九年级数学下册二次函数y=a(x-h)2+k的图象课件人教新课标版

y
顶点从(0,0)移到了移到了顶点从 (2,0)，即x=2时，，时 y取最大值取最大值0 取最大值
x 1 2 3 4 5
1 –5 –42 –3 –2 –1 O –1 y = − ( x + 2) 3 –2 –3 –4 –5
1 2 y = − ( x − 2) 3 1 2 y =− x 3
y
y = a(x - h )2
左右平移
y = ax2
|h|个单位个单位
如何平移：如何平移：
3 y = ( x − 1) 2 4
3 2 y = ( x − 1) + 2 4
3 y = ( x + 3) 2 − 3 4
3 y = ( x − 5) 2 + 2 4
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口对称轴顶点坐标
向上直线 – 4 直线x= 向下直线x=3 直线
3 2 (6) y = − (x −3) 4
课堂练习 1.抛物线抛物线y=0.5(x+2)2–3可以由抛物线 y=0.5x2 先抛物线可以由抛物线平移2个单位个单位，个单位得到。向左平移个单位，在向下平移 3 个单位得到。 2.已知 –(x+1)2–3，当x为已知s= 已知，为时，s取最取最值 –1 为。大 –3 3.顶点坐标为顶点坐标为(1,1)，且经过原点的抛物线的函数顶点坐标为，解析式是( 解析式是 A.y=(x+1)2+1 D C.y=(x–1)2+1 ) B. y= –(x+1)2+1 D. y= –(x–1)2+1
x 1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 1 2 y = − x −2 –3 3 –4 –5
1 2 y = − x +2 3 1 2 y =− x 3
顶点从(0,0)移到了 5 移到了顶点从 (–2,0)，即x= –2时， 4 ，时 y取最大值取最大值0 取最大值 3 2 1
各种形式的二次函数的关系
个单位左右平移
y = a( x - h )2 + k
个单位
上下平移
|k|
y = ax2 + k
上下平移 |k|个单位个单位
结论: 一般地，结论一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 形状相同，位置不同。与y = ax2形状相同，位置不同。
|h|
8
7
6 6
5
4 4
y = 3x
2
3 2 2 1
-5 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -2
1
2Байду номын сангаас
3
4
5
5
x
y=a(x–h)2+k的图像和性质的图像和性质
1、会用描点法画出二次函数y=a(x-h)²+k的图像、会用描点法画出二次函数的图像 2、了解抛物线y=a(x-h)²+k的开口方向、顶点、了解抛物线的开口方向、的开口方向坐标、对称轴坐标、 3、掌握把抛物线y=ax²平移至、掌握把抛物线平移至y=a(x-h)²+k的规律平移至的规律
(1) y = 2(x − 3)
2
−5
2
向上向下向下向上
直线x=3 直线直线x= 直线 –1 直线x=0 直线直线x=2 直线
(3,–5) (–1,0) (0,–1) (2, 5) (– 4,2) (3,0)
(2) y = −0.5(x +1)
3 2 (3) y = − x − 1 4
2
(4) y = 2(x − 2) + 5 2 (5) y = 0.5(x + 4 ) + 2
根据图象回答何时y<0? 何时何时y>0? 何时
6.已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示已知二次函数的图象如图所示（1）求解析式）（2）何时 y=3？）？（3）根据图象回答：）根据图象回答：当x 时，y>0。。
4.已知一条抛物线的形状与开口方向都与抛物已知一条抛物线的形状与开口方向都与抛物相同，它的顶点在直线y=2x+1上，且线y= –x2相同，它的顶点在直线上经过这条直线与x轴的交点轴的交点，经过这条直线与轴的交点，求这条抛物线的解析式。解析式。
5.如何来求与坐标轴的交点？如何来求与坐标轴的交点？如何来求与坐标轴的交点与坐标轴的交点。求y=x2+2x-8与坐标轴的交点。与坐标轴的交点
y=a(x–h)2
当k>0时,向上平移时向当k<0时,向下平移时向
y=a(x–h)2+k
y=a(x–h)2+k的图象低点是顶点; a＞0时，开口向上最 ____ 点是顶点＞时开口_____, a＜0时，开口向下最高点是顶点＜时开口_____, ____ 点是顶点; 直线x=h ， (h，k) 。， ____ 对称轴是直线 ___，顶点坐标是 __ ____。
1.如何同如何同y=-x2的图象得到的图象得到y=-x2-3的图象。并的图象。如何同的图象说明后者图象的顶点，对称轴，增减性。说明后者图象的顶点，对称轴，增减性。 2.如何如何y=2x2的图象得到的图象得到y=2(x-3)2的图象。并说的图象。如何明后者图象的顶点，对称轴，增减性。明后者图象的顶点，对称轴，增减性。
上
向上 y轴轴 (0,0) y=2x2
向上直线x=1 直线 (1,0) y
5 4 3 2 1
向上直线x=1 直线 (1,1) y=2(x–1)2+1
y=2(x–1)2 x
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2 –3
1 2 y = ( x + 2) + 2 2
y
画出函数 y = 1 x 2
2 1 2 y = (x + 2) + 2 2 1 2 y = (x + 2) − 3 2
5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 O –1 1 2 y = ( x + 2) − 3 –2 2 –3 –4 –5
的图像 1 2 y= x 2 1 2 3 4 5
x
二次函数y 二次函数y=a(x–h)2+k的图象和性质. 的图象和性质.
二次函数y 二次函数y=a(x–h)2的图象和性质. 的图象和性质.
y=ax2
当h>0时,向右平移时向当h<0时,向左平移时向
y=a(x–h)2
顶点从(0,0)移到了移到了顶点从 (0,–2)，即x=0时，，时 y取最大值取最大值–2 取最大值
5 4 3 2 1
y
顶点从(0,0)移到了移到了顶点从 (0, 2)，即x=0时，，时 y取最大值取最大值2 取最大值

合集下载

二次函数y=a(x-h)2 k的图象ppt 人教版

函数y=5(x－3)2－2的图象可由函数
y=5x2 的图象沿x轴向右平移 3 个单位，
再沿y轴向下平移 2 个单位得到 .
1 2 y = x 经过平移能得到 3
y=- 3 ( x -1 )+6 吗 ?
2
不可以 !!
2 1 x- m 把y = ( ) - n (其中m,n是常数) 2
向右平移2个单位, 向下平移5个单位得:
开口方向向上向下
向上
对称轴
顶点坐标
对称轴 ( -3, 5 ) 直线 x=-3 顶点坐标
直线x=1 直线x=3
( 1 , -2 ) ( 3 , 7) ( 2 , -6 )
向下
直线x=2
练习说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：（1）y =2( x+3)2+5;（2）y = －3(x－1)2－2;
2 1 y= ( x -m -2 -5 )- n 2
?
?
右移3
上移1
y = 5( x+ 1 ) +3
2
2
y = 5( x+ 4 ) +2
再接再厉
图形变换带来的顶点,对称轴,最值的变化
1 2 1 2 y x 3 2是 y x 如何变换得到? 2 2 1 2 1 2 y x 4 3是 y x 如何变换得到? 2 2
yaxh k 与
2
y ax2
形状______ 相同，位置不同，把抛物线y=ax2向上（下）
平移，可以得到抛物线 y a x h k 向左（右）_______

2
h，k 的值来决定．平移的方向、距离要根据_________

《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT课件(第3课时)

设抛物线解析式为y=ax2+k.由题意得
B（9, 0），C（8, 1.7）.
把B、C两点的坐标代入y=ax2+k，得
0=81a＋k , 1.7 64a＋k ,
解得
a= 0.1, h 8.1.
∴y=-0.1x2+8.1,∴h=k=8.1,即大门高8.1m.
点拔:此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点, 建立平面直角坐标系,求得抛物线的解析式，进而得出顶点坐标,顶点的纵坐标即为h的值.
2
抛物线 y 1 (x 1)2 1 ？
2
平移方法：
y
1
y 1 x2 2
1
个单位
向下平移
y 1 (x 1)2 1 2
向左平移 1个单位
y 1 x2 1 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
链接中考
1.抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ A ）
A．（1，1）
B．（﹣1，1）
C．（﹣1，﹣1）
D．（1，﹣1）
2.将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下
平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ A ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y=﹣5（x+1）2+3
人教版数学九年级上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第3课时
-.
导入新知

《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT课件

2
h 0, k 0 y ax k

2

k 0, h 0 y a x h
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
难点：通过图象，观察抛物线y=a(x−ℎ)2 +k与抛物线y=ax2的平移规律。
二次函数"y=a(x−ℎ)^2+k的图象
通过描点法画出 = −
1
2
+1
2
− 1的图象？
【列表】
… -4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
…
1
= − 2 ( +
1)2 −1
-5.5
二次函数"y=a(x−ℎ)^2+k的图象
y
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
x
D.第一、三、四象限
【分析】观察图象可知二次函数y=a(x+m)2+n中a>0，m<0，n<0,所以
y=mx+n的图象经过二、三、四象限。
1
通过描点法画出 = − 2 + 1
2
− 1的图象？
x=-1
【描点】
y
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点
0
-4
【连线】
-2
用平滑曲线顺次连接各点，就得到

初三数学(人教版)22.1.3二次函数y=a(x-h)2 k的图象和性质(4)-2PPT

探究思考
总结：在求解抛物线对应的二次函数解析式的一类问题中，先设要求的二次函数为 y = a x − h 2 + k，再根据题目条件确定a，h，k 中一项或几项的值，最后利用待定系数法求余下的字母系数的值．
常见条件：抛物线形状；平移前后解析式；对称轴；最值；顶点坐标等等．
探究思考
例3：设 A(−3, a)，B(−2, b)，C(−1, c) 是抛物线 y = − 3 x − 1 2 + k 上的三点，判断 a，b，c 的大小关系．
∴ 向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度．
还有别的方法吗？
探究思考
变式2 ：在平面直角坐标系中，抛物线 y = −2 x − 1 2 + 6 经过怎样的变换可以得到抛物线 y = −2 x − 3 2 + 4？
答：抛物线 y = −2 x − 1 2 + 6 与 y = −2 x − 3 2 + 4 形状相同，位置不同．y = −2 x − 1 2 + 6 的顶点坐标为(1，6)， y = −2 x − 3 2 + 4 的顶点坐标为(3，4)；
探究思考
例1：在平面直角坐标系中，抛物线 y = 3 x − 5 2 − 4 经过
怎样的变换可以得到抛物线 y = 3x2？
逆向思考
答：y = 3x2 向右平移5个单位长度，向下平移4个单位长度得到抛物线 y = 3 x − 5 2 − 4；
故抛物线 y = 3 x − 5 2 − 4 向左平移5个单位长度，向上平移4个单位长度得到抛物线 y = 3x2．
答：代入 x = −3, −2, −1，计算得 a = k − 48，b = k − 27, c = k − 12．

人教版九年级数学课件-二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

復習引入
1.說出下列函數圖象的開口方向,對稱軸,頂點,最值
和增減變化情況: y
(1)y=ax2
O
(2)y=ax2+c
y
Ox
y
O
x
x
y
y
Ox
Ox
y
Ox
(3)y=a(x-h)2
y
y
Ox O x
yy
Ox O
x
2.請說出二次函數y=-2x2的開口方向、頂點座標、對稱軸及最值？
向上平移3個單位 y=-2x2+3 3.把y=-2x2的圖像
8 6
4 2
-4 -2 O 2 4
x
-2
知識要點
二次函數y=a（x-h)2 +k的特點
a＞0時，開口向上 a＜0時，開口向下對稱軸是直線x=h
, 最低點是頂點; , 最高點是頂點; ，頂點座標是 (h,k) .
例3. 已知二次函數y＝a(x－1)2－4的圖象經過點(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是該函數圖象上的兩點，當 y1＝y 2時，求m、n之間的數量關係．分析：(1)把點(3，0)的座標代入函數運算式計算即可得解；
解:如圖建立直角坐標系,
點(1,3)是圖中這段拋物線的頂點. y
因此可設這段拋物線對應的函數是 3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
A 2
∵這段拋物線經過點(3,0)， 1
∴ 0=a(3－1)2＋3.
B(1，3)
解得:
a=－
3 4
O 12
因此拋物線的解析式為:
y=
－3 4
(x－1)2＋3

26.1 二次函数及其图像课件4(数学人教版九年级下册)

y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对称轴、顶点各是什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点：（1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ；（2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。（ h，k）

人教版九年级数学 22.1.3.1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质课件(共24张PPT)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
上加下减
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向上平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向下平移 11 个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向下平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；
y=x2-1
…
8
y=x +1
8
… 2
2 y的思考：当x取同一数值时，数值有什么变化？ 1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
10 9 y=x2－1 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 51 x -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
(1) 抛物线y=x2+1,y=x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2有什么关系? （1）抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1).
y=ax2 (a≠0) 图象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向向上向下顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴当x<0时, 当x<0时，增 y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。减当x>0时，当x>0时， y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。性 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1 的图像 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》PPT教学课文课件 (第3课时)

向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
y=ax2+k
向右(h>0)[或向左 (h<0)]平移|h|个单位
y=a(x-h)2+k
y
hO k
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
对称轴直线x=3 直线x=-1 直线x=4 直线x=3
顶点坐标 (3,5) (-1,2) (4,5) (3,-4)
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长.
4.指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.
（1）y=5(x+2)2+1；
（2）y=-7(x-2)2-1；
开口向上对称轴为x=-2 顶点坐标为（-2，1）
开口向下对称轴为x=2 顶点坐标为（2，-1）
（3）y=(x-4)2+3；
（4）y=-(x+2)2-3.
开口向上对称轴为x=4 顶点坐标为（4，3）
解：如图,以水管与地面交点为原点，
3
原点与水柱落地处所在直线为x轴，水
管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，
因此，可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)²+3（0≤x≤3）
由这段抛物线经过点(3,0)可得
0=a(3-1)²+3，
3
解得a
3 4
因此y=-
3 4
(
x
3.怎样移动抛物线 y 1 x2 就可以得到抛物线y 1 (x 1)2 1？

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质课件-优质课公开课课件

y最小=0 对称轴右 x=0, 侧y随x增 y最小=1 大而增大
新知讲解
思考2：这三个函数 y=2x2、y=2x2+1、y=2x2-1的图象存在怎
样的关系？
y=2x2图象向上平移1个单位长度得到y=2x2+1的图象， y=2x2图象向下平移1个单位长度得到y=2x2-1的图象.
新知讲解
思考2：这三个函数 y=2x2、y=2x2+1、y=2x2-1图象存在怎样
y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1
新知讲解
思考1：观察上面三个函数的图象，回答下面问题：
解析式形开口方对称顶点坐顶点高函数最函数的增减
状向
轴标
低
值
性
y=2x2-1
y=2x2
抛物
线 y=2x2+1
向上
(0,-1)
直线 (0,0) x=0
(0,1)
最低
x=0, 对称轴左 y最小=-1 侧y随x增 x=0, 大而减小
直线 (0,0) x=0
(0,1)
最高
x=0, 对称轴左 y最大=-1 侧y随x增 x=0, 大而增大
y最大=0 对称轴右 x=0, 侧y随x增 y最大=1 大而减小
新知讲解
（2）函数 y=-2x2、y=-2x2+1、y=-2x2-1图象之间的关系：
①y=-2x2图象向上平移 1 个单位长度得到y=-2x2+1的图象； ②y=-2x2图象向下平移 1 个单位长度得到y=-2x2-1的图象； ③y=-2x2+1图象向下平移 1 个单位长度得到y=-2x2的图象； ④y=-2x2+1图象向下平移 2 个单位长度得到y=-2x2-1的图象； ⑤y=-2x2-1图象向上平移 1 个单位长度得到y=-2x2的图象； ⑥y=-2x2-1图象向上平移 2 个单位长度得到y=-2x2+1的图象.