩＲＪＡＬＩＬＩＳ，ＭＩＲＪＡＬＩＬＩＳＭ，ＬｅｗｉｓＡ．Ｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚｅｒ［Ｊ］．ＡｄｖａｎｃｅｓｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｏｆｔｗａｒｅ，２０１４，６９：４６－６１．［１５］ＮＵＡＥＫＡＥＷＫ，ＡＲＴＲＩＴＰ，ＰＨＯＬＤＥＥＮ，ｅｔａｌ．Ｏｐｔｉｍａｌｒｅａｃｔｉｖｅｐｏｗｅｒｄｉｓｐａｔｃｈｐｒｏｂｌｅｍｕｓｉｎｇａｔｗｏ－ａｒｃｈｉｖｅｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚｅｒ［Ｊ］．ＥｘｐｅｒｔＳｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１７，８７：７９－８９．［１６］ＰＲＥＣＵＰＲＥ，ＤＡＶＩＤＲＣ，ＰＥＴＲＩＵＥＭ．Ｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚｅｒａｌｇｏｒｉｔｈｍ－ｂａｓｅｄｔｕｎｉｎｇｏｆｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｒｅｄｕｃｅｄｐａｒａｍｅｔｒｉｃｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２０１７，６４（１）：５２７－５３４．［１７］ＳＡＸＥＮＡＡ，ＫＵＭＡＲＲ，ＤＡＳＳ．β－ｃｈａｏｔｉｃｍａｐｅｎａｂｌｅｄｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚｅｒ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＳｏｆｔＣｏｍｐｕｔｉｎｇ，２０１９，７５：８４－１０５．［１８］ＡＢＵＡＬＩＧＡＨＬ，ＤＩＡＢＡＴＡ，ＭＩＲＪＡＬＩＬＩＳ，ｅｔａｌ．Ｔｈｅａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＣｏｍｐｕｔｅｒＭｅｔｈｏｄｓｉｎＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０２１，３７６：１１３６０９．［１９］ＭＩＲＪＡＬＩＬＩＳ．ＳＣＡ：Ａｓｉｎｅｃｏｓｉｎｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ－ｂａｓｅｄＳｙｓｔｅｍｓ，２０１６，９６：１２０－１３３．［２０］ＫＨＩＳＨＥＭ，ＭＯＳＡＶＩＭＲ．Ｃｈｉｍｐｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＥｘｐｅｒｔＳｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０２０，１４９：１１３３３８．［２１］ＭＩＲＪＡＬＩＬＩＳ，ＬＥＷＩＳＡ．Ｔｈｅｗｈａｌｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＡｄｖａｎｃｅｓｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｏｆｔｗａｒｅ，２０１６，９５：５１－６７．３５第３期王恒，等：一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法。
求解约束优化问题的改进灰狼优化算法
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｎ ｄ ａ ｒ ｄ Ｇ ｒ ｅ ｙ Ｗｏ ｌ ｆ Ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ（ Ｇ ＷＯ ）ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｈ ａ ｓ ａ ｆ ｅ ｗ ｄ ｉ ｓ ａ ｄ ｖ ａ ｎ ｔ ａ ｇ ｅ ｓ ｏ ｆ ｌ ｏ ｗ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ｅ ｃ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ ，ｓ ｌ ｏ ｗ
龙 文 ， 赵 东泉 ， 徐松金。
（ １ ． 贵州省经济系统仿真重点实验室（ 贵州财经大学） ， 贵阳５ ５ ０ ０ ０ ４ ； ２ ． 枣庄科技职业学院 机械工程系， 山东 滕州 ２ ７ ７ ５ ０ ０ ； ３ ． 铜仁学院 数学科学学院， 贵州 铜仁 ５ ５ ４ ３ ０ ０ ） （ 通信作者电子邮箱 １ ｗ ７ ７ ０ ４ ５ ７ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ） ｒ
ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ，ａ ｎ ｄ ｂ ａ ｄ ｌ ｏ ｃ ａ ｌ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ．Ｉ ｎ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｏ ｏ ｖ ｅ ｒ ｃ ｏ ｍｅ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｄ ｉ ｓ ａ ｄ ｖ ａ ｎ ｔ ａ ｇ ｅ ｓ ｏ ｆ Ｇ ＷＯ ，ａ ｎ Ｉ ｍ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ Ｇ ＷＯ （ Ｉ Ｇ ＷＯ ）
优于差分进化和粒子群优化算法。 关键词 ： 灰狼 优 化 算 法 ； 约束优化 ； 非 固定 多段 映 射 罚 函数 法 ； 佳 点集
中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ０ １ ． ６
文献标志码 ： Ａ
Ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｇ ｒ ｅ ｙ ｗｏ ｌ ｆ ｏ ｐｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｆ ｏ ｒ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ
灰狼优化算法的改进及其在参数估计中的应用
分类号学校代码10700学号**********硕士学位论文(学术学位）灰狼优化算法的改进及其在参数估计中的应用王梦娜学科门类：理学一级学科：数学二级学科：应用数学指导教师：王秋萍教授申请日期：2019年6月西安理工大学硕士学位论文(4)基于GWO算法的GM(1,1)模型在天然气消费预测中的应用为了提高GM(1,1)模型的预测精度，提出一种基于灰狼优化算法的改进GM(1,1)模型（GWOGM(1,1)）。
该模型利用GWO算法对GM(1,1)模型的发展系数和灰色作用量进行优化，使得实际值与预测值之间的平均相对误差率最小。
对2001-2013年中国居民天然气消费总量和天然气消费总量进行模拟，验证了GWOGM(1,1)模型的有效性，并且与传统的GM(1,1)模型和Verhulst模型相比较，该模型的预测精度更高。
关键词：灰狼优化算法；混沌映射；收敛因子；单纯形法；Muskingum模型；Richards 模型；GM(1,1)模型西安理工大学硕士学位论文new method of parameter estimation for Muskingum model based on the improved grey wolf optimizer(IGWO)is proposed and applied to the flood calculation in the south canal between Chenggouwan and Linqing River.The experimental results show that IGWO can effectively estimate the parameters of the Muskingum pared with the other methods,IGWO has higher calculation accuracy and better optimization performance.(3)Parameter estimation for Richards model based on CGWO algorithm is proposedOn the basis of analyzing the insufficiency of grey wolf optimizer,an improved grey wolf optimization algorithm(CGWO)is proposed.The proposed algorithm adopts the convergence factor based on the variation of cosine law,and the weight based on the Euclidean distance of the step length is introduced.The simulation experimental results show that the CGWO algorithm has better optimization performance,and it’s calculation accuracy is more higher. Finally,the prediction of the growth concentration of glutamic acid bacteria is taken as an example,and the parameters of the Richards model are estimated by CGWO algorithm.The root-mean-square error and the mean absolute error are used as evaluation pared with the results of PSO algorithm,GA algorithm and VS-FOA algorithm,the CGWO algorithm can effectively estimate the parameters of the Richards model.(4)Forecasting natural gas consumption with a GM(1,1)model based on GWO algorithmIn order to improve the forecasting accuracy of GM(1,1)model,an improved GM(1,1) model based on grey wolf optimizer is proposed(GWOGM(1,1)).The proposed model uses GWO to optimize the development coefficient and grey control parameter of GM(1,1)model, minimizing the average relative percentage errors between the actual value and predicted value.The total natural gas consumption of household and total natural gas consumption in China from2001to2013are simulated,verified the validity of the GWOGM(1,1)model. Compared with the traditional GM(1,1)model and the Verhulst model,the prediction accuracy of the model is more higher.Keywords：Grey Wolf Optimizer;Chaotic map;Convergence factor;Simplex Method; Muskingum model;Richards model;GM(1,1)model目录目录1绪论 (1)1.1研究背景与意义 (1)1.2国内外研究进展 (2)1.2.1算法自身改进 (2)1.2.2与现有算法的结合 (3)1.2.3算法应用 (4)1.3主要研究内容及论文结构 (5)1.4本章小结 (6)2基础知识 (9)2.1群智能优化算法 (9)2.1.1基于细菌的算法 (9)2.1.2基于昆虫的算法 (10)2.1.3基于鸟类的算法 (11)2.1.4基于水生动物的算法 (12)2.1.5基于野生动物的算法 (13)2.2灰狼优化算法 (14)2.2.1基本原理 (14)2.2.2算法及数学模型 (15)2.2.3算法过程分析 (16)2.2.4灰狼优化算法的执行步骤 (17)2.3混沌理论 (18)2.4本章小结 (21)3基于单纯形法的改进灰狼优化算法(SMIGWO) (23)3.1引言 (23)3.2改进的灰狼优化算法 (23)3.2.1混沌序列初始化 (23)3.2.2基于逆不完全Г函数的收敛因子 (24)3.2.3单纯形法 (24)3.2.4SMIGWO算法的执行步骤 (25)3.3仿真实验和结果分析 (25)3.3.1与不同策略改进GWO算法的比较 (26)3.3.2与其他智能优化算法的比较 (28)3.3.3初始化策略分析 (30)3.3.4参数影响分析 (30)西安理工大学硕士学位论文3.4本章小结 (31)4基于IGWO算法的Muskingum模型参数估计 (33)4.1引言 (33)4.2Muskingum模型 (33)4.3灰狼优化算法的改进 (34)4.3.1混沌种群初始化 (34)4.3.2随机分布调整收敛因子 (35)4.3.3仿真实验 (35)4.4Muskingum模型的参数估计步骤 (37)4.5实例验证 (38)4.6本章小结 (41)5基于CGWO算法的Richards模型参数估计 (43)5.1引言 (43)5.2改进灰狼优化算法（CGWO） (43)5.2.1基于余弦规律变化的收敛因子 (43)5.2.2引入动态权重策略 (44)5.2.3CGWO算法步骤 (45)5.3仿真实验 (45)5.3.1与不同策略改进GWO算法的比较 (46)5.3.2与5种进化算法的比较 (47)5.3.3分析不同的比例权重对算法的影响 (49)5.4Richards模型参数估计 (50)5.5本章小结 (52)6基于GWO的GM(1,1)模型在天然气消费预测中的应用 (53)6.1引言 (53)6.2GM(1,1)模型[113,114] (54)6.3算法实现原理 (56)6.4实验结果分析 (57)6.5本章小结 (61)7总结与展望 (63)7.1本文工作总结 (63)7.2未来工作展望 (63)致谢 (65)参考文献 (67)攻读硕士学位期间主要研究成果 (75)1绪论1绪论1.1研究背景与意义优化问题是指在一定的约束条件下，寻找一组合理的参数值，使选定的目标达到最大或者最小的问题，来源于实际生活中的诸多领域，如工业、农业、交通、金融、国防和通信网络等，是人类文明进化过程中普遍存在的、不可避免的问题。
改进灰狼优化算法的研究与分析
其中 a 随着迭代次数的增加从 2 到 0 呈线性递减，r1、r2 为[0, 1]间的随机数。 2) 追捕
(3) (பைடு நூலகம்)
对猎物进行包围后，β, δ 狼在 α 狼的带领下对猎物进行追捕，在追捕过程中狼群个体的位置会随猎 物的逃跑改变， 而后可以根据 α, β, δ 的更新后的位置来重新确定猎物(最优解)的位置。 此阶段狼群位置更 新机制如图 1 所示，更新方程如下：
关键词
灰狼优化算法，小生境，罚函数，函数优化
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
1, 2, , N ) ；
Step 2 计算每个灰狼个体的适应度值 fi ，将适应度值排列前三的灰狼个体的位置分别记为 X α , X β , X δ ， 并将适应度值最好的 X α 记为最优解； 并根据(6~7)式更新灰狼 α, β, δ 和猎物的位置； Step 3 按照(5)式计算剩余个体 ω 与 X α , X β , X δ 的距离， Step 4 按照 (3~4)式更新参数 a, A, C 的值； Step 5 若算法到达到最大迭代次数 t，那么算法结束并输出最优解 X α ；否则，返回 Step 2。
= Xi xi1 , xi 2 , , xiD ) , ( i (=
T
通过式(3)中 a 值的递减来实现，当 a 的值从 2 线性递减 0 时，其对应的 A 的值也在区间 [ −a, a ] 变化。另
探讨灰狼优化算法的应用研究及实践。
探讨灰狼优化算法的应用研究及实践。
■ # ■刖吕1」选题的目的和意义本次论文题H需要我们深度学习灰狼优化算法的知识，探讨优化算法的实际内容。
并基于该算法的基础，并进行一些简单的应用研究及实践。
在实际应用中，根据灰狼优化算法的原理以及理论依据，实现求解连续函数的最优值问题，并且根据算法中存在的一些缺陷，针对性的进行研究与改进。
提出改进后的算法。
并结合原始的基础GWO算法，与改进算法的优化能力进行比较，实现算法对函数优化过程的对比，证明改进算法的意义。
GWO算法国内外的研究在国外，众多学者对GWO算法进行了研究与改进。
2014年，song等引入GWO来解决电力系统中的联合经济排放调度问题（CEED）。
结果于其他优化技术进行比较，以观察GWO的有效性。
2015年，Sulaiman等用GWO解决最优无功率电镀（ORPD）问题，采用IEEE30总线系统和IEEE118总线系统两个案列来现实GWO技术的有效性。
2016年，Medjahed等提出一种新的基于灰狼优化算法的框架，以降低高光谱图像的维度。
结果分析证明，所提出的方法可以有限的研究光谱波段选择问题，并通过使用少数样本训练提供分类准确率。
2017年，Katarya和Verma提供了一个基于电影的合作推荐系统，它利用灰狼优化算法和模糊C均值（FCM）具类技术，并基于他的历史数据预测特定用户的电影评分和用户的相似性。
推荐系统的实验结果表明，与以前的丄作相比，效率和性能得到增强，并提供更好的建议。
国内近些年来，也有许多学者根据理论依据以及现实中存在的问题，对GWO 算法进行了深度的研究。
2015年，龙文等提出一种改进的灰狼优化（IGWO）算法用于求解约束优化问题。
6个标准的约束优化测试结果表明该算法不仅克服了基本GWO的缺点，并且性能优于差分进化和粒子群优化算法。
2016年，龙文等提出一种基于混沌和精英反向学习的混合灰狼优化算法以解决高维优化问题，结果表明，混合灰狼优化算法在求解精度以及收敛速度指标上，均明显优于对比算法。
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2. 灰狼优化(GWO)算法
2.1. GWO 算法原理
灰狼属于食物链顶端的食肉动物，常以群居的方式生存，且灰狼的数量一般控制在 5~12 只。在捕猎
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白媛 等
过程中灰狼群有着严格的社会等级制度，它们分工明确、协同合作进行捕食。在 GWO 算法中，领导能 力最强的灰狼被记为 α，主要负责捕猎(寻优)过程中的决策部分及管理狼群。剩下的灰狼个体按社会等级 被依次记为 β, δ 和 ω。 α 狼是整个灰狼群在捕猎过程中的领导者，是最有智慧和能力最强的个体(即其适应度最佳、离最优 值最接近的狼)；β 狼和 δ 狼是适应度次佳的两个个体，捕猎中它们会协助 α 狼对灰狼群的进行管理及捕 猎过程中的决策问题，同时也是 α 狼的候选者；剩余的狼群被定义为 ω，其主要职责是平衡灰狼种群的 内务关系及协助 α, β, δ 对猎物进行攻击。在整个捕猎过程中，首先由 α 狼带领狼群搜索、跟踪、接近猎 物，当距离猎物的范围足够小时，β, δ 狼在 α 的指挥下对猎物进行围攻，并召唤周围的 ω 狼对猎物进行 攻击，当猎物移动时，狼群形成包围猎物的圈也随之移动，直至捕获猎物。
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1. 引言
大自然中物种会因为不同的任务而表现出不同的社会行为，在过去的几十年中，因模仿动物的某种 行为方式而产生了多种仿生智能算法。最早的仿生算法是由 Holland 教授在 1975 年提出的遗传算法[1] (Genetic Algorithms, GA)，其模拟自然界生物自然选择和遗传原理，通过个体间的选择、交叉、变异等操 作实现优化问题的求解。 1992 年 Dorigo 提出的蚁群算法[2] (Ant Colony Optimization, ACO)其灵感源于蚂 蚁在寻找食物过程中发现路径的行为。粒子群算法[3] [4] (Particle Swarm Optimization, PSO)是 Kennedy 于 1995 年模拟鸟群飞行觅食过程中位置和速度改变提出的一种智能优化算法。2002 年李晓磊等人提出 了根据鱼群觅食、聚群和追尾行为的人工鱼群算法[5] (Artificial Fish-Swarm Algorithm, AFSA)。近几年， 随着计算机技术的不断发展一系列的仿生算法被提出，并在组合优化、自动控制、医疗等社会科学方面 取得了良好的理论成果。 灰狼优化算法[6] (Grey Wolf Optimizer, GWO)是一种模拟灰狼捕食行为的群体智能算法， 该算法最先 由澳大利亚学者 Mirjalili 于 2014 年提出，根据灰狼的社会等级将包围、追捕、攻击等捕食任务分配给不 同等级的灰狼群来完成捕食行为，从而实现全局优化的过程。GWO 算法具有操作简单、调节参数少、编 程易实现等特点。在函数优化方面，与其他群智能优化算法相比有明显的优越性。但同时也存在着易陷 入局部最优、求解精度不高、收敛速度慢等缺点。魏政磊等[7]采用计算分配值的方法提出了一种自适应 搜索的灰狼求解算法从而加快算法的收敛速度；罗佳等[8]将混沌序列方法引入初始化种群个体，给出了 一种寻优性和鲁棒性更好的改进 GWO 算法。龙文等[9]引入了佳点集理来初始化狼群，并用非固定多段 映射罚函数法处理约束条件，利用改进 GWO 算法求解约束优化问题，并验证了其有效性。 灰狼算法在函数优化方面与 PSO、ACA、GA 相比，有着结构简单、易操作等优点，但在寻优的过 程中，由于种群多样性差，从而影响收敛速度且易陷入一种局部最优的状态。根据算法存在的缺点，本 文提出了一种小生境灰狼优化算法(Niche Grey Wolf Optimization, NGWO)。 该算法利用基本 GWO 算法计 算各灰狼的适应度值，当灰狼间的距离小于小生境半径时，比较灰狼个体的适应度值，通过对适应度值 较差的灰狼个体施以罚函数，来提高全局搜索能力。通过对 5 个基准函数的测试，将结果与基本 GWO 算法和 PSO 算法进行比较，表明了该算法的优越性。
文章引用: 白媛, 陈京荣, 展之婵. 改进灰狼优化算法的研究与分析[J]. 计算机科学与应用, 2017, 7(6): 562-571. https:///10.12677/csa.2017.76067
白媛 等
体施以罚函数，来提高全局搜索能力。分析了NGWO算法的时间复杂度，利用NGWO对5个基准函数进 行了测试，并与基本灰狼算法和粒子群算法的结果进行了比较，表明NGWO算法无论是在收敛速度还是 求解精度上均有明显改善。
Abstract
Grey wolf optimization algorithm is a new swarm intelligence algorithm with simulation of grey wolf predation behavior. Based on the encircling, hunting and attacking of grey wolves prey behavior in nature, a niche grey wolf optimization (NGWO) algorithm is proposed. In this algorithm, calculating the fitness of individual using basic GWO, to poor fitness with penalty function through compares fitness of individual with niche radius as limit, thus improve the global search ability. From the above, according to algorithmic flows analyze the time complexity of NGWO. Moreover, tested the NGWO by 5 benchmark functions and compared with two intelligent algorithms, grey wolf optimization and particle swarm optimization. Simulation results indicate that the algorithm has significant improvement in aspects of convergence speed and accuracy.
X (t + = 1) X p ( t ) − A ⋅ D
其中为灰狼和猎物之间的距离， t 为迭代次数，X p ( t ) 为第 t 次迭代后猎物的位置(即最优解的位置)，X ( t ) 为第 t 次迭代后灰狼的位置(即潜在解的位置)，A 和 C 为系数因子，其计算公式为：
A = 2a ⋅ r1 − a
Computer Science and Application 计算机科学与应用, 2017, 7(6), 562-571 Published Online June 2017 in Hans. /journal/csa https:///10.12677/csa.2017.76067
2.2. GWO 算法描述
GWO 算法可以将整个捕猎的过程分为包围、追捕、攻击三个阶段[6]，最终捕获猎物(获得全局最优 解)。具体算法描述如下： 1) 包围 狼群在确定猎物的位置后，首先要对猎物进行包围，在此过程中猎物与灰狼之间的距离可表示为
D= C ⋅ X p (t ) − X (t )
(1) (2)
Dα C1 X α ( t ) − X ( t ) = = Dβ C2 X β ( t ) − X ( t ) = Dδ C3 X δ ( t ) − X ( t )
X 1 X α ( t ) − A1 Dα = = X 2 X β ( t ) − A2 Dβ = X 3 X δ ( t ) − A3 Dδ
Analysis and Research of Improved Grey Wolf Optimization Algorithm
Yuan Bai, Jingrong Chen, Zhichan Zhan
School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu Received: Jun. 4th, 2017; accepted: Jun. 20th, 2017; published: Jun. 23rd, 2017
= Xi xi1 , xi 2 , , xiD ) , ( i (=
T
通过式(3)中 a 值的递减来实现，当 a 的值从 2 线性递减 0 时，其对应的 A 的值也在区间 [ −a, a ] 变化。另
1 < A ≤ 2 时，狼群就会朝着远离猎物的方向分散开去，导致 GWO 算法失去最优解位置，从而陷入一个
关键词
灰狼优化算法，小生境，罚函数，函数优化
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
攻击是捕猎过程的最后阶段，狼群对猎物进行攻击并捕获猎物，即得到最优解。该过程的实现主要 外，当 A ≤ 1 时，即 A 的取值范围在 [ −1,1] 时，则表明狼群的下一个位置会更加接近猎物的位置；当 局部最优的过程。 灰狼优化算法 Step 1 初 始 化 N , D, t , pently 等 参 数 以 及 灰 狼 群 体 X = ( X 1 , X 2 , , X N ) ， 每 个 灰 狼 的 位 置
Keywords
Grey Wolf Optimization Algorithm, Niche, Penalty Function, Functions Optimization