第7章机械波

频率
：即单位时间内波动所传播的完整波的数目.
波速 u ：波动过程中，某一振动状态单位时间内所传播 的距离. 周期或频率只决定于波源的振动
纵、横波波速
取决于介质的弹性模量和密度
纵波波速
固体中
横波波速 气、液中纵波波速
Y u
杨氏模量 质量密度 切变模量 容变 模量 张力 质量线密度
x y A cos t - 2 0
x0 y A cos t - 2 0
(2) t = t0 ，给出 t0时刻的波形图
x y A cos t0 - 2 0
(3) x 和 t 都在变化，表明各质点在不同时刻的位移分布.
2.弹性势能
弹簧伸长 l 时弹簧的弹力：
O
x
dx
F k l 1 弹性势能： EP k (l ) 2 2
长变杨氏模量
dEP
F dy Y S dx
O
y y dy
x x
YS k dx
dy F YS kdy dx
1 1 dy 2 k dy YSdx ( ) 2 2 2 dx

从波形图理解动能与势能同相变化 Y 1 dy dEP YSdx( ) 2 2 dx o dy ：波形图上斜率 dx
u
X
B’
2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断 地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传 递的一种方式 . 2 2
x dE dVA sin (t - ) u
2. 电磁波 变化的电场和变化的磁场在空中的传播过程形成电磁波. 3. 物质波 物质波（也称概率波）是微观粒子的一种属性，具有完全 不同的性质，遵从量子力学理论.
7.1 机械波
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ）
特征：具有交替出现的波峰和波谷.
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.
t 0 3
5 yo cos( t) 3
y/m
u 10m / s
1
0 .5
0
2
5
8
11
14
x/m
2 T 0 T 6 3
0 0
5 x y cos[ (t - )] 3 10
6
方法2： 将波形倒退
得出 t 0 波形，再写方程！ ….. 16
0 0
p
2 5
8
11
14
由图可知
A 1m
0
x
x/m
12m

3
5 y0 A cos( t 0 ) cos( t ) 3 3 波动方程 2 x 5 x y cos[t 0 ] cos[ t ] 3 6 3
12 T 1.2 s u 10 2 5 rad / s 关键确定： 0 3 T 3
y( x, t ) 称为波函数.
y y ( x, t )
各质点相对平衡位 置的位移 简谐波的波函数 波线上各质点平 衡位置
y
y( x, t ) A cos(t - kx 0 )
x
以速度u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令 原点O 的初相为 零，其振动方程 时间推 迟方法
yO A cos t
（可在固体、液体和气体中传播）
特征：具有交替出现的密部和疏部.
水面波是什么波?
纵波与横波的合成
7.1.3 波的几何描述 波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成 的面(简称波面)。
波前：在任何时刻，最前方的波面即是波前。
波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线 的指向表示波的传播方向。
或
2 1 2 2 2 u t
7.3 机械波的能量
7.3.1 波动能量的传播
当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在 其平衡位置附近振动，因而具有振动动能.
同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O
x
dx
x
O
y y dy dx dy dx - y ( y dy )
0.01 π ) ] A点振动方程： y A 0.01cos[ π ( t 0.02 2
y A 0.01cos π t
补充： 波动微分方程
y x - A sin ( t - ) t u
x y A cos( t - ) u
2 y x 2 A cos ( t ) 2 u t
u
G
B u
T u
绳中横波波速
如声音的传播速度
343 m s
空气，常温
4000 m s 左右，混凝土
7.2 平面简谐波
传播过程中各质元均做同频率、同振幅的简谐振动的平面波
7.2.1 平面简谐波的波函数
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移
（坐标为 y）随时间的变化关系，即
o
y
（2）求 x1 5m, x2 11m 两处质点振动位相差。
解： 位相差 Δ 2 Δ x
y/m
1
0 .5
u 10m / s

0
2
5
8
11
14
x/m
2 ( x2 - x1 ) (11 - 5) 12
（3）各质点振动速度、加速度表达式
2
反位相
5 x y cos[t 0 ] cos[ t ] 3 6 3
t x y A cos 2 π ( - ) T (t , x) (t t , x x)
t x t t x x 2π ( - ) 2π ( ) T T
波速 u 也称作相速度.
t
时刻
y
u
x
t t 时刻
x
t x T
x u t
y x A sin ( t - ) x u u
2 y 2 x - A 2 cos ( t - ) 2 u x u
2 y 1 2 y 2 2 2 x u t
沿 x 方向一维波动微分方程
B E、
三维空间
( x , y , z , t )
电磁波
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z u t
7.2.3 相位差与波程差（重要）
x1点相位：t x1
x y A cos t - 2 0

2 0
Y
u
x2点相位：t -
x2

2 0
x1
o
P
X
x1
x
x2
x2
2 0 )
两点相位差 :
(t

2 0 ) - (t 2 2
2 2 2
0 ~ dV A

能量密度：单位体积介质中的波动能量.
dE x 2 2 2 w A sin (t - ) dV u 平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值. 1 T 1 w wdt 2 A2 T 0 2
结论：机械波的能量与振幅的平方、频率的平方以及介质 的密度成正比。
7.3.2 能流和能流密度
1、能流： 单位时间内垂直通过介质中某一面积的能量。
u
P wuS
2、平均能流：
S
u
1 P wus 2 A2uS 2
3、平均能流密度（波的强度）： 单位面积上通过的平均能流
1 dy 2 2 u dV ( ) 2 dx
u
Y

y x A sin (t - ) x u u
1 x 2 2 2 dVA sin (t - ) 2 u
体积元的总机械能 dE dEk dEp
x dVA sin (t - ) u
2 2 2

x2 - x1


x
波程差
x21 x2 - x1
2π
x

y x0
u
x
参考点x0 : y0 A cos(t ) x点相位滞后 波程差 x - x0 x 2 相位差 ( x - x0 )
y A cos(t x - x0
2 x0

2 )
Y
u
o
x
x0
P
X x - x0 2 p点相位超前x0 : x - x0 y A cos(t 2 )
x0 : y0 A cos(t
2 x0
)

由波形曲线及传播方向判断波形图上各质点振动速度方向
u
t+dt时刻 t时刻 Y
X
Y
u
t+dt时刻 t时刻
X
o
1 x 2 2 2 dEk dVA sin (t - ) 2 u
1 x 2 2 2 dEP dVA sin (t - ) 2 u
1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、
总机械能均随 x , t 作周期性变化，且变化是同相位的.

体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零. E C’ A D A’ B C
t 12 0.04 T 2s u 0.02
2π π T
原点的初位相和 振动方程：
π yO 0.01cos( π t ) 2
波动方程：
π 2
1cm
y/cm Ⅰ Ⅱ A 1 2 3 4 5 6 x/cm
O
x π y 0.01cos[ π ( t ) ] 0.02 2