2019上海数学初三二模第23题汇编

证明题专题

1.如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，联结AP 并延长AP 交CD 于F 点， （1）求证：四边形AECF 为平行四边形；

（2）如果PA PC =，联结BP ，求证：APC EPC ???

第23题图

【答案】（1）由折叠得到EC 垂直平分BP ， ………………1分 设EC 与BP 交于Q ，∴BQ EQ = ………………1分 ∵E 为AB 的中点， ∴AE EB =， ………………1分 ∴EQ 为△ABP 的中位线，∴AF ∥EC ， ………………2分 ∵AE ∥FC ， ∴四边形AECF 为平行四边形； ………………1分 （2）∵AF ∥EC ，∴90APB EQB ∠=∠=? ………………1分 由翻折性质90EPC EBC ∠=∠=?，PEC BEC ∠=∠ ………………1分 ∵E 为直角△ABP 斜边AB 的中点，且=AP EP ，

∴△AEP 为等边三角形 , 60BAP AEP ∠=∠=?， ………………1+1分

?=?

-?=

∠=∠60260180CEB CEP ………………1分

在△ABP 和△EPC 中， BAP CEP ∠=∠， APB EPC ∠=∠，AP EP = ∴APC EPC ???(AAS ）， ………………1分 2.如图7，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=?，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点

O ．

过点D 作DE BC ⊥，交AC 于点F ．

（1）联结OE ，若BE AO EC OF

=，求证：OE CD ∥； （2）若AD CD =且BD CD ⊥，求证：AF DF

AC OB

=．

【答案】(1)∵90ABD ∠=?,BC DE ⊥

∴//AB DE ………………………………………………………………（1分）

∴

AO BO

OF OD = ………………………………………………………………（2分） ∵BE AO

EC OF =

∴

AO BE

OF EC = ……… ………………………………………………………（2分） ∴//OE CD …………………………………………………………………（1分） (2)∵BC AD //，//AB DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形 又∵90ABD ∠=?

∴四边形ABED 为矩形 ……………………………………………………（1分） ∴AD BE =，90ADE ∠=? 又∵CD BD ⊥

∴90BDC BDE CDE ∠=∠+∠=? ?=∠+∠=∠90BDE ADB ADE

∴CDE ADB ∠=∠ …………………………………………………………（1分）

AD CD =Q

∴DCA DAC ∠=∠

∴()A S A CDF ADO ..???…………………………………………………（1分） ∴OD DF =

DE AB //Θ

∴AF BE AD AC BC BC ==

…………………………………………………………（1分）

∵BC AD //

∴BO DF

BO OD BC AD =

=…………………………………………………………（1分） ∴

AF DF

AC OB =…………………………………………………………………（1分） 3.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若DBC CAD ∠=∠.

（1）求证：ABCD 是正方形.

（2）E 是OB 上一点，CE DH ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：

OF OE =.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，

∴BC AD //，DAC BAD ∠=∠2,DBC ABC ∠=∠2………………………………..（2分）

∴ο

180=∠+∠ABC DAB …………………………………….（1分） ∵DBC CAD ∠=∠;

∴ABC BAD ∠=∠……………………………（1分）

∴ο

1802=∠BAD ; ∴ο

90=∠BAD ……………………………………1分） ∴四边形ABCD 是正方形………………………………………（1分） （2）证明：∵四边形ABCD 是正方形；

∴BD AC ⊥，BD AC =，AC CO 21=

,BO DO 21

=…………………………………（1

分）

∴ο

90=∠=∠DOC COB ，DO CO =………………………………………（1分）

∵CE DH ⊥，垂足为H ；

∴ο

90=∠DHE ，ο

90=∠+∠DEH EDH ……………………………………………（1分）

又∵ο

90=∠+∠DEH ECO ；

∴EDH ECO ∠=∠……………………………………………（1分） ∴ECO ?≌FDO ?………………………………………………（1分） ∴OF OE =……………………………………………（1分）

4.已知：如图6，在直角梯形ABCD 中，AD BC P ,DC BC ⊥,AB AD =,AM BD ⊥,垂足为点M ，联结CM 并延长，交线段AB 于点N 求证：（1）ABD BCM ∠=∠ （2）..BC BN CN DM = 【答案】

（1）∵AB AD =，AM BD ⊥

∴M 是BD 中点，ABD ADB ∠=∠ ∵DC BC ⊥ ∴BM CM DM == ∴MBC MCB ∠=∠ ∵AD BC P ∴ADB DBC ∠=∠ ∴ABD BCM ∠=∠

（2）∵ABD BCM ∠=∠，BNM BNM ∠=∠ ∴BNM CNB ??: ∴

BC CN

BM BN =

∵DM BM = ∴

BC CN

DM BN

=

∴..BC BN CN DM =

5.已知：如图8，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF BE ⊥，垂足为点F ，点G 在线段

BF 上，BG AF =．

（1）求证：CG BE ⊥；

（2）如果点E 是AD 的中点，联结CF ，求证：CF CB =．

【答案】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =．90ABC

??． ·

········ （1分） ∵AF ⊥BE ，∴90FAB FBA ∠+∠=?．

∵90FBA CBG ∠+∠=?，∴FAB CBG ∠=∠． ······························ （1分） 又∵AF BG =，∴△AFB ?△BGC ． ············································ （2分） ∴AFB BGC ∠=∠． ····································································· （1分） ∵90AFB ∠=?，∴90BGC ∠=?，即CG ⊥BE ． ····························· （1分） （2）∵ABF EBA ∠=∠，90AFB BAE ∠=∠=?，

∴△AEB ∽△FAB ．∴

AE AF

AB BF

=

． ··············································· （3分） ∵点E 是AD 的中点，AD AB =，∴12AE AB =．∴1

2

AF BF =． ·

··············· （1分） ∵AF BG =，∴1

2

BG BF =，即FG BG =．

·········································· （1分） ∵CG ⊥BE ，∴CF CB =． ····························································· （1分）

6. 如图5，平行四边形ABCD 的对角线BD AC 、交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且?=∠90EAC ，EC EB AE ?=2． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；

（2）延长AE DB 、交于点F ，若AC AF =，求证：BF AE =．

【答案】

证明：（1）∵EC EB AE ?=2 ∴AE

EB EC AE =

又 ∵CEA AEB ∠=∠ ∴AEB ?∽CEA ? （2分） ∴EAC EBA ∠=∠

A B

C

D

F

G E 图8

图5

A

B C

D

E F

O

∵?=∠90EAC ∴?=∠90EBA （1分） 又 ∵?=∠+∠180CBA EBA ∴?=∠90CBA （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形

∴四边形ABCD 是矩形 （1分）

（2）∵ AEB ?∽CEA ? ∴ AC AB AE BE = 即 AC

AE AB BE = ， ECA EAB ∠=∠ （2分）

∵四边形ABCD 是矩形 ∴BD AC = 又 ∵BD OB 21=

， AC OC 2

1

= ∴OC OB = ∴ECA OBC ∠=∠ 又 ∵OBC EBF ∠=∠ ECA EBA ∠=∠ ∴EAB EBF ∠=∠

又 ∵F F ∠=∠ ∴EBF ?∽BAF ? （3分） ∴

AB BE AF BF = ∴AC

AE AF BF =

（1分） ∵AC AF = ∴AE BF = （1分）

7.如图，已知梯形ABCD 中，AD BC P , AB AC =，E 是边BC 上的点，且

AED CAD ∠=∠， DE 交AC 于点F ．

(1) 求证：ABE DAF ??:；

(2) 当..AC FC AE EC =时，求证：AD BE =．

【答案】(1)∵AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB .

∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∴∠CAD =∠B ∵∠AED =∠CAD ，∴∠B =∠AED

∵∠AEC =∠B +∠BAE ，即∠AED +∠DEC =∠B +∠BAE ， ∴∠BAE =∠DEC .

B

E

（第23题图）

在△AEB 与△EFC 中，B ACE

BAE DEC

∠=∠??

∠=∠?，∴AEB EFC ??:.

∵AD ∥BC ，∴DAF EFC ??: ∴ABE DAF ??:. (2) ∵AEB EFC ??:，∴

AB BE

EC CF

=

即AB CF EC BE ?=? ∵=AC CF AE EC AB AC ?=?且,∴AE=BE . ∴∠B =∠BAE

∵∠BAE =∠FEC ，∴∠B =∠FEC . ∴AB ∥DE

∵AD ∥BC ，∴四边形ABED 是平行四边形 ∴AD =BE .

8.如图，已知□ABCD 中，AB=AC ，CO ⊥AD ，垂足为点O ，延长CO 、BA 交于点E ，联结DE ．

（1）求证：四边形ACDE 是菱形；

（2）联结OB ，交AC 于点F ，如果OF=OC ， 求证：22AB BF BO =?．

【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形

∴AB ∥DC ，AB=DC ………………………………………………………………（1分） ∵AB=AC ，∴AC=DC ……………………………………………………………（1分） ∵CO ⊥AD ，∴AO=DO …………………………………………………………（1分） ∵

EO AO

CO DO

=

，∴EO=CO ………………………………………………………（1分） ∴四边形ACDE 是平行四边形……………………………………………………（1分） ∵AC=DC ，∴四边形ACDE 是菱形……………………………………………（1分） （2）∵ OF=OC ，∴∠OFC=∠OCF ……………………………………………（1分） ∵AE=AC ，∴∠OCF=∠BEO

∵∠OFC=∠BF A ，∴∠BF A=∠BEO …………………………………………（1分）

∵∠ABF=∠OBE …………………………………………………………………（1分） ∴△BF A ∽△BEO ，∴

AB BF

BO BE

=

………………………………………………（1分） ∴AB ·BE=BF ·BO ，∵AE=AC=AB ，∴BE=2AB ………………………………（1分） ∴22AB BF BO =?………………………………………………………………（1分）

9.已知：如图10，在四边形ABCD 中，AD BC <，点E 在AD 的延长线上， ACE BCD ∠=∠，EC ED EA =?2． （1）求证：四边形ABCD 为梯形； （2）如果EC AB

EA AC

=

，求证：AB ED BC =?2．

【答案】（1）∵ ACE BCD ∠=∠，∴DCE BCA ∠=∠． ····························· （1分）

∵EC ED EA =?2，∴

ED EC

EC EA

=

． ···················································· （1分） 又∵E ∠是公共角，∴△EDC ∽△ECA ． ············································ （1分） ∴DCE CAE ∠=∠． ······································································· （1分） ∴BCA CAE ∠=∠．

∴AD ∥BC ． ················································································ （1分） ∵AD BC <，∴AB 与CD 不平行．

∴四边形ABCD 是梯形． ··································································· （1分） （2）∵△EDC ∽△ECA ．

∴

EC CD

EA AC =

． ∵EC AB EA AC

=，∴AB DC =． ························································· （1分） ∴四边形ABCD 是等腰梯形． ·························································· （1分） ∴B DCB ∠=∠． ········································································· （1分） ∵AD ∥BC ．∴EDC DCB ∠=∠． ∴EDC B ∠=∠．

∵ECD ACB ∠=∠，∴△EDC ∽△ABC ． ······································ （1分）

图10

A

B

C

D

E

∴

ED DC

AB BC

=

． ············································································· （1分） ∴AB ED BC =?2． ···································································· （1分）

10.如图6，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，△EBC 沿直线EC 翻折，使B 点落在矩形ABCD 内部的点P 处，联结AP 并延长AP 交CD 于点F ，联结BP 交CE 于点

Q ．

（1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）如果PE PA =，求证：△APB ≌△EPC ．

【答案】（1）证明：由翻折得:EC 垂直平分BP ………………1分

∴EQ BQ = ………………1分 ∵点E 为AB 的中点，∴EB AE = ………………1分 ∴EQ 是△ABP 的中位线，∴EC ∥AF ，……………1分 ∵四边形ABCD 是矩形

∴AE ∥FC ………………1分 ∴四边形AECF 是平行四边形. ………………1分

（2）∵AE ∥FC ，∴EQB APB ∠=∠ ………………1分

由翻折得: ?=∠90EQB ,?=∠90EPC

∴?=∠=∠90EPC APB ………………1分 由翻折得:EB PE =,BEC PEC ∠=∠

∵PE PA =,EB AE = ∴AE PE PA ==

∴△AEP 是等边三角形，∴?=∠=∠60AEP PAB …………1分

A

B

D C

F

P E Q

图6 A

B

D C

F

P E Q

图6

∵?=∠+∠+∠180BEC PEC AEP

∴?=∠60PEC ………………1分 ∴PEC PAB ∠=∠ ………………1分 ∵PE PA =,

∴△APB ≌△EPC ………………1分

11.如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，过点B 作BE ∥AC ，联结OE 交BC 于点F ，点F 为BC 的中点．

（1）求证：四边形AOEB 是平行四边形；

（2）如果∠OBC =∠E ，求证：=BO OC AB FC ??．

【答案】（1）证明：∵BE ∥AC ∴

OC CF

BE BF

=

∵点F 为BC 的中点 ∴CF=BF ∴OC=BE

∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=CO ∴AO=BE

∵BE ∥AC ∴四边形AOEB 是平行四边形

（2）证明：∵四边形AOEB 是平行四边形 ∴∠BAO =∠E ∵∠OBC =∠E ∴∠BAO =∠OBC

∵∠ACB =∠BCO ∴△COB ∽△CBA ∴

BO BC

AB AC =

∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AC =2OC ∵点F 为BC 的中点 ∴BC =2FC ∴

BO FC

AB OC

= 即=BO OC AB FC

??

12.已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，AB ﹦AC ，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，联结ED ．过点B 作BF ⊥DE 交AC 于点F ．

（1）求证：∠BAD ﹦∠CBF ； （2）如果OD ﹦DB ．求证：AF =BF ．

【答案】证明：（1）∵AB ﹦AC ， ∴??AB AC =． ........................（1分） ∵直线AD 经过圆心O ， ..................................................（1分） ∴AD ⊥BC ，BD=CD ． ....................................................（1分） ∵点E 为弦AB 的中点，

∴DE 是△ABC 的中位线．

∴DE ∥AC ． ......................................................................（1分） ∵BF ⊥DE ，∴∠1=90°，

∴∠2=90°．......................................................................（1分） ∴∠CBF ＋∠ACB ﹦90°．

∵AB ﹦AC ，∴∠ABC ﹦∠ACB ， .....................................（1分） ∴∠CBF ＋∠ABC ﹦90°．.................................................（1分） 又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ﹦90°，

∴∠BAD ﹦∠CBF ．.............................................................（1分） （2）联结OB ．∵AD ⊥BC ，OD ﹦DB ，

∴△ODB 是等腰直角三角形．..................................................................（1分） ∴∠BOD ﹦45°． ∵OB=OA ， ∴∠OBA ﹦∠OAB ． ∵∠BOD ﹦∠OBA +∠OAB ，

∴∠BAO=12∠BOD=22.5°． ............................................................（1分）

∵AB=AC ，且AD ⊥BC ， ∴∠BAC=2∠BAO=45°． ∵∠2=90°，即BF ⊥AC ，

∴在△ABF 中，∠ABF =180904545--=o o o o ，..........................................................（1分） ∴∠ABF =∠BAC ，

∴AF =BF ．......................................................................................................（1分）

图6

B

C

D

E

F O

A

· 图6

B

C

D

E

F

O

A

· 1

2

13.如图6，已知四边形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，DO =BO ，过点C

作CE ⊥AC ，交BD 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，且满足

DCE ACB ∠=∠.

（1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）求证：DE AD

EF CD

=

.

【答案】证明：（1）∵AD ∥BC ，∴

AD DO

BC BO

=

， ∵DO =BO ，∴AD BC =，---（2分） ∴四边形ABCD 是平行四边形. ---------------------------------------------------------------（1分） ∵CE ⊥AC ，∴90ACD DCE ∠+∠=?，

∵DCE ACB ∠=∠，∴90ACB ACD ∠+∠=?，即90BCD ∠=?，-------------------（2分） ∴四边形ABCD 是矩形. -----------------------------------------------------------------------（1分）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，90ADC ∠=?-----------------------（2分） ∵AD ∥BC ，∴DE EF

BD FC

=

.------------------------------------------------------------（1分） ∴

DE EF

AC FC =

，------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE AC EF FC

=，∵90ADC ACF ∠=∠=?， ∴cot AC AD

DAC FC CD

∠==

，-----------------------------------------------------------（1分） ∴DE AD EF CD

=.----------------------------------------------------------------------------（1分）

14.已知：如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，联结HA 、HC . 求证：（1）四边形FBGH 是菱形； （2）四边形ABCH 是正方形．

A

D

H

F

G

【答案】证明（1）：∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴F 、G 分别是AG 、CF 的中点，

∵点D 是AB 的中点，∴DF //BG ，即FH //BG ． ........................ （2分）

同理： GH // BF ． ........................................................................... （1分） ∴四边形FBGH 是平行四边形． .................................................. （1分） ∵AB =BC ，∴∠BAC =∠ACB .

∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴AF =CG .

∴△ABF ≌△CBG . ∴BF =BG. ...................................................... （1分） ∴平行四边形FBGH 是菱形. ....................................................... （1分）

证明（2）联结BH ，交FG 于点O ，

∵四边形FBGH 是平行四边形，∴OB =OH ，OF =OG ． ............ （2分） ∵AF =CG ，∴OA =OC ． ................................................................. （1分） ∴四边形ABCH 是平行四边形． .................................................. （1分） ∵∠ABC =90°，∴平行四边形ABCH 是矩形. ............................ （1分） ∵AB =BC ，∴矩形ABCH 是正方形. ........................................... （1分）

15.如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD = 2AC ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ．过点C 作CG ⊥AC ，与AE 的延长线相交于点G ．

求证：（1）△ACG ≌△DOA ；

（2）2DF BD DE AG ?=?．

【答案】证明：（1）在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．

∴ ∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．……………………………（1分） ∵ AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，

（第23题图）

A

B

C

D

O

E G

F （第23题）

∴ ∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．

∴ ∠G =∠DCA ．…………………………………………………（1分） ∴ ∠G =∠DAC ．…………………………………………………（1分） ∵ BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴ AC = OD ． ……………………（1分） 在△ACG 和△DOA 中，

∵ ∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，

∴ △ACG ≌△DOA ． ……………………………………………（2分） （2）∵ AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴ ∠DOC =∠DEF = 90°．…………（1分） 又∵ ∠CDO =∠FDE ，∴ △CDO ∽△FDE ．…………………（1分）

∴

CD OD

DF DE

=

．即得 OD DF DE CD ?=?． ……………………（2分） ∵ △ACG ≌△DOA ，∴ AG = AD = CD ． ……………………（1分） 又∵ 1

2

OD BD =

，∴ 2DF BD DE AG ?=?．…………………（1分） 16.已知：如图9，在菱形ABCD 中，AB =AC ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =BF ，CE 与AF 相交于点G ． （1）求证：∠FGC =∠B ；

（2）延长CE 与DA 的延长线交于点H ，求证：．

【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB =BC ． ······································································ （1分）

∵AB =AC ，∴AB =BC =AC ，∴∠B =∠BAC =60°． ······················ （1分） 在△EAC 与△FBA 中，

∵EA =FB ，∠EAC =∠FBA ，AC =BA ，

∴△EAC ≌△FBA ， ····························································· （1分） ∴∠ACE =∠BAF ，····························································· （1分） ∵∠BAF+∠F AC =60°，∴∠ACE +∠F AC =60°，∴∠FGC =60°， ·· （1分） ∴∠FGC =∠B ． ································································ （1分） （2）∵四边形ABCD 是菱形，

∴∠B =∠D ，AB =DC ，AB //DC ， ··········································· （1分） ∴∠BEC =∠HCD ， ···························································· （1分）

BE CH AF AC ?=?G

F E

D

A B

C

图9

∴△BEC ∽△DCH ， ·························································· （1分） ∴

=

BE EC

DC CH

， ································································ （1分） ∴?=?BE CH EC DC ．

∵AB =AC ，∴CD =AC ， ······················································ （1分） ∵△EAC ≌△FBA ， ∴EC =F A ，

∴?=?BE CH AF AC ． ···················································· （1分）