九年级数学上册 第四章《图形的相似》4.4 探索三角形相似的条件 第4课时 黄金分割同步练习 (新版)北师大

第4课时 黄金分割
知识点 1 对黄金分割的理解
1．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是( )
A ．如果AC A
B ＝B
C AC
，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果AC 2＝AB·BC，那么线段AB 被点C 黄金分割
C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比
D ．一条线段有两个黄金分割点
2．如图4－4－28，点C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC)，下列结论错误的是( )
图4－4－28
A .AC A
B ＝BC
AC
B ．B
C 2＝AB·AC
C .AC AB
＝
5－12 D .BC
AC
≈0.618 3．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，AB ＝2，则AC 的长为( )
A .5－1
B ．3－ 5
C .
5－1
2
D ．0.618 4．已知点P 是线段AB 的黄金分割点(AP ＞BP)，若AB ＝2，则AP －BP ＝________． 5．教材习题4.8第1题变式题如图4－4－29，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，求C ，D 之间的距离．
图4－4－29
知识点 2 黄金分割的应用
6．如图4－4－30所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为( )
A．216° B．135° C．120° D．108°
4－4－30
4－4－31
7．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4－4－31，某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )
A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm
8．人体的正常体温是37 ℃左右，根据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适，这个气温的度数约为________(精确到1 ℃)．
9．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图4－4－32，若舞台AB的长为20 m，主持人应走到离A点至少多远处才最自然得体？(结果精确到0.1 m，黄金比≈0.618)
图4－4－32
10．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，则BC的长为( ) A．(3 5－3)cm
B．(9－3 5)cm
C．(3 5－3)cm或(9－3 5)cm
D．(9－3 5)cm或(6 5－6)cm
11．宽与长之比为5－1
2
∶1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们
以协调匀称的美感．如图4－4－33，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
图4－4－33
12．如图4－4－34，已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6 cm，求AB的长．
图4－4－34
13．定义：如图4－4－35①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图②，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.
(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；
(2)求线段AD 的长．
图4－4－35
14．如图4－4－36①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BC
AC ，那么称点C 为线段AB
的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2
S 1
(S 1>S 2)，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．
(1)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，请问点D 是不是AB 边上的黄金分割点(直接写出结论，不必证明)?
(2)若△ABC 在(1)的条件下，如图③，请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；
(3)如图④，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝∠BCD＝90°，对角线AC ，BD 相交于点F ，延长AB ，DC 交于点E ，连接EF 并延长分别交梯形上、下底于G ，H 两点，请问直线GH 是不是直角梯形ABCD 的黄金分割线？并证明你的结论．
图4－4－36
1．C 2.B
3．A [解析] ∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，∴AC ＝5－1
2
AB ，而AB ＝2， ∴AC ＝5－1.
4．2 5－4 [解析] ∵点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，∴AP ＝5－1
2
AB ＝5－1，则BP ＝2－AP ＝3－5，
∴AP －BP ＝(5－1)－(3－5)＝2 5－4.
5．解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点， ∴AC ＝BD ＝80×
5－1
2
＝(40 5－40)cm ， ∴CD ＝BD －(AB －BD )＝2BD －AB ＝(80 5－160)cm. 6．B 7.D
8．23 ℃ [解析] 37×
5－1
2
≈23(℃)． 9．解：根据黄金比，得20×(1－0.618)≈7.6(m)， 故主持人应走到离A 点至少7.6 m 处才最自然得体．
10．C [解析] ∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB ＝6 cm ，∴BC ＝5－1
2
AB ＝(3 5－3)cm ，或BC ＝3－52
AB ＝(9－3 5)cm.
11．解：留下的矩形CDFE 还是黄金矩形． 证明：∵四边形ABEF 是正方形， ∴AB ＝DC ＝AF . 又∵AB AD ＝
5－1
2
， ∴AF AD ＝
5－1
2
， 即点F 是线段AD 的黄金分割点，
∴FD AF ＝AF AD ＝
5－1
2
， ∴FD DC
＝
5－1
2
， ∴矩形CDFE 是黄金矩形．
12．[解析] 因为C ，D 均为线段AB 的黄金分割点， 所以AD AB 与BC AB
相等，都等于黄金比． 因此AD ＝BC ，所以AC ＝BD .
解：∵C ，D 均为线段AB 的黄金分割点， ∴AD AB ＝BC AB
，∴AD ＝BC ， ∴AB －AD ＝AB －BC ，即BD ＝AC .
设AC ＝BD ＝x cm ，则AD ＝(x ＋6)cm ，AB ＝(2x ＋6)cm. ∵AD AB ＝
5－1
2
， ∴
x ＋62x ＋6＝5－1
2， ∴
x ＋62（x ＋3）＝5－1
2
，
解得x ＝3 5＋3， ∴AB ＝(6 5＋12)cm.
13．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°. ∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠A ＝36°， ∴∠BDC ＝72°， ∴BC ＝BD ＝AD .
∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ，
∴△BCD ∽△ACB ，
∴BC AC ＝CD CB
，即BC 2
＝AC ·CD ， ∴AD 2
＝AC ·CD ，
∴点D 是线段AC 的黄金分割点． (2)设AD ＝x ，则CD ＝1－x . 由(1)得x 2
＝1－x .
解得x 1＝－1－52(舍去)，x 2＝－1＋5
2，
∴AD ＝－1＋5
2
.
14．解：(1)点D 是AB 边上的黄金分割点． (2)直线CD 是△ABC 的黄金分割线． 证明：设△ABC 的边AB 上的高为h ，则
S △ADC ＝12AD ·h ，S △DBC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12
AB ·h ，
∴S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ，
S △DBC ∶S △ADC ＝BD ∶AD .
由(1)知点D 是AB 的黄金分割点， ∴AD AB ＝BD AD
，
∴S △ADC ∶S △ABC ＝S △DBC ∶S △ADC ， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．
(3)直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线． 证明：∵BC ∥AD ，
∴△EBG ∽△EAH ，△EGC ∽△EHD ， ∴BG AH ＝EG EH
，①
GC HD ＝EG EH
.② 由①②得BG AH ＝
GC
HD
，
即BG GC ＝AH HD
.③
同理，由△BGF ∽△DHF ，△CGF ∽△AHF ， 得BG HD ＝GC AH ，即BG GC ＝
HD
AH
.④
由③④得AH HD ＝HD
AH
，
∴AH ＝HD ， ∴BG ＝GC ，
∴梯形ABGH 与梯形GCDH 的上、下底分别相等，高也相等， ∴S 梯形ABGH ＝S 梯形GCDH ＝1
2
S 梯形ABCD ，
∴直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线．。