人教版九年级数学第二十二章《二次函数》解答题专题复习 (46)(含解析)

第二十二章《二次函数》解答题专题复习 (46)一、解答题1．如图，抛物线y=x 2-2x+c 的顶点A 在直线l ：y=x -5上．（1）求抛物线顶点A 的坐标；（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状；（3）在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 交x 轴于点A （1，0）和点B （3，0），交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，PE//x 轴，PF//y 轴，求线段EF 的最大值；（3）如图2，点M 是线段CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点N ，当△CBN 是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．3．如图抛物线213222y x x =-++与x 轴交于点A 、B 两点与y 轴交于点C 点D 与点C 关于x 轴对称点P 是x 轴上的一个动点设点P 的坐标为（m0）过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）求直线BD 的解析式；（3）当点P 在线段OB 上（点P 不与点O 、B 重合）运动时直线l 交BD 于点M 试探究m为何值时四边形CQMD 是平行四边形；（4）当点P 在线段OB 上（点P 不与点O 、B 重合）运动时连接BQ 试探究m 为何值时四边形CQBO 的面积最大？4．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为()1,9M ，一直线经过抛物线上的两点()3,7A --和()3,B m ．（1）求抛物线的解析式和m 的值．（2）在抛物线上A B 、两点之间的部分（不包含A B 、两点）是否存在点C ，使得ABC ∆面积最大？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A M P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，直线55y x =-+与x 轴、y 轴分别交于,A C 两点，抛物线2y x bx c =++经过,A C 两点，与x 轴交于另一点B . （1）求抛物线解析式及B 点坐标；（2）连接BC ，求ABC ∆的面积；（3）若点M 为抛物线上一动点，连接,MA MB ，当点M 运动到某一位置时，ABM ∆面积为ABC ∆的面积的45倍，求此时点M 的坐标.6．已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y 轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式．7．如图,在平面直角坐标系中,一次函数y ＝−12x ＋2的图象与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 关于直线x ＝32对称，且经过A . C 两点，与x 轴交于另一点为B . (1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点,过点P 作PQ ⊥x 轴于M ，交AC 于Q ，求PQ 的⊥最大值，并求此时△APC 的面积；(3)在抛物线的对称轴上找出使△ADC 为直角三角形的点D ,直接写出点D 的坐标.8．如图，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点(2,0)A ，交y 轴于点5(0,)2B ，直线32y kx =-过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，作DE y ⊥轴于点E .设点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点（不与点A 、D 重合），过点P 作y 轴的平行线，交直线AD 于点M ，作PN AD ⊥于点N .（1）填空：b =__________，c =__________，k =__________；（2）探究：是否存在这样的点P ，使四边形PMEC 是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设PMN ∆的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 与x 的函数关系式，并求出l 的最大值.9．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =-+分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，将直线AB 沿着y 轴翻折，交x 轴负半轴于点C ．（1）求直线BC 的函数关系式；（2）点P （0，t ）在y 轴负半轴上，Q 为线段BC 上一动点（不与B 、C 重合）．连接PA 、PQ ，PQ ＝PA①若点Q 为BC 中点，求t 的值；②用t 的代数式表示点Q 的坐标和直线PQ 的函数关系式；③若M （2m ，n －8），N （t 3＋2t 2－2m ，n ）在直线PQ 上，求n 的取值范围． 10．如图，抛物线y=ax 2+bx-4a 经过A(-1，0)、C(0，4)两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D(m ，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P 的坐标．11．矩形的长和宽分别是4cm, 3cm ，如果将长和宽都增加x cm ，那么面积增加ycm 2(1)求y 与x 之间的关系式.（2）求当边长增加多少时，面积增加8 cm 2 .12．如图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于1,0A ，()2,0B 两点，直线y x m =+交抛物线于A 、C 两点，ABC △的面积为1.（1）求m 的值和抛物线的解析式；（2）写出不等式()2()0ax bx c x m +++<的解集.13．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？14．如图，抛物线y =mx 2-52mx -4与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 2-x 1=112．（1）求抛物线的解析式；（2）若P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是抛物线上的两点，当a ≤x 1≤a +2，x 2≥92时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，-5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标．15．如图所示，已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP 的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OP＝t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；（3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．16．某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于18元．试销售期间发现，当销售单价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售．设每天销售量为y件，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当销售单价是多少元时，网店每天获利3840元？（3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元（0＜a≤6）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为3300元，求a的值．17．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分. 一名运动员起跳后，他的飞行路线如右图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）.18．我们约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“正垂形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“正垂形”的有；②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB≠CD，则该四边形 “正垂形”．（填“是”或“不是”） （2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ACB﹣∠CDB=∠ACD﹣∠CBD，当12≤OE≤2时，求AC 2+BD 2的取值范围； （3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“正垂形”ABCD 的面积为S ，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．试直接写出满足下列三个条件的抛物线的解析式；①12S S S =+； ②34S S S =+； ③“正垂形”ABCD 的周长为1210．19．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．20．已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴正半轴交于点C ，且满足：（1）一元二次方程ax 2﹣2ax +c ＝0的一个解是﹣1；（2）抛物线的顶点在直线y ＝2x 上．问：（1）直接写出A 、B 两点的坐标．（2）求此抛物线的解析式．【答案与解析】一、解答题1．（1）A（1，﹣4）；（2）△ABD是直角三角形，理由见解析；（3）存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．试题分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．（1）∵顶点A的横坐标为，且顶点在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1-5=-4，∴A（1，-4）．（2）将A（1，-4）代入y=x2-2x+c，可得，1-2+c=-4，c=-3，∴y=x2-2x-3，∴B（0，-3）当y=0时，x2-2x-3=0，x1=-1，x2=3∴C（-1，0），D（3，0），∵BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4-3）2+12=2，AD2=（3-1）2+42=20，∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）由题意知：直线y=x-5交y轴于点E（0，-5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1-5），则G（1，x1-5）则PG=|1-x1|，AG=|5-x1-4|=|1-x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1-x1）2+（1-x1）2=18，x12-2x1-8=0，x1=-2或4∴P（-2，-7）或P（4，-1），存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．考点：本题考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、平行四边形的判定点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理，在复杂的图形中找出基本的图形.2．（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为924；（3）M点坐标为可以为（2，3），55+355-3）．（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．又∵点D（4，3）在二次函数上，∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，∴解得：a＝1．∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．（2）如图1所示．因点P 在二次函数图象上，设P （p ，p 2﹣4p+3）． ∵y ＝x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C ，∴点C 的坐标为（0，3）．又∵点B 的坐标为B （3，0），∴OB ＝OC∴△COB 为等腰直角三角形．又∵PF//y 轴，PE//x 轴，∴△PEF 为等腰直角三角形．∴EF 2PF ．设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ， 又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上， 303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3．∴y F ＝﹣p+3．FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ． ∴EF 2p 22．∴线段EF 的最大值为，EF max 42-24． （3）①如图2所示：若∠CNB＝90°时，点N在抛物线上，作MN//y轴，l//x轴交y轴于点E，BF⊥l交l于点F．设点N的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点M的坐标为（m，3），∵C、D两点的坐标为（0，3）和（4，3），∴CD∥x轴．又∵∠CNE＝∠NBF，∠CEN＝∠NFB＝90°，∴△CNE∽△NBF．∴CENE＝NFBF，又∵CE＝﹣m2+4m，NE＝m；NF＝3﹣m，BF＝﹣m2+4m﹣3，∴24m mm-+＝2343mm m--+-，化简得：m2﹣5m+5＝0．解得：m1＝55+，m2＝55-．∴M点坐标为（55+，3）或（55-，3）②如图3所示：当∠CBN ＝90°时，过B 作BG ⊥CD ，∵∠NBF ＝∠CBG ，∠NFB ＝∠BGC ＝90°，∴△BFN ∽△CGB ．∵△BFN 为等腰直角三角形，∴BF ＝FN ，∴0﹣（m 2﹣4m+3）＝3﹣m ．∴化简得，m 2﹣5m+6＝0．解得，m ＝2或m ＝3（舍去）∴M 点坐标为，（2，3）．综上所述，满足题意的M 点坐标为可以为（2，3），（52+，3），（52-，3）． 【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．3．（1）A （﹣10）B （40）C （02）；（2）122y x =﹣ ；（3）m=2时四边形CQMD 是平行四边形；（4）当m=2时四边形CQBO 的面积最大（1）令抛物线关系式中的x=0或y=0分别求出y 、x 的值进而求出与x 轴y 轴的交点坐标；（2）由点C 与点D 关于x 轴对称得到D （0-2）利用待定系数法即可得到结论； （3）根据平行四边形的性质得到QM=CD 点Q 的坐标为(m -12m 2+32m+2)点M 的坐标为（m 12m ﹣2）列方程即可得到结论； （4）连接BC 交直线l 于点N 利用待定系数法求得直线BC 的解析式根据OBC QBC CQBO S SS =+四边形得到关于m 的二次函数利用二次函数的性质即可求解． 解：（1）∵令x=0得；y=2 ∴C （02）∵令y=0得：2132022x x -++= 解得：1214x x =-=，∴A （﹣10）B （40）；（2）∵点C 与点D 关于x 轴对称∴D （0﹣2）设直线BD 的解析式为2y kx=﹣ ∵将（40）代入得：420k =﹣ ∴12k =．∴直线BD 的解析式为122y x =﹣； （3）∵QM ∥DC ∴当QM=CD 时四边形CQMD 是平行四边形∵点P 的坐标为（m0）∴点Q 的坐标为（m ﹣12m 2+32m+2） M （m12m ﹣2） ∴﹣12m 2+32m+2﹣(12m ﹣2)=4 解得：m=2m=0（不合题意舍去）∴当m=2时四边形CQMD 是平行四边形；（4）连接BC 交直线l 于点N设直线BC 的解析式为2y ax =+ ∵ 点B （40）在直线BC 上∴ 420a +=∴12a =- ∴直线BC 的解析式为122y x =-+ 则点N 的坐标为（m ﹣12m+2） QN=221311(2)(2)22222m m m m m -++--+=-+ OBC QBC CQBO S S S =+四边形2111424(2)222m m =⨯⨯+⨯-+ 244m m =-++2(2)8m =--+当m=2时四边形CQBO 的面积最大．【点睛】本题是二次函数的综合题考查了待定系数法求直线的解析式平行四边形的性质用点的坐标表示线段的长是解决问题的关键分类讨论、数形结合能够更好的解决问题．4．（1）228y x x =-++，5m =（2）存在，()0,8C ，理由见解析（3）()6,16P -或()4,16--或()1或()1-（1）根据顶点设抛物线为：()219y a x =-+，利用待定系数法求解抛物线即可；（2）先求解AB 的解析式，过点C 作y 轴的平行线交AB 于点D ，设点()2,28C x x x -++，写出D 的坐标，建立面积与x 的函数关系式，利用二次函数的性质得到答案．（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．解：（1） 抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为()1,9M ，∴设二次函数表达式为：()219y a x =-+将点()3,7A --的坐标代入上式：1697,a +=-解得：1a =-故抛物线的表达式为：22(1)928y x x x ==--+=-++把3x =代入上式，得9685m =-++=（2）存在，理由：设AB 表达式y kx b =+将()3,73,5(A B --、)代入 3735k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得：2,1k b =⎧⎨=-⎩ ∴直线AB 为：21y x =-二次函数对称轴为：1x =，过点C 作y 轴的平行线交AB 于点D设点()2,28C x x x -++，点(),21D x x - 则()2228219CD x x x x =-++--=-+()()()221193332722ABC ACD BCD B A S S S DC x x x x =+=-=-++=-+ 30,0x -<∴=时，ABC S ∆有最大值27，这时点()0,8C ；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(,0)Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：416m s t -=-=，，而228t s s =-++，解得：6s =或4-故点(6,16)P -或()4,16--；②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：22m s t+=-=，，而228t s s =-++ 解得：17s =±故点()17,2P 或()17,2；综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、平面直角坐标系内点的平移规律，图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．5．（1）265y x x =-+，()5,0B ；（2）10ABC S ∆=；（3）M 点的坐标为1M ，2M 3-224（，） ，3M ，见解析. （1）利用,A C 两点是一次函数上的点求出,A C 两点，再代入二次函数求解即可. （2）根据()1,0A ，()5,0B ，求出4AB =，求出△ABC.（3）根据ABM ∆面积为ABC ∆的面积的45倍，求出4410855ABM ABC S S ∆∆==⨯=，得出1644M y =÷=，求出此时M 的坐标即可.（1）解：∵直线55y x =-+∴令0y =，则055x =-+，解得1x =∴()1,0A令0x =，则5y =，∴()0,5C将点()1,0A ，()0,5C 代入2y x bx c =++中得， 105b c c ++=⎧⎨=⎩，解得65b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为：265y x x =-+；令0y =，则2650x x -+=，解得121,5x x ==∴()5,0B .（2）解：∵()1,0A ，()5,0B ∴4AB =∴11451022ABC S AB OC ∆=⨯=⨯⨯=（3）∵ABM ∆面积为ABC ∆的面积的45倍， ∴4410855ABM ABC S S ∆∆==⨯= ∵AB=4 , ∴1644M y =÷=，∵()226534y x x x =-+=--∴抛物线的顶点坐标为()13,4M -符合条件，当4M y =时，2654x x -+=，解的，x 1=3-22x 2=322+ ∴M 点的坐标为1M （3，-4），2M ()3-22，，3M ()3224+，. 【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数是解题的关键.6．试题分析：根据顶点坐标设解析式，把点（0，-4）代入即可求出a ，即可求出答案． 试题解析：设抛物线解析式为y =a （x -3）2-1，把（0，-4）代入得：-4=9a-1，解得a=-13， 则抛物线解析式为()21313y x =---． 7．（1）y ＝−12x 2＋32x ＋2；(2)4；（3）D 点的坐标为(32,−5)，(32,5)，(32,1＋19，(32,119 分析：（1）由直线过点A ，可得出点A 的坐标，由A 、B 关于直线x=32对称可找出B 点的坐标．由直线经过点C 可求出点C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）直线AC 的解析式为y=-12x+2，即12x+y-2=0，设点Q 的坐标为（m ，-12m+2）；则P点坐标为（m，-12m2+32m+2），由此得到PQ=-12（m-2）2+2，由二次函数最值的求法得到：点P（2，3），由分割法求得：S△PAC=S梯形OCPM+S△PMA-S△AOC；（3）假设存在，设出D点坐标，△ADC为直角三角形分三种情况：①当点C为直角顶点时：作DM⊥y轴于M由△CD1M∽△ACO可得：CM=3，所以OM=5，即D1（32，5）；②同理当点A为直角顶点时可求D2（32，-5）；③当点D为直角顶点时：过D3作MN⊥y轴．由△CD3M∽△D3NA可得：n2-2n=154．易得D3（32,1＋2），D4（32,1－2）．详解：(1)令y＝−12x＋2＝0，解得：x＝4，即点A的坐标为(4,0).∵A、B关于直线x＝32对称，∴点B的坐标为(−1,0).令x＝0，则y＝2，∴点C的坐标为(0,2)，∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C，∴有21640ca b ca b c=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得：a＝−12，b＝32，c＝2.故抛物线解析式为y＝−12x2＋32x＋2(2)直线AC的解析式为y＝－12x＋2,即12x＋y−2＝0，设点Q的坐标为(m，－12m＋2) ；则P点坐标为(m,−12m2＋32m＋2)，∴PQ＝（−12m2＋32m＋2）－（－12m＋2）＝−12m2＋2m＝－12（m－2）2＋2∴当m＝2时，PQ最大＝2此时点P（2,3）S△PAC＝S梯形OCPM＋S△PMA－S△AOC＝5＋3－4＝4(3)假设存在,设D点的坐标为(32,−5)，(32,5)，(32,1)，(32,1).解法如下：设D 点的坐标（32，m ） △ADC 为直角三角形分三种情况： ①当点C 为直角顶点时：作DM ⊥y 轴于M由△CD 1M ∽△ACO 可得：1MC AO MD CO = ∴4322CM =,CM ＝3 ∴OM ＝5即D 1（32,5） ②同理当点A 为直角顶点时可求D 2(32,−5) ③当点D 为直角顶点时:过D 3作MN ⊥y 轴由△CD 3M ∽△D 3NA 可得：33D N MC MD AN= ∴32252n n -=，可得：n 2－2n ＝154解得：n ＝119 D 3(32,1＋192),D 4(32,1－192) 故D 点的坐标为(32,−5)，(32,5)，(32,119)，(32,119). 点睛：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．（1）34b =-，52c =，34k =；（2）存在，点P 的坐标是(2,3)-和(4,1.5)-；（3）231848555l x x =--+，l 的最大值是15. （1）将A ，B 两点分别代入y=−14x 2+bx+c 求出b ，c ，将A 代入y=kx-32求出k ； （2）首先假设出P ，M 点的坐标，进而得出PM 的长，将两函数联立得出D 点坐标，进而得出CE 的长，利用平行四边形的判定得出PM=CE 时四边形PMEC 是平行四边形，得出等式方程求解并判断即可；（3）利用勾股定理得出DC 的长，进而根据△PMN ∽△DCE ，得出两三角形周长之比，求出l 与x 的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．解：（1）：（1）把A （2，0），B （0，52）代入y=14-x 2+bx+c 得12052b c c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得3452b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 把A （2，0）代入y=kx-32得2k-32=0，解得k=34， ∴34b =-，52c =，34k =， （2）设P 的坐标是2135,442x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，则M 的坐标是33,42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴21353344242PM x x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭ 213442x x =--+， 解方程21354423342y x x y x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得：8172x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，20x y =⎧⎨=⎩， ∵点D 在第三象限，则点D 的坐标是()8,7.5--， 由3342y x =-得点C 的坐标是()0, 1.5-， ∴()1.57.56CE =---=， 由于PM y 轴，所以当PM CE =时四边形PMEC 是平行四边形. 即2134642x x --+=， 解这个方程得：12x =-，24x =-，符合82x -<<，当2x =-时，3y =，当4x =-时， 1.5y =，综上所述：点P 的坐标是()2,3-和()4,1.5-；（3）在Rt CDE ∆中，8DE =，6CE =由勾股定理得：DC =∴CDE ∆的周长是24，∵PM y 轴，∴PMN DCE ∽∆∆， ∴PMN PM CDE DC ∆=∆的周长的周长，即2134422410x x l --+= 化简整理得：l 与x 的函数关系式是：231848555l x x =--+， ()233155l x =-++， ∵305-<，∴当3x =-时，l 的最大值是15. 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定以及二次函数的最值问题等，熟练掌握函数图像上的点满足函数解析式是解题关键．9．（1）6y x =+；（2）①t ＝－3，②6t y x t ，③－6＜t ＜0，112-≤n ＜70 （1）根据题意求出A ，B 的坐标，从而可得出C 点的坐标，用待定系数法即可得出解析式；（2）①首先根据Q 为BC 中点，得出Q 的坐标，然后过Q 点作QE ⊥y 轴，可得QE=3，EP=3-t ，OP=|t|，OA=6，然后根据PQ=PA 和勾股定理，可得②设Q （a ，a ＋6），由题意得：()222266t a a t +=++-，解出方程求出Q 的坐标为（t ，t ＋6），然后利用待定系数法求出解析式即可；③将M （2m ，n －8），N （t 3＋2t 2－2m ，n ）代入PQ 的函数关系式得()()32682622n m t t n t t m t t ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=+-+⎪⎩，然后消去m 得n=3t 2+7t+4，在根据t 的取值范围即可推出，n 的取值范围．（1）∵直线6y x =-+分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，∴可得A （6，0），B （0，6），∵点C 和点A 关于x 轴对称，∴C （-6，0），设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 两点代入得606b k b =⎧⎨=-+⎩， 解得：k=1，b=6，∴BC 的解析式为：6y x =+；（2）①∵Q 为BC 中点，∴Q 的坐标为（-3，3），过Q 点作QE ⊥y 轴，∴E 的坐标为（0，3），∴QE=3，EP=3-t ，OP=|t|，OA=6，∵PQ=PA ， 22QE EP +22OP OA + 2233-+（t ）226t + 解得t ＝－3；②设Q （a ，a ＋6），由题意得：()222266t a a t +=++-，解得1a t =，26a =-（舍），∴Q （t ，t ＋6），设直线PQ 函数关系式为y=kx+b ， 将Q ，P 代入得6b t t tk b =⎧⎨+=+⎩， 解得6k t b t⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线PQ 函数关系式为6t y x t ；③∵点M （2m ，n －8），N （t 3＋2t 2－2m ，n ）在直线PQ 上，由②可得PQ 函数关系式为6t y x t ，∴()()32682622n m t t n t t m t t ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=+-+⎪⎩， 消去m 得n=3t 2+7t+4，∵Q 为线段BC 上一动点（不与B 、C 重合），∴-6＜t ＜0，∵n=3t 2+7t+4，∴对称轴为t=76-， ∴n 的最小值为：n=3×4936-7×76+4=112-， 当t=-6时，n=3×36-7×6+4=70，当t=0时，n=4，∴n 的取值范围是：112-≤n ＜70． 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，勾股定理和消元法，掌握知识点，能正确构造辅助线，建立直角三角形是解题关键．10．（1）抛物线的解析式为y=-x 2+3x+4；（2）（0，1）；（3）（-25，6625）. 此题是二次函数的综合题，求解析式、求点的坐标是函数中基本题型，要求学生熟练、准确的解题．解：（1）抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，，(04)C ，两点， 40{4 4.a b a a --=∴-=，解得1{ 3.a b =-=， ∴抛物线的解析式为234y x x =-++．（2）点(1)D m m +，在抛物线上，2134m m m ∴+=-++， 即2230m m --=，1m ∴=-或3m =．点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，． 由（1）知45OA OB CBA =∴∠=︒，．设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．(04)C ，，CD AB ∴，且3CD =，45ECB DCB ∴∠=∠=︒，11．（1）y=(4+x)(3+x)-12=x 2+7x;(2)边长增加1cm 时，面积增加8 cm ２．（1）根据题意，借助于矩形面积，直接解答；（2）在（1）中，把y=8代入即可解答．解：（1）由题意可得：（4+x ）（3+x ）-3×4=y ，化简得：y=x 2+7x ；（2）把y=8代入解析式y=x 2+7x 中得：x 2+7x-8=0，解之得：x 1=1，x 2=-8（舍去）．∴当边长增加1cm 时，面积增加8cm 212．（1）1m =-；232y x x =-+；（2）2x <且1x ≠（1）将点A 代入y x m =+解得m 值，再依据ABC △的面积为1求得点C 的坐标，再将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式即可；（2）由不等式()2()0ax bx c x m +++<可知2ax bx c ++与x m +异号，故2x <且1x ≠.（1）将点A （1，0）代入y x m =+中，得m+1=0，∴m=-1，∴1y x =-，∵ABC △的面积为1， ∴112c AB y ⋅⋅=， ∵AB=2-1=1，∴2c y =，当y=2时得x-1=2，得x=3，∴C （3,2），将1,0A ，()2,0B ，C （3,2）代入2y ax bx c =++中，得0420932a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得132a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为232y x x =-+；（2）∵不等式()2()0ax bx c x m +++<，∴2x <且1x ≠.【点睛】此题考查二次函数的性质，（1）中先求得m 的值得到一次函数的解析式，再根据面积为1求得点C 的坐标，这是解题的关键，由此将点A 、B 、C 的坐标代入即可求得抛物线的解析式；（2）中()2()0ax bx c x m +++<即2ax bx c ++与x m +异号，根据函数图像即可作出判断.13．（1）450千克；（2）当月销售利润为元8750时，每千克水果售价为65元或75元；（3）当该优质水果每千克售价为70元时，获得的月利润最大（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；（2）设每千克水果售价为x 元，根据题意列方程解答即可；（3）设月销售利润为y 元，每千克水果售价为x 元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．解：()1当售价为55元/千克时，每月销售量为()50010555050050450-⨯-=-=千克. ()2设每千克水果售价为x 元，由题意，得()()4050010508750,x x ⎡⎤=⎦-⎣--即2101400400008750,x x -+-=整理，得21404875,x x -=-配方，得()27049004875,x -=-解得1265,75.x x == ∴当月销售利润为元8750时，每千克水果售价为65元或75元()3设月销售利润为y 元，每千克水果售价为x 元，由题意，得()()405001050,y x x ⎡⎤=---⎣⎦即210140040(00040)100,y x x x =-+-≤≤配方，得()210709000,y x =--+ 100-<，∴当70x =时，y 有最大值∴当该优质水果每千克售价为70元时，获得的月利润最大．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算．14．（1）225433y x x =--；（2）522a -≤≤；（3）（3223，10023-） （1）由抛物线的对称轴x =125242x x b a +-==与已知x 2-x 1=112联立可求得A 、B 两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称性知，当92x =和x=-2时，函数值相等，结合图象可求得a 的取值范围；（3）连接BC ，CM ，过点D 作y 轴的高线，证得△BOC 和△CDG 都是等腰直角三角形、△BCD 是直角三角形，求得tan ∠MCE = tan ∠BDC =BC CD =4，再利用待定系数法求得直线BD 的解析式52033y x =-，点M 坐标为520(,)33n n -，可求得点M 的坐标． 解：（1）抛物线的对称轴为：x =125242x x b a +-==，而且x 2-x 1=112， 将上述两式联立并解得：x 1=32-，x 2=4， 把A （32-，0）代入y =mx 2-52mx -4得，9154044m m +-=，解得：23m =， 故抛物线的表达式为：225433y x x =--； （2）由（1）知，抛物线的解析式是225433y x x =--，所以对称轴是直线54x =， 根据其对称性知，当92x =和x=-2时，函数值相等， 又∵当12a x a ≤≤+，292x ≥时，均有12y y ≤， ∴结合图象可得2922a a ≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩， 解得：522a -≤≤； （3）如图，连接BC ，CM ，过点D 作DG ⊥OE 于点G ，∵点B （4，0），C （0，-4），D （1，-5），∴OB=OC =4，CG=DG =1，∴△BOC 和△CDG 都是等腰直角三角形，∴∠BCO=∠DCG =45°且BC=CD，∴∠BCD =180°-∠BCO -∠DCG =90°，∴△BCD 是直角三角形，∴在Rt BCD 中，tan ∠BDC =BC CD =4， 又∵∠BDC =∠MCE ， ∴tan ∠MCE =4， 设直线BD 解析式为y=kx +b ，把 B （4，0）、D （1，-5）两点坐标代入得 405k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得53203k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线BD 的解析式为52033y x =-. 设点M 坐标为520(,)33n n -，过点M 作MF ⊥CE 于点F ， 则∠MFC =90°，MF=n ，52085()43333CF OF OC n n =-=---=-， 在Rt △CDF 中，tan 48533MF n MCF CF n ∠===-， 解得，3223n =， ∴5201003323n -=-， ∴点M 的坐标是（3223，10023-）．【点睛】本题为二次函数与几何的综合应用，涉及函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的判定和性质、待定系数法、勾股定理、两点之间的距离公式、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中关键是善于将函数问题转化为方程问题，在（2）中利用抛物线的对称性是解题的关键，在（3）中求得tan∠MCE= tan∠BDC=BCCD=4，是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．15．（1）y＝1﹣x；（2）11(1),022211(1),222t t tst t t⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，S有最大值14；（3）存在点C（1，1）．（1）已知直线L过A，B两点，可将两点的坐标代入直线的解析式中，用待定系数法求出直线L的解析式；（2）求三角形OPQ的面积，就需知道底边OP和高QM的长，已知了OP为t，关键是求出QM的长．已知了QM垂直平分OP，那么OM＝12t，然后要分情况讨论：①当OM＜OB时，即0＜t＜2时，BM＝OB﹣OM，然后在等腰直角三角形BQM中，即可得出QM＝BM，由此可根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式；②当OM＞OB时，即当t≥2时，BM＝OM﹣OB，然后根据①的方法即可得出S与t的函数关系式，然后可根据0＜t＜2时的函数的性质求出S的最大值；（3）如果存在这样的点C，那么CQ＝QP＝OQ，因此C，O就关于直线BL对称，因此C的坐标应该是（1，1）．那么只需证明CQ⊥PQ即可．分三种情况进行讨论：①当Q在线段AB上（Q，B不重合），且P在线段OB上时．要证∠CQP＝90°，那么在四边形CQPB中，就需先证出∠QCB与∠QPB互补，由于∠QPB与∠QPO互补，而∠QPO＝∠QOP，因此只需证∠QCB＝∠QOB即可，根据折叠的性质，这两个角相等，由此可得证；②当Q在线段AB上，P在OB的延长线上时，根据①已得出∠QPB＝∠QCB，那么这两个角都加上一个相等的对顶角后即可得出∠CQP＝∠CBP＝90度；③当Q与B重合时，很显然，三角形CQP 应该是个等腰直角三角形．综上所述即可得出符合条件C点的坐标．（1）y＝1﹣x；（2）∵OP＝t，∴Q点的横坐标为12t，①当1012t<<，即0＜t＜2时，QM=1-12t，∴S△OPQ＝12t（1﹣12t），②当t≥2时，QM＝|1﹣12t|＝12t﹣1，∴S△OPQ＝12t（12t﹣1），∴111,02 22s111,222t t tt t t⎧⎛⎫-<<⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≥⎪⎪⎝⎭⎩当0＜12t＜1，即0＜t＜2时，S＝12t（1﹣12t）＝﹣14（t﹣1）2+14，∴当t＝1时，S有最大值14；（3）由OA＝OB＝1，故△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ＝QC，所以OQ＝QC，又L1∥x轴，则C，O两点关于直线L对称，所以AC＝OA＝1，得C（1，1）．下面证∠PQC＝90度．连CB，则四边形OACB是正方形．①当点P在线段OB上，Q在线段AB上（Q与B、C不重合）时，如图﹣1，由对称性，得∠BCQ＝∠QOP，∠QPO＝∠QOP，∴∠QPB+∠QCB＝∠QPB+∠QPO＝180°，∴∠PQC＝360°﹣（∠QPB+∠QCB+∠PBC）＝90度；②当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图﹣2，如图﹣3∵∠QPB＝∠QCB，∠1＝∠2，∴∠PQC＝∠PBC＝90度；③当点Q与点B重合时，显然∠PQC＝90度，综合①②③，∠PQC＝90度，∴在L1上存在点C（1，1），使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．【点睛】本题结合了三角形的相关知识考查了一次函数及二次函数的应用，要注意的是（2）中为保证线段的长度不为负数要分情况进行求解．（3）中由于Q ，P 点的位置不确定，因此要分类进行讨论不要漏解．16．（1）y ＝﹣10x +600（30≤x ≤38）；（2）36元；（3）3.6（1）根据原销售件数减去减少的件数即为所求；（2）根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；（3）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解．解：（1）由题意得，y ＝250﹣10（x ﹣35）＝﹣10x +600；即y 与x 之间的函数关系式为：y ＝﹣10x +600（30≤x ≤38）；（2）根据题意得，（﹣10x +600）（x ﹣20）＝3840，解得：x 1＝36，x 2＝44，∵30≤x ≤38，∴x ＝36，答：当销售单价是36元时，网店每天获利3840元；（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W ，根据题意得，W ＝（﹣10x +600）（x ﹣20﹣a ）＝﹣10x 2+（800+10a ）x ﹣600（20+a ），∵对称轴x ＝40+12a ， ∵30≤x ≤38，∵0＜a ≤6 ∴40＜12a +40≤43 ∴x ＝40+12a 时， 每天扣除捐赠后可获得最大利润为3300元， （﹣10（40+12a ）+600）（40+12a ﹣20﹣a ）＝3300 （200﹣5a ）（20﹣12a ）＝3300 整理得a 2﹣80a +280＝0解得a 1＝40﹣，a 2＝答：a 的值为3.6．【点睛】此题考查二次函数的应用，解题关键在于利用函数的增减性来解答．17．这名运动员起跳时的竖直高度为40m.根据顶点式利用待定系数法求出二次函数的解析式即可解决问题.解：由题意可知抛物线的顶点为C （15, 45），∴设抛物线的解析式为2(15)45y a x =-+（a ≠0），∵y =0时，x =60，∴20(6015)45a =-+，∴145a =-，。