平面解析几何初步知识点

平面解析几何初步

一、直线的概念与方程

1.直线的倾斜角：在直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴（正方向）按_______方向绕着交点旋转到___________所成的角，叫做直线l 的倾斜角。当直线l 和x 轴平行时，它的倾斜角为0O .倾斜角通常用α表示，倾斜角α的范围是

1800<≤α

2.直线的斜率：倾斜角的________值叫做直线的斜率。通常用字母k 来表示，即k =_________.

当k = 时,直线平行于x 轴或者与x 轴重合;当k 0时,直线的倾斜角为锐角;当k < 0时,直线的倾斜角为 ;当倾斜角α=90o 时，直线的斜率________. 3.直线的斜率公式：直线上两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),当1x =2x 时,直线的斜率 , 当1x ≠2x 时,直线的斜率为21

tan y y k x x α-==-

4.直线方程的五种表达形式及适用条件

（1）过点),(b a P 垂直于x 轴的直线的方程为：

过点),(b a P 垂直于y 轴的直线的方程为（2）已知直线的纵截距为b ，可设其方程为：

（3）过原点且斜率为k 的直线的方程为 6．两条直线的位置关系：

（1）直线平行的条件：两条不重合的直线21l l 、，根据两条直线平行的定义及性质可知1l //212αα=?l ,再由k 与α的关系可知:21//l l 时或者

21k k 、均；反之21k k =或者21k k 、均不存在时两条直线平行。

注：考查两条直线平行时，应首先考虑斜率是否存在．．．．．．

。（2）直线垂直的条件：两条直线21l l 、的倾斜角为21,αα则两条直线

21l l ⊥ 90||21=-?αα .根据两条直线的斜率判断两条直线垂直的情况分

为两类,一是:其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 ;二是:两条直线的斜率都存在,且乘积为 . 7.直线的交角：

⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时

1121tan k k k

k +-=θ.

⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是

?????2,0π，当

90≠θ，则有2

1121tan k k k k +-=θ.

8. 距离公式

（1）两点间的距离公式：平面内任意两点1P ),(11y x ,2P ),(22y x 之间的距离为()()21221221y y x x P P -+-=

（2）点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l

的距离为d ，则有2

00B

A C By Ax d +++=

(3) 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线11:0,l Ax By C ++=

)(0:2122C C C By Ax l ≠=++，它们之间的距离为d ，则有2

221B A C C d +-=

9.直线系

⑴在点斜式方程y -y 0=k (x -x 0)中，

①当（x 0，y 0）确定，k 变化时，该方程表示过定点（x 0，y 0）的旋转直线系， ②当k 确定，(x 0，y 0)变化时，该方程表示平行直线系.

⑵已知直线l ：0Ax By C ++=

则①方程0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量，表示与l 平行的直线系； ②方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量，表示与l 垂直的直线系。

⑶过两直线???=++=++0:0

:222

21111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程为

λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包

括在内）

二、圆的方程

1.圆的方程的几种表达形式

（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中点),(b a C 为圆心，r 为半径. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 注：特殊圆的方程：

①与x 轴相切的圆方程222)()(b b y a x =±+- )],(),(,[b a b a b r -=或圆心 ②与y 轴相切的圆方程2

)()(a b y a x =-+± )],(),(,[b a b a a r -=或圆心 ③与x 轴y 轴都相切的圆方程2

)()(a a y a x =±+± )]

,(,[a a a r ±±=圆心（2）圆的一般方程：02

2=++++F Ey Dx y x .

当042

>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心???

?--

2,2E D C ，半径2

422F

E D r -+=

当0422=-+F E D 时，方程表示一个点???

??--

2,2

E D . 当042

<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.

（3）圆的参数方程：??

?+=+=θ

sin cos r b y r a x （θ为参数）.

（4）圆的直径式方程： 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=,其中

1122(,),(,)A x y B x y 是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）

2.用待定系数法求圆的方程王新敞

：

（1）根据提议，选择标准方程或一般方程；

（2）根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组；（3）解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程。三、点、线、圆的位置关系

1.点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-?

②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-?

2.直线与圆的位置关系 ⑴代数法：直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x 联立得方程组

2200Ax By C x y Dx Ey F ++=??++++=????→消元

一元二次方程24b ac

?=-??→000>???=???

△相交△相切△相离

（2）几何法：设圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-；直线l ：0=++C By Ax ；

圆心),(b a C 到直线l 的距离22B A C Bb Aa d +++=，则d r d r d r >???

=???

相离

相切相交

注：若圆C 的半径为R ，AB 是长度为L 的弦，弦心距为d ，则_______________. 3.直线与圆相切的问题

（1）.求过圆上的一点00(,)x y 圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k ,

则由垂直关系,切线斜率为1

-k

,由点斜式方程可求得切线方程;

（2）.求过圆外一点00(,)x y 圆的切线方程:

①(几何方法)设切线方程为00()y y x x -=-k 即00-0x y x y -+=k k ,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求得k ,切线方程即可求出.

②(代数方法) 设切线方程为00()y y x x -=-k ,即00y x x y =-+k k 代入圆方程得一个关于x 的一元二次方程,由0?=,求得k ,切线方程即可求出.

注：①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得.

②过圆222

x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程为200xx yy r +=.

4.圆和圆的位置关系：

（1）设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，21O O 为圆心距，则两圆位置关系如下：

①2121r r O O +>2?两圆外离； ②2121r r O O +=?两圆外切；

③<-||21r r 2121r r O O +

（2）设两圆22

1111:0C x y D x E y F ++++=,

222222:0C x y D x E y F ++++=，若两圆相交，则其公共弦方程为

0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D

（3）过两圆221111:0C x y D x E y F ++++=,22

2222:0

C x y

D x

E y

F ++++=的交点的圆系方程为：（不包含圆2C ）四、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系：

（1）如图，,,,,

OBCD D A B C -是单位正方体.以A 为原点，分别以OD,OA,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x 轴.y 轴.z 轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1）A 叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）. 右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂

直时，可能形成的位置。大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。（3）.有序实数组

1）空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组

(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)M x y z （x 叫做点M

的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标）。（4）点),,(c b a P 关于x 轴的对称点的坐标为点),,(c b a P 关于y 轴的对称点的坐标为点),,(c b a P 关于z 轴的对称点的坐标为点),,(c b a P 关于xOy 平面的对称点的坐标为点),,(c b a P 关于xOz 平面的对称点的坐标为点),,(c b a P 关于yOz 平面的对称点的坐标为

点),,(c b a P 关于原点的对称点的坐标为 2.空间两点间的距离公式空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式

22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=

特殊的，点()z y x A ,,到原点的距离为 =OA

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案(全)

1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． (3)指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，) , ( 2 2 2 2 B A A B A B +-+ （单位向量）；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）（6）参数式：?? ?+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，) ,(2222b a b b a a ++； a b k = ； 22||||b a t PP o += ；

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

第二章平面解析几何初步章末总结附解析苏教版必修

第二章平面解析几何初步章末总结（附解析苏教版必修2）【金版学案】2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2 一、数形结合思想的应用若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且 ∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________．解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法． y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°. ∴k＝3或－3. 答案：3或－3 规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合． 1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范

围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化． 2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质． ►变式训练 1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5. ∴点C的坐标为(0，5)．又点M的坐标为(－1，0)， ∴kMC＝5－00－（－1）＝5. 结合图形得0k5. 答案：(0，5) 2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：方法一∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0

平面解析几何解题思路探究

平面解析几何解题思路探究台山培英中学梁达辉在平面解析几何学习中，许多同学感觉到对所学的基本概念已经理解，基本公式已经熟练，但解题时却力不从心，无从入手。究其原因：一是在学习中没有注意总结归纳基本题型及其解法；二是对老师归纳过的一些解法未能内化；三是缺乏对解题策略的探究。下面结合平面解析几何直线部分的内容介绍一些基本题型及其解决法。 1、关于求点P 分有几或段P 1P 2 所成的比例的问题基本思路是：先定符号，再求数值。解题时一般要根据已知条件画出线段P 1P 2，在P 1P 2所在直线在打到分点P 的位置，并确定入的正负性，再根据P 1、P 、P 2之间的长度关系或坐标关系计算出的值，例如：已知A 、B 、C 三点共线，点C 分AB 的比为-3，求点B 分AC 所成的比。解:（图略）设点B 分AC 所成的比为λ 点C 分AB 所成的比为点C 在AB 的延长线上 B 在线段AC 上 λ＞0 AC=-3CB |AC|=3|CB| |AB|=2|BC| AB=λBC |AB|=|λ||BC| |∵λ＞0 ∴λ=2 2、关于判断线证明平面内三点共线问题一般方法有：（1）用分点坐标公式：λ= =只要根据三点坐标

分别求出和的值，相等则共线，否则不共线（2）用两点间距离公式：由三点坐标计真算每两点间的距离，若最大的距离等于另两个较小距离之和，则这三点共线，否则不共线。（3）用斜率公式：分别计真其中一点与另两点连线的斜率，若两斜率相等或两斜率都不存在，则这三点共线，否则不共线。（4）用直线的方程：求出经过其中两点的直线方程，再判断另一点的坐标是否满足该直线方程，若满足，则这三点共线，若不满足，则这三点不共线。 3、求一点P（X o ，Y o ）关于一直线AX+By+C=O的对称点问题（1）若直线为特殊直线Y=X，Y=-X，X轴，Y轴时，则对称点的坐标分别为（Y 0，X O ），（-Y O ，-X O ）、（X O ，-Y O ）、（-X O ，Y O ）。（2）当直线AX+BY+C=O一般直线时，可设对称点的坐标为：P1（X1 Y1），建立方程组 · =-1 A + +C=0

平面解析几何初步(知识点例题)

个性化简案个性化教案（真题演练）

个性化教案

平面解析几何初步知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式【典型例题】例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝时，直线过原点．【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是（） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是（） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是（） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值.

平面解析几何-高考复习知识点

平面解析几何高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率１、直线的倾斜角: （1）定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； (2)倾斜角的范围[)π,0。２、直线的斜率（1）定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k ＝α（α≠９0°)；倾斜角为９０°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212 12 1x x x x y y k ≠--=; (3)直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线： AB BC k k =。例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为,求该直线斜率的变化范围；思路点拨:已知角的范围,通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之,已知斜率的范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围? 解析: ∵, ∴ .? 总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，; 当时，;当时,;当不存在时，．反之,亦成立. 类型二：斜率定义例2．已知△为正三角形，顶点A 在ｘ轴上,A 在边的右侧,∠的平分线在x 轴上，求边与所在直线的斜率．思路点拨：本题关键点是求出边与所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率．解析：? 如右图,由题意知∠∠3０°? ∴直线的倾斜角为180°-30°=1５０°,直线的倾斜角为30°，? ∴15０°= 30°=? 总结升华: 在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．

平面解析几何初步典型例题整理后

平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程经典例题导讲［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 解：接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥ 0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个圆？解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0，得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)，于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆01422 2 =+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：

高考数学平面解析几何的复习方法总结

2019年高考数学平面解析几何的复习方法总结在高中数学知识体系中，平面解析几何是其中很大的一块，涉及到直线及其方程、线性规划、圆及其方程、椭圆及其方程、抛物线及其方程、双曲线及其方程以及曲线与方程的关系及其图像等具体的知识点。在高考的考查中，又可以将上述的7个知识点进行综合考查，更是增加了考查的难度。要想学好这部分知识，在高考总不丢分，以下几点是很关键的。突破第一点，夯实基础知识。对于基础知识，不仅一个知识点都要熟稔于心，还要有能力将这些零散的知识点串联起来。只有这样，才能形成属于自己的知识框架，才能更从容的应对考试。 (一)对于直线及其方程部分，首先我们要从总体上把握住两突破点：①明确基本的概念。在直线部分，最主要的概念就是直线的斜率、倾斜角以及斜率和倾斜角之间的关系。倾斜角α的取值范围是突破[0，π)，当倾斜角不等于90°的时候，斜率k=tanα;当倾斜角=90°的时候，斜率不存在。②直线的方程有不同的形式，同学们应该从不同的角度去归类总结。角度一：以直线的斜率是否存在进行归类，可以将直线的方程分为两类。角度二：从倾斜角α分别在[0，π/2)、α=π/2和(π/2，π)的范围内，认识直线的特点。以此为基础突破，将直线方程的五种不同的形式套入其中。直线方程的不同形式突破需要满足的条件以及局限性是不同的，我们也要加以总结。

(二)对于线性规划部分，首先我们要看得懂线性规划方程组所表示的区域。在这里我们可以采用原点法，如果满足条件，那么区域包含原点;如果原点带入不满足条件，那么代表的区域不包含原点。 (三)对于圆及其方程，我们要熟记圆的标准方程和一般方程分别代表的含义。对于圆部分的学习，我们要拓展初中学过的一切与圆有关的知识，包括三角形的内切圆、外切圆、圆周角、圆心角等概念以及点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆的内切正多边形的特征等。只有这样，才能更加完整的掌握与圆有关的所有的知识。 (四)对于椭圆、抛物线、双曲线，我们要分别从其两个定义出发，明白焦点的来源、准线方程以及相关的焦距、顶点、突破离心率、通径的概念。每种圆锥曲线存在焦点在X轴和Y轴上的情况，要分别进行掌握。突破第二点，学习基本解题思想。对于平面几何部分的学习，最基本的解题思想就是数形结合，还包括函数思想、方程思想、转化思想等。要想掌握数形结合这种思想方法，首先同学们心中要有坐标轴，要掌握好学过的各种平面几何的概念。其次，要掌握解决不同问题的方法。对于不同的题型，同学们要掌握不同的解题方法，并将这种解题方法及其例题记录在笔记本上。对于向量方法，最长用的地方就解决与斜率有关的问题;对于“设而不求”的方法，最常用到的地方就是两种不同的平面几何图形相交的情况下求弦长的问题;设点法，最长用到的地方就是两种曲线相切以及求最值得问题等。同学们要分门别类的进行总结，才能达到事半功倍的效

平面解析几何基础练习

1. 以点A （-5,4）为圆心，且与x 轴的相切的圆标准方程是（） A.16)4()5(22=-++y x B.16)4()5(22=++-y x C. 25)4()5(22=-+-y x D. 25)4()5(22=+--y x 2.与椭圆 133 492 2 =+ y x 有公共焦点且离心率为3 4= e 的双曲线的标准方程为（） A. 1972 2 =- y x B. 19252 2 =- y x C. 179 2 2 =- y x D. 125 9 2 2 =- y x 3.当方程 15 8 2 2 =-+ -k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线时，k 的值是（） A.k<5 B.58 4.椭圆的长轴是短轴的2倍，则椭圆的离心率是（） A. 2 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 2 3 5.如果直线y=x+b 与抛物线x y 42=的焦点的距离为2，那么b 等于（） A.22 B. -22 C. ±22-1 D. ±22 6.当e>1时，圆锥曲线表示的曲线是 7.已知圆C 和直线x-y=0相切，圆心坐标为（1,3），则圆C 的方程是 8.椭圆 1100 36 2 2 =+ y x 的交点坐标是，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和是 9.在抛物线x y 122 =上和焦点的距离等于9的点的坐标是 10.抛物线2 x y =与直线y=2x-4的最短距离是 11.已知双曲线 19 16 2 2=- y x ，则它的离心率是 1. 在第四象限内到原点的距离为2的点的轨迹方程是（） A.42 2 =+y x B 42 2 =+y x （x>0） C.2 4x y --= D. 2 4x y --=（0

福建省长泰一中高考数学一轮复习《平面解析几何初步》教案

福建省长泰一中高考数学一轮复习《平面解析几何初步》教案 1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 2．会用二元一次不等式表示平面区域． 3．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用． 4．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法． 5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念．在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现．考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等．第1课时直线的方程知识网络考纲导读高考导航基础过关简单的线性规划直线的倾斜角和斜率直线方程的四种形式两条直线的位置关系直线圆的方程圆的一般方程圆的参数方程直线和圆圆的标准方程曲线和方程

线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3．直线方程的五种形式名称方程适用范围斜截式点斜式两点式截距式一般式例1.已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．① 当m＝时，直线的倾斜角为45°．②当m＝时，直线在x轴上的截距为1．③ 当m＝时，直线在y轴上的截距为－ 2 3．④ 当m＝时，直线与x轴平行．⑤当m＝时，直线过原点．解：(1) －1⑵ 2或－ 2 1⑶ 3 1或－2 ⑷－ 2 3⑸ 4 1 变式训练1.（1）直线3y＋ 3 x＋2=0的倾斜角是（） A．30° B．60° C．120° D．150° （2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是（） A．－3，4 B．2，－3 C．4，－3 D．4，3 （3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－7 ，则l2的斜率是（） A．7 B．－ 7 C． 7 D．－7 （4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．解：（1）D．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－ 3 ．（2）C．提示：用斜率计算公式12 12 y y x x - - ．典型例题

苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》word教案

苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》 w o r d教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数学同步测试—第二章章节测试本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是（） A ．2条重合的直线 B ．2条互相平行的直线 C ．2条相交的直线 D ．2条互相垂直的直线 2．直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称，l 1的方程为y = ax + b ，那么l 2的方程为（） A ．a b a x y -= B ．a b a x y += C ．b a x y 1+= D ．b a x y += 3．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为（） A ．(x －3)2+(y ＋1)2=4 B ．(x ＋3)2+(y －1)2=4 C ．4(x ＋1)2+(y ＋1)2=4 D ．(x －1)2+(y －1)2= 4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是（） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．－1 5．直线1l 、2l 分别过点P （－1，3），Q （2，－1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则1l 、2l 之间的距离d 的取值范围为（） A ．]5,0( B ．（0，5） C ．),0(+∞ D ．]17,0( 6．直线1x y a b +=与圆222(0)x y r r +=>相切，所满足的条件是（） A ．ab r =B ．2222()a b r a b =+ C ．22||ab r a b =+ D ．22ab r a b =+ 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．随a 值变化而变化

平面解析几何初步一轮复习-(有答案)

第四章平面解析几何初步第1课时直线的方程 1．倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在． 2．过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式．若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3．名称方程适用范围斜截式点斜式两点式截距式一般式例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝时，直线过原点．解：(1) －1 ⑵ 2或－2 1 ⑶ 31或－2 ⑷－23 ⑸ 4 1 变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是（） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° （2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是（） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 （3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是（） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．解：（1）D ．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－3 ．（2）C ．提示：用斜率计算公式 12 12 y y x x --．（3）A ．提示：两直线的斜率互为相反数．（4）2y ＋3x ＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式典型例题基础过关

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地，当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。二、直线的方程 1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式不包括垂直于x 轴的直线为直线上一定点，k 为斜率斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点直线截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或

线在 y 轴上的非零截距过原点的直线一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离（1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案

1直线的倾斜角与斜率： (1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角? 倾斜角[0,180 ), 90斜率不存在■ (2)直线的斜率：k y2 X2 —^(为X2), k X1 tan . ( R(X1, yj、巳佑y：)) 2 ?直线方程的五种形式: (1)点斜式: 注：当直 y y1 k(x X1)(直线1过点R(X1,y1)，且斜率为k ). 1■线斜率不存在时，不冃匕用点斜式表示，此时万程为X X0 . (2)斜截式：y kx b ( b为直线1在y轴上的截距). (3)两点式： y y1 x X1 ( (% y2, X1 X2). y2 y1 X2 X1 注：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线； ②方程形式为：(x2 x1)(y y1) (y2y1 )(x x1) 0时，方程可以表示任意直线. (4)截距式： X y 1 ( a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b 0). a b 注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线. (5) —般式：Ax By C 0 (其中A、B不同时为0). AC A 一般式化为斜截式：y x ，即，直线的斜率：k B B B 注：(1)已知直线纵截距b，常设其方程为y kx b或x 0. 已知直线横截距x0,常设其方程为x my x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0 . 已知直线过点(X。，y°)，常设其方程为y k(x x°) y或x x°. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. (1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点. (2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点. (3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点. 4.两条直线的平仃和垂直: (1 )若11 : y k1x b1,12 ： y k2X b2 ① 11//12k1k2,b1 b2 ;② 1112k1k2 1 (2 )若11 : A1x B1y C1 0, 1 2 : A Q X B2 y C2 0,有 ① 11 //12 A i B2 A2 B i 且 A C? A2C1.② 11 12 A i A2 B i B2 0 . 5.平面两点距离公式：

平面解析几何知识点总结.doc

基本要求① .掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系; ②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。 ③ . 掌握圆的标准方程和一般方程 . ④ . 掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; ⑤. 灵活运用圆的几何性质解决问题 . 1 直线方程的五种形式点斜式：y y0k ( x x0 ) ，(斜率存在 ) 斜截式：y kx b (斜率存在 ) 两点式： y y1 x x 1， (不垂直坐标轴 ) y2 y1 x2 x1 截距式：x y 1 (不垂直坐标轴 ,不过原点 ) a b 一般式： Ax By C 0 2.直线与直线的位置关系：（ 1）有斜率的两直线 l1：y=k 1x+b1； l2：y=k 2x+b2；有：① l1∥ l2 k1=k2且 b1≠ b2；② l 1⊥ l2 k1·k2 =-1 ； ③ l 1与 l 2相交k 1≠ k2 ④l 1与 l 2重合k1=k2 且 b1=b2。（ 2）一般式的直线l ： A x+B y+C =0， l ： A x+B y+C =0 有：① l ∥ l 2 AB-A B=0；且 BC-B 2 C ≠ 0 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 ② l1⊥ l2A1A2+B1B2=0 ③ l1与 l2相交 A 1B2-A 2B1≠ 0 ④ l1与 l2重合 A 1B2-A 2B1=0 且 B1C2-B 2C1=0。 3.点与直线的位置关系：点 P（ x ， y ）到直线 Ax+By+C=0的距离： d Ax0 By0 C 。 00 A2 B 2 平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 之间的距离为 d C1 C2 A2 B 2 两点间距离公式：| PP | (x x )2 ( y y )2 1 2 1 2 1 2 .4 直线系方程 ①过直线 l 1：A1x+B1y+C1=0， l 2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0（λ∈R）( 除l2外 ) 。 ②过定点 M ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y y0 k( x x0 ) （其中不包括直线x x0） ③和直线 Ax By C 0 平行的直线方程为Ax By C ' 0 (C C ') ④和直线 Ax By C 0 垂直的直线方程为Bx Ay C ' 0 5.圆的定义 : 平面内与定点距离等于定长的点的集合( 轨迹 ) 叫圆 . 在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件: 如三个点 , 半径和圆心 ( 两个坐标 ) 等 . 2 2 2 6. 圆的方程 (1)标准式： (x-a) +(y-b) =r (r>0)，其中 r 为圆的半径， (a， b)为圆心。 2 2 2 2 D E 1 D 2 E 2 4F (2)一般式： x +y +Dx+Ey+F=0(D+E -4F>0)，其中圆心为( , ) ，半径为 2 2 2 (3) 参数方程 : x r cos ， x a r cos (是参数) . 消去θ可得普通方程y r sin y b r sin （ 4） A(x 1， y1)B(x 2，y2)为直径的圆: (x-x1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0; （5） .过圆与直线（或圆）交点的圆系方程： i)x2+y2+Dx+Ey+F+λ (Ax+By+C)=0，表示过圆与直线交点圆的方程

平面解析几何知识点归纳

平面解析几何知识点归纳 ◆知识点归纳直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2 (tan π α≠ =a k ，R k ∈ 斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式

能力提升斜率应用例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则c c f b b f a a f ) (, )(,)(的大小关系例2.已知实数y x ,满足)11(222 ≤≤-+-=x x x y ，试求 2 3 ++x y 的最大值和最小值两直线位置关系两条直线的位置关系设两直线的方程分别为： 222111:b x k y l +=或0 :22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组?? ?+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00 222 111C y B x A C y B x A

直线间的夹角： ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ③当0121=+k k 或02121=+B B A A 时，o 90=θ；直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：) 2 (π θθα≤ =或 )2 (π θθπα>-=；距离问题 1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-= 2.点到直线距离公式点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2 2 00B A C By Ax d +++= 3.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ， 2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 4.直线系方程:若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或 )(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数) 对称问题 1.中点坐标公式：已知点),(),,(2 211y x B y x A ，则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为??? ???? +=+=222121y y y x x x 点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问

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