高中数学对数运算和对数函数

对数运算和对数函数要求层次重难点对数的概念及其运算性质B 理解对数的概念掌握当底数1a >与01a <<时，对数函数的不同性质掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题换底公式 A 对数函数的概念 B 对数函数的图象和性质C 指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数（0a >且1a ≠）B<教师备案>本讲的内容为对数和对数函数，关于对数的历史，在后面的小故事中有所体现，还有一部分可称为前转：“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看出，伽利略把对数与宝贵的空间和时间相提并论.对数的发展绝非一人之功.首先要提到的是16世纪瑞士钟表匠标尔基，当他结识了天文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道,数字之大、计算量之繁重,真的难以想象,于是便产生了简化计算的想法.从16031611年,标尔基用了八年的时间,一个数一个数的算,造出了一个对数表,这个对数表帮了开普勒的大忙.开普勒认识到了对数表的使用价值,劝标尔基赶快把对数表出版,标尔基认为这个对数表还过于粗糙,一直没下决心出版.正在标尔基犹豫不决的时候,1614年6月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所造的题为《奇妙的对数表的说明》一书,这个对数表的出版震动了整个数学界.“对数”一词是纳皮尔首先创造的,意思是“比数”.他最早用“人造的数”来表示对数.俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥知识框架例题精讲高考要求第5讲 对数运算和对数函数思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人揭示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高.(一)知识内容<教师备案>在指数函数x y a =中，对于每个y +∈R ，存在唯一的x 与之对应，幂指数x 叫做以a 为底的y 的对数，这样从y 到x 的对应是指数运算的一个相反运算，让同学思考由函数的定义，判断这是否可以定义一种新的函数？这种运算和对应的函数有什么样的性质呢？1.对数：一般地，如果x a y =(0a >，且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底y 的对数，记作log a x y =，其中a 叫做对数的底数，y 叫做真数.关系式axy指数式 x a y =底数(0,1)a a >≠ 指数(R)x ∈ 幂（值）(R )y +∈对数式 log a y x = 底数(0,1)a a >≠ 对数(R)x ∈ 真数(R )y +∈ 对数恒等式及对数的性质，对数log (0,1)a N a a >≠满足： ⑴零和负数没有对数； ⑵1的对数是零，即log 10a =； ⑶底的对数等于1，即log 1a a =.2.常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N .3.自然对数：在科学技术中常使用以无理数 2.71828e =为底的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并且把log e N 记为ln N .4.对数与指数间的关系：当0,1a a >≠时，log x a a N x N =⇔=.5.指数和对数的互化：log b a a N N b =⇔=.N a N a =log ，log N a a N =（二）主要方法：1.重视对数的概念，应用基础概念解决具体问题2.熟练运用指数和对数的互化板块一：对数的定义和相关概念（三）典例分析：【例1】 ⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：①45625=；②61264-=；③1 5.733m⎛⎫= ⎪⎝⎭；④12log 164=-；⑤lg0.012=-；⑥ln10 2.303=.⑵求下列各式中x 的值：①642log 3x =-；②log 86x =；③lg100x =；④2ln e x -=.【例2】 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=；（2）2log 128=7；（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303【例3】 ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 345(一)知识内容1.对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈ ⑷1log log naa N N n=（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数） <教师备案>以性质⑴为例进行证明如下： 已知log a M ，log a N （M 、0N >），求log ()a MN 设log a M p =，log a N q =，根据对数的定义，可得p M a =，q N a = 由p q MN a a =⋅p q a +=∴log ()log log a a a MN p q M N =+=+2.换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） <教师备案>证明： 法一：根据指数的运算性质推导 设log b N x =，则x b N =.两边取以a 为底的对数，得log log a a x b N =， 所以log log a a N x b =，即log log log a b a NN b=. 法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导由对数恒等式得：log log log log ()log bN b a a a N b b N ⋅==，所以有log log log a b a NN b=. 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的.<教师备案>常见错误：log ()log log a a a M N M N ±=±；log ()log log a a a MN M N =⋅；log log log a aa MM N N=. 3.关于对数的恒等式板块二：对数的运算性质和法则①log a N a N =②log n a a n =③1log log a b b a=④log log n n a a M M = ⑤log log log log a b a b M MN N=（二）主要方法1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.解决对数不等式、对数方程时，要重视考虑对数的真数、底数的范围；3.对数不等式的主要解决思想是对数函数的单调性.（三）典例分析【例4】 求下列各值：⑴221log 36log 32-；⑵log ；⑶lg1；⑷3log 53；⑸3log 59；⑹3log 3；⑺；⑻22(lg5)lg 2lg 25(lg 2)+⋅+；⑼827log 9log 32⋅.【例5】 求值：⑴2572lg3lg7lg lg 94++-；⑵32516log 4log 9log 5⋅⋅.【例6】 若a 、0b >，且a 、1b ≠，log log a b b a =，则A.a b =B.1a b=C.a b =或1a b=D.a 、b 为一切非1的正数【例7】 ⑴8log 3p =，3log 5q =，那么lg5等于______（用p ，q 表示）；⑵知18log 9a =，185b =，用,a b 表示36log 45.【点评】⑴换底公式的一个重要应用：log log 1m n n m ⋅=⑵181818log 2log 9=，将未知转化为已知，是对数函数运算性质的重要应用. 【例8】 已知2log 3a =，37b =，求12log 56【例9】 已知lg5m =，lg3n =，用,m n 表示30log 8.【例10】 已知(0,0,1)ab m a b m =>>≠且log m b x =，则log m a 等于A.1x -B.1x +C.1xD.1x -【例11】 已知12()x f x a-=，且(lg )f a =a 的值.【例12】 下列各式中，正确的是A.2lg 2lg x x =B.1log log a a x n =C.log log log a a a x xy y=1log 2a x =【例13】 已知2(3)log (3)1x x x ++=，求实数x 的值.【例14】 设a 为实常数，解关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-.1.对数函数：我们把函数log (0a y x a =>且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞，值域为实数集R .2.对数函数的图象和性质：一般地，对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象和性质如下表所示：01a <<1a >图象定义域 (0,)+∞值域 R性质⑴过定点(1,0)，即1x =时，0y =⑵在(0,)+∞上是减函数； （2）在(0,)+∞上是增函数.<教师备案>因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照.如：指数函数的值域(0,)+∞，变成了对数函数的定义域；而指数函数的定义域为实数集R ，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称等.y=log a x (0<a <1)O 1yx y=log a x (a >1)O 1yx板块三：对数函数【例15】 求下列函数的定义域：⑴2log a y x =；⑵log (4)a x -；⑶y .【例16】 求下列函数的定义域：⑴31log (32)y x =-；⑵1log (3)x y x -=-.【例17】 已知()log (1)x a f x a =-(0,a >且1)a ≠，⑴求()f x 的定义域； ⑵讨论函数()f x 的单调性；【例18】 求函数)(log )1(log 11log )(222x p x x x x f -+-+-+=的定义域和值域.【例19】 函数2lg(20)y x x =-的值域是A.y ＞0B.y ∈RC.y ＞0且y ≠1D.y ≤2【例20】 已知函数2()lg[2(1)94]f x mx m x m =++++，⑴若此函数的定义域为R ，求实数m 的取值范围；⑵若此函数的值域为R ，求实数m 的取值范围.【点评】本题涉及到解一元二次不等式的解法，可根据学生情况进行讲解.【例21】 已知函数18log )(223+++=x nx mx x f 的定义域为R ，值域为[0，2]，求m ，n 的值.【例22】 下面结论中，不正确的是A.若a ＞1，则x a y =与x y a log =在定义域内均为增函数B.函数x y 3=与x y 3log =图象关于直线x y =对称C.2log a y x =与2log a y x =表示同一函数D.若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >>【例23】 已知),,)(lg()(为常数b a b a x f xx-=①当a ，b ＞0且a ≠b 时，求f (x )的定义域；②当a ＞1＞b ＞0时，判断f (x )在定义域上的单调性，并用定义证明【例24】 在函数10(log <<=a x y a ，)1≥x 的图象上有A ，B ，C 三点，它们的横坐标分别是t ，t ＋2，t ＋4，（1）若△ABC 的面积为S ，求S ＝f （t ）； （2）判断S ＝f （t ）的单调性； （3）求S ＝f （t ）的最大值.【例25】 已知函数22log )(+-=x x x f a的定义域为[],αβ，值域为[]log (1),log (1)a a a a βα--，且)(x f 在[],αβ上为减函数. （1）求证α＞2； （2）求a 的取值范围.【例26】 对于212()log (23)f x x ax =-+，⑴函数的“定义域为R ”和“值域为R ”是否是一回事；⑵结合“实数a 取何值时，()f x 在[1)-+∞，上有意义”与“实数a 取何值时，函数的定义域为(1)(3)-∞+∞，，”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别.⑶结合⑴⑵两问，说明实数a 的取何值时()f x 的值域为(1]-∞-，.【例27】 ⑷实数a 取何值时，()f x 在(1]-∞，内是增函数.⑸是否存在实数a ，使得()f x 的单调递增区间是(1]-∞，，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【点评】该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题.解题过程中遇到了恒成立问题，“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理.【例28】 比较下列各组数的大小：⑴2log 3.4，2log 8.5；⑵0.3log 1.8，0.3log 2.7；⑶log 5.1a ，log 5.9a (0,a >且1)a ≠;⑷20.3，2log 0.3，0.32.【点评】利用对数函数的性质比较大小的题，一般都可以通过对数函数的单调性，通过直接比较、中间值法或者图象法得到相关结论.如：设110a <<，比较2lg a ，2(lg )a ，lg(lg )a 的大小.1100lg 1a a <<⇒<<，于是22lg(lg )0(lg )lg a a a <<<.【例29】 设2(log )2(0)x f x x =>，则f （3）的值是A.128B.256C.512D.8【例30】 a 、b 、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞b ＞cD.b ＞a ＞c【例31】 （2005年天津文） 已知111222log log log b a c <<，则（）A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b >>【例32】 如果02log 2log <<b a ，那么a ，b 的关系及范围.【例33】 ⑴若log 2log 20a b <<，则（）A.01a b <<<B.01b a <<<C.1a b >>D.1b a >> ⑵已知2log 13a <，求a 的取值范围.【点评】在上面的对数函数图象中，共有四条对数函数log a y x =，底数a 的大小比较可以通过作一条直线：1y =，于四条曲线分别交于点1234,,,P P P P ，易知，这四点的横坐标即对应相应的底数的值，故比较这四点的横坐标即可.【例34】 已知函数()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，⑴试比较函数值()f x 与()g x 的大小；⑵求方程|()()|()()4f x g x f x g x -++=的解集.【例35】 函数log a y x =在[2,)x ∈+∞上恒有||1y >，求a 的范围.【例36】 已知a ＞0，a ≠1，10<<x ，比较|)1(log |x a +和|)1(log |x a -的大小.【例37】 若23log 1a <，则a 的取值范围是 A.203a <<B.23a >C.213a <<D.203a <<或a ＞1【例38】 若关于23lg lg )lg(=--x a x 至少有一个实数根，则求a 的取值范围.【例39】 设a ，b 为正数，若lg()lg()10ax bx +=有解，则求b a 的取值范围.【例40】 如果2112222log (1)log 2a a a a +++≤，求a 的取值范围.【例41】 已知}2)385(log |{2>+-=x x x A x ，24{|210}B x x x k =-+-≥，要使A B ，求实数k 的取值范围.【例42】 设正数a ，b ，c 满足222c b a =+. （1）求证：1)1(log )1(log 22=-++++bc a a c b ； （2）又设1)1(log 4=++a c b ，32)(log 8=-+c b a ，求a ，b ，c 的值.【例43】 （1）已知0(2log log >=+a y x a a ，)1≠a ，求yx 11+的最小值. （2）已知2052=+y x ，求y x lg lg +的最大值.（3）已知4422=+y x ，求xy 的最大值.【例44】 解方程)12(log 2)22(log 212+=++x x。