§2 抛物线 第一课时

2.2 抛物线的简单性质
第一课时 抛物线的简单性质(一)
学习目标要求 问题情境导学 课堂互动探究
栏 目 导 航
课堂归纳总结
1.理解并掌握抛物线的简单性质以及抛物 线的简单画法. 2.能利用抛物线的简单性质解决与抛物线 相关的问题.
【实例】 ①已知抛物线 C1 的标准方程 为:y =8x. ②已知直线 l:y=x-1 与抛物线 C2:y =4x. 2 ③如图所示,抛物线 y =8x,过焦点 F 作垂直于 x 轴的弦 AB.
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一、抛物线的几何性质
1:抛物线 C1 的开口方向、焦点坐标、 准线方程、顶点坐标、对称轴分别是什么? (开口方向向上、焦点坐标为(2,0)、 准线方程为 x=-2、顶点的坐标为(0,0),对称轴为 x 轴)
1:四种标准形式的抛物线几何性质的比较
见附表
二、抛物线的通径
2:在上述实例③中,弦 AB 的长怎样来求? (由图像可知,|AB|=|AF|+|BF|=2|AF|,∵AB⊥x 轴,且 AB 过焦点,故 A 点横坐标与焦点 F 的横坐标相同,为 2,将 2 代入抛物线方程,可得 A 点纵坐标为 4,故|AB|=8)
45 ∴p= . 4 45 45 则所求抛物线的标准方程是 y = x,焦点坐标是( ,0). 2 8
2
Hale Waihona Puke 数学基础知识和基本方法是正 确解决此类问题不可缺少的有力武器,如待定系 数法、抛物线的对称性、顶点等知识都在解决实 际问题时体现出来,解题时要注意应用.
变式训练 3 1:如图所示,一位运动员在距离球篮正下 方 4 m 远处跳起投篮,球运行的路线是抛物线.当球运 行的水平距离为 2.5 m 时,达到最大高度为 3.5 m,然后 准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 m. 建立平面直角坐标系.
解:∵抛物线关于坐标轴对称,顶点为坐标原点,∴应分 两种情况:焦点在 x 轴上,可设其方程为 y2=2nx(n≠0); 焦点在 y 轴上,可设其方程为 x2=2my(m≠0). 又抛物线经过点 M( 3 ,-2 3 ), ∴(-2 3 )2=2n·( 3 ),∴n=2 3 ,
3 或( 3 ) =2m·(-2 3 ),∴m=. 4
(2)如果抛物线的对称轴为 y 轴且开口向下,那么设 2 抛物线的方程为 x =-2py(p>0). 因为点 P(-2,-4)在抛物线上,
1 所以(-2) =-2p·(-4),得 p= . 2
2
因此,所求的抛物线方程是 x =-y,图形为如图所示 的抛物线Ⅱ.
2
抛物线的几何性质
【例 2】 等腰 Rt△ABO 内接于抛物线 y =2px(p>0),O 为抛物线的顶点,OA⊥OB, 则△ABO 的面积是( (A)8p
【例 2】 设有一颗彗星绕地球沿一抛物线轨道运行,地球 恰好位于抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为 d×104 km 时,经过地球与彗星的直线与抛物线的对称轴的夹角为 30°,求这颗彗星与地球的最短距离. 名师导引:设出方程,利用抛物线的有关性质求解. 2 解:如图所示,设彗星轨道方程为 y =2px,p>0,焦点为
抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.
通过本节课的学习,你有哪些收获? 1.掌握了抛物线的简单几何性质; 2.会用抛物线的性质解决与抛物线相关的问题.
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2:通过抛物线 y =2px(p>0)的焦点而垂直 于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为
2
p p , p , , p .连接这两点的线段叫作抛物线 2 2
的通径,它的长为 2p,这就是抛物线标准方程中 2p 的 一种几何意义.
过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫作焦点弦,如图所 示,AB 是抛物线 y2=2px(p>0)过焦点的一条弦(焦点弦),设 A1(x1,y1), B(x2,y2),则焦点弦 AB 的长度如何来求?
p 线 l:x= , 2
p p ∴A、B 两点坐标为( ,p),( ,-p), 2 2
∴|AB|=2|p|. ∵△AOB 的面积为 4,
p 1 ∴ ·| |·2|p|=4, 2 2
∴p=±2 2 . 所以抛物线方程为 y2=±4 2 x.
求抛物线方程时,目标就 是求解 p,只要列出一个关于 p 的方程即可 求解.
【例 3】 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分, 光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为 60 cm,灯深 40 cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置. 名师导引: 建立恰当的直角坐标系 设出标准方程
写出灯口直径一点坐标 代入方程求解
解:如图所示,在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系,使 反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x 轴垂直于灯口 直径. 设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0), 由已知条件可得点 A 的坐标是(40,30), 代入方程得 302=2p×40,


2 3 故(4±2 3 )p=d×10 ,p= d×104. 2
4
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,焦点到抛物
p 2 3 线顶点的距离为 = d×104,所以彗星与地球的 2 4
2 3 2 3 4 4 最短距离为 d×10 km 或 d×10 km(P 点 4 4
在 F 点的右边与左边时,所求距离取不同的值).
2 2
) (C)2p
2
(B)4p
2
(D)p
2
解析:由抛物线的对称性及 OA⊥OB 知, 直线 OA 的方程为 y=x,
y x, 由 2 y 2 px,
得 A(2p,2p),则 B(2p,-2p), ∴|AB|=4p,
1 ∴S△ABO= ·4p·2p=4p2.故选 B. 2
应用性问题
(1)此题结论有两个,不要漏解. (2)本题用到抛物线一个重要结论:顶点为抛物线 上的点到焦点距离最近的点,其证明如下:设 P(x0,y0)为抛物线 y =2px(p>0)上一点,焦点为
2
p p F( ,0),准线方程为 x=- ,依抛物线定义,有 2 2 p p |PF|= +x0≥ (x0≥0),当 x0=0 时,|PF|最小,故 2 2
(根据抛物线的定义,应有|AF|=d1,|BF|=d2,则|AB|=|AF|+|BF|
p p =[x1-(- )]+[x2-(- )]=x1+x2+p,这可以作为焦点弦的弦长公式) 2 2
由抛物线性质求标准方程
【例 1】 已知抛物线关于坐标轴对称,顶点为坐标原点, 并且经过点 M( 3 ,-2 3 ),试研究这样的抛物线有几条? 并求出其方程. 名师导引:探究设出标准方程代入坐标即可求解.
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2
【例 1】已知抛物线焦点 F 在 x 轴上,直线 l 过 F 且垂直于 x 轴,l 与抛物线交于 A、B 两点,O 为坐标原点,若△OAB 的 面积等于 4,求此抛物线的标准方程. 名师导引: 设抛物线方程 y2=2px(p≠0) 求 A、B 两点的坐标
求出弦长|AB| 由△AOB 面积列方程解 p 结果 p 2 解:由题意,抛物线方程为 y =2px(p≠0),焦点 F( ,0),直 2
p F( ,0), 2
彗星位于点 P(x0,y0)处.
3 p 直线 PF 的方程为 y= (x- ). 3 2
y 2 2 px 解方程组 3 p , y x 3 2
7 4 3 p 得 x= , 2 7 4 3 p 故x= .
0
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p 74 3 p p |PF|=x0+ = + =(4±2 3 )p. 2 2 2
(1)试求球运行路线所在抛物线的方程; (2)球出手的瞬间,球距地面的高度是多少?
解:(1)由题意设抛物线方程为 x =-2py(p>0) 已知抛物线过点(1.5,-0.45)代入方程得 p=2.5, 所以抛物线方程为 x =-5y. (2)球出手的瞬间即 x=-2.5 代入方程 x2=-5y, 得 y=-1.25, 故球距地面的高度为 3.5-1.25=2.25 m. 即球出手的瞬间,球距地面的高度为 2.25 m.
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3 故所求方程为 y =4 3 x 或 x =y, 2
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这样的抛物线共两条,一条开口向右,一条开口向下.
求抛物线标准方程的主要步骤是先 定位,即根据题中条件确定抛物线的焦点位置,后定 量,即求出方程中 p 的值,从而求出方程.
变式训练 1 1:求以坐标原点为顶点、坐标轴为 对称轴且经过点 P(-2,-4)的抛物线的方程,并 画出草图. 解:(1)如果抛物线的对称轴为 x 轴且开口向左, 那么设抛物线的方程为 y2=-2px(p>0). 因为点 P(-2,-4)在抛物线上, 2 所以(-4) =-2p·(-2),得 p=4. 2 因此,所求的抛物线方程是 y =-8x, 图形为如图所示的抛物线Ⅰ.