函数的导数中应注意的几点及应用
导数性质知识点总结
导数性质知识点总结导数性质知识点总结「篇一」导数的定义：当自变量的增量Δx=x-x0，Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)。
函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的.法则：设y=f(x )在(a，b)内可导。
如果在(a，b)内，f'(x)>0，则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状)。
如果在(a，b)内，f'(x)<0，则f(x)在这个区间是单调减小的。
所以，当f'(x)=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值求导数的步骤：求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)—f(x0)② 求平均变化率③ 取极限，得导数。
导数公式：① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n—1) (n∈Q*);熟记1/X的导数③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = — sinx;(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 —(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanxsecx (cscx)'=—cotxcscx (arcsinx)'=1/(1—x^2)^1/2 (arccosx)'=—1/(1—x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=—1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2—1)^1/2) (arccscx)'=—1/(|x|(x^2—1)^1/2)④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=—hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=—1/(sinhx)^2=—(cschx)^2 (sechx)'=—tanhxsechx (cschx)'=—cothxcschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2—1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2—1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2—1) (|x|>1)(arsechx)'=1/(x(1—x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数) (Inx)' = 1/x(ln为自然对数) (logax)' =(xlna)^(—1)，(a>0且a不等于1)(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(—1) (1/x)'=—x^(—2)导数的应用：1.函数的单调性(1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。
导数知识点总结及应用
导数知识点总结及应用导数是微积分中的基本概念，是描述函数变化率的工具。
它具有广泛的应用，不仅在数学中起着重要作用，也在其他学科中有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。
本文将总结导数的基本知识点以及其应用。
一、导数的定义和性质导数可以通过极限的计算来定义，假设函数f(x)在点x_0处有定义。
那么f(x)在x_0处的导数可以定义为：f'(x_0)=lim(x→x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)导数的计算方法有很多，其中最基本的有以下几种：1.使用导数定义的极限计算法；2.利用导数的基本性质：线性性、乘法法则、链式法则等。
导数具有以下基本性质：1.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在该点连续；2.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在该点的函数值变化率为f'(x_0)。
二、导数的应用1.函数的极值与图像的凹凸性导数的一个重要应用是用于确定函数的最大值和最小值。
根据函数的图像和导数的符号，可以判断函数的增减性以及极值点。
具体来说，函数在极值点的导数为零，并且在极值点的导数变号。
另外，导数的符号还可以用来确定函数图像的凹凸性。
如果函数的导数在其中一区间上恒大于零，则函数在这一区间上是严格递增的，图像是凸的。
如果函数的导数在其中一区间上恒小于零，则函数在这一区间上是严格递减的，图像是凹的。
2.切线与法线函数的导数可以用来确定函数图像上任意一点处的切线和法线。
在其中一点x_0处，函数图像上的切线的斜率等于函数在该点处的导数值，即切线的斜率为f'(x_0)。
切线的方程可以通过点斜式来确定。
3.函数的近似计算函数的导数可以用来近似计算函数在其中一点处的函数值。
根据导数的定义，函数在该点的导数等于函数在该点的函数值变化率。
所以，如果已知其中一点的导数，可以通过导数乘以函数值变化的增量来估计函数值的增量。
4.曲线的弯曲程度导数还可以用来衡量曲线的弯曲程度。
导数及其应用知识点总结
导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。
在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。
一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。
二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。
2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。
3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。
4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。
5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。
三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。
2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。
3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
导数的运算法则及基本公式应用
导数的运算法则及基本公式应用1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数. x y ∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′(x )=xy x ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式：)()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆.2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键.3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系. ［例1］求函数的导数：)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω［例2］利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,(n ∈N *)(★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )A.0B.1C.－1D.22.(★★★★)经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25x +y =0 B.x －y =0或25x +y =0 C.x +y =0或25x －y =0 D.x －y =0或25x －y =0 二、填空题 3.(★★★★)若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________.4.(★★★★)设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________.三、解答题5.(★★★★)已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.6.(★★★★)求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31xx -. 7.(★★★★)有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度.8.(★★★★)求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1,(x ≠0,n ∈N *).。
导数的计算方法及其应用
导数的计算方法及其应用一、导数的定义与概念在微积分学中，导数是描述函数在任意一点斜率的概念，它是函数的一种变化率。
导数也可以被理解为：函数在某一点处的瞬时变化量，换句话说，它表示函数曲线在该点处的推移趋势。
导数的定义是：$$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$在这里，如果这个极限存在，那么它就是函数$f(x)$的导数，通常用$f^{\prime}(x)$或$\frac{dy}{dx}$来表示。
导数的概念对于数学及其他应用领域的许多问题都是至关重要的。
导数在物理学、经济学、金融学等学科中都有广泛的应用。
二、导数的计算方法虽然导数的定义很简明，在实践中却很难直接计算。
而且，无论是手工还是机器方式，都需要找到一个规律来完成这项任务。
以下是几种常见的计算导数的方法：1. 基本公式法导数的计算方法中最常见的方式是使用基本公式法。
这种方法利用已知的一组基本导数表，来计算一个函数的导数。
根据基本公式法，对于函数$f(x)$，一些常见的导数结果集是：$$\begin{aligned} (x)^{n} & \rightarrow n x^{n-1} \\ \exp(x) &\rightarrow \exp(x) \\ (\ln x) & \rightarrow \frac{1}{x} \\ (a^{x}) & \rightarrow a^{x}(\ln a) \\ (\sin x) & \rightarrow \cos x \\ (\cos x) & \rightarrow -\sin x \\ (\tan x) & \rightarrow \sec^{2} x \end{aligned}$$如果函数可以表示为上述函数中任意两个函数的运算结果，则基本公式法可以使用“求和规则”和“乘积规则”来计算导数。
导数中的充要条件及应用
解 析 ：由＿（ 厂 ）：ｌ —Ｏ ，厂 （） Ｉ ｎ ． ｘ Ｘ ＝＝—ａ，ｇ ＝ｌｘ （ ｎ 一
１
＋一 一口 。
若 ｇ（ 在 （ ， ＋＊ ） 是增 函数 ，则 ｇ （ ）１０ （ ， ｘ） ０ 上 Ｘ ＞ 在 ０
＋。 上 恒成 立 。 。）
８ （Ｏ ＝ ．ｆ Ｘ ） ０是 可导 函数 厂 ） Ｘ Ｘ有 极值 的必 要不 （ 在 ＝Ｏ 充分 条件 。 ９ （０ ．ｆ ）＝０是 函数 厂 Ｘ） Ｘ Ｘ有 极值 的 既不充分 也 （ 在 ＝Ｏ
的充 要条 件 。
解 析 ：可导 一 连续 ，则 厂（ ）在 ｘ 处 有定 义 ，故 Ａ正 ＝ｏ 确 ，区 间 Ｉ ，由充要 条件 中 的③可 知 Ｂ正 确 ，由充 要条 件 中的 上 ①可 知 Ｄ 正确 ，由充 要 条件 中 的⑨ 可知 Ｃ错 。（ 故选 Ｃ）
例２ ，已知 函数 ｆ（ ）＝ｌ ，ｇ （ ＝ Ｘ ／ （ ） ｎ ｘ一 ） ，（ ）＋ ｘ ，
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中外教 育研 完 ・
２０ 年 ７ Ｎ ． ０９ 月 Ｏ７
导数 中的充要条件及应用
何 定勇 广 东省汕 头市六都 中学
导 数作 为研 究 函数 的重要 工具 ， 解决 问题 时极 为方 便 ，特 在 别是 利用导 数求 函数 的单调性 、 值 、最值 和切 线 的方程 等方 面 极 的 问题 已成 为 近年 来高 考 的热点 之一 。 但是 笔者 在教 学过 程 中发 现许 多学 生在 应用 过程 中经 常会 出现 一些认 识 上 的偏 差 ， 致使 解 答失误 。 下面 笔者 就几年 来在 教学 实践 中对 学生 出现 的错 误进 行 了分 析 、整 理 和归 纳 ，以飨 读者 。
＋Ｏ 上 不 可能是 增 函数 。若 ｇ（ ） （ ， ＋ ） ０） Ｘ 在 ０ 上是 减函数 ，
函数导数在解小题中的技巧应用
函数导数在解小题中的技巧应用一、基本原理及应注意点1、基本原理。
若函数)(x f 存在导数)(x f '，则当)(x f '后面符号为“>”表示)(x f “单调递增”； 则当)(x f '后面符号为“<”表示)(x f “单调递减”（1）若目标（终端）式子是求不等式解集的，当)(x f '后面符号为“>”时，目标（终端）式子不等式符号不变；当)(x f '后面符号为“<”时，目标（终端）式子不等符号改变；（2）一般情况下，条件中)(x f '后跟的不等式符号应由)(x f '前面的系数或函数值符号确定，若为负，应转化为正，同时后面的不等式符号改变；若为正，则后面的不等式符号不变；（3）在解题过程中，应注意函数的周期性、奇偶性、对称性、定义域、值域相互之间的影响，特别是偶函数，若目标式子为解不等式，应作为解V 型函数处理；2、利用上述原理比较目标式子大小时，若)(x f '后跟的是“+”则为跟随，若为“-”则为错位。
什么是跟随？什么是错位？如存在d c d f c f b a >>),(),(,，小跟小，大跟大，叫跟随，如)(),(d bf c af ；小跟大，大跟小，叫借位，如)(),(c bf d af ；3、利用上述原理求终端函数自变量范围时，要判断终端函数的奇偶性，若为奇函数则解集为“互补对称”，若为偶函数则解集为“绝对对称”。
互补对称是指：如),2()0,2(+∞-U ，这样的集合叫互补对称，其中)0,2(-是)2,(--∞的补集；如),3()3,(+∞--∞U ，这样的集合叫绝对对称。
二、具体题型1、已知导函数不等式解抽象不等式（1）这类题，除了上述原理外，还应特别注意：所求一方没有()f 形式，在题干中找，若题干中没有()f ，想定义域在R 的奇函数0)0(=⇒f ；（2）在题干中找到两个()f 形式：①由周期性或对称性得出另一个()f 形式，使用新生成的()f ； ②由奇偶性得出另一个()f 形式，使用新生成的()f2、已知导函数不等式比较函数值的大小应注意的是：要把导函数不等式变形为不等号一边为“0”，一边为式子的表达式。
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函数的导数中应注意的几点及应用一、导数中应注意的几个问题1、运用复合函数的求导法则x u x u y y '⋅'=',应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如x x 2sin )2(cos -='实际上应是x 2sin 2-。
(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如4)31(1x y -=选成uy 1=，x w w v v u 3,1,4=-==计算起来就复杂了。
（4）复杂函数可先化简再求导[例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y .[例2]求函数x x x x y 8cos 4cos 2cos cos =的导数。
2、注意分断函数在分断点处的可导与不可导[例3]已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=)1)(1(21)1)(1(21)(2x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？3、注意利用取对数的方法求多个因式积函数的导数[例4]求函数()()()10021---=x x x y （100>x ）的导数。
4、注意极限与导数的关系作用[例5]求：①xe x x 1lim 0-→、 ②a x a x a x --→sin sin lim罗彼塔(L'Hospital)法则 当x →a(或x →∞)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a 的某个去心邻域内(或当│x │＞N)时，与都存在，≠0，且存在则： ()()()()x g ＇x f ＇x g x f a x ax →→=limlim、()()()()x g ＇x f ＇x g x f x x ∞→∞→=lim lim 例题：求5、注意导数与原函数的图像关系及图形作用[例6]①设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）②设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下图左图所示，则导函数y=f '(x )的图象可能为( )[例7]求抛物线 2x y =上的点到直线02=--y x 的最短距离.二、导数的应用1、利用导数的几何意义求曲线的切线方程注意：过曲线上一点的切线与曲线在某点处的切线区别！ [例5]求322+=x y 在点()5,1P 处和过点)9,2(Q 的切线方程。
y x O y x O y x O yxO A ． B ． C ． D ．[例6]求曲线52313+-=x x y ，①在点()8,3P 处的切线方程；②过点()8,3P 的切线方程。
2、利用导数物理意义求变速运动的速度 ［ 例］ ①质点的运动规律是31ts =，求质点在2=t 时的瞬时速度；②质点的运动规律是t s 2sin =，求质点在π=t 时的瞬时速度。
3、利用导数判断函数的单调性 ［例1］确定函数()76223+-=x x x f 的单调区间，并画出()x f y =的简图。
[例2]已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. （在这类求字母系数范围时要注意等号可取问题）练习：（1）函数()x f 的导函数()0>x f ＇是()x f 单调增的 （ ） （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件（2）若()d cx bx ax x f +++=23（0>a ）为增函数，则c b a ,,的关系是 （3）若()ax x x f -=ln （0>a ），则其单调增区间是4、利用导数求函数的极值和最值函数极值的定义 设函数在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内一点.若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)，＜均成立，则说是函数的一个极大值若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)，＞均成立，则说是函数的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。
函数的驻点：凡是使的x点，称为函数的驻点曲线的凹向与拐点定义：对区间I的曲线作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I下凹，如果曲线在切线的上面，称曲线在区间I上凹曲线凹向的判定定理定理一：设函数在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是：导数在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。
定理二：设函数在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：若在(a,b)内，＞0，则在[a,b]对应的曲线是下凹的；若在(a,b)内，＜0，则在[a,b]对应的曲线是上凹的例题：判断函数的凹向解答：我们根据定理二来判定。
因为，所以在函数的定义域(0,+∞)内，＜0，故函数所对应的曲线时下凹的。
拐点的定义连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点例题：求极值点解答：先求导数再求出驻点：当时，x=-2、1、-4/5判定函数的极值，如下图所示例题：求函数，在区间[-3，3/2]的最大值、最小值。
例题：圆柱形罐头，高度H 与半径R 应怎样配，使同样容积下材料最省？例题：设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省?练习：①求函数()()1132+-=x x f 的极值；②函数()bx ax x f +=3在1=x 处有极值2-，求b a ,的值；③设函数()x x m x f 2cos 21cos -=在4π=x 处取得极值，求m ；④求函数()1222-+-=x x x x f 的极值。
5、利用导数证明不等式[例6]求证：①()0132>-≥x xx ②()()01ln >+>x x x[例6]当20π<<x 时，求证：3tan 3x x x +>。
[例6]当 0>x ，证明不等式x x x x<+<+)1ln(1综合选讲：[例1]已知曲线x x x y S 432:23++-=及点)0,0(P ，求过点P 的曲线S 的切线方程.[例2]求证：函数xx y 1+=图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.[例3]已知0>a ，函数a x x f -=3)(，[)+∞∈,0x ，设01>x ，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为 l .（1）求l 的方程；（2）设 l 与 x 轴交点为)0,(2x ，求证：① 312a x ≥；②若311a x >，则1231x x a <<[例4]函数5)()(,133)('3--=-+=ax x f x g ax x x f ，其中)('x f 是)(x f 的导函数.（1）对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有)(x g ＜0，求实数x 的取值范围； （2）设a ＝－2m ，当实数m 在什么范围内变化时，函数y ＝)(x f 的图象与直线y ＝3只有一个公共点.[例5]若电灯B 可在桌面上一点O 的垂线上移动，桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ，问电灯与点0的距离怎样，可使点A 处有最大的照度？（,,r BA BAO ==∠ϕ照度与ϕsin 成正比，与2r 成反比）分析：如图，由光学知识，照度y 与ϕsin 成正比，与2r 成反比，即2sin rCy ϕ=（C 是与灯光强度有关的常数）要想点A 处有最 大的照度，只需求y 的极值就可以了.典型习题导练1．已知函数2)12()(23+-+=x a ax x f ，若1-=x 是)(x f y =的一个极值点，则a 值为 （ ）A ．2 B.-2 C.72D.4 2.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值为10，则)2(f = .3．给出下列三对函数：①1)(,1)(--=-=x x g x x f ②)0()(2>=a ax x f ，ax x g =)( ③xx f )31()(-=，)log()(x x g --=；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是)(x f ' ，=')(x g .4．已知函数1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，求a 的取值范围. 5．已知抛物线22+-=x y ，过其上一点P 引抛物线的切线l ，使l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l 的方程.6．设43241)(y xy x y g -+-=在[]0,1-∈y 上的最大值为)(x f ，R x ∈，（1）求)(x f 的表达式；（2）求)(x f 的最大值.7、若正方形的四个顶点都在函数x x y 343+-=的图像上，则这样的正方形的个数为 。
并讨论若正方形的四个顶点都在函数nx mx y +=3的图像上，则这样的正方形存在的条件。