人教版九年级数学第二十二章《二次函数》解答题专题复习 (44)(含解析)

第二十二章《二次函数》解答题专题复习 (44)一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）2-4a（a＞0）交x轴于A、B两点，点A在点B的左边，其顶点为点C，一条开口向下的抛物线经过A、B、D三点，其顶点D在x 轴上方，且其纵坐标为3，连接AC、AD、CD．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线所对应的函数表达式；（3）当△ACD为等腰三角形时，求a的值；（4）将线段AC绕点A旋转90°，若点C的对应点恰好落在（2）中的抛物线上，直接写出a的值．2．如图1在平面直角坐标系中二次函数233y ax bx=++的图象与x轴交于(1,0),(3,0)B C-两点点A为抛物线的顶点F为线段AC中点.（1）求,a b的值；（2）求证：BF AC⊥；（3）以抛物线的顶点A为圆心AF为半径作A点E是圆上一动点点P为EC的中点（如图2）；①当ACE∆面积最大时求PB的长度；②若点M为BP的中点求点M运动的路径长.3．已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A(0，5)、B(1，2)、C(3，2)．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标； （2）结合图象，回答下列问题： ①当1≤x≤4时，y 的取值范围是 ；②当m≤x≤m+3时，求y 的最大值（用含m 的代数式表示）；③是否存在实数m 、n （m≠n ），使得当m≤x≤n 时，m≤y≤n ？若存在，请求出m 、n ；若不存在，请说明理由．4．如图，二次函数2(1)4y a x =++的图像与x 轴交于A 和B 两点，交y 轴于点(0,3)C ，点C 、D 是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像经过B 、D ；（1）请直接写出D 点的坐标； （2）求二次函数的解析式；（3）根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围； 5．已知一抛物线与x 轴的交点是()2,0A -、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴.6．已知二次函数2246y x x =+-，请用配方法求出对称轴方程与该抛物线的顶点坐标． 7．如图1，图形ABCD 是由两个二次函数y 1=kx 2+m （k ＜0）与y 2=ax 2+b （a ＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A （1，0）、B （0，1）、D （0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD 是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD 上），并说明理由；（3）如图2，连接BC ，CD ，AD ，在坐标平面内，求使得△BDC 与△ADE 相似（其中点C 与点E 是对应顶点）的点E 的坐标 8．先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数2y x 2x 3=-++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．解：在抛物线2y x 2x 3=-++上任取两点A （0，3）、B （1，4），由题意知：点A 向左平移1个单位得到A'（1-，3），再向下平移2个单位得到A"（1-，1）；点B 向左平移1个单位得到B'（0，4），再向下平移2个单位得到B"（0，2）． 设平移后的抛物线的解析式为2y x bx c =-++． 则点A"（1-，1），B"（0，2）在抛物线上．可得：1b c 1{c 2--+==，解得：b 0{c 2==． 所以平移后的抛物线的解析式为：2y x 2=-+． 根据以上信息解答下列问题：将直线y 2x 3=-向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式． 9．如图，抛物线2(0)y ax bxa =+≠交x 轴正半轴于点A ，直线2y x =经过抛物线的顶点M ．已知该抛物线的对称轴为直线2x =，交x 轴于点B ．（1）求,a b 的值．（2）P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接,OP BP ．设点P 的横坐标为m ；①OBP 的面积为S ，用含m 的式子表示S ； ②记SK m=．求K 关于m 的函数表达式及K 的范围． 10．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y 和(),Q x y '，给出如下定义：若123y y y <<，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如，点()1,2的“可控变点”为点()1,2，点()1,3-的“可控变点”为点()1,3--． （1）点()5,2--的“可控变点”坐标为 ；（2）若点P 在函数216y x =-+的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y '是7，求“可控变点” Q 的横坐标；（3）若点P 在函数()2165y x x a =-+-≤≤的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y '的取值范围是1616y -≤'≤，直接写出实数a 的值．11．已知二次函数2y x px q +=+图象的顶点M 为直线1122y x =+与1y x m =-+-的交点．（1）用含m 的代数式来表示顶点M 的坐标． （2）当2x ≥时，二次函数2y x px q +=+与1122y x =+的值均随x 的增大而增大，求m 的取值范围．（3）若6m =，当x 取值为13t x t -≤≤+时，二次函数2y =最小值，求t 的取值范围．12．已知直线2721+=x y 与茹x 、y 轴分别相交于B ，A 两点，抛物线c bx ax y ++=2过A ，B 两点，且对称轴为直线3-=x ．（1）求A ，B 两点的坐标，并求抛物线的解析式；（2）若点P 以1个单位/秒的速度从点B 沿x 轴向点O 运动．过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．设点P 运动的时间为t ，MN 的长度为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出当t 为何值时，S 取得最大值?（3）设抛物线的对称轴CD 与直线AB 相交于点D ，顶点为C ．问：在（2）条件不变情况下，是否存在一个t 值，使四边形CDMN 是平行四边形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．13．抛物线2y x bx c =-++的图象经过点A ( 1，0)，B (0，5)．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出BCD△的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH△分成面积之比为2:3的两部分，请求出P点的坐标．14．今年在全球大疫情的影响下，人们更加关注身边的空气质量。

某电商代理销售 A、B 两种型号的智能空气净化器，已知每台 A 型智能空气净化器比每台 B 型智能空气净化器的售价高 300 元；4 台 A 型的智能空气净化器的售价与 5 台 B 型的智能空气净化器的售价相等．（1）求每台 A、B 两种智能空气净化器的售价分别多少元？（2）若卖出每台 A、B 两种智能空气净化器的利润分别为 200 元与 150 元，七月份前平均每周可以分别卖出 A、B 型号智能空气净化器 18 台与 20 台；进入七月份后，开始降价促销，A、B 两种型号的智能空气净化器都是每降价 20 元平均每周可多卖 4 台；问该电商要得到最大利润，问每台智能空气净化器应降价多少元，最大利润多少元？15．如图所示，抛物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣32x﹣92交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标．（2）根据图象回答：①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？②当x取何值时，y1＜y2？（3）求△AOB的面积．（4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（5）抛物线上找一点Q，使得△ABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标16．某网上童装销售一款童装，该童装每件进货价为25元，市场调研表明：当销售价为29元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低0.5元时，平均每天能多售出4件．如果设每件衣服．．．．降价x 元，每件童装的销售利润．．．．为y 元．（销售利润=销售价-进货价） （1）求y 与x 的函数关系式；在保证小红不亏本的前提下，写出x 的取值范围； （2）假设这款服装平均每天．．的销售利润为z 元，试写出z 与x 之间的函数关系式； （3）当这款服装的定价为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 17．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件． （1）求y 与x 之间的函数关系式．（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？18．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．()1求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；()2求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？()3如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本=每件的成本⨯每天的销售量)19．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6米，到地面的距离AO 和BD 均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E ．以点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为2y ax bx 0.9=++．()1求该抛物线的解析式；()2如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高．20．已知二次函数的图象以（－1，4）为顶点，且过点（2，－5）,x轴交点为A，B，（A 在B左侧）．与y轴交于点C，（1）求该函数的关系式；（2）求△ABC的面积．（3）若在抛物线上有一点M，使△ABM的面积是△ABC的面积的2倍，求M点坐标．【答案与解析】一、解答题1．（1） A （-1，0），B （3，0），（2）y=-34x 2+32x+94，（3） a=34或；（4）a 1=36+，a 2=36-． 试题分析：（1）根据点的特点，令y=0，求出方程的解，即可；（2）根据抛物线解析式确定出点C ，D 的坐标和对称轴方程，再设出所求解析式即可． （3）△ACD 为等腰三角形时，分三种情况计算：①以CD 为底时，则C ，D 关于x 轴对称，建立方程求解，②以AC 为底时，则AD=CD ，建立方程求解，③以AD 为底时，则AC=CD ，建立方程求解即可．（4）先表示出直线AC 的解析式为y=-2ax-2a ，从而求出直线l 与抛物线的交点M（923a a -，2613a a -），然后表示出AM ，AC 建立方程即可． 试题解析：（1）令y=0，∴a （x-1）2-4a=0， ∵a ＞0，∴（x-1）2-4=0 ∴x 1=-1，x 2=3，∴A （-1，0），B （3，0），（2）∵y=a （x-1）2-4a ，∴抛物线的顶点C （1，-4a ），对称轴为x=1， ∴D （1，3），设经过A ，B ，D 三点的抛物线解析式为y=m （x-1）2+3，∴m=-34， ∴经过A ，B ，D 三点的抛物线解析式为y=-34（x-1）2+3=-34x 2+32x+94， （3）当△ACD 为等腰三角形时，分三种情况计算， ①以CD 为底时，则C ，D 关于X 轴对称， ∴C （1，-3）， ∴-4a=-3，∴a=34， ②以AC 为底时，则AD=CD ，根据勾股定理得，，∴CD=2-（-4a ）∴； ③以AD 为底时，则AC=CD ，根据勾股定理得，=∴CD=3-（-4a ） ∴a=-524＜0（舍）；（4）由（1）知，A （-1，0），C （1，4a ）， ∴直线AC 的解析式为y=-2ax-2a ， 设线段AC 绕点A 旋转90°得到的直线为l ， ∴l ⊥AC 且过点A ， ∴直线l 解析式为y=12a x+12a， ∵抛物线y=-34x 2+32x+94， ∴3ax 2+（2-6a ）x+2-9a=0，∴x 1=1（舍），x 2=923a a-， ∴直线l 与抛物线的交点M （923a a -，2613a a-），∴AM=|6a-1|3a， ∵AM=AC ，∴×23a， ∴6a 2=|6a-1|当6a-1≥0时，6a 2=6a-1，∴a=36±， 当6a-1＜0时，6a 2=1-6a ，∴a=-3（舍），即：a 1，a 2． 考点：二次函数综合题．2．（1）2a =-b =2）证明见解析；（3）①1或1；②π. （1）将(1,0),(3,0)B C -代入二次函数的解析式2y ax bx =++即可求解； （2）证得ABC 是等边三角形即可证得结论； （3）①根据题意当EA AC ⊥或E A AC '⊥时EAC 或E AC '面积最大利用三角形中位线定理可求得PF 的长利用勾股定理可求得BF 即可求得答案；②根据点M 的运动轨迹是半径为2的A 则EC 的中点P 的运动轨迹也是圆同样BP 的中点M 的运动轨迹也是圆据此即可求得答案．∵二次函数2y ax bx =++的图象与x 轴交于(1,0),(3,0)B C -两点∴0930a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：2a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故答案为：a =b = （2）由(1)得：抛物线的解析式为2y x =+∵二次函数223y x =-++的图象与x 轴交于(1,0),(3,0)B C -两点 ∴抛物线的对称轴为：()3112x +-== ∴顶点A的坐标为：(1AB AC =∵4AC ==()314BC =--=∴4AB AC BC === ∴ABC 是等边三角形 ∵F 为线段AC 中点 ∴BF AC ⊥；（3）①∵AC 为定值当EA AC ⊥时EAC 面积最大如图由(2)得4AC =BF AC ⊥122EA AF FC AC ==== ∴BF ∥EA∵点F 为线段AC 中点点P 为EC 的中点∴PF ∥EA 112PF EA ==, ∴P F B 、、三点共线在Rt BCF 中4BC =2CF = ∴22224223BF BC CF =-=-=∴231PB BF PF =+=；同理当E A AC '⊥时E AC '面积最大 同理可求得：231P B BF P F ''=-=； 故答案为：231或231；②如图∵点E 的运动轨迹是A 半径为2EA =∴EC 的中点P 的运动轨迹也是圆半径为1 ∴BP 的中点M 的运动轨迹也是圆半径为12 ∴点M 运动的路径长为：2r ππ=．故答案为：π．【点睛】主要考查了二次函数的综合二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来利用点的坐标的意义表示线段的长度从而求出线段之间的关系．3．（1）y ＝x 2﹣4x+5，见解析；（2）①1≤y≤5，②当x ＝m+3时，y 有最大值为y ＝m 2﹣+2m+2；当x ＝m 时，y 有最大值为y ＝m 2﹣4m+5，③存在，m 55-n 55+（1）用待定系数法求出解析式，用描点法画出函数图象；（2）①根据函数图象找出横坐标由1到4的点的纵坐标的最大值与最小值，便可写出y 的取值范围；②先求出对称轴x ＝﹣2b a ，分两种情况：﹣2b a ﹣m ≥m +3﹣（﹣2b a ）或﹣2b a ﹣m ＜m +3﹣（﹣2b a），根据二次函数的性质求y 的最大值便可； ③利用已知可得图象过（a ，a ）点，进而得出a 的值，即可得出m ，n 的值． （1）设二次函数的解析式为：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），则52932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得，145a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为：y ＝x 2﹣4x +5，列表如下：x… 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 …（2）①由函数图象可知，当2,1x y ==最小时，当4,5x y ==最大时∴当1≤x ≤4时，1≤y ≤5，故答案为：1≤y ≤5；②∵二次函数的解析式为：y ＝x 2﹣4x +5，∴对称轴为x ＝2，当2﹣m ≤m +3﹣2，即m ≥12时，则在m ≤x ≤m +3内，当x ＝m +3时，y 有最大值为y ＝x 2﹣4x +5＝（m +3）2﹣4（m +3）+5＝m 2﹣+2m +2；当2﹣m ＞m +3﹣2，即m ＜12时，则在m ≤x ≤m +3内，当x ＝m 时，y 有最大值为y ＝x 2﹣4x +5＝m 2﹣4m +5；③由已知可得图象过（a ，a ）点，∴a ＝a 2﹣4a +5，解得，a 55± ∵当m ≤x ≤n 时，m ≤y ≤n ，∴可以取m ＝552-，n ＝552+ 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数图象，由函数图象解决问题，后两问难度较大，关键是分情况讨论和根据特征点解题．4．（1）(2,3)D -；（2）223y x x =--+；（3）2x <-或1x >．（1）利用二次函数对称性得出其对称轴，进而得出D 点坐标；（2）由于二次函数2(1)4y a x =++，把C （0，3）代入求出a 的值即可得到抛物线解析式；（3）观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．解：（1）由二次函数2(1)4y a x =++的图像可知，抛物线的顶点坐标为(1,4)-，对称轴是1x =-．又∵二次函数的图象与y 轴交于(0,3)C ，∴(2,3)D -.（2）把(0,3)C 代入到解析式2(1)4y a x =++，得1a =-，代入整理可得223y x x =--+，所以二次函数的解析式为223y x x =--+.（3）由2023x x =--+，解得123,1x x =-= ，∴点B(1,0)如图，一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是2x <-或1x >．【点睛】本题考查了抛物线的对称性，顶点坐标，也考查了二次函数与不等式，解题的关键是熟练掌握这些性质.5．（1）y=2x 2+2x-4或y ＝2(x+12)2−92，（2）对称轴为直线x ＝−12，顶点坐标(−12，−92)． （1）设抛物线的解析式为：y=a （x+2）（x-1），把C 的坐标代入求出的值即可得到抛物线解析式；（2）由（1）的抛物线解析式即可求出该抛物线的对称轴及顶点坐标．（1）∵抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），∴根据题意设y=a （x+2）（x-1），把C （2，8）代入y=a （x+2）（x-1）得，4a=8，∴a=2，∴y=2（x+2）（x-1）；即：y=2x 2+2x-4或y ＝2(x+12)2−92， （2）由（1）可知对称轴：直线x ＝−12，顶点坐标(−12，−92)．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．在设二次函数的解析式时，要根据不同的已知条件来设其解析式方程．6．22(1)8y x =+-，(1,8)--，根据配方法，可得答案．配方，得y=2（x+1）2-8，∴顶点坐标为（-1，-8），对称轴是x=-1．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，利用配方法是解题关键．7．（1）y 1=﹣x 2+1，y 2=3x 2﹣3；（2）存在，理由见解析；（3）（0，﹣12）或（32，﹣1）或（1，﹣52）或（﹣12，﹣2）． 分析：（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出MM'=（1-m 2）-（3m 2-3）=4-4m 2，进而建立方程2m=4-4m 2，即可得出结论；（3）先利用勾股定理求出，同理：，，再分两种情况： ①如图1，当△DBC ∽△DAE 时，得出DB DC DA DE ＝，进而求出DE=52，即可得出E （0，-12）， 再判断出△DEF ∽△DAO ，得出DE DF EF DA DO AO ＝＝，求出，，再用面积法求出E'M=32，即可得出结论； ②如图2，当△DBC ∽△ADE 时，得出DB DC AD AE ＝，求出AE=52， 当E 在直线AD 左侧时，先利用勾股定理求出PA=53，PO=43，进而得出PE=56，再判断出AP AO PE OQ＝，即可得出点E 坐标，当E'在直线DA 右侧时，即可得出结论． 详解：（1）∵点A （1，0），B （0，1）在二次函数y 1=kx 2+m （k ＜0）的图象上， ∴01k m m +⎧⎨⎩＝＝， ∴11k m -⎧⎨⎩＝＝， ∴二次函数解析式为y 1=-x 2+1，∵点A （1，0），D （0，-3）在二次函数y 2=ax 2+b （a ＞0）的图象上，∴3a bb+⎧⎨-⎩＝＝，∴33 ab⎧⎨-⎩＝＝，∴二次函数y2=3x2-3；（2）设M（m，-m2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M'（m，3m2-3）为第四象限的图形上一点，∴MM'=（1-m2）-（3m2-3）=4-4m2，由抛物线的对称性知，若有内接正方形，∴2m=4-4m2，∴m=117-+或m=117--（舍），∵0＜117-+＜1，∴存在内接正方形，此时其边长为1174-+；（3）在Rt△AOD中，OA=1，OD=3，∴AD=22=10OA OD+，同理：CD=10，在Rt△BOC中，OB=OC=1，∴BC=22=2OC OB+，①如图1，当△DBC∽△DAE时，∵∠CDB=∠ADO，∴在y轴上存在E，由DB DCDA DE＝，∴DE=52，∵D（0，-3），∴E（0，-12），由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D，∵E，E'关于DA对称，∴DF垂直平分EE'，∴△DEF∽△DAO，∴DE DF EF DA DO AO＝＝，31DF EF＝＝，∴，，∵S△DEE'=12DE•E'M=EF×DF=158，∴E'M=32，∵DE'=DE=52，在Rt△DE'M中，2=，∴OM=1，∴E'（32，-1），②如图2，当△DBC∽△ADE时，有∠BDC=∠DAE，DB DC AD AE＝，10 10AE∴AE=52，当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q，∵∠BDC=∠DAE=∠ODA，∴PD=PA，设PD=n，∴PO=3-n，PA=n，在Rt△AOP中，PA2=OA2+OP2，∴n2=（3-n）2+1，∴n=53，∴PA=53，PO=43，∵AE=52，∴PE=56，在AEQ中，OP∥EQ，∴AP AO PE OQ＝，∴OQ=12，∵23 OP APQE AE＝＝，∴QE=2，∴E（-12，-2），当E'在直线DA右侧时，根据勾股定理得，52 =，∴AE'=5 2∵∠DAE'=∠BDC，∠BDC=∠BDA，∴∠BDA=∠DAE'，∴AE'∥OD，∴E'（1，-52），综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，即：（0，-12）或（32，-1）或（1，-52）或（-12，-2）．点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，对称性，正确作出辅助线和用分类讨论的思想是解本题的关键．8．解：在直线y=2x－3上任取两点A（0，－3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′（3，﹣2），设平移后的解析式为y=2x+b，则A′（3，﹣2）在y=2x+b的解析式上，∴﹣2=2×3+b，解得：b=﹣8．∴平移后的直线的解析式为y=2x﹣8．根据上面例题可在直线y=2x－3上任取一点A（0，﹣3），由题意算出A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′点坐标，再设平移后的解析式为y=2x+b，再把A′点坐标代入解析式即可．9．（1）a=-1，b=4，（2）①S=-m2+4m；②K=-m+4，0＜K＜2．（1）根据直线y=2x求得点M（2，4），由抛物线的对称轴及抛物线上的点M的坐标列出关于a、b的方程组，解之可得；（2）①作PH⊥x轴，根据三角形的面积公式求得S=-m2+4m；②根据公式可得K的解析式，再结合点P的位置得出m的范围，利用一次函数的性质可得答案．（1）将x=2代入y=2x，得：y=4，∴点M（2，4），由题意，得：22424baa b⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，∴14ab=-⎧⎨=⎩；（2）①如图，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，∵点P 的横坐标为m ，抛物线的解析式为y=-x 2+4x ，∴PH=-m 2+4m ，∵B （2，0），∴OB=2，∴S=12OB•PH =12×2×（-m 2+4m ） =-m 2+4m ， ②S K m==-m+4， 由题意得A （4，0），∵P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，∴2＜m ＜4，∵K 随着m 的增大而减小，∴0＜K ＜2．【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及一次函数的性质等知识点．10．（1）（﹣5，2）；（2）233；（3）2a =（1）根据可控变点的定义，可得答案；（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案. 解：（1）∵-5＜0，∴y'=-y=2，即点（-5，-2）的“可控变点”坐标为（-5，2）∴点M 坐标为（﹣5，2）．（2）依题意，216y x =-+图象上的点P 的“可控变点”必在函数()()22160160x x y x x ⎧-+≥⎪=⎨-<'⎪⎩的图象上．∵“可控变点”Q 的纵坐标y′是7， ∴当2167x -+=，解得：3x =， 当2167x +=，解得：23x =- 综上所述，点Q 的横坐标为23-或3．（3）依题意，216y x =-+图象上的点P 的“可控变点”必在函数()()22160160x x y x x ⎧-+≥⎪=⎨-<'⎪⎩的图象上（如图）．∵1616y '-≤≤， ∴21616x -=-+． ∴42x =∴由题意可知，a 的值是：2a = 【点睛】本题是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案11．(1) 23,33m m M -⎛⎫⎪⎝⎭; (2) m≤92;(3) 0≤t≤4 试题分析：（1）已知直线1122y x =+和1y x m =-+-，列出方程求出x y ， 的等量关系式即可求出点M 的坐标； （2）根据题意得出232,3m -≤ 解不等式求出m 的取值； （3）当13t -≤时，当33t ≤+ 时，二次函数y 最小值2=，解不等式组即可求得．试题分析：（1）由11221y x y x m ⎧=+⎪⎨⎪=-+-⎩得2333m x m y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴23,33m m M -⎛⎫⎪⎝⎭． （2）∵2y x px q =++开口向上， ∴图象在对称轴右侧随x 增大而增大， ∴2323m -≤， 即92m ≤． （3）∵6m =时，()3,2M ，∴抛物线()232y x =-+有最小值，且最小值为2， ∵13t x t -≤≤+时，二次函数y 最小值2= ，∴1333t t -≤⎧⎨+≥⎩，∴04t ≤≤． 12．（1）A （0，27）．B （-7，0）抛物线的解析式为273212+--=x x y ．（2）S )70(27212<<+-=t t t ，当72x =时，S 有最大值．（3）3=t ． 试题分析：（1）先求出AB 两点的坐标，再用待定系数法求得二次函数的解析式； （2）根据题意可求得点P 的横坐标，再代入抛物线即可得出纵坐标，再由MN 的长度即可表示出s 与t 之间的函数关系式；（3）先假设存在，把x=-3代入，得出C 、D 的纵坐标，再由|MN|=6，即-12t 2+72t=6，求出t ，使四边形CDMN 是平行四边形． 试题解析：（1）令0=y 得7-=x ， ∴B（-7，0） 令0=x 得27=y ， ∴A（0，27）． 根据题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-32027749ab b a解得21-=a ，3-=b ， ∴抛物线的解析式为273212+--=x x y ． （2）设)70(<<=t t BP ，则，t OP -=7，P （t -7，0）． 由于MN 与y 轴平行，且点M 在直线AB 上， ∴M（t -7，2t）． MN 与y 轴平行，且点N 在抛物线上， ∴N（t -7，27)7(3)7(212+----t t ）， ∴227)7(3)7(21||2t t t MN S -+----== )70(27212<<+-=t t t∵021<-=a ，S 有最大值， ∴当272=-=a b x 时，S 最大值849=． （3）计算知C （-3，8），D （-3，2）， ∴CD=6．由于MN∥CD，要四边形CDMN 是平行四边形， 只需要MN=CD ，即627212=+-t t ，解得31=t ，42=t ． 当4=t 时，MN 与CD 重合，舍去， ∴3=t ．考点：二次函数综合题．13．（1）245y x x =--+（2）15（3）2(,0)3-或3(,0)2-（1）将A 、B 两点的坐标值代入抛物线的解析式中，联立二元一次方程组，求出的b 、c 值，写出抛物线的解析式即可．（2）过D 点作x 轴垂线交BC 于点F ，S △BCD=S △DFC+S △DFB ，△DFC 与△DFB 有共同底边DF ，△DFC 与△DFB 高之和是OC ， 12S BCD DF OC =⨯⨯，代入计算得解． （3）PH 交BC 于点E ，△PCE 与△HCE 可看作高都是PC ，则两个三角形面积之比就是PE ∶HE ，分情况讨论计算出P 点坐标．解：（1）∵将点A ( 1，0)，B (0，5)代入抛物线2y x bx c =-++可得：22011500b cb c ⎧=-+⨯+⎨=-+⨯+⎩ ∴解得：45b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为：245y x x =--+． （2）DG 垂直x 轴于点G ，交BC 于点F ，如图：∵抛物线245y x x =--+的顶点为D ，可得点D 坐标(-2，9)， ∵抛物线245y x x =--+交x 轴于点A 、C ，可得点C 坐标(-5，0)， 将B 、C 两点坐标代入一次函数，y kx b =+， 可得直线BC 的解析式为：5y x =+； ∵当2x =-时，点F 坐标(-2，3)， ∴DF=9-3=6,∵S △BCD=S △DFC+S △DFB ，△DFC 与△DFB 有共同底边DF ， △DFC 的高=CG ，△DFB 的高=OG ， ∵CG+OG=OC=5， ∴12S BCD DF OC =⨯⨯ 1652=⨯⨯ 15=∴BCD △的面积是15．（3）PH 交抛物线于点H ，交BC 于点E ，如图：直线BC 把PCH △分成△PCE 和△HCE ，两个三角形高都是PC ，面积之比是PE ∶HE ， ∵H 是抛物线245y x x =--+上的点，E 是直线5y x =+上的点，∴HE=245(5)x x x --+-+，整理得：25HE x x =--，EP=50x +-，整理得：5EP x =+，根据题意可列等式：25253x x x --=+或25352x x x --=+P 是线段OC 上的一点，解得：23x =-或32x =- ∴点P 坐标为2(,0)3-或3(,0)2-． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图形问题，运用数形结合的方法是解题关键．14．（1）A 智能空气净化器售价1500元，B 智能空气净化器售价1200元；（2）每台智能空气净化器应降价40元，最大利润7240元（1）设A 净化器售价x 元，B 净化器售价x-300，根据题意列方程求解即可；（2）设每台智能空气净化器应降价m 元，最大利润W 元，先求出m 的取值范围，然后列出W 的解析式，计算即可．解：（1）设A 净化器售价x 元，B 净化器售价x-300， 则列方程：4x=5（x-300）， 解得x=1500 ∴x-300=1200，答：A 智能空气净化器售价1500元，B 智能空气净化器售价1200元； （2）设每台智能空气净化器应降价m 元，最大利润W 元， 则由150-m ≥0且m ≥0， 得0≤m ≤150， W=（200-m ）（18+20m ×4）+（150-m ）（20+20m ×4） =25-m 2+32m+6600=25-（m-40）2+7240 当m=40时，W 有最大值为7240元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键． 15．（1）A （﹣32，﹣94），B （3，﹣9）；（2）①当x ＜0时，y 1的值随x 的增大而增大，②当x ＞3或x ＜﹣32时，y 1＜y 2；（3）818；（4）(-3，0)，(0），，0），（3916-，0）；（5）(56，113-)，(34-+，34-)． （1）令12y y =，即可得到关于x 的一元二次方程，解方程得到x 的值后再代入抛物线解析式可以得到A 、B 两点的坐标；（2）分别根据抛物线的图象与抛物线与直线的相对关系可以得到解答； （3）运用割补法将三角形补成一个直角梯形，进行解答即可； (4)分OA=OP 、AP=OP 、AP=OA 三种情况讨论；（5）分角Q 为直角、角A 为直角、角B 为直角三种情况讨论． 解：（1）∵抛物线y 1＝﹣x 2与直线y 2＝﹣32x ﹣92交于A ，B 两点． ∴﹣x 2＝﹣32x ﹣92，解得x 1＝3，x 2＝﹣32， ∴y 1＝﹣9，y 2＝﹣94， ∴A （﹣32，﹣94），B （3，﹣9）， （2）由图象得，①当x ＜0时，y 1的值随x 的增大而增大，②当x ＞3或x ＜﹣32时，y 1＜y 2．（3）由()393924A B ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，，知，193193181933924224228AOBS⎛⎫⎛⎫=++-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）设P （x,0)，则有：当OA=OP 时，有：2223924x x ⎛⎫⎛⎫+=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当AP=OP 时，有：2223939,2416x x x ⎛⎫⎛⎫++=∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当AP=OA时，有：2222 3939 2424x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+∴⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x=0(舍去）或x=-3；∴在x 轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形，其中点P的坐标为：(-3，0)或(3134-，0）或（3134，0）或（3916-，0）．（5）设Q坐标为（x,- x2 )，则分三种情况讨论：当角Q为直角时，可作图如下：则不难得到2293~,3924BN NQ x xBNQ QMAQM MA x x-+-∴=∴=+-+，,可解得365-+365--；当角A为直角时，可作图如下：则不难得到299924~,9342BM MA BMA ANQ AN NQ x x -∴=∴=-++，,可解得x=56； 当角B 为直角时，可作图如下：则不难得到293~,99924BM MQ x xBMQ ANB AN NB --∴=∴=-，，可解得x=113-．∴使得△ABQ 是直角三角形的Q 点横坐标为：或或x=56或x=113-．【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点问题，两个函数联立方程是解决问题的关键．16．（1）()404y x x =-+≤≤；（2）282432z x x =-++；（3）当定价为27.5元时，有最大利润，最大利润为50元．（1）根据“销售利润=销售价-进货价”直接列式即可得结论；（2）根据每天的销售利润=每天的销售量×每件的利润，再根据当销售价每降低0.5元时，平均每天多售出4件，据此即可列出函数关系式；（3）根据（2）中的函数关系式，利用二次函数的性质进行求解即可． （1）2925y x =-- ∴()404y x x =-+≤≤ （2）0.584x z y ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭=()8440.5x x ⎛⎫+⨯-+ ⎪⎝⎭=()()884x x +-+ =282432x x -++； （3）282432z x x =-++238502x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵80a =-<，所以z 有最大值， ∴当32x =时，50z =最大， ∴当定价为29 1.527.5-=元时，有最大利润，最大利润为50元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出式子是解题的关键．17．（1）10700y x =-+；（2）当销售单价为48元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，根据题意得到方程组，于是得到结论； （2）设利润为w 元，列不等式得到48x ，根据题意得到函数解析式22(10700)(30)1010002100010(50)4000w x x x x x =-+-=-+-=--+，根据二次函数的性质即可得到结论．（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，根据题意得，3535040300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：10700k b =-⎧⎨=⎩，y ∴与x 之间的函数关系式为10700y x =-+； （2）设利润为w 元， 30(160%)x ⨯+，48x ∴，根据题意得，22(10700)(30)1010002100010(50)4000w x x x x x =-+-=-+-=--+， 100a <=-，对称轴50x =，∴当48x =时，210(4850)40003960w =-⨯-+=最大，答：当销售单价为48元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．18．()()21y 5x 800x 2750050x 100=-+-≤≤；()2当x 80=时，y 4500=最大值；()3 销售单价应该控制在82元至90元之间．（1）根据每天销售利润=每件利润×每天销售量，可得出函数关系式； （2）将（1）的关系式整理为顶点式，根据二次函数的顶点，可得到答案； （3）先求出利润为4000元时的售价，再结合二次函数的增减性可得出答案. 解：由题意得：()()y x 50505100x ⎡⎤=-+-⎣⎦()()x 505x 550=--+ 25x 800x 27500=-+-()2y 5x 800x 2750050x 100∴=-+-≤≤；()22y 5x 800x 27500=-+-25(x 80)4500=--+a 50=-<，∴抛物线开口向下．50x 100≤≤，对称轴是直线x 80=，∴当x 80=时，y 4500=最大值；()3当y 4000=时，25(x 80)45004000--+=，解得1x 70=，2x 90=． ∴当70x 90≤≤时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得()505x 5507000-+≤，解得x 82≥．82x 90∴≤≤，50x 100≤≤，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.19．()1 2y 0.1x 0.6x 0.9=-++；()2小华的身高是1.8米 （1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点E （1，1.4），B （6，0.9）坐标代入即可；（2）小华站在OD 之间，且离点O 的距离为3米，即OF ＝3，求当x ＝3时的函数值． ()1由题意得点()E 1,1.4，()B 6,0.9，代入2y ax bx 0.9=++得0.903660.90.9a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得0.10.6a b =-⎧⎨=⎩， 故所求的抛物线的解析式是2y 0.1x 0.6x 0.9=-++；()2把x 3=代入2y 0.1x 0.6x 0.9=-++，得2y 0.130.630.9 1.8=-⨯+⨯+=，故小华的身高是1.8米.【点睛】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．20．（1）223y x x =--+；（2）6；（31，6-）或（1，6-） （1）根据图象的顶点（-1，4）设该二次函数的关系式，然后将点B 坐标代入，求出1a =-即可；（2）分别求得A 、B 、C 的坐标，即可求得△ABC 的面积；（3）设点M 的纵坐标为n ，由三角形的面积公式建立方程求出m 的值即可．（1）由顶点（-1，4），可设二次函数关系式为2(1)4y a x =++（0a ≠）．∵二次函数的图象过点B （2，-5），∴点B （2，-5）满足二次函数关系式，∴25(21)4a -=++，解得：1a =-．∴二次函数的关系式是2(1)4y x =-++，即223y x x =--+；（2）令0y =，则20(1)4x =-++， 解得：1231x x =-=，， 令0x =，则2(01)43y =-++=，∴A （-3，0）、B （1，0）、C （0，3），∴AB ()134=--=，OC=3， ∴△ABC 的面积1143622AB OC =⋅=⨯⨯=； （3）设点M 的纵坐标为n ，。