最新高一下数学难题汇编(含答案)：数列、立体几何、三角函数、向量
高一数学立体几何大题(含答案)
4.in/w).6=4r3.
例 3：如图，PD ⏊ 平面 ABCD,AD ⏊ CD,AB ⎳ CD,PQ ⎳ CD,AD
= CD = DP = 2PQ = 2AB = 2, 点 M 为 BQ 的中点 .
为 的 P Q C -
M-
大小
0 .
Sepm E 却 二
忙=
以 <m (
,
蕊 令 1
二
5 = -
3
※ 琴 㱺 sina.me
㱺 Somc 二 士 心 的 ✗
=r
.
二号 器 Q到 平面 阰 的 距离 为 : d = 2 5
.io
shnoifst.no
,
㱺 VQ-pmc-f-Somc.dk/nEfsio=fs'm0.
PCHEF 进而 1211 平面 ,
在 阳 仲 , PA-E.AE/,PC=0=)PA4AcEpc2=sAc-1A.
所以 又由 题 干 知 : A 4 P B ,
A
C
1
-
平面阳
13
.
13) 易知 SEFG 二 ftp.c , 所以 /7AB=fSopAB-AC.=f-li2nE.iS'm45J-l
1 求二面角 Q - PM - C 的正弦值;
2 若 N 为线段 CQ 上的点，且直线 DN 与平面 PMQ 所成的角为
π 6
,
求线段
QN
的长
.
子 (2) 由 山 知 二面⻆ QPMC 的 大小 为 ,
劝 的平面 PMQ所 成的 ⻆ 为 至
所以 叽 与平面PMC 所 成的 ⻆
高一下学期数学期末考试难点总结及详解
高一（下）补充作业3班学号 姓名1、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B.(1) 求cos B 的值；(2)若|CA →－CB →|＝2，△ABC 的面积为22，求边b.解： (1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，C cos B ＋b cos C ＝3a cos B ，得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos B ，(3分)则有3sin A cos B ＝sin (B ＋C)＝sin (π－A)＝sin A.(5分)又A ∈(0，π)，则sin A>0，(6分)则cos B ＝13.(7分) (2) 因为B ∈(0，π)，则sin B>0，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.(9分) 因为|CA →－CB →|＝|BA →|＝2，(10分)所以S ＝12ac sin B ＝12a ×2×223＝22，得a ＝3.(12分) 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋4－2×3×2×13＝9，则b ＝3.(14分) 2、在 △ABC 中，设 a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知向量 m ＝ (a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .(1)求角 C 的大小；(2)若 c ＝ 3, 求 △ABC 的周长的取值范围．解： (1)由m ∥n 及m ＝(a ，sin A － sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )得a (sin A ＋sin B )－(b ＋c )(sin C －sin B )＝0，(2分) 由正弦定理，得：a ⎝⎛⎭⎫a 2R ＋b 2R －(b ＋c )⎝⎛⎭⎫c 2R －b 2R ＝0， 所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0，得c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab co C ，所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以ab ＝－2ab cos C ，(5分) 因为ab >0，所以cos C ＝－12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(7分) (2)在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .所以a 2＋b 2－2ab cos 2π3＝9，即(a ＋b )2－ab ＝9.(9分) 所以ab ＝(a ＋b )2－9≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，所以3（a ＋b ）24≤9， 即(a ＋b )2≤12，所以a ＋b ≤23，(12分)又因为a ＋b >c ，所以6<a ＋b ＋c ≤23＋3，即周长l 满足6<l ≤3＋23，所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋23]．(14分)3、已知ABC ∆的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，∠B 的平分线BN 所在直线方程为250x y --=，求：（Ⅰ）顶点B 的坐标；（Ⅱ）直线BC 的方程解:（Ⅰ）设()00,B x y ，则AB 中点坐标为：0051,22x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 005125022x y ++∴⨯--=，即：00210x y --= 又00250x y --=，解得：01x =-，03y =-()1,3B ∴--（Ⅱ）设A 点关于250x y --=的对称点为(),A x y ''' 则1255125022y x x y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-'''⋅-=⎩'⎪，解得：293,55A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭ BC ∴边所在的直线方程为：()335312915y x -++=++，即：617450x y --=4、已知函数()211f x x x =-+-．（Ⅰ）求不等式()4f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求的最大值．分析：（Ⅰ）通过12x =和1x =两个点进行分段，分别在三段范围内进行讨论，得到解析式后建立不等关系，求解得到范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12a b c ++=；法一：设x y z ===，利用222xy x y ≤+，可得2228xy yz zx ++≤，从而推得()212x y z ++≤，求得最大值； 法二：=，利用22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得4442121213332222a b c ⎫++++++⎪≤++⎪ ⎪⎝⎭，从而求得最大值；法三：构造出柯西不等式的形式()()222222111++⨯++，从而得到)211121++≤，从而求得最大值. 解：（Ⅰ）①当12x <时，()324f x x =-+≤ 2132x ∴-≤< ②当112x ≤<时，()4f x x =≤ 112x ∴≤< ③当1x ≥时，()324f x x =-≤ 12x ∴≤≤综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩min 22又*,,a b c R ∈且12a b c ++= 则2221a b c ++=，设x y z === 222x y xy +≥ 2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=()2222222212121812x y z x y z xy yz zx a b c ∴++=+++++≤++++++=x y z ∴++≤≤当且仅当16a b c ===时取得最大值法二：由（Ⅰ）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m = 又*,,a b c R ∈且12a b c ++==444212121333222a b c ⎫++++++⎪≤++⎪ ⎪⎝⎭当且仅当16a b c ===时取得最大值法三：由（Ⅰ）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩min 2212a b c ∴++= 2121214a b c ∴+++++= 由柯西不等式可知：()())2222222111111++⨯++≥++即：)211121++≤≤当且仅当212121a b c +=+=+即16a b c ===时，取得最大值。
高一数学三角函数试题答案及解析
高一数学三角函数试题答案及解析1.化简 = ;【答案】【解析】【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。
点评：在三角函数的化简与求值时，通常将常数写成角的一个三角函数，再根据有关公式进行变形。
2.若x∈(0，2π)，函数的定义域是A．( ,π］B．( ,π)C．(0,π)D．( ,2π)【答案】A【解析】为使函数有意义须，即，又x∈(0，2π)，所以x∈( ,π］，故选A。
【考点】本题主要考查三角函数的图象和性质。
点评：求三角函数的定义域，应特别注意正切函数本身的定义域。
3.若，试求y＝f(x)的解析式.【答案】y＝【解析】由x＝sinθ＋cosθx2＝1＋2sinθcosθsinθcosθ＝∴y＝f(x)＝sinθcosθ＝【考点】本题主要考查任意角的三角函数、同角公式的应用。
点评：的互求，常常通过平方（开方）实现，这类题属于常考题型。
4.将角α的终边顺时针旋转，则它与单位圆的交点坐标是A．（cosα，sinα）B．（cosα，－sinα）C．（sinα，－cosα）D．（sinα，cosα)【答案】C【解析】α的终边与单位圆的交点坐标为，将角α的终边顺时针旋转，对应角为-，所以它与单位圆的交点坐标是，即（sinα，－cosα），故选C。
【考点】本题主要考查任意角的三角函数、单位圆、诱导公式的应用。
点评：属于常考题型，应用诱导公式转化。
5.使tanx－有意义的x的集合为 .【答案】{x|x∈R且x≠，k∈Z}【解析】为使tanx－有意义，须，即角x终边不能落在坐标轴上，所以x≠，故使tanx－有意义的x的集合为{x|x∈R且x≠，k∈Z}。
【考点】本题主要考查任意角的三角函数定义。
点评：求三角函数的定义域，应特别注意正切函数本身的定义域。
6.已知0°≤θ<360°，θ角的7倍的终边和θ角重合，试求θ角【答案】θ=0°，θ=60°，θ=120°θ=180°，θ=240°，θ=300°【解析】根据终边相同角的关系式7θ=θ+k·360，k∈Z，则θ=k·60°。
三角函数、向量、集合试题及详解
高一下学期数学测试（6）1．已知集合{|0}A x x =≥，1ln B xy x x ⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，则()A B =R I ð（）A ．()1,0-B ．(,0)-∞C ．()2,1--D ．(,1)-∞-【答案】A 【详解】由()()111001x x x x x x+-->⇒>⇒>，或10x -<<，因为{|0}A x x =≥，所以A =R ð{|0}x x <，所以()A B =R I ð()1,0-，故选：A2．已知复数z 满足(1i)2i z +=，则z 的虚部为（）A ．1B ．1-C ．iD ．i-【答案】B【详解】因为(1i)2i z +=，所以2ii(1i)1i 1iz ==-=++，所以1i z =-，故z 的虚部为1-．故选：B.3．已知()()1,,2,4a m b ==- ，若//a b r r，则m =（）A ．1B ．2-C ．0D ．1-【答案】B【详解】由向量()()1,,2,4a m b ==- ，//a b r r，412m ∴⨯=-⨯，解得2m =-.故选：B.4．有下列四种叙述：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④棱台的侧棱延长后必交于一点.其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【详解】对于①：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错；对于②③：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错；对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，④正确.故选：B5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.24531et K I t --=+，其中K 为最大确诊病例数．当()0.8I t K =时，则t 约为（）()ln 4 1.39≈A ．48B ．72C ．63D ．59【答案】D【详解】由题意得：0.24(53)()0.81e t K I t K --==+，即0.24(53)e 41t --=，两边取对数得10.24(53)lnln 4 1.394t --==-≈-，即0.24(53) 1.39t -≈，解得59t ≈，故选：D.6．如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长3SA =，一只蚂蚁从A 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A ，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A ．23B ．33C ．6D ．2π【答案】B【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，一只蚂蚁从A 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A 的最短距离为AA '，设ASA α'∠=，圆锥底面周长为2π，所以¼32πAA α=='⨯，所以23πα=，在SAA ' 中，由3SA SA ='=，得222cos AA SA AA SA SA α⋅''=+⋅'-22133233332⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭B ．7．如图，一块三角形铁片ABC ，已知4AB =，43AC =5π6BAC ∠=，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点D ，1AD =，6BAD π∠=.如果过点D 作一条直线分别交AB ，AC 于点E ，F ，并沿直线EF 裁掉AEF △，则剩下的四边形EFCB 面积的最大值为（）A ．33B ．23C 6D 3【答案】A【详解】设()(,,0,4,0,43AE x AF y x y ==∈∈则1π14π1sin 1sin 2626AEF ADE ADF S S S x y =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ =15πsin 26xy ⨯化简得：323,x xy xy +=≥3xy ∴≥3x =，即2,3y x ==134AEF S xy =≥ 而15π443sin 4326ABC S =⨯⨯= 当AEF △面积的最小时，剩下的四边形EFCB 面积的最大为43333=故选：A8．在ABC 中，已知2AD DC =，3AC BC =，sin 3sin BDC BAC ∠=∠，当||CA CB AB ⋅- 取得最小值时，ABC 的面积为（）A 34B 52C ．38D 3516【答案】D【详解】设BC n =，3AC BC = ，3AC n ∴=，2AD DC =uuu r uuu rQ ，2223AD DC AC n ∴===，在BDC 中，sin sin BC BD BDC C =∠，在ABC 中，sin sin BC ABBAC C=∠，sin sin BAC BD BDC AB∠∴=∠,sin 3sin BDC BAC ∠=∠ ，13BD AB ∴=，设BD m =，3AB m ∴=，πBDC BDA ∠+∠= ，()cos cos πcos BDC BDA BDA ∴∠=-∠=-∠，()222222(2)3222m n m m n n mn m n+-+-∴=-⨯2223n m ∴=，2232n m ∴=，2223m n ∴=()222222||3cos 3(3)3193333()23324n n C C n m n m m m A B AB n n C m m n ⋅-=⨯-+-⋅-=-=--⨯= ，当12m =时，||CA CB AB ⋅- 取得最小值，238n ∴=，22222cos 23n n m C n +-== ，又22sin cos 1C C += ，22225sin 1cos 139C C ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭∴在ABC 中5sin 3C =213533533sin 522328316ABC S n n C n ∴=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯= 故选：D.9．如图，长方体1111ABCD A B C D -被平面BCFE 截成两个几何体，其中E ，F 分别在11A B 和11D C 上，且11EF B C ∥，则以下结论正确的是（）A ．EF BC ∥B ．AD ∥平面BCFEC ．几何体11AA EB DD FC -为棱台D ．几何体11BBE CCF -为棱柱【答案】ABD【详解】由11//B C BC 及11//EF B C ，得//EF BC ，则A 正确；由//AD BC ，BC ⊂平面BCFE ，AD ⊄平面BCFE ，得//AD 平面BCFE ，则B 正确；以两个平行的平面1AA EB 和1DD FC 为底面，其余四面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则C 错误（由于11,,,AA DD CF BE 延长后不交于一点，则几何体11AA EB DD FC -不为棱台）；以两个平行的平面1BB E 和1CC F 为底面，其余三面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则D 正确，故选：ABD 10．下列说法正确的是（）A ．若a b a c ⋅=⋅r r r r，且0a ≠ ，则b c= B ．若1z ，2z 为复数，则1212z z z z ⋅=⋅C ．设a ，b是非零向量，若||||a b a b +=- ，则0a b ⋅= D ．设1z ，2z 为复数，若1212z z z z +=-，则120z z =【答案】BC【详解】A ：a b a c ⋅=⋅r r r r 且0a ≠ ，只能说明cos ,cos ,b a b c a c =，但,b c 不一定相等，错误；B ：令1i z a b =+，2i z c d =+，,,,R a b c d ∈，12(i)(i)()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++，则12z z =12z z ==，则12z z ⋅==所以1212z z z z ⋅=⋅，正确；C ：由22||a b a b +=- ，则222222aa ab b a b b-= ，即0a b ⋅= ，正确；D ：复数11i z =+，21i z =-，满足1212z z z z +=-，但122z z =，错误；故选：BC11．已知2π()12cos (0)3f x x ωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，给出下列说法，其中正确的有（）A ．若()()1211f x f x ==-，，且12min ||πx x -=，则2ω=；B ．存在()0,2ω∈，使得()f x 的图象右移π6个单位长度后得到的图象关于y 轴对称；C ．若()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】CD【详解】 22ππ()cos 2sin 2π12cos 363f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴周期2ππ2T ωω==．对于A ：由条件知，周期为2π，∴12ω=，故A 错误；对于B ：函数图象右移π6个单位长度后得到的函数为ππsin 236y x ωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，故B 错误；对于C ：由[]0,2πx ∈，所以πππ24π666x ωω≤+≤+，所以π7π4π8π6ω≤+<，解得41472424ω≤<，故C 正确；对于D ：因为ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππππ236626x ωωω-+≤+≤+，所以πππ362πππ262ωωω⎧-+≥-⎪⎪⎨+≤⎪⎪>⎩，解得203ω<≤，故D 正确．故选：CD ．12．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且b =，B 的角平分线交AC 于D，BD则（）A ．π6B =B ．ππ62C <<C．c <<D ．1624ac <≤【答案】BCD【详解】因为BD 是角ABC ∠的平分线，所以2BABD CBD ∠=∠=.由题意可知，ABC ABD ACD S S S =+ ,即111sin sin sin 222ac B aBD ABD cBD CBD =∠+∠,所以(112sin cos 22222B B Bac a c ⋅⋅=+，即2sin cos 222B B B =，因为ABC 为锐角三角形，所以π02B <<,所以π024B <<，所以sin 02B ≠，所以2cos 2B =cos 2B =所以π26B =，即π3B =,故A 错误；在ABC 中，πA B C ++=,即2π3A C =-，因为ABC 为锐角三角形，所以2ππ032π02C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ62C <<，故B 正确；由正弦定理得sin sin b c B C=,即sin sin 2b Cc CB ==,因为ππ62C <<，所以1sin 12C <<，即C <<c <<C 正确；由正弦定理2sin b R B ==2sin ,2sin ,a R A A c R C C ====所以2π2π2π32sin sin 32sin sin 32sin cos cos sin sin 333ac A C C C C C C ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21132cos sin 162cos 282222C C C C C ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π16sin 286C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ππ62C <<，所以ππ5π2666C <-<，所以1πsin 2126C ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以π1616sin 28246C ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭，所以1624ac <≤，故D 正确.故选：BCD.13．已知复数22(34)(224)i m m m m +-+--(R)m ∈是纯虚数，则m =___________.【答案】1【详解】因为22(34)(224)i m m m m +-+--(R)m ∈是纯虚数，所以223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =.故答案为：1.14．一艘轮船航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75︒，距离C 在A 的北偏西30︒，距离为海里，该轮船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60︒方向，则cos CDA ∠=__________．【答案】12【详解】如图，在ABD △中，75,60,BAD ADB AB ∠=︒∠=︒=180756045B =︒-︒-︒=︒，因为sin sin AB ADADB B=∠，所以224AD =，在ACD中，30,24CAD AC AD ∠=︒==，则2222cos 144CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠=，所以12CD =，则2221cos 22CD AD AC CDA CD AD +-∠=⋅.故答案为：12.15．定义在R 上的单调函数()f u 满足：()()()f u v f u f v +=+，若()()()2sin sin cos 3F u f a u f u u =++-在()π,0-上有零点，则a 的取值范围是______________【答案】4a ≤-【详解】令0u v ==,则(0)2(0)f f =,则(0)0f =；再令v u =-,则有()()()0f u u f u f u -=+-=，且()f x 定义域为R.()f x ∴是奇函数.()()()2sin sin cos 3F u f a u f u u =++-在()π,0-上有零点.()()2sin sin cos 30f a u f u u ∴++-=在()π,0-上有解；()()()22sin sin cos 3sin cos 3f a u f u u f u u ∴=-+-=--+在()π,0-上有解；又∵函数()f x 是R 上的单调函数,2sin sin cos 3a u u u ∴=--+在()π,0-上有解.()π,0u ∈- ，sin 0;u ∴≠；22sin cos 3sin sin 22sin 1sin sin sin u u u u a u u u u--+-++∴===+-；令[)sin ,1,0t u t =∈-,则21a t t =+-；2y t t=+在[)1,0-上单调递减,3y ∴≤-，4a ≤-.故答案为：4a ≤-.16．已知三角形ABC 中，4,5,6,AB AC BC I ===是ABC 的重心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点，若AP AB AC λμ=+（,R λμ∈），则λμ+的取值范围________.【答案】2,13⎛⎫⎪⎝⎭【详解】如图，以点A 为原点建立平面直角坐标系，1625361cos 2458A +-==⨯⨯，则sin 8A =，则()()50,0,4,0,8A B C ⎛ ⎝⎭，因为I 是ABC 的重心，所以5040088,33I ⎛++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即3724I ⎛ ⎝⎭，直线BC的方程为)4y x =-0x y +，设(),P x y ，P 在IBC 内部（不含边界），()()5,,4,0,,88AP x y AB AC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，因为AP AB AC λμ=+ ，即()()5,4,0,88x y λμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以5488x y λμμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以14x y y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则14x y λμ+=，令14z x y λμ=+=，则99y x z =-+，由图可知当直线99y x z =-+过点()4,0B 时，max 1z =，当直线y x z =过点3724I ⎛ ⎝⎭时，min 23z =，所以λμ+的取值范围是2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：2,13⎛⎫⎪⎝⎭17．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()cos ,1sin ,cos ,22sin ,m x x n x x x =+=+∈R．(1)若m n ⊥，求sin x 的值；(2)若()f x m n =⋅ ，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的值域．【详解】（1）∵()()cos ,1sin ,cos ,22sin ,m x x n x x m n =+=+⊥，∴22cos 22sin 2sin 2sin 0m n x x x x ⋅=++++= ．∴2sin 4sin 30m n x x ⋅=++=，解得sin 1x =-或sin 3x =-（舍）．∴sin 1x =-．（2）由（1）知()2sin 4sin 3f x x x =++，∴()()2sin 21f x x =+-．∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()sin 0,1x ∈．∴()sin 22,3x +∈．∴()38f x <<．∴函数()f x 的值域为()3,8．18．已知关于x 的方程2330()x ax a a --=∈R 的两个虚数根为12,x x ．(1)若12x x =，求1x 的取值范围；(2)若121x x -=，求实数a 的值．【详解】（1）因为关于x 的方程2330()x ax a a --=∈R 的两个虚数根为12,x x ，29120a a ∆=+<，则403a -<<，123x x a +=，123x x a ⋅=-，且复数12,x x 互为共轭复数，即21x x =，若12x x =，111123x x x x x a =-，因为403a -<<，所以032a <-<，所以1x 的取值范围是()0,2；（2）()()22221212121214912x x x x x x x x a a =-=-=+-=+，因为29120a a +<，所以29121a a +=-，所以2333a =-±.19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为222,,,cos cos cos 1sin sin a b c A B C B C --=-+.(1)求A ；(2)若6b c +=，求ABC 的中线AM 的最小值.【详解】（1）因为222cos cos cos 1sin sin A B C B C --=-+所以222sin sin sin sin sin A B C B C -++=，由正弦定理可得222a b c bc -++=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈，则3A π=；（2）由题意()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，()222211()2cos 44AM AB AC AB AB AC BAC AC∠=+=++()22211()44b c bc b c bc ⎡⎤=++=+-⎣⎦22127()424⎡⎤+⎛⎫≥+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦b c b c ，则33AM ≥ ABC 的中线AM 的最小值为332（当且仅当3==b c 取最小值）；综上，AM 33220．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足90BAD ∠=︒），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=︒，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=︒，路宽12m AD =．设灯柱高()m AB h =，()3045ACB θθ∠=︒≤≤︒．(1)当30θ=︒时，求四边形ABCD 的面积；(2)若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．【详解】（1）当30θ=︒时，1801203030BAC ︒︒︒︒∠=--=，所以AB BC =，又9060CAD BAC ∠︒∠=︒=-所以ACD 是等边三角形，所以12AC AD ==，所以在ABC 中，sin sin sin AB BC ACACB BAC ABC==∠∠∠，即3AB BC ==所以11433sin1201212sin6048322ABC ACD ABCD S S S =+=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒⨯= 四边形（2）18012060BAC θθ∠=︒--=︒︒-，9030CAD BAC θ∠︒-=+︒=∠，()180630900ADC θθ︒︒∠=-=︒-︒+-，在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD AC ACD ADC∠∠=，所以()12sin60sin 90AC θ=︒︒-所以AC θ=在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC BCABC BAC=∠∠()sin 60BC θ=︒-，所以()[]216cos sin 6016cos sin60cos cos60sin 8sincos BC θθθθθθθθ=-=︒︒-︒=-1cos24sin2444sin22θθθθ+=-=-所以()8sin24sin24sin2S AB BC θθθθθ=+=++-=++()18sin2cos28sin 26022θθθ⎛⎫=++=++ ⎭︒⎪⎪⎝因为3045θ︒≤≤︒，所以120260150θ︒≤+︒≤︒，所以当260150θ+︒=︒，即45θ=︒时，S取最小值4+，故S 关于θ的函数表达式为())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒，S最小值为24+.21．定义非零向量(),OM a b = 的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),OM a b =称为函数()()sin cos f x a x b x x =+∈R 的“相伴向量”（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．(1)设()()ππ3cos 63h x x x x ⎛⎫⎛⎫++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，请问函数()h x 是否存在相伴向量OM ，若存在，求出与OM 共线的单位向量；若不存在，请说明理由．(2)已知点(),M a b满足：(ba∈，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，求0tan 2x 的取值范围．【详解】（1）因为()ππ3cos 63h x x x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin 3cos cos sin sin 6633x x x x ⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎭⎝⎭ππππcos sin 3cos cos 3sin sin 6633x x x x =-++33cos sin sin cos sin 3cos 2222x x x x x x=+++，所以，函数()h x存在相伴向量，)OM =，所以，与OM共线的单位向量为)12OM OM⎛== ⎝⎭或)1,2OM OM ⎛-==- ⎝⎭.（2）OM 的“相伴函数”()()sin cos ,tan b f x a x b x x aϕϕ=+=+=，因为()f x 在0x x =处取得最大值，所以，当0π2π,Z 2x k k ϕ+=+∈，即0π2π,Z 2x k k -ϕ=+∈时，()f x有最大值0πsin sin 2πcos 2x k -ϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，0πcos cos 2πsin 2x k -ϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以0cos 1tan sin tan x ϕϕϕ==，因为(tan ba ϕ=∈，1,tan 3ϕ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭，所以0cos 1tan sin t ,3n a x ϕϕϕ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭==，所以020002tan 2tan 211tan tan tan x x x x x ==--，令0,tan 3t x ⎫∈+∞⎪⎪⎭=⎣，则0011tan tan x t x t -=-，因为1,y y t t ==-均为,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭上的单调递减函数，所以1y t t =-在,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递减，所以0011tan ,tan 3x t x t ⎛-=-∈-∞ ⎝⎦，所以，())00202tan 2tan 2,011tan tan tan x x x x x ==∈-∞+∞-- ，所以，0tan 2x 的取值范围为()),0-∞⋃+∞.22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，边长均为正整数，且2A B =.(1)若4b =，求a ；(2)若角C 为钝角，求△ABC 的周长的最小值.【详解】（1）由2A B =，可得sin sin 22sin cos A B B B ==，则22162cos 8cos 82a c a b B B ac+-===⨯，整理得：()()()24444a c c c -=+-，若4c =，则B C =，2,A B A B C π=++=，解得,24A B C ππ===，此时a N +=，不满足题意；则4c ≠，且()244a c =+；又()30,A B B π+=∈，故可得10,,cos ,132B B π⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()8cos 4,8a B =∈，又a 为正整数，故5a =或6或7，当5a =时，由()244a c =+可知，c 不是整数，不满足题意；当6a =时，由()244a c =+可知，5,4c b ==，满足题意；当7a =时，由()244a c =+可知，c 不是整数，不满足题意.综上所述：6a =.（2）根据正弦定理可得：sin sin sin a b c A B C==，即()sin 2sin sin 3sin 3a b c c B B B B π===-，()()222sin cos sin sin cos 22cos sin 4cos 1a b c c B B B B B B B B ===+-则22cos 4cos 1a cb B B ==-，由2cos a b B =可得：cos 2a B b =代入24cos 1c b B =-，可得：2a cb b=-；因为C 为钝角，即32A B B πππ--=->，解得6B π<，故cos 2B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则)2cos ,2a b B b =∈2a b <<，因为a 为整数，当1,2,3b =时，都没有a 满足条件，当4b =时，此时8a <<，此时满足要求的a 的最小值为7，注意到2a c b b=-，则2a b 也为整数，当7,4a b ==时不满足，则将,a b 扩大整数倍，当扩大4倍得到28,16a b ==，此时249a b =满足要求，则当28,16,33a b c ===时，是满足题意的三角形的最短边长，故三角形ABC 周长的最小值为28163377++=.故△ABC 周长的最小值为77.。
高一数学三角函数试题答案及解析
高一数学三角函数试题答案及解析1.在中，求证：．【答案】见解析【解析】证明：，同理可得，，．【考点】本题主要考查余弦定理、半角公式。
点评：涉及三角不等式的证明问题，往往要考虑三角函数的单调性、有界性，本题利用“放缩”思想，达到证明目的。
2.在中，求证：．【答案】见解析【解析】证明：，同理可得，，．【考点】本题主要考查余弦定理、半角公式。
点评：涉及三角不等式的证明问题，往往要考虑三角函数的单调性、有界性，本题利用“放缩”思想，达到证明目的。
3.函数y＝tan x是A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数C．周期为π的偶函数D．周期为π的奇函数【答案】B【解析】函数定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数；又因为＝tan x，所以周期为π，故选B。
【考点】本题主要考查三角函数的性质。
点评：简单题，利用周期函数、奇偶函数的定义判断。
4.已知θ角终边上一点M（x，－2），，则sinθ＝____________；tanθ＝____________.【答案】【解析】由三角函数定义，所以=3，，故sinθ＝，tanθ＝。
【考点】本题主要考查任意角的三角函数定义、同角公式。
点评：待定系数法的应用，分类讨论思想的应用，常考题型5.设（m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.【答案】见解析。
【解析】∵m＞n＞0，∴＞0∴θ是第一象限角或第四象限角.当θ是第一象限角时：sinθ＝＝tanθ＝当θ是第四象限角时：sinθ＝－tanθ＝【考点】本题主要考查任意角的三角函数同角公式。
点评：运用了平方关系求值时，要特别注意讨论开方运算中正负号的选取。
6.化简：2－sin221°－cos 221°＋sin417°＋sin217°·cos 217°＋cos 217°【答案】2【解析】原式＝2－（sin221°＋cos 221°）＋sin217°（sin217°＋cos 217°）＋cos 217°＝2－1＋sin217°＋cos 217°＝1＋1＝2【考点】本题主要考查任意角的三角函数同角公式。
高一数学三角函数试题答案及解析
高一数学三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，则点位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为角为第二象限角，所以，，即点位于第四象限，故选D.2.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A. B. C. D. A=B=C【答案】B【解析】锐角必小于 ,故选B.3.已知角的终边过点，且，则的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以角的终边在第二，三象限，，从而，即，解得，故选C。
4.若，，则角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质。
由知角可能在第一、四象限；由知角可能在第三、四象限；综上得角的终边在箱四象限故正确答案为5.已知函数相邻两对称轴间的距离为，若将的图像先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数为奇函数.（1）求的解析式，并求的对称中心；（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.【答案】（1），对称中心为：，（2）或.【解析】（1）相邻两对称轴间的距离为半周期,由,可得，按三角函数的平移变换,得表达式,函数为奇函数,得值,且过点得值,求出表达式后由性质可得对称中心；（2）由得的范围,将利用换元法换元,将问题转化为一个一元二次方程根的分布问题,利用判别式得不等式解得取值范围.试题解析：（1）由条件得：，即,则，又为奇函数，令，，，，由，得对称中心为：（2）,又有（1）知：，则，的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令则由原命题得：在上仅有一个实根.令，则需或，解得：或.【考点】1. 性质；2.一元二次方程；3.换元法．6.设函数的最小正周期为，且，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增【答案】A【解析】由得，，又，则，即．当时，，递减，故选A．【考点】函数的解析式，函数的奇偶性，单调性．7.若，且，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】根据且，可得角为第三象限角，故选择C．【考点】三角函数定义．8.已知函数 .（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值及最小值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）取得最大值，取得最小值.【解析】（Ⅰ）先根据两角和余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求单调区间：由解得，最后写出区间形式（Ⅱ）先根据自变量范围确定基本三角函数定义区间：，再根据正弦函数在此区间图像确定最值：当时，取得最小值；当时，取得最大值1.试题解析：（Ⅰ）. ……………………………………3分由，，得，.即的单调递减区间为，.……………………6分（Ⅱ）由得，………………………………8分所以. …………………………………………10分所以当时，取得最小值；当时，取得最大值1. ………………………………13分【考点】三角函数性质【思路点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”。
高一数学三角函数试题答案及解析
高一数学三角函数试题答案及解析1.如图，在中，已知,是上一点，,则【答案】【解析】由余弦定理得：，在三角形中，再由正弦定理得：【考点】正余弦定理综合2.若f(cos x)="cos" 3x，则f(sin 30°)的值为 .【答案】-1【解析】根据题意，由于f(cos x)="cos" 3x，则f(sin 30°)=" f(cos" 60°)=cos180°=-1.故可知答案为-1.【考点】三角函数的求值点评：主要是考查了三角函数解析式的求解，属于基础题。
3.已知，计算：（1）；（2）；（3）；（4）；【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；【解析】（1）.（2）.，，（3）.（4）.【考点】诱导公式；同角三角函数的基本关系点评：在（1）中，用到的诱导公式有和；在（2）中，用到的公式有和；在（3）中，用到的诱导公式有和；在（4）中，用到的公式有。
4.在中，角所对的边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）现给出三个条件：①；②；③．试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选项，并以此为依据求出的面积（只需写出一个选定方案即可）．【答案】（1）；（2）选①③，。
【解析】（1）由代入正弦定理得：，即：，又，．又． 6分（2）方案1：选①②．由正弦定理得：．又，． 12分方案2：选①③．由余弦定理得：∴，从而． 12分（选②③，这样的三角形不存在）【考点】正弦定理；余弦定理；三角形的面积公式；三角形内的隐含条件。
点评：熟练掌握三角形内的隐含条件：；。
，使得对任意的实数x，都有5.已知函数，如果存在实数x1成立，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B，使得对任意的实【解析】根据题意，由于，存在实数x1数x，都有成立，可知函数的最小值为-，则周期的最大值为2012，那么可知w值为，故可知的最小值为，选B【考点】三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。
高中数学立体几何高难度练习题及参考答案2023
高中数学立体几何高难度练习题及参考答案2023【题目1】已知立方体ABCDEFGH的棱长为a，M为AD的中点，N为BF的中点，P为MN的中点。
求证：四边形MNHP是一个矩形。
【解答1】根据题意，我们可以先求出MN的长度。
由于M为AD的中点，因此DM = a/2。
同理，BN = a/2。
根据勾股定理，可以得到三角形MND的斜边ND的长度：ND = √(MN² + DM²)= √(MN² + (a/2)²)根据三角形BNF的性质，可以得到BNF是一个等腰直角三角形，因此NF = BN = a/2。
同理，我们可以计算出FP的长度：FP = NF = a/2最后，我们可以比较四边形MNHP的对角线长度。
根据反证法，如果MNHP不是一个矩形，那么MN和HP的长度应该不相等，即MN ≠ HP。
假设MN > HP，即MN² > HP²由于HP = FP = a/2，我们可以得到：MN² > (a/2)²将MN²和(a/2)²的值代入，得到：(MN² + (a/2)²) > (a/2)²经过整理化简，可得：MN > a/2这与MN = a/2矛盾，因此假设成立。
同理，可以得出假设MN < HP亦不成立。
由以上推理可知，四边形MNHP是一个矩形。
证毕。
【题目2】在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知AB = 3，BC = 4，CA = 5，且AA'垂直于平面ABCD。
求证：A'B'² = 4² + 3² + 5²。
【解答2】根据题意，我们可以利用勾股定理和垂直平面的性质来解答此题。
首先，考虑三角形ABC。
由已知条件可知，它是一个直角三角形，且AB = 3，BC = 4，CA = 5。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最新高一下数学难题汇编：数列、立体几何、三角函数、向量一．选择题（共26小题）1．函数，若对于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1，+∞）2．已知数列{a n}为等差数列，公差d不为0，{a n}中的部分项组成的数列恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，则数列{k n}的前n项和为（）A．3n B．3n﹣1C．3n+n﹣1D．3n﹣n﹣13．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，．根据这些信息，可得sin234°＝（）A．B．C．D．4．若函数有两个不同零点则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．5．已知锐角α、β满足，则的最小值为（）A．20B．18C．16D．126．已知{a n}是等比数列，且a1+a2+a3+a4+a5＝10，a12+a22+a32+a42+a52＝60，则a2+a4＝（）A．2B．3C．4D．57．在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，点P在CD边上运动（如图甲），现以AP为折痕将△DAP折起，使得点D在平面ABCP内的射影O恰好落在AB边上（如图乙）．设CP＝x（0＜x＜1），二面角D﹣AP﹣B 的余弦值为y，则函数y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．8．若不等式ax2+bx+c＞0的解为m＜x＜n（其中m＜0＜n），则不等式cx2﹣bx+a＞0的解为（）A．x＞﹣m或x＜﹣n B．﹣n＜x＜﹣mC．x＞﹣或x D．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．4C．D．1210．如图，矩形ABCD（AD＜AB）的周长为4，把△ABC沿AC向△ADC折叠后成△AB'C，AB折过去后交DC于点P．则△B′PC的最大面积为（）A．3﹣2B．3﹣C．﹣1D．+111．如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，那么k的取值为（）A．B．0＜k≤12C．k≥12D．0＜k≤12或12．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为（）A．8πB．C．D．13．如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．过点A任作一条直线与圆O：x2+y2＝1相交于M，N两点，的值为（）A．2B．3C．D．14．若数列{a n}满足a n＝（n≥2，n∈N*），且a1＝，则a n＝（）A．B．C．D．15．夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作．为更好地考察防汛工作实际情况，某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据．如图所示，CE是该大坝的坡面，该小组在坝底所在水平地面的A处测得坝顶E的仰角为θ，对着大坝在水平地面上前进30m后到达B处，测得仰角为原来的2倍，继续在水平地面上前进10m后到达坡底C处，测得仰角为原来的4倍，则该大坝的高度为（）A．10m B．15m C．20m D．5m16．下列四个说法中，错误的是（）①若a，b均为正数，则；②若x∈（0，），则sin x+的最小值为2；③若a＞b＞1，则；④a＞b＞0，则a+＞b+．A．①②③B．①③C．②③D．②④17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M，N为线段BC，CC1上的动点，过点A1，M，N的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的个数是（）①当BM＝0且0＜CN＜1时，S为等腰梯形；②当M，N分别为BC，CC1的中点时，几何体A1D1MN的体积为；③当M为BC中点且CN＝时，S与C1D1的交点为R，满足C1R＝；④当M为BC中点且0≤CN≤1时，S为五边形．A．1B．2C．3D．418．在△ABC中，D为AB的中点，E为AC边上靠近点A的三等分点，且BE⊥CD，则cos2A的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣19．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若直线3x+4y﹣5＝0恰好与以AB为直径的圆C相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．π20．已知数列{a n}的前n项和为S n，直线与圆O：x2+y2＝2a n+2交于两点，且．记b n＝na n，其前n项和为T n，若存在n∈N*，使得有解，则实数λ取值范围是（）A．B．C．D．（0，+∞）21．在数列{a n}中，若a1＝，且对任意的n∈N*有，则数列{a n}前10项的和为（）A．B．C．D．22．已知函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]∪[，1）C．（0，]D．（0，]∪[，]23．已知直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，则的最小值为（）A．B．C．D．24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1﹣m，2m﹣1），点B（﹣2，1），直线l：ax+by＝0．如果对任意的m∈R点A到直线l的距离均为定值，则点B关于直线l的对称点B1的坐标为（）A．（0，2）B．C．（2，3）D．25．若正项数列{a n}的前n项和为S n，满足，则＝（）A．B．C．D．26．如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（）A．B．C．D．二．填空题（共14小题）27．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．28．在下列所给的结论中：①在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形；②在△ABC中，角A、B、C均不等于，则tan A+tan B+tan C＝tan A tan B tan C；③等比数列{a n}的前n项和S n＝3n+m，m为常数，则m＝﹣1；④如果锐角α、β、γ满足cos2α+cos2β+cos2γ＝1，那么tanαtanβtanγ的最小值为2．其中正确命题的序号为．29．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝2（θ∈R）．①圆C与圆O：x2+y2＝1的位置关系是；（选填：相离，外切，相交，内切或内含）②记圆C与直线l1：x+2y＝0和l2：2x﹣y＝0分别交于A、C和B、D四点，当θ变化时，凸四边形ABCD面积的最大值是．30．设a1，a2，…，a50是从﹣1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+…+a50＝9，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2＝107，则a1，a2，…，a50中数字0的个数为．31．如图所示，体积为16的长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点均在球O的表面上，且AA1＝4，则球O 的表面积的最小值为．32．已知x＝是函数f（x）＝2sin（πx+φ），（0＜φ＜π）的一个零点，令a n＝f（）+|2n﹣5|，（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，则S21＝．33．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝﹣若b＝，a+c＝4，则a的值为．34．过点P（1，﹣2）引圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0的切线，其中一个切点为Q，则|PQ|长度为．35．已知A、B、C为△ABC的三内角，且角A为锐角，若tan B＝2tan A，则的最小值为．36．已知函数f（x）＝A sin（x+φ），x∈R，A＞0，0＜φ＜．y＝f（x）的部分图象，如图所示，P，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A），点R的坐标为（1，0），∠PRQ＝，则sin∠PQR＝．37．已知边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角边BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为．38．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，点G为△ABC的重心，若CG⊥BG，则cos C的取值范围为．39．若A为△ABC的最小内角，则函数f（A）＝的值域为．40．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为．三．解答题（共20小题）41．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．42．已知数列{a n}的前n项和为S n，，且4S n+1＝3S n﹣9．（1）求数列{a n}的通项；（2）设数列{b n}满足，记{b n}的前n项和为T n．①求T n；②若T n≤λb n对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．43．设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1．（1）若对于一切的实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）设m＞0，则关于x的不等式f（x）＜x﹣2．44．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足＝．（1）证明：b，a，c成等差数列；（2）如图，若b＝c，点O是△ABC外一点，设∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，求平面四边形OACB面积的最大值．45．已知α是锐角，tanα＝﹣1，函数f（x）＝x2tan2α+x•sin（2α+），数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝f（n）．数列{b n}是等比数列，b1＝1，a5﹣b2＝3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，若T n≤M对一切的正整数n都成立，求M的最小值；（3）设数列{c n}满足c n＝3﹣2λb n，且{c n}是递增数列，求实数λ的取值范围．46．已知定义在R上的函数f（x）＝x2﹣x+k，其中k为常数．（1）求解关于x的不等式f（x）＜kx的解集；（2）若f（2）是f（a）与f（b）的等差中项，求a+b的取值范围．47．已知数列{a n}的前n项和S n满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设点列P n（a n，b n）都在函数y＝log3x的图象上，依次连结P1、P2、P3…P n+1形成折线L．记折线L对应的函数为y＝f（x），求不等式组所表示的平面区域的面积．48．已知圆C经过坐标原点O和点G（﹣2，2），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设P A、PB是圆C的两条切线，其中A、B为切点．①若点P在直线x﹣y﹣2＝0上运动，求证：直线AB经过定点；②若点P在曲线y＝（其中x＞4）上运动，记直线P A、PB与x轴的交点分别为M、N，求△PMN面积的最小值．49．边长为1的正方形ABCD的边BC上有一点P，边CD上有一点Q．满足△CPQ的周长为2．（1）求∠QAP的大小；（2）求△APQ面积的最小值．50．已知S n是数列{a n}的前n项和，且a n＝S n+2n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）令b n＝，求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）若数列{∁n}满足∁n＝1+，对任意的p、q∈N*，λ≥|∁p﹣∁q|恒成立，求实数λ的取值范围．51．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且满足bc sin2A+20cos（B+C）＝0．（1）求△ABC的面积S；（2）若a2＝4S，求的最大值．52．已知数列{a n}满足a1＝2，（1）求a2，a3的值；（2）求证：数列是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）设，若不等式对于任意n∈N*都成立，求正数k的最大值．53．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a n，记数列{}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．54．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC⊥PB，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，P A＝BC＝2AB＝2，．（1）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（2）若点E在棱P A上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．55．已知数列{a n}的首项为1，且na n+1＝（n+1）a n，数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n＝a1b1+a2b2+…+a n b n，数列{a n}的前n项和为S n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＞2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．56．已知函数f（x）＝的图象上有一点列P n（x n，y n）（n∈N*），点P n在x轴上的射影是Q n（x n，0），且x n＝3x n﹣1+2（n≥2且n∈N*），x1＝2．（1）求证：{x n+1}是等比数列，并求出数列{x n}的通项公式；（2）对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式3t2﹣6mt+恒成立，求实数t的取值范围．（3）设四边形P n Q n Q n+1P n+1的面积是S n，求证：＜3．57．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝c（sin B+cos B）．（1）求∠ACB的大小；（2）若∠ABC＝∠ACB，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．58．已知函数f（x）＝为奇函数，且f（2）＝．（1）求实数a与b的值；（2）若函数g（x）＝，数列{a n}为正项数列，，且当n≥2，n∈N*时，[g（a n）•g（a n﹣1）+f（a n2）f（a n﹣12）（f2（a n）+f2（a n﹣1）﹣f2（a n）f2（a n﹣1））]a n4＝4，设b n＝，记数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n，B n，且对∀n∈N*有A n≥（﹣1）n（λ﹣7B n）恒成立，求实数λ的取值范围．59．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△P AB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△P AB 沿AB边折起，使平面P AB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，（1）证明：AB⊥PC；（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由60．动直线m：3x+8y+3λx+λy+21＝0（λ∈R）过定点M，直线l过点M且倾斜角α满足cosα＝，数列{a n}的前n项和为S n，点P（S n，a n+1）在直线l上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n﹣＝，数列{b n}的前n项和T n，如果存在任意一个n∈N*，不等式成立，求整数k的最大值．参考答案一．选择题（共26小题）1．A；2．D；3．C；4．B；5．B；6．A；7．D；8．C；9．B；10．A；11．D；12．B；13．C；14．A；15．B；16．C；17．B；18．D；19．A；20．D；21．A；22．D；23．C；24．B；25．A；26．C；二．填空题（共14小题）27．；28．②③④；29．相交；3；30．11；31．24π；32．363；33．1或3；34．；35．；36．；37．28π；38．；39．[，）；40．；三．解答题（共20小题）41．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．【解答】解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时，则有CD＝，BD＝10t．在△ABC中，∵AB＝﹣1，AC＝2，∠BAC＝45°+75°＝120°．根据余弦定理可求得BC＝，∠CBA＝60°，∠CBD＝90°+30°＝120°．在△BCD中，根据正弦定理可得sin∠BCD＝，∵∠CBD＝120°，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝，则有10t＝，t＝＝0.245（小时）＝14.7（分钟）．所以缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．42．已知数列{a n}的前n项和为S n，，且4S n+1＝3S n﹣9．（1）求数列{a n}的通项；（2）设数列{b n}满足，记{b n}的前n项和为T n．①求T n；②若T n≤λb n对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：当n＝1时，4（a1+a2）＝3a1﹣9，，∴，当n≥2时，由4S n+1＝3S n﹣9①，得4S n＝3S n﹣1﹣9②，①﹣②得4a n+1＝3a n，，∵a n≠0，∴，又，∴{a n}是首项为，公比为的等比数列，∴；（2）①由3b n+（n﹣4）a n＝0，得，所以，，两式相减得＝＝，所以②由T n≤λb n，得恒成立，即λ（n﹣4）+3n≥0恒成立，当n＝4时，不等式恒成立；当n＜4时，有，得λ≤1；当n＞4时，有，得λ≥﹣3；综上，实数λ的取值范围为[﹣3，1]．43．设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1．（1）若对于一切的实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）设m＞0，则关于x的不等式f（x）＜x﹣2．【解答】解：（1）要使mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，当m＝0时，不等式化为﹣1＜0，显然满足题意，故m＝0符合题意；当m≠0时，只需成立，解得﹣4＜m＜0．综上可知，m的取值范围是（﹣4，0]．（2）原不等式可化为：mx2﹣（m+1）x+1＜0，m＞0．即m，当0＜m＜1时，，原不等式的解为：；当m＝1时，，原不等式无解；当m＞1时，，原不等式的解为：．综上可知：当0＜m＜1时，原不等式的解集为{x|}；当m＝1时，原不等式的解集为Φ；当m ＞1时，原不等式的解集为{x|}．44．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足＝．（1）证明：b，a，c成等差数列；（2）如图，若b＝c，点O是△ABC外一点，设∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，求平面四边形OACB面积的最大值．【解答】（1）证明：由．可得：sin B cos A+sin C cos A＝2sin A﹣sin A cos B﹣cos C sin A即sin A cos B+sin B cos A+sin C cos A+cos C sin A＝2sin A∴sin（A+B）+sin（A+C）＝2sin A∵A+B+C＝π∴sin C+sin B＝2sin A由正弦定理：b+c＝2a，故得b，a，c成等差数列；（2）解：由（1）可知b+c＝2a，b＝c，则a＝b＝c．∴△ABC是等边三角形．由题意∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，则．余弦定理可得：c2＝AO+OB﹣2•AO•BO•cosθ＝5﹣4cosθ则＝＝．故四边形OACB面积S＝sinθ﹣cosθ+＝2sin（）．∵0＜θ＜π，∴＜，∴当＝时，S取得最大值为2＝故平面四边形OACB面积的最大值为．45．已知α是锐角，tanα＝﹣1，函数f（x）＝x2tan2α+x•sin（2α+），数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝f（n）．数列{b n}是等比数列，b1＝1，a5﹣b2＝3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，若T n≤M对一切的正整数n都成立，求M的最小值；（3）设数列{c n}满足c n＝3﹣2λb n，且{c n}是递增数列，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵α是锐角，tanα＝﹣1，∴tan2α＝＝1，2α＝，sin（2α+）＝1，∴f（x）＝x2+x，2S n＝f（n）＝n2+n，∴S n＝．∴①当n＝1时，a1＝S1＝1，②当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝n，综合①②得：a n＝n．设数列{b n}的公比为q，∵b1＝1，a5﹣b2＝3，∴b2＝a5﹣3＝5﹣3＝2＝q，∴b n＝2n﹣1，∴a n＝n，b n＝2n﹣1；（2）由（1）可得＝，又T n＝1×（）0+2×（）1+3×（）2+…+，T n＝1×（）1+2×（）2+…+（n﹣1）•（）n﹣1+，两式相减得：T n＝1+（）1+（）2+（）3+…+（）n﹣1﹣＝﹣＝2﹣（n+2）•（）n，∴T n＝4﹣，∵T n随n的增大而增大，且T n＜4，∴M min＝4；（3）由（1）可得：c n＝3n﹣2λ•2n﹣1＝3n﹣λ•2n，∵{c n}是递增数列，∴c n+1﹣c n＝3n+1﹣λ•2n+1﹣3n+λ•2n＝2×3n﹣λ•2n＞0，∴λ＜2×（）n，又（2×（）n）min＝2×＝3，∴λ＜3．46．已知定义在R上的函数f（x）＝x2﹣x+k，其中k为常数．（1）求解关于x的不等式f（x）＜kx的解集；（2）若f（2）是f（a）与f（b）的等差中项，求a+b的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＜kx，可得x2﹣x+k＜kx，即（x﹣k）（x﹣1）＜0，当k＝1时，不等式的解集为∅；当k＜1时，不等式的解集为（k，1）；当k＞1时，不等式的解集为（1，k）．（2）若f（2）是f（a）与f（b）的等差中项，则2（2+k）＝（a2﹣a+k）+（b2﹣b+k），整理得a2+b2﹣（a+b）＝4，∴4＝a2+b2﹣（a+b）＝（a+b）2﹣（a+b）﹣2ab≥（a+b）2﹣（a+b）﹣2（）2，解得﹣2≤a+b≤4，所以a+b的取值范围为[﹣2，4]．47．已知数列{a n}的前n项和S n满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设点列P n（a n，b n）都在函数y＝log3x的图象上，依次连结P1、P2、P3…P n+1形成折线L．记折线L对应的函数为y＝f（x），求不等式组所表示的平面区域的面积．【解答】解：（1）当n＝1时，2S1＝3（a1﹣1）＝2a1，得a1＝3，当n≥2时，2S n＝3（a n﹣1），2S n﹣1＝3（a n﹣1﹣1），两式作差可得2 a n＝3a n﹣3a n﹣1，即a n＝3a n﹣1，所以数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n＝3n；（2）因为P n（a n，b n）都在函数y＝log3x的图象上，所以b n＝log3a n＝n，即P n（3n，n），此时形成的平面区域由n个不同的梯形构成，且第n个梯形面积为c n＝（2n+1）（3n+1﹣3n）＝（2n+1）3n，所以不等式组所表示的平面区域的面积为数列{c n}的前n项和，所以令T n＝c1+c2+c3+…+c n，T n＝3×3+5×32+7×33+…+（2n+1）3n，3T n＝3×32+5×33+7×34+…+（2n﹣1）3n+（2n+1）3n+1，作差整理得﹣2T n＝9+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n+1）3n+1＝9+2×﹣（2n+1）3n+1，整理得T n＝n•3n+1，即不等式组所表示的平面区域的面积为n•3n+1．48．已知圆C经过坐标原点O和点G（﹣2，2），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设P A、PB是圆C的两条切线，其中A、B为切点．①若点P在直线x﹣y﹣2＝0上运动，求证：直线AB经过定点；②若点P在曲线y＝（其中x＞4）上运动，记直线P A、PB与x轴的交点分别为M、N，求△PMN面积的最小值．【解答】解：（1）由题意设圆C的圆心坐标（m，2﹣m），由题意|OC|2＝|CG|2，即m2+（2﹣m）2＝（m+2）2+（2﹣m﹣2）2，解得m＝0，即C（0，2），所以可得半径r＝|OC|＝2，所以圆的方程为x2+（y﹣2）2＝4；（2）①由点P在直线x﹣y﹣2＝0上运动，可设P（t，t﹣2），由P A和PB为圆C的两条切线，可得AC⊥P A，BC⊥PB，则P，A，C，B四点共圆，且圆心为PC的中点（，），半径为|PC|＝，则以PC为直径的圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝[t2+（t﹣4）2]，又圆C的方程为x2+（y﹣2）2＝4，上面两圆的方程相减可得tx+（t﹣4）y+4﹣2t＝0，上式即为直线AB的方程，由t（x+y﹣2）+（4﹣4y）＝0，可得，解得x＝y＝1，则直线AB恒过定点（1，1）；②若点P在曲线y＝（其中x＞4）上运动，可设P（u，u2），u＞4，显然切线P A，PB的斜率存在，设为k，可得切线方程设为y﹣u2＝k（x﹣u），即kx﹣y+u2﹣ku＝0，由直线和圆相切的条件可得＝2，化为k2（u2﹣4）+2ku（2﹣）+﹣u2＝0，△＝4u2（2﹣）2﹣4（u2﹣4）（﹣u2）＞0在u＞4恒成立，k1+k2＝，k1k2＝，|k1﹣k2|＝＝＝，而M（u﹣，0），N（u﹣，0），|MN|＝•||＝•＝，所以△PMN面积S＝••＝•，可设s＝u2﹣16，s＞0，则S＝•＝（s++32）≥（2+32）＝32，当且仅当s＝16，即u＝4时，△PMN的面积取得最小值32．49．边长为1的正方形ABCD的边BC上有一点P，边CD上有一点Q．满足△CPQ的周长为2．（1）求∠QAP的大小；（2）求△APQ面积的最小值．【解答】解：（1）△CPQ的周长为2，可得PQ＝BP+DQ，设∠P AB＝α，∠DAQ＝β，则PB＝tanα，QD＝tanβ，且PC＝1﹣tanα，QC＝1﹣tanβ，PQ＝tanα+tanβ，…2分由勾股定理可得，（1﹣tanα）2+（1﹣tanβ）2＝（tanα+tanβ）2，展开整理可得，2﹣2tanα﹣2tanβ＝2tanα•tanβ，…4分变形可得＝1，即tan（α+β）＝1，…5分因为α+β为锐角，α+β＝45°，∠QAP＝90°﹣45°＝45°…6分（2）S△APQ＝AQ•AP•sin45°＝，…8分又2cosαcosβ＝2cosαcos（45°﹣α）＝2cos2α+2cosαsinα，2cosαcosβ＝1+cos2α+sin2α＝1+cos（45°﹣2α），…10分当α＝22.5°时，上式有最大值1+，…11分此时S△APQ＝有最小值﹣1．…12分50．已知S n是数列{a n}的前n项和，且a n＝S n+2n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）令b n＝，求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）若数列{∁n}满足∁n＝1+，对任意的p、q∈N*，λ≥|∁p﹣∁q|恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a n＝S n+2n（n∈N*），可得a1＝S1+2＝a1+2，即有a1＝4；由a2＝S2+4＝（2+a2）+4，解得a2＝12；（Ⅱ）证明：当n≥2时，2a n﹣1＝S n﹣1+2n，又2a n＝S n+2n+1，相减可得2a n﹣2a n﹣1＝S n﹣S n﹣1+2n+1﹣2n，即为a n＝2a n﹣1+2n，可得＝+1，即有b n＝b n﹣1+1，可得数列{b n}是首项为2，公差为1的等差数列；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得＝n+1，即a n＝（n+1）•2n，可得S n＝2a n﹣2n+1＝n•2n+1，∁n＝1+＝1+（﹣）n+1，当n为偶数时，∁n＝1﹣递增，可得≤∁n＜1；当n为奇数时，∁n＝1+递减，可得1＜∁n≤，则|∁p﹣∁q|的最大值为﹣＝，可得λ≥．51．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且满足bc sin2A+20cos（B+C）＝0．（1）求△ABC的面积S；（2）若a2＝4S，求的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，B+C＝π﹣A，且bc sin2A+20cos（B+C）＝0，∴bc sin2A﹣20cos A＝0，∴2bc sin A cos A＝20cos A，∵，cos A≠0，∴bc sin A＝10，∴△ABC的面积S＝bc sin A＝＝5．（2）∵a2＝4S，∴b2+c2﹣2bc cos A＝2bc sin A，∴b2+c2＝2bc cos A+2bc sin A，∴＝＝2sin A+2cos A＝2sin（A+）≤2，当A＝时，的最大值为2．52．已知数列{a n}满足a1＝2，（1）求a2，a3的值；（2）求证：数列是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）设，若不等式对于任意n∈N*都成立，求正数k的最大值．【解答】解：（1）解：∵数列{a n}满足a1＝2，，∴a2＝3×2+21﹣1＝7，a3＝3×7+22﹣1＝23．（2）证明：，可得a n+1+2n＝3（a n+2n﹣1），∴{a n+2n﹣1}是以3为首项、3为公比的等比数列，∴a n+2n﹣1＝3n，∴a n＝3n﹣2n﹣1，n∈N*．（3）解：b n＝log（3n﹣2n﹣1+2n﹣1）+1＝log3n+1＝2n+1，不等式，即•••，设f（n）＝•••，则＝•＝1，∴f（n+1）＞f（n），即当n增大时，f（n）也增大，∴只需≤f（n）min即可．∵f（n）min＝f（1）＝•，∴，即k≤4，∴正数k的最大值为4．53．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a n，记数列{}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．【解答】证明：（1）因为2S n＝3a n﹣3，所以2S n﹣1＝3a n﹣1﹣3，两式相减得，2a n＝3a n﹣3a n﹣1（n≥2），即a n＝3a n﹣1（n≥2），在2S n＝3a n﹣3中，令n＝1，则2a1＝2S1＝3a1﹣3，解得a1＝3≠0，故数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）可知a n＝3n．所以b n＝log3a n＝log33n＝n，所以＝．所以T n＝+++……++，T n＝+++……++，两式相减得，T n＝+++……+﹣＝﹣＝，所以T n＝＝＜，当n≥2时，T n﹣T n﹣1＝＝＞0，此时，数列{T n}为递增数列，T n＞T1＝，当n＝1时，T1＝，综上所述，≤T n＜．54．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC⊥PB，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，P A＝BC＝2AB＝2，．（1）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（2）若点E在棱P A上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，由P A＝2AB＝2，，得PB2+AB2＝P A2，则PB⊥AB，又BC⊥PB，AB⊥BC，∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D（1，3，0），P（0，0，），＝（0，1，0），＝（0，2，﹣），由图可知，平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），设平面PCD的法向量为，则，取z＝2，得，设二面角P﹣CD﹣A的平面角为α，则cosα＝|cos＜＞|＝．∴二面角P﹣CD﹣A的余弦值为；（2）∵点E在P A上，∴，λ∈[0，1]，∵，∴，＝（1﹣λ，0，），又∵BE∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得，∴，则BE＝||＝．55．已知数列{a n}的首项为1，且na n+1＝（n+1）a n，数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n＝a1b1+a2b2+…+a n b n，数列{a n}的前n项和为S n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＞2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵na n+1＝（n+1）a n，即，∴．∴（n≥2），又a1＝1也满足上式，故数列{a n}的通项公式a n＝n（n∈N*）；由，知数列{b n}是等比数列，其首项、公比均为，∴数列{b n}的通项公式．（2）①∴②由①﹣②，得＝，∴．又．不等式λnT n+2b n S n＞2（λn+3b n）即，即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＞0（n∈N*）恒成立．即（n∈N*）恒成立，令．则，由n+6≥7，单调递增且大于0，∴f（n）单调递增，当n＝1时，为最小值，故，∴实数λ的取值范围是．56．已知函数f（x）＝的图象上有一点列P n（x n，y n）（n∈N*），点P n在x轴上的射影是Q n（x n，0），且x n＝3x n﹣1+2（n≥2且n∈N*），x1＝2．（1）求证：{x n+1}是等比数列，并求出数列{x n}的通项公式；（2）对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式3t2﹣6mt+恒成立，求实数t的取值范围．（3）设四边形P n Q n Q n+1P n+1的面积是S n，求证：＜3．【解答】（1）证明：由x n＝3x n﹣1+2（n≥2且n∈N*）得x n+1＝3（x n﹣1+1）（n≥2且n∈N*）∵x1+1＝3，∴x n+1≠0，∴，（n≥2且n∈N*），∴{x n+1}是首项为3，公比为3的等比数列．∴．∴，n∈N*．（2）解：∵，∵，n∈N*，又3n＝n+1+2n﹣1＞n+1＞1，∴，故数列{y n}单调递减，（此处也可作差y n+1﹣y n＜0证明数列{y n}单调递减）∴当n＝1时，y n取得最大值为．要使对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式恒成立，则须使，即t2﹣2mt＞0，对任意m∈[﹣1，1]恒成立，∴，解得t＞2或t＜﹣2，∴实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（3）证明：，而，∴四边形P n Q n Q n+1P n+1的面积为＝，，，∴．57．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝c（sin B+cos B）．（1）求∠ACB的大小；（2）若∠ABC＝∠ACB，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵a＝c（sin B+cos B），∴sin A＝sin C（sin B+cos B），…（1分）∴sin（π﹣B﹣C）＝sin C（sin B+cos B），∴sin（B+C）＝sin C（sin B+cos B），…（2分）∴sin B cos C+cos B sin C＝sin B sin C+sin C cos B，…（3分）∴cos C sin B＝sin B sin C，又∵B∈（0，π），故sin B≠0，…（4分）∴cos C＝sin C，即tan C＝1．…（5分）又∵C∈（0，π），∴C＝．…（6分）（2）在△BCD中，DB＝2，DC＝1，∴BC2＝12+22﹣2×1×2×cos D＝5﹣4cos D．…（7分）又∠ABC＝∠ACB，由（1）可知∠ACB＝，∴△ABC为等腰直角三角形，…（8分）∴S△ABC＝×BC××BC＝BC2＝﹣cos D，…（9分）又∵S△BDC＝×BD×DC×sin D＝sin D，…（10分）∴S四边形ABDC＝﹣cos D+sin D＝+sin（D﹣）．…（11分）∴当D＝时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为+．…（12分）58．已知函数f（x）＝为奇函数，且f（2）＝．（1）求实数a与b的值；（2）若函数g（x）＝，数列{a n}为正项数列，，且当n≥2，n∈N*时，[g（a n）•g （a n﹣1）+f（a n2）f（a n﹣12）（f2（a n）+f2（a n﹣1）﹣f2（a n）f2（a n﹣1））]a n4＝4，设b n＝，记数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n，B n，且对∀n∈N*有A n≥（﹣1）n（λ﹣7B n）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，，得b＝0，又，得a＝0．（2）由（1）知，得，又，∴，又a n＞0，所以，又，故，则数列{a n}的前n项和；又，则数列{b n}的前n项和为：＝，对∀n∈N*恒成立对∀n∈N*恒成立对∀n∈N*恒成立，令t＝2n+1﹣1，则当n为奇数时，原不等式，对∀n∈N*恒成立.对∀n∈N*恒成立，又函数在上单增，故有；当n为偶数时，原不等式，对∀n∈N*恒成立.对∀n∈N*恒成立，又函数在（0，+∞）上单增，故有7﹣1+6≥λ⇒λ≤12．综上得．59．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△P AB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△P AB 沿AB边折起，使平面P AB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，（1）证明：AB⊥PC；（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）证明：∵△P AB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，∴PM⊥AB．∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，∴AB⊥面PMC，∵PC⊂面PMC，∴AB⊥PC；（2）∵平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．∴PM⊥面ABCD，∴∠PMD就是PD与平面ABCD所成角．PM＝，MD＝，PD＝sin∠PMD＝＝，即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．（3）设DB∩MC＝E，连接NE，则有面PBD∩面MNC＝NE，∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．∴．线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN＝．60．动直线m：3x+8y+3λx+λy+21＝0（λ∈R）过定点M，直线l过点M且倾斜角α满足cosα＝，数列{a n}的前n项和为S n，点P（S n，a n+1）在直线l上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n﹣＝，数列{b n}的前n项和T n，如果存在任意一个n∈N*，不等式成立，求整数k的最大值．【解答】解：（1）3x+8y+3λx+λy+21＝0即为（3x+8y+21）+λ（3x+y）＝0，由3x+y＝0且3x+8y+21＝0，解得x＝1，y＝﹣3，可得M（1，﹣3），可得直线l的斜率为tanα＝＝2，即直线l的方程为y+3＝2（x﹣1），即有y＝2x﹣5，即有a n+1＝2S n﹣5，即a n+6＝2S n，当n＝1时，可得a1+6＝2S1＝2a1，即a1＝6，n≥2时，a n﹣1+6＝2S n﹣1，又a n+6＝2S n，相减可得2a n＝a n﹣a n﹣1，即a n＝﹣a n﹣1，可得数列{a n}的通项公式a n＝6•（﹣1）n﹣1；（2）b n﹣＝，即b n＝+•（﹣1）n﹣1，当n为偶数时，T n＝n；当n为奇数时，T n＝n+，当n为偶数时，不等式成立，即为≤2n﹣7即k≤2n﹣2，可得k≤2；当n为奇数时，不等式成立，即为≤2n﹣7即4k≤6n﹣1，可得k≤，综上可得k≤2，即k的最大值为2．。