纯弯曲,横截面上某点的正应力
纯弯曲时的正应力
Ｄ=200
Ｄ1 ｄ1
解：（1）确定空心轴尺寸
由
max
M W
32
D13 (1
0.64
)
7.9
104
D1 210 mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
A空 A实
4
D12 (1 D2
2)
2102 (1 0.62 ) 2002
0.7
4
由此可见，载荷相同、 max要求相等的条件
M z ydA M
A
纯弯曲时的正应力：公式推导
E y
N dA 0
1
A
M y zdA 0 2 M z ydA M 3
A
A
将应力表达式代入（1）式，得
N
A
dA
E
A
ydA
0
Sz ydA 0
A
上式表明中性轴通过横截面形心。
将应力表达式代入(2)式，得
A z
dA
E
yzdA
2. 纯弯曲时的变形特征
（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长， 部分纵向线段缩短。
（2）各横向线相对转过了一个角度,仍保持为直线。 （3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
纯弯曲时的正应力：概述
3. 纯弯曲时的基本假设
（1）平截面假设( Plane Assumption )
(a) 变形前为平面的横截面变形后仍为面上无剪应力
（2）纵向纤维间无正应力
纵向纤维无挤压
横截面上只有轴向正应力
纯弯曲时的正应力：公式推导
1. 变形几何关系
M
M
z x
y
中性轴(Neutral Axis)
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力详解
剪切弯曲：横截面上既有剪力 又有弯矩。 纯弯曲：横截面上只有弯矩而 无剪力。
4
《化工设备设计基础》
3.3.1 纯弯曲时的变形现象与假设
1、变形现象 ① 两条横向线mm nn不再相互平行，而是相互 倾斜，但仍然是直线，且仍与梁的轴线垂直。 ② 两条纵向线aa、 bb 变成 曲线 梁的轴线 内凹一侧的纵向线aa缩短了， 外凸一侧的纵向线bb伸长了。 中性层既不伸长也不缩短。
①纯弯曲 ( pure bending )
2
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
②横力弯曲
3
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
纯弯曲 ( pure bending )
横力弯曲 ( transverse load bending )
W I /y
Z z
max
14
《化工设备设计基础》
第三章 直梁的弯曲
3.1 平面弯曲的概念 3.2 直梁弯曲时的内力分析 3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力 3.4 截面惯性矩和抗弯截面模量 3.5 梁的弯曲强度计算 3.7 提高梁弯曲强度的主要途径 3.8 梁的弯曲变形与刚度校核
1
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
3.3.2 弯曲变形与应力的关系
4.弯曲应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明，当跨 度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。 危险点应力：
max
M max ymax Iz
Mmax：在梁的所有横截面中，选择弯矩为峰值的截面 ymax： 在指定的横截上，选择离中性轴最远的点
纯弯曲,横截面上某点的正应力
纯弯曲,横截面上某点的正应力
本文旨在探讨纯弯曲过程中横截面上某点的正应力，以及其波动的影响因素。
首先，本文介绍了纯弯曲的定义以及它的应用；其次，本文分析了纯弯曲过程中横截面上某点的正应力，并讨论了有关应力值的波动情况；最后，本文探讨了影响纯弯曲过程中横截面上某点的正应力波动的主要因素。
纯弯曲是一种由外力引起的应力应变状态，即横截面上所受力的量不变，而轴向力的量会增加引起的应变。
许多结构物都会受到纯弯曲的影响，比如桥梁、钢筋混凝土结构和塑料等等。
纯弯曲的应用十分广泛，能够为建筑工程以及其他设计提供有用的参考依据。
横截面上某点的正应力是指在结构物受到外力作用下产生的内力，其值可以通过应力分布来进行测量。
在纯弯曲的过程中，横截面上某点的正应力会因为材料的屈服点以及结构的几何参数的不同而
发生变化，这个变化称为应力的波动。
应力的波动可以影响结构物的稳定性，也会影响其力学性能，因此了解应力的波动情况是非常重要的。
纯弯曲过程中横截面上某点的正应力波动受多种因素的影响。
首先，材料的弹性模量和屈服点会直接影响横截面上某点的正应力波动；其次，几何参数也会影响应力的波动，特别是管道截面的轴向和横向尺寸；最后，外力的大小也会影响应力的波动，尤其是涉及非线性材料时。
总之，纯弯曲的过程中横截面上某点的正应力会发生波动，并受
到多种因素的影响。
应力的测量是对结构物力学性能的重要参照，因此了解纯弯曲的过程中横截面上某点的正应力的波动情况以及影响因素，对于推动结构物的稳定性和优化设计有着重要的意义。
纯弯曲梁的正应力实验参考书报告
《纯弯曲梁的正应力实验》实验报告一、实验目的1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2.验证纯弯曲梁的正应力计算公式二、实验仪器设备和工具3.XL3416 纯弯曲试验装置4.力＆应变综合参数测试仪5.游标卡尺、钢板尺3、实验原理及方法在纯弯曲条件下，梁横截面上任一点的正应力，计算公式为σ= My / I z式中M为弯矩，I z为横截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。
为了测量梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，在梁的纯弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。
实验采用半桥单臂、公共补偿、多点测量方法。
加载采用增量法，即每增加等量的载荷△P，测出各点的应变增量△ε，然后分别取各点应变增量的平均值△ε实i，依次求出各点的应变增量σ实i=E△ε实i将实测应力值与理论应力值进行比较，以验证弯曲正应力公式。
四、实验步骤1.设计好本实验所需的各类数据表格。
2.测量矩形截面梁的宽度b和高度h、载荷作用点到梁支点距离a及各应变片到中性层的距离y i。
见附表13.拟订加载方案。
先选取适当的初载荷P0（一般取P0 =10％P max左右），估算P max（该实验载荷范围P max≤4000N），分4～6级加载。
4.根据加载方案，调整好实验加载装置。
5. 按实验要求接好线，调整好仪器，检查整个测试系统是否处于正常工作状态。
6.加载。
均匀缓慢加载至初载荷P 0，记下各点应变的初始读数；然后分级等增量加载，每增加一级载荷，依次记录各点电阻应变片的应变值εi ，直到最终载荷。
实验至少重复两次。
见附表27.作完实验后，卸掉载荷，关闭电源，整理好所用仪器设备，清理实验现场，将所用仪器设备复原，实验资料交指导教师检查签字。
附表1 （试件相关数据）附表2 （实验数据）P 50010001500200025003000载荷N △P 500500500500500εP -33-66-99-133-166△εP -33-33-34-334平均值-33.25εP -16-33-50-67-83△εP -17-17-17-162平均值16.75εP 00000△εP 00001平均值0εP 1532476379△εP 171516163平均值16εP 326597130163△εP 33323333 各 测点电阻应变仪读数µε5平均值32.75五、实验结果处理1.实验值计算根据测得的各点应变值εi 求出应变增量平均值△εi ，代入胡克定律计算应变片至中性层距离（mm ）梁的尺寸和有关参数Y 1－20宽 度 b = 20 mm Y 2－10高 度 h = 40 mm Y 30跨 度 L = 620mm （新700 mm ）Y 410载荷距离 a = 150 mm Y 520弹性模量 E = 210 GPa （ 新206 GPa ）泊 松 比 μ= 0.26惯性矩I z =bh 3/12=1.067×10-7m 4 =106667mm 4。
纯弯曲时梁横截面上的正应力
材料力学
缩）时的胡克定律，即
E 将式（5-4）中的 代入上式，即得
E E y
（5-5）
式（5-5）表达了梁横截面上正应力的变化规律。由于 E 是常量，故由式（5-5） 可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离 y 成正比，而与中性轴
等距离的各点处的正应力均相同。正应力在梁横截面上的分布规律如图 5-19（b） 所示。在中性轴上，各点的 y 坐标等于零，故中性轴上的正应力等于零。
材料力学
图5-16（a）中外伸梁上的两个外 力F对称地作用于梁的纵向对称面内。
（a）
其剪力图和弯矩图分别如图5-16（b）、
（c）所示。AB和CD段梁的各横截面上
同时存在有剪力和弯矩，因此这些截面 （b）
上既有切应力又有正应力。该两段梁的
弯曲变形称为横力弯曲或剪切弯曲。在
BC段梁上剪力等于零，而弯矩为常量， （c）
因而横截面上就只有正应力而无切应力。
这种情况称为纯弯曲。
图5-16
一、变形几何关系
取一矩形截面梁段，在变形前梁的侧表面画上纵向线 aa 和 bb，并做垂直 于纵向线的横向线 mm 和 nn，如图 5-17（a）所示。然后在梁的两端加一对转 向相反且作用在梁的纵向对称面内的弯矩 M，梁发生纯弯曲变形，如图 5-17 （b）所示。此时可以观察到如下现象。
形后的长度 bb 应为
bb ( y)d
原长 OO dx d ，所以上述距中性层为 y 处的纵向纤维的线应变为
( y)d d y
d
（5-4）
式（5-4）表明，线应变 随 y 按线性规律变化。
二、物理关系
假设纵向纤维之间不存在相互挤压，于是各纵向纤维只有轴向拉伸或压缩
梁纯弯曲实验
纯弯曲梁的正应力测定实验一、实验目的1. 测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2. 验证纯弯曲梁的正应力计算公式 二、实验仪器设备和工具1. 组合实验台中纯弯曲梁实验装置2. XL2118A 系列静态电阻应变仪3. 游标卡尺、钢板尺 三、实验原理及方法在纯弯曲条件下，根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到梁横截面上任一点的正应力，计算公式为σ=M·y/I z式中：M ——为弯矩；M=P·a/2；I z ——为横截面对中性轴的惯性矩；y ——为所求应力点至中性轴的距离。
铰支梁受力变形原理分析简图如图1所示。
图1 纯弯曲梁受力分析简化图为了测量梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，在梁的纯弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片（如图2）。
实验可采用半桥单臂、公共补偿、多点测量方法。
加载采用增量法，即每增加等量的载荷ΔP ，测出各点的应变增量Δεi 实，然后分别取各点应变增量的平均值ε，依次求出各点的应力增量Δσi 实=EΔεi 实 ( i=1，2，3，4，5)纯弯曲实验装置简图弯矩： M=F a F=P/2F QMc)构件AB 力学简化模型将实测应力值与理论应力值进行比较，以验证弯曲正应力公式。
图 2应变片在梁中的位置实验接线方法实验接桥采用1/4桥（半桥单臂）方式，应变片与应变仪组桥接线方法如图3所示。
使用弯曲梁上的应变片Ri（R1，R2，R3，R4，R5即工作应变片）分别连接到应变仪测点的A/B上，测点上的B和B1用短路片短接；温度补偿应变片Rt连接到桥路选择端的A/D上，桥路选择短接线将D1/D2短接，并将所有螺钉旋紧。
四、实验步骤1.设计好本实验所需的各类数据表格。
2.测量矩形截面梁的宽度b和高度h、载荷作用点到梁支点距离a及各应变片到中性层的距离y i。
见附表13.拟订加载方案。
可先选取适当的初载荷P0=200N，估算P max（该实验载荷范围P max≤2000N），分4级加载(300N，600N，900N，1200N)。
纯弯曲,横截面上某点的正应力
纯弯曲,横截面上某点的正应力
纯弯曲、横截面上某点的正应力是非常重要的力学概念，它是一种重要的力学现象，它的发现和研究可以帮助我们更好地了解力学中的性质。
本文将介绍纯弯曲、横截面上某点的正应力的基本概念、形成原因和应用，并结合具体实例进行讨论。
首先，我们来介绍纯弯曲和横截面上某点的正应力的基本概念。
对于单位长度的弯曲体，在分析时，其表面上的正应力大小将随着横截面的变化而变化。
而横截面上某点的正应力是弯曲体横截面上单位深度方向的法线正应力的数值，它是弯曲体的形变特性的体现。
第二，纯弯曲、横截面上某点的正应力是由哪些原因导致的呢？在实际应用中，纯弯曲、横截面上某点的正应力是由两个因素决定的：一是材料的弹性模量，另一个是外力的大小。
如果弯曲体的材料弹性模量越大，横截面上某点的正应力就会越大；如果外力越大，横截面上某点的正应力也会越大。
最后，我们来看看纯弯曲、横截面上某点的正应力在工程中的应用。
纯弯曲、横截面上某点的正应力可以用于预测被弯曲体易变形、异常变形的发生，在施工中可以根据测量的值来控制变形程度，从而达到预期的工程效果。
此外，纯弯曲、横截面上某点的正应力也可以用于计算吊装负荷，以及结构能否承受外界荷载，这些对桥梁、建筑物及其他结构的设计都有着重要的意义。
通过上述介绍，我们可以看到纯弯曲、横截面上某点的正应力具有重要的力学意义，它可以用于结构的计算和优化，以及预测被弯曲
体的变形，为工程的建造和结构设计提供坚实的理论基础。
弯曲应力—纯弯曲时的正应力(材料力学)
§5－2 正应力计算公式
3、物理关系
σ Eε
M
?
所以 σ E y
z
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。待解决问题中性轴的位置?
中性层的曲率半径
§5－2 正应力计算公式
4、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截面的空 间平行力系，这一力系简化得到三个内力分 M 量。
y t max
M
z
y
σtmax
σ cmax My cmax Iz
§5－2 正应力计算公式
二、横力弯曲时梁横截面上的正应力
实际工程中的梁，其横截面上大多同时存在着弯矩和剪力，为横 力弯曲。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力 分布规律的影响很小。因此对横力弯曲的情况，前面推导的正应力公 式也适用。
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。
σ max M y max Iz
引用记号
Wz
Iz ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为
σ max
M Wz
§5－2 正应力计算公式
对于中性轴为对称轴的横截面
矩形截面
Wz
Iz h/2
bh3 / 12 h/2
bh2 6
实心圆截面
Wz
Iz d /2
πd 4 / 64 d /2
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
⊥ 中性轴 横截面对称轴
中性层
中性轴
横截面对称轴
§5－2 正应力计算公式
2、变形几何关系
d
dx
图（a）
O’
b’ z
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纯弯曲,横截面上某点的正应力
正应力是力学中一种重要的力量，其定义为物体在某一横截面上某点承受的内力。
本文旨在通过对纯弯曲体系中，横截面上某点的正应力的计算，来探究正应力的特征。
首先，我们要考虑的是定义一个纯弯曲的状态，即横截面的弯曲程度由曲面的曲率参数确定。
曲面的曲率可以通过计算曲面的曲率弧度表示，以及由改变曲面形状而得到的曲率分布函数来进行表示和估算。
其次，我们需要考虑的是纯弯曲体系中，横截面上某点的正应力。
可以使用容积与体积差异来计算此类正应力，其不受外部物体作用时，是根据物体表面的形状变化与空间几何变化而进行计算。
此外，在纯弯曲体系中，横截面上的正应力还可以通过分析曲面对弯曲曲率的敏感性，或者将曲率分布函数作为模型参数，再使用有限元高斯梯度收敛方法进行计算，以此来求得横截面上某点的正应力。
总之，正应力是一个重要的力量，因此，在计算纯弯曲体系中，横截面上某点的正应力时，要考虑到曲面的曲率参数，以及容积与体积差异，以及分析曲面对弯曲曲率的敏感性等因素。
本文仅讨论了利用容积与体积差异和有限元高斯梯度收敛方法进行纯弯曲体系中，横截面上某点的正应力计算的方法，但是，还有其他各种数学和力学模型可以用来计算此类正应力，以评估物体表面形状变化对正应力的影响。
随着我们对正应力及其影响因素的深入理解，有助于我们更好地
设计、开发和分析物体表面形状变化对正应力的影响，从而实现设计出具有更高强度和耐久性的产品。
综上所述，本文详细探讨了纯弯曲体系中，横截面上某点的正应力的计算方法，认为曲面的曲率分布函数，容积和体积差异以及收敛方法等因素，都可以用来计算此类正应力，以此来评估物体表面形状变化对正应力的影响。
借此，我们可以进一步推进力学理论，为设计出更具有强度和耐久性的有形物体奠定基础。