离散数学---谓词公式与解释
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《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
24
谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
离散数学的谓词逻辑详解
两种量词: 全称量词和存在量词.
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
2015离散数学谓词量词、变元的约束、翻译
(1)
2 是无理数 .
(2) x是有理数. (3) 小王与小李同岁. (4) x 与y具有同学关系.
(1) 凡人都呼吸 . (2) 所有的人都长着黑头发. (3) 兔子比乌龟跑得快. (4) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ美国留学的学生未必都是亚洲人.
Universal Quantifier
The universal quantification of P(x) is the statement
定义1：约束变元 谓词公式中 ， ，后面所跟的 x ，称为相应 量词的指导变元或作用变元或约束变元。 定义2：量词作用域（量词辖域）
给 定 谓 词 公 式 中 ， 形 式 为 (x)P(x) ， (x) P(x)中的P(x)称为相应量词的作用域（辖域）。
定义3：自由变元 在谓词公式中，除去约束变元以外所出现的 变元，称作自由变元。
with a certain property. Such statements are expressed using existential quantification. With existential quantification, we form a proposition that is true if and only if P(x) is true for at least one value of x in the domain.
Truth value?
We read ∀xP(x) as “for all xP(x)” or “for every xP(x).”An
element for which P(x) is false is called a counterexample of ∀xP(x).
离散数学第2章 谓词逻辑
命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
4
例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
11
这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
12
对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
3
谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
离散数学第2章 谓词逻辑
例4：某些人对某些食物过敏。 设F(x,y)：x对y过敏。 M(x)：x是人。 G(y)：y是食物。 (x) (y) (M(x) ∧ G(y) ∧ F(x,y))
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
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§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
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第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
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§2 命题函数与量词
离散数学(2.3谓词公式与翻译)
离散数学(Discrete Mathematics)
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.4变元的约束(Bound of variable) 2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
2
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae)
5
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 例2：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y)))
(Q(δ,0)∧(Q(δ , x a)Q(ε,
f ( x) f ()a ) ). ))
8
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.4变元的约束(Bound of variable) 2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae)
5
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 例2：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y)))
(Q(δ,0)∧(Q(δ , x a)Q(ε,
f ( x) f ()a ) ). ))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
离散数学-谓词逻辑
2-2.6 命题的符号化
在谓词演算中，命题的符号化比较复杂，命题的 符号表达式与论域有关系。例如 1.每个自然数都是整数。 (1).如果论域是自然数集合 N，令 I(x)：x 是整数，则命题的表达式为 xI(x) (2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式xI(x)表示“所有客体都是整数”，显然这是假的命题，此 表达式已经不能表达原命题了。因此需要添加谓词 N(x)：x 是自然数，用于表明 x 的特性，于是命题的符 号表达式为: x(N(x)→I(x)) 4
则 E(a)∈{T,F}。
• 2-2.2 原子谓词公式
定义：称 n 元谓词 P(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式。例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x))、B(x,y,a) 都是原子谓词 公式。
2-2.3 谓词合式公式 (WFF)(Well Formed Formulas)
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1.原子谓词公式是合式公式。 2.如果 A 是合式公式，则A 也是合式公式。 3.如果 A、B 是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB)都是合式公式。 4.如果 A 是合式公式，x 是Ａ中的任何客体变元，则xＡ和xＡ也是合式公式。 5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才是合式公式。 谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。 下面都是合式公式： P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、x(A(x)→B(x))、xC(x) 而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x • • 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式x(A(x)→B(x))中x 后边的括号不是最外层括号，所以不可以省略。
2-2.4 量词的作用域(辖域)
定义：在谓词公式中，量词的作用范围称为量词的作用域，也叫量词的辖域。 • • 例如 xA(x)中x 的辖域为 A(x). x((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))中 x 的辖域是((P(x)∧Q(x))→yR(x,y)) y 的辖域为 R(x,y)。 • 一般地， • • • 如果量词后边只是一个原子谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词公式。 如果量词后边是括号，则此括号所表示的区域就是该量词的辖域。 如果多个量词紧挨着出现，则后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。 xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
离散数学第五章__谓词逻辑详述
5.2.2 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一部 分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A的 x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖 域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x 称为约束变元； B(x)中不是约束出现的其它个 体变元的出现称为自由出现，这些个体变元称 为自由变元。
5.1 个体、谓词和量词
在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈 述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和 谓语两部分组成。在谓词逻辑中，为揭示命 题内部结构及其不同命题的内部结构关系， 就按照这两部分对命题进行分析，并且把主 语称为个体或客体，把谓语称为谓词。
１.个体、谓词和命题的谓词形式
定义5.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个 体；用以描述个体的性质或个体间关系的部分， 称为谓词。
称为谓词逻辑的翻译或符号化；反之亦然。 一般说来，符号化的步骤如下： ①正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其
中每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表 达出来。
②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词； 在全总论域讨论时，要给出特性谓词。
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后跟条 件式，存在量词(x)后跟合取式。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写 字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定 把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。
例如，在命题“张明是位大学生”中， “张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它 刻划了“张明”的性质。设S：是位大学生，c： 张明，则“张明是位大学生”可表示为
S(c)，
或者写成
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一 起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定义了全总 论域，为深入研究命题提供了方便。
离散数学及应用 第3版 第2章 谓词逻辑
2.1个体词、谓词与量词
（3）∃x∀yP(x,y)，其中D = {1,2,3}，谓词P(x,y) : x = y 解：∃x∀yP(x,y)=∀yP(1,y)∨∀yP(2,y)∨∀yP(3,y)
=(P(1,1)∧P(1,2)∧P(1,3))∨(P(2,1)∧P(2,2)∧P(2,3)) ∨(P(3,1)∧P(3,2)∧P(3,3)) =(1∧0∧0)∨(0∧1∧0)∨(0∧0∧1) =0
2.1个体词、谓词与量词
存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 x 表示在个体域中存在x 设P (x)是以D为个体域的一元谓词， xP(x) = 0 :对任意的x ∈ D,P(x)取值0 xP(x) = 1 :存在a ∈ D,P(a)取值1
➢ 设D = {a1,···,an}是有限个体域， ∃xP(x) = P(a1)∨P(a2)∨···∨P(an)
所以，∃x∀yP(x,y)与∀y∃xP(x,y)值不相同。
2.1个体词、谓词与量词
例2.3 在谓词逻辑中将下列命题符号化 (1) 人人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取二个不同的个体域 (a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 .
(a) (1) 设G(x): x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设T(x): x用左手写字, 符号化为 xT(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): x爱美 T(x): x用左手写字 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)T(x))
这是两个基本公式, 注意它们的使用
2.1个体词、谓词与量词
例2.4 在谓词逻辑中将下列命题符号化
(1) 正数都大于负数
(2) 有的无理数大于有的有理数
注意: 题目中没给个体域, 使用全总个体域
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否则应在所辖公式的两侧插入圆括号。
量词辖域举例
西 华
例如：x F(x)G(x,y)
大 学
解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变
元x第一次出现是约束出现，第二次出
现是自由出现，y的出现是自由出现。
所以第一个x是约束变元，第二个x是
自由变元，本质上这两个x的含义是不
同的；而y仅是自由变元。
换名规则
பைடு நூலகம்
西华设A0是含命题变元p1, p2, …, pn的命题逻辑公式，
大 学
A1,
A2,
…,
An是一阶逻辑公式，用Ai(1
i
n)
替换A0中的pi的处处出现所得到的一阶逻辑公式
A称为命题逻辑公式A0的替换实例。
定理：命题逻辑中的永真式的任意替换实例在一
阶逻辑中都是永真式；命题逻辑中的矛盾式的任
意替换实例在一阶逻辑中都是矛盾式 。
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
• 符号体系：
1. 西华2.
个体常元符号：a,b,c,……a1,a2,a3,…… 个体变元:x,y,z,……,x1,x2,x3,……
大3. 学
4.
函数符号:f,g,h,……f1,f2,f3,…… 谓词符号:F,G,H,……
5. 量词符号: 6. 联结词: ∧∨ →
公式类型举例
西 判断下列公式的类型：
华
大 学
1)
x
F(x)
(x
yG(x,y)
x
F(x)
)
2) x F(x) x F(x)
3) x y F(x,y) y x F(x,y)
1) x F(x) (x yG(x,y) x F(x) )
西 华
解：显然该公式是：P (Q P ) 的
例如公式：x F(x,a)∧x G(f(x),a)
三、谓词公式的赋值(解释)
一个解释由4部分组成：
（1） 非空个体域D；
西 华
（2）D中特定元素；
大 （3）D上特定函数； 学 （4）D上特定谓词。
公式x F(x,a)∧x G(f(x),a)
指定：D=实数集合；a=0；f(x):3x;F(x,y):x≥y； G(x,y):x=y。
2、 代替规则：对自由变元进行代入。
整个谓词公式中同一个字母的自由变元是指同一个个体 名词。因此可以用整个公式中没有的变元符号来代替， 且要求整个公式中该变元同时用同一个符号代替。
换名规则举例
西x F(x,y)∧x G(x,y) 华大改为：x F(x,y)∧u G(u,y) 学或者为： z F(z,y)∧x G(x,y)
• 项的定义
1. 个体变元、个体常元是项；
2. 若 f (x1, x2 , , xn ) 是任意n元函数，t1,t2,…,tn 是项，
则 f (t1, t2 , , tn ) 是项； 3. 有限次的应用1，2得到项。
一、合式公式的定义：
原子公式： f (x1, x2 , , xn ) 为n元谓词符号，t1,t2,…,tn 是
可知，公式是非永真的可满足式。
思考题：
1、F(a) x F(x)
西 华
2、F(a) x F(x)
大
学 解：1、F(a) x F(x)是非永真的可满足式；
①设D={2}，a=2，F(x):x=2，显然此时为 真；
②设D=R，a=2，F(x):x=2，显然此时为假；
2、F(a) x F(x)是永真式。
项，则 f (t1, t2 , , tn ) 是原子公式；
西 合式公式的归纳定义：
华 大
1、任意的原子公式是公式
学 2、若A是公式，则xA、xA是公式；
3、若A、B是公式，则 A、A∧ B、A∨B、A → B、A B是 公式；
有限次地应用前三条，得到公式。
判断下列符号串是否为合式公式： 1. x(P(x) ∧ Q(x)) 2. xy(P(x) Q(y)) 3. yx∧ P(x) 4. x f(x) → x(g(x,y) ∨f(x) )
则x (x ≥0) ∧x (3x=0) 假命题。
解释举例1
给定解释I如下：
西 华 大 学
x(F(x) ∧ G(x,2))
(F(2) ∧ G(2,2)) ∧ (F(3) ∧ G(3,2))
y L(2,y) ∧ y L(3,y)
0∧ 11
(L(2,2)∨L(2,3)) ∧(L(3,2) ∨ L(3,3)) ( 1 ∨0 ) ∧(0 ∨ 1) 1
解释的说明
(1) 一个谓词公式如果不含自由变元,则在一个解释下, 可以得到确定的真值,不同的解释下可能得到不同的 真值。
(2) 公式的解释并不对变元进行指定,如果公式中含有自 由变元,即使对公式进行了一个指派,也得不到确定的 真值,其仅是个命题函数,但约束变元不受此限制。
3）有公式的解释定义可以看出,公式的解释有许多的解 释,当D为无限集时,公式有无限多个解释,根本不可能 将其一一列出,因而谓词逻辑的公式不可能有真值表 可列。
学 x F(x)为真；
2） x F(x) 为假，x F(x) x F(x)为真。
从而，在蕴涵式的前件x F(x) 为1或0的情况， 蕴涵式都为真。
又由解释I的任意性，知公式x F(x) x F(x)永真。
3) x y F(x,y) y x F(x,y)
西 1）取解释I1为：D=R,F(x,y):x>y
华 大
则公式为： x y (x>y) y x(x>y)
学 =10=0，从而公式不是永真式；
2) 取解释I2为：D=R,F(x,y):x.y=0 则公式为：xy(x•y=0)yx(x•y=0) =11=1从而公式不是永假式；
二、约束部分
在谓词公式中，形如xP(x)或xP(x)以及
xP(x，y)的部分中x称为指导变元，在辖
西 域中,x的所有出现称为约束变元（约束出
华 大
现）；y是自由变元（自由出现）。
学 量词的辖域
(x)P(x)或(x)P(x)中的公式P(x)，通
称为量词的辖域。换言之，量词的辖域是
邻接其后的公式，除非辖域是原子公式，
解释举例2
例2：已知指定一个解释N如下： (1)个体域为自然数集合DN (2)指定常项a=0 (3)DN上的指定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=x*y (4)指定谓词F(x,y)为x=y 在以上指定的解释N下,说明下列公式的真值
(1)xF(g(x,a),x) 即x(x*0=x)该命题假的
可以看出,在谓词公式中一个变元可能既是约束出现,同
时又有自由出现,则该变元既是自由变元又是约束变元,
西 本质上这两种出现,用的是一个符号,实质上是不同的
华 大 学
含义。为避免混淆,需要改名。改名要采用以下规则, 使谓词公式的含义不改变。
1、 换名规则：对约束变元进行换名。
将量词辖域内出现的某个约束变元及其相应量词中的指 导变元，可以换成一个其他变元，改变元不能与本辖 域内的其他变元同名，公式中的其他部分不改变。
大 学
替换实例。容易知道P (Q P )
是永真式，从而x F(x) (x
yG(x,y) x F(x) )是永真式。
2) x F(x) x F(x)
设在任意的解释I下，
西 1） x F(x) 为真，则 a，使得 F(a)为真，使
华 大
得 x F(x)为真， 在这种情况下，x F(x)
(2)xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) 在解释N下此公式：xy(x+0=yy+0=x)此命题为真 (3)F(f(x,y),f(y,z))在解释N下该公式x+y=y+z 此时,x,y,z均为自由变元,解释不对自由变元进行指定。因而该 公式是命题函数,不是命题,真值不能确定。
对x (F(x,y)∧y G(x,y)) F(x,y) 改为： x (F(x,t)∧y G(x,y)) F(s,t) 或者为：t (F(t,y)∧y G(t,y)) F(x,y)
谓词公式的解释
西 谓词逻辑中的解释(赋值)
华
大 在命题逻辑对每个命题符号作个真值指定可以得一个
学
公式的一个指派,又称赋值,又称解释。如公式中共出 现n个不同的命题符号,则共有2n个解释,因而可以列 出公式的真值表。而谓词逻辑中公式的赋值解释是 怎样的呢？
1、永真式和永假式的代入实例是永真、永假式；
2. 对于某些简单的公式，特别对于简单的闭式，
西 华
可在假定给定任意解释的前提下该公式的真值
大 学
都为真（或者为假）来证明该公式是永真式
（或矛盾式）。
3. 要证明一个公式是可满足式，只要找到一个 解释，使得该公式的真值为真即可。同时为了 证明它不是永真式，只要找一个解释，使得该 公式的真值为假即可。
四、谓词公式的类型
西
设A是公式。如果A在任何的解释下都
华
大 是真的，则A是永真式；如果A在任何的
学 解释下都是假的，则A是永假式；如果A
在一些解释下为假，一些解释下为真，
则A是非永真的可满足式。
例如： x A(x) x A(x)是永真式； x A(x)∧x A(x）是永假式。
代换实例