2.5 对数与对数函数
对数与对数函数
§2.8 对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a Na ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域 R性 质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log m n a b ＝nmlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N .( × )(2)函数y ＝log a 2x (a >0，且a ≠1)是对数函数．( × )(3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．( √ ) 教材改编题1．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域是[0,1]，则函数f (x )的值域为( ) A ．[0,1] B ．(0,1) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)答案 A解析 根据复合函数单调性同增异减可知f (x )在[0,1]上单调递增， 因为0≤x ≤1，所以1≤x ＋1≤2，则log 21≤log 2(x ＋1)≤log 22， 即f (x )∈[0,1]．2．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________． 答案 (3,2)解析 ∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3，y ＝2，∴函数的图象过定点(3,2)． 3．e ln 2＋log 2 02216log 2 0224＝________.答案 4 解析 e ln 2＋log 2 02216log 2 0224＝2＋log 416＝2＋2＝4.题型一 对数式的运算例1 (1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b 的值是( )A ．－1 B.12 C.710 D ．1答案 D解析 由2a ＝5b ＝10， ∴a ＝log 210，b ＝log 510， ∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5， ∴1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)计算：log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝________.答案 2解析 原式＝log 535－log 5150－log 514＋212log 2＝log 535150×14＋12log 2 ＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a ＝3，b ＝log 85，则4a －3b＝________.答案925解析 因为2a ＝3，所以a ＝log 23， 又b ＝log 85， 所以b ＝13log 25，所以a －3b ＝log 235，4a －3b ＝232log 52＝925.(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋12lg 4－log 34×log 23＝________.答案 －1解析 原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋12lg 4－2lg 2lg 3×lg 3lg 2＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1. 题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1 答案 A解析 由函数图象可知，f (x )为增函数，故a >1. 函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )， 由函数图象可知－1<log a b <0， 解得1a <b <1.综上，0<a －1<b <1.(2)(2023·佛山模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析f(x)＝|ln x|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，，所以ab＝1，则b＝1a，所以a＋2b＝a＋2a令g(x)＝x＋2x(0<x<1)，则g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．xlog跟踪训练2(1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x)＝1b的图象可能是()答案 B解析 ∵lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)， ∴ab ＝1，∴a ＝1b，∴g (x )＝1log bx ＝log a x ，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝1log bx 互为反函数，∴函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log bx 的图象关于直线y ＝x 对称，且具有相同的单调性．(2)(2023·濮阳模拟)已知a >0且a ≠1，函数y ＝a x 的图象如图所示，则函数f (x )＝log a (－x ＋1)的部分图象大致为( )答案 D解析 由函数y ＝a x 的图象可得a >1.当a >1时，y ＝log a x 经过定点(1,0)，为增函数．因为y ＝log a x 与y ＝log a (－x )关于y 轴对称，所以y ＝log a (－x )经过定点(－1,0)，为减函数． 而f (x )＝log a (－x ＋1)可以看作y ＝log a (－x )的图象向右平移一个单位长度得到的， 所以f (x )＝log a (－x ＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数式的大小例3 (2023·武汉质检)已知a ＝log 30.5，b ＝log 3π，c ＝log 43，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <a <b答案 C解析 a ＝log 30.5<log 31＝0，即a <0； b ＝log 3π>log 33＝1，即b >1； 0＝log 41<log 43<log 44＝1，即0<c <1， ∴a <c <b .命题点2 解对数方程、不等式例4 若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，1解析 由题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3 对数函数的性质及应用例5 (2023·郑州模拟)设函数f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B ．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减 C ．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D ．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增 答案 A解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠±3}， f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|＝ln|x 2－9|， 令g (x )＝|x 2－9|， 则f (x )＝ln g (x )，函数g (x )的单调区间由图象(图略)可知，当x ∈(－∞，－3)，x ∈(0,3)时，g (x )单调递减， 当x ∈(－3,0)，x ∈(3，＋∞)时，g (x )单调递增， 由复合函数单调性同增异减得单调区间．由f (－x )＝ln|(－x )2－9|＝ln|x 2－9|＝f (x )得f (x )为偶函数．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3 (1)(2023·开封模拟)已知函数f (x )＝log a (6－ax )(a >0，且a ≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3] B ．(1,3) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)答案 A解析 令t (x )＝6－ax ，因为a >0，所以t (x )＝6－ax 为减函数． 又由函数f (x )＝log a (6－ax )在(0,2)上单调递减， 可得函数t (x )＝6－ax >0在(0,2)上恒成立，且a >1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，6－2a ≥0，解得1<a ≤3.(2)(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12(a >0，且a ≠1)有最小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，2) 解析 令u (x )＝x 2－ax ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋12－a 24， 则u (x )有最小值12－a 24，欲使函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．课时精练1．函数f (x )＝log 0.5(2x －1)的定义域为( ) A.⎝⎛⎦⎤12，1 B.⎣⎡⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．[1，＋∞)答案 A解析 由题意，要使函数f (x )＝log 0.5(2x －1)有意义，则满足log 0.5(2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，解得12<x ≤1，即函数f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤12，1. 2．若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 依题意，函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数，即函数y ＝a x 的图象过点(1,3)， 则a ＝3，f (x )＝log 3x ，于是得f (log 28)＝log 3(log 28)＝log 33＝1， 所以f (log 28)＝1.3．函数f (x )＝log 2(|x |－1)的图象为( )答案 A解析 函数f (x )＝log 2(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B ，C ； 由f (－x )＝log 2(|－x |－1)＝log 2(|x |－1)＝f (x )，可知函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D.4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C (单位：Ah)，放电时间t (单位：h)与放电电流I (单位：A)之间关系的经验公式：C ＝I n ·t ，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流I ＝20 A 时，放电时间t ＝20 h ；当放电电流I ＝30 A 时，放电时间t ＝10 h ．则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为( ) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A.43 B.53 C.83 D ．2 答案 B解析 根据题意可得C ＝20n ·20，C ＝30n ·10， 两式相比得20n ·2030n ·10＝1，即⎝⎛⎭⎫23n ＝12， 所以n ＝23321log log 22＝ ＝lg 2lg 32＝lg 2lg 3－lg 2≈0.30.48－0.3＝53. 5．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－|x |，则不等式f (x )>0的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．∅答案 B解析 不等式f (x )>0⇔log 2(x ＋1)>|x |， 分别画出函数y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象，由图象可知y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)， 由图象可知log 2(x ＋1)>|x |的解集是(0,1)， 即不等式f (x )>0的解集是(0,1)．6．(多选)已知函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的图象恒过定点(0,0) B ．函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，1上的最小值为0D ．若对任意x ∈[1,2]，f (x )≥1恒成立，则实数a 的取值范围是(1,2] 答案 ACD解析 将(0,0)代入函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，成立，故A 正确； 当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1∈(1，＋∞)，又a >1，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)，由复合函数单调性可知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)单调递增，故B 错误；当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，x ＋1∈⎣⎡⎦⎤12，2，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|≥log a 1＝0，故C 正确； 当x ∈[1,2]时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知log a 2≥1，解得1<a ≤2，故D 正确．7．(2023·淮北模拟)计算：⎝⎛⎭⎫12－2＋log4＝______. 答案 10解析 ⎝⎛⎭⎫12－2＋4log 2log 2422＝＋＝4＋2＋4＝10.8．函数f (x )＝()log 2x 的最小值为________． 答案 －14解析 依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. 9．已知f (x )＝()213log 5.x ax a －＋(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝()213log 210x x －＋，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u (x )＝x 2－ax ＋5a ， ∵y ＝13log u (x )为减函数，∴u (x )＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤1，1＋4a >0，解得－14<a ≤2， ∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－14，2. 10．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )＝log 3(9x ＋1)＋kx 是偶函数．(1)求k ；(2)解不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)．解 (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 3(9－x ＋1)－kx ＝log 3(9x ＋1)＋kx 对任意x ∈R 恒成立，∴2kx ＝log 3(9－x ＋1)－log 3(9x＋1)＝log 39－x ＋19x ＋1＝log 33－2x ＝－2x ， ∴k ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log 3(9x ＋1)－x ＝log 3(9x ＋1)－log 33x ＝log 39x ＋13x ＝log 3(3x ＋3－x )， 则不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)等价于3x ＋3－x ≥7·3x －1>0，由7·3x －1>0，解得x >－log 37；由3x ＋3－x ≥7·3x －1，得6·(3x )2－3x －1≤0，得0<3x ≤12， 即x ≤－log 32，综上，不等式的解集为(－log 37，－log 32]．11．若非零实数a ，b ，c 满足2a ＝3b ＝6c ＝k ，则( )A.1a ＋1b ＝1cB.2a ＋2b ＝1cC.1a ＋1b ＝2cD.2a ＋1b ＝2c答案 A解析 由已知，得2a ＝3b ＝6c ＝k ，得a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，c ＝log 6k ，所以1a ＝log k 2，1b ＝log k 3，1c＝log k 6， 而2×3＝6，所以1a ＋1b ＝1c . 12．(多选)关于函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )，下列说法正确的是( )A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )在区间(0,2)上为增函数C ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称D ．f (x )的图象关于点(2,0)对称答案 BC解析 函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)，当x ＝2 时，4x －x 2 取到最大值4，故此时f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )取到最大值log 24＝2 ，A 错误； f (x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)可以看作是由函数y ＝log 2u ，u ＝－x 2＋4x (0<x <4) 复合而成，而y ＝log 2u 是定义域上的增函数，u ＝－x 2＋4x (0<x <4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减， 故f (x )在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B 正确； 因为函数f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )，故f (x )的图象关于直线x ＝2对称，C 正确； 因为f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )≠－f (x )，故f (x )的图象不关于点(2,0)对称，D 错误．13．已知函数f (x )的定义域为R ，图象恒过点(0,1)，对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)的解集为( )A ．(ln 2，＋∞)B ．(－∞，ln 2)C ．(ln 2,1)D ．(0，ln 2) 答案 D解析 因为f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，不妨设x 1>x 2， 则f (x 1)－x 1>f (x 2)－x 2，令g (x )＝f (x )－x ，则g (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)，等价于f (ln(e x －1))－ln(e x －1)<1＝f (0)－0，即g (ln(e x －1))<g (0)，所以ln(e x －1)<0，则0<e x －1<1，解得 0<x <ln 2.14．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x <2，x 2－8x ＋13，x ≥2，若f (x )＝a 有四个解x 1，x 2，x 3，x 4且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是( )A ．0<a <1B ．x 1＋2x 2∈(3，＋∞)C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4∈⎝⎛⎭⎫10，212 D ．x 4∈[4，＋∞)答案 AC解析 作函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x <2，x 2－8x ＋13，x ≥2的图象如图所示，f (x )＝a 有四个解，即y ＝a 与y ＝f (x )的图象有4个交点x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4， 可得0<a <1，故选项A 正确；由图象可得x 1·x 2＝1，则1x 1＝x 2， ∴x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1，∵12<x 1<1，且1<x 2<2，对勾函数y ＝x ＋2x 在区间⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，故当12<x 1<1时，x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1∈⎝⎛⎭⎫3，92，故B 错误； x 1＋x 2＝1x 1＋x 1，∵12<x 1<1，∴1x 1＋x 1∈⎝⎛⎭⎫2，52， ∵x 3＋x 4＝8，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4∈⎝⎛⎭⎫10，212，故选项C 正确； 令x 2－8x ＋13＝0，解得x ＝4±3，由图象可知x 4∈(4＋3，6)，故选项D 错误．。
高三：对数与对数函数
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是
则f(a2)＋f(b2)＝________. 解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2 ＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2. 答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在
无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
1 4 3 1 ＝ ×(5lg 2－2lg 7)－ × lg 2＋ (lg 5＋2lg 7) 2 3 2 2 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2×5)＝ . 2 2 2 2
(2)由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 1 1 ∵a＋b＝2， ∴logm10＝2，即 m2＝10. 解得 m＝ 10(∵m>0)．
A.0，
(
B. 2 ，1 2
)
2 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
[自主解答]
(1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、
B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t 为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.
2.5对数与对数函数
2.5 对数与对数函数编制人:高三数学组 负责人: 【使用说明】:1.课前认真研读课本,完成自主研读学习单设计的问题..2.课堂内限时完成合作探究学习单,书写规范.3.找出疑问和不能独立解决的问题,通过合作探究,教师指导等方式解决.4.课后认真完成反馈巩固学习单.【大纲要求】1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．※自主研读学习单※知识体系1．对数的定义如果________________，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数． 2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a>0且a ≠1) ①Na a log ＝____； ②1log a ＝____； ③N a a log ＝____； ④a a log ＝____. (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝________________(a ，b 均大于零且不等于1)； ②b a log ＝ab log 1，推广d c b c b a log log log ∙∙＝________.(3)对数的运算法则如果a>0且a ≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝_______________；②log a MN ＝_______________；③log a M n ＝__________(n ∈R )；④na M m log ＝ 。
3．对数函数：(1) 定义：函数 称为对数函数， (2) 函数值的变化特征及函数图像与性质：4、（1）同底的指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数 （2）底大图低(3) 函数与函数 互为反函数，函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称．基础自测1.函数y =的定义域为( )（A ）(34,1) （B ）(34,∞) （C ）（1，+∞） （D ）(34,1)∪（1，+∞） 2．已知函数)1(log )(+=x x f a 的定义域和值域都是[0，1]，则a 的值等于( )A ．2B ．2C ．22D ．31 3．若f(x)=logax 在［2，+∞）上恒有f(x)＞1,则实数a 的取值范围是 （ ）A.(1,21) B.(0,21)∪（1，2） C.（1，2） D. (0,21)∪（2，∞）4．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．※合作探究学习单※ 探究一 对数式的化简与求值 例1 计算：(1))32(log 32--；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (3)已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，求yx )223(log -.变式迁移1 计算：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25 (3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83).x y a log =)1,0(≠>=a a a y x且探究二 含对数式的大小比较例2 (1)比较下列各组数的大小．①log 323与log 565；②log 1.10.7与log 1.20.7.(2)已知log 12b <log 12a <log 12c ，比较2b,2a,2c 的大小关系．变式迁移2 (1)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则 ( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．b >c >a(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝a 21log ，(12)b ＝b 21log ，(12)c ＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <a0C ．c <a <bD ．b <a <c探究三 对数函数的图象与性质例3 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)例4:已知函数f (x )＝log a (1－a x)(a >0，a ≠1)． (1)解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f (1)；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0. 高考真题1. 函数y =)23(log 221+-x x 的递增区间是2. 若函数y=lg[x 2+(k+2)x+45]的定义域为R ，则k 的取值范围是 3.设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 _________________ 4.设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a 2255.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是__________※ 巩固提升学习单※1．若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg108＝________，lg 1825＝________(用a ，b 表示)．2．用“＜”“＞”填空：log 0.27________log 0.29；log 35________log 65；(lg m )1.9________(lg m )2.1(其中m >10)． 3．函数y ＝log 2(x 2＋2x )的单调递增区间为________．4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 为奇函数，则a 的值是________． 5．函数f (x )＝log 2x 2＋2的值域为________．6． 函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．7．在同一坐标系中，三个函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x 图K9－1所示，那么a ，b ，c 的大小关系是________．图K9－18．设f (x )＝log 3(3x ＋1)＋12ax 是偶函数，则a 的值为________．9．已知函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，若f (2)<f (3)，则实数a 10．已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________． 11．若函数f (x )＝log (a 2－3)(ax ＋4)在[－1,1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________． 12．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝________.13．(1)用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：log a xy z ；log a x 2y3z；(2)求值：lg8＋lg125－lg2－lg5lg 10lg0.1.14、(1)若log a 45<1(a >0且a ≠1)，求实数a 的取值范围；(2)若log a 2<log b 2<0，求a 、b 、1三数的大小关系．15．在函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)中．(1)若其在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (2)若其在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围．16． 设函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，对于任意正实数m ，n 恒有f (mn )＝f (m )＋f (n )，且当x >1时，f (x )>0，f (2)＝1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)求方程4sin x ＝f (x )的根的个数．。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
第二节 对数与对数函数(知识梳理)
第二节对数与对数函数复习目标学法指导1.对数与对数运算(1)对数的概念.(2)常用对数与自然对数.(3)对数的运算性质.(4)对数的换底公式.2.对数函数及其性质(1)对数函数的概念.(2)对数函数的图象.(3)对数函数的性质.(4)指数函数与对数函数的关系. 会求一些与对数函数有关的简单的复合函数的定义域、值域、单调性.(发展要求) 1.通过对数的概念,明确对数来源于指数,利用指数的知识理解与掌握对数.2.在同底的条件下,对数只能进行加、减运算,注意应用的顺序.3.掌握对数函数的图象与性质,一定要坚持分类讨论的思想.4.应用对数函数的性质解决对数类问题要遵循定义域优先的原则.一、对数如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N.其中a叫做底数,N叫做真数底数的限制a>0,且a≠1对数式与指数式的互化:a x=N⇔log a N=x负数和零没有对数1的对数是零,log a1=0底数的对数是1,log a a=1对数恒等式:log a Na=Nlog a(M·N)=log a M+log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0log a MN=log a M-log a Nlog a M n=nlog a M(n∈R)公式:log a b=loglogccba(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)推广:logam b n=n m log a b(a>0且a≠1,b>0);log a b=1logba(a>0且a≠1;b>0且b≠1)1.法则理解应用法则log a M+log a N=log a(M·N)时,注意M>0,且N>0,而不能只考虑到M·N>0,导致增解.2.与换底公式有关的结论log a b·log b c·log c d=log a d.二、对数函数1.对数函数的概念、图象与性质概念函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数底数a>1 0<a<1图象定义域(0,+∞)值域R过定点(1,0),即x=1时,y=0性质在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数2.指数函数与对数函数的关系指数函数y=a x(a>0且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.1.概念理解(1)对数函数的定义是形式定义,其解析式的特征为①系数为1;②次数为1;③底数a>0且a≠1;④真数只能是自变量x.(2)对数函数解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标,即可确定一个对数函数.2.与对数函数图象相关的知识点(1)如图是对数函数①y=log a x;②y=log b x;③y=log c x;④y=log d x的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是0<a<b<1<c<d.(2)对数函数图象之间的位置关系:在第一象限,图象从左到右,底数由小到大;(3)对数函数图象以y轴为渐近线,进行图象变换时,渐近线也应随之变换;(4)底数互为倒数的对数函数的图象关于x轴对称;(5)画对数函数图象应抓住三个关键点:(1a,-1),(1,0),(a,1).3.与对数函数性质的应用相关联的知识(1)对数类函数的问题求解时要树立定义域优先的意识;(2)比较幂、对数大小的常用方法①单调性法:构造函数,利用其单调性;②中间量法:通过与特殊值比较大小判定结论,常见的有a0=1,log a1=0,log a a=1;③数形结合法.1.函数12log x( D )(A){x|x>0} (B){x|x≥1}(C){x|x≤1} (D){x|0<x≤1}解析:要使得函数12log x12log0,0,xx≥⎧⎪⎨⎪>⎩所以0<x≤1,因此可知函数的定义域为{x|0<x≤1}.选D.2.(2019·天津卷)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( A )(A)a<c<b (B)a<b<c(C)b<c<a (D)c<a<b解析:因为y=log5x是增函数,所以a=log52<log因为y=log0.5x是减函数,所以b=log0.50.2>log0.50.5=1.因为y=0.5x是减函数,所以0.5=0.51<c=0.50.2<0.50=1,即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A.3.函数y=log a(3x-2)(a>0,且a≠1)的图象经过定点A,则A点坐标是( C )(A)(0,23) (B)(23,0)(C)(1,0) (D)(0,1)解析:当3x-2=1,即x=1时,y=log a1=0,故定点A为(1,0).4.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即a b=N⇔b=log a N.现在已知2a=3,3b=4,则ab= .解析:因为2a =3,3b =4, 所以a=log 23,b=log 34,所以ab=log 23·log 34=ln3ln 2×ln 4ln3=ln 4ln 2=2. 答案:25.已知定义域为R 的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,若f(1)<f(lg x),则实数x 的取值范围是 . 解析:因为f(x)是偶函数,并且在区间[0,+∞)上是增函数, 所以f(x)在区间(-∞,0]上是减函数, 所以由f(1)<f(lg x)得|lg x|>1, 所以lg x>1或lg x<-1,所以x>10或0<x<110.所以实数x 的取值范围为{x|x>10或0<x<110}. 答案:{x|x>10或0<x<110}考点一 对数的基本运算[例1] (1)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m+n ; (2)计算26666(1log3)log 2log 18log 4-+⋅;(3)计算(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 解:(1)法一 因为log a 2=m,log a 3=n, 所以a m =2,a n =3,所以a 2m+n =(a m )2·a n =22×3=12. 法二 因为log a 2=m,log a 3=n,所以a 2m+n =(a m )2·a n =(log 2a a)2·log 3a a=22×3=12.(2)原式=266666612log 3log 3log log (63)3log 4-++⋅⨯（）=26666612log3log 3(1log 3)(1log 3)log 4-++-+（）=22666612log 3log 31(log 3)log 4-++-（）=6621log 32log 2-（） =666log 6log 3log 2- =66log 2log 2=1. (3)原式=(lg 2lg3+lg 2lg9)·(lg3lg 4+lg3lg8) =(lg 2lg3+lg 22lg 3)·(lg 32lg 2+lg 33lg 2) =3lg 22lg 3·5lg 36lg 2=54. 在对数运算中, 要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.1.(1)计算log 22的值是 ;(2)计算lg 4+lg 50-lg 2的值是 . 解析:(1)log 2=log 2=log 2 122-=-12. (2)lg 4+lg 50-lg 2=lg(4×50÷2)=lg 100=2. 答案:(1)-12(2)2 2.(2019·杭州市期末检测)设a=log 23,b=log 38,则2a = ;ab= .解析:由a=log 23得2a =3,ab=log 23×log 38=ln3ln 2×ln8ln 3=3ln 2ln 2=3ln 2ln 2=3. 答案:3 3考点二 对数函数的图象及应用[例2] (1)已知函数y=log a (x+b)(a,b 为常数,其中a>0,且a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )(A)a>1,b>1 (B)a>1,0<b<1 (C)0<a<1,b>1 (D)0<a<1,0<b<1(2)设方程10x =|lg(-x)|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) (A)x 1x 2<0 (B)x 1x 2=0 (C)x 1x 2>1 (D)0<x 1x 2<1解析:(1)函数y=log a (x+b)递减,所以0<a<1.同时log (1)0,log 0aa b b +<⎧⎨>⎩⇒11,01,b b +>⎧⎨<<⎩⇒0<b<1,故选D. (2)作出y=10x ,与y=|lg(-x)|的大致图象,如图. 显然x 1<0,x 2<0.不妨设x1<x2,则x1<-1<x2<0,所以110x=lg(-x1),210x=-lg(-x2),此时110x<210x,即lg(-x1)<-lg(-x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故选D.应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)常将一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2018·绍兴市柯桥区二模)若log a2<log b2<0,则( B )(A)0<a<b<1 (B)0<b<a<1(C)a>b>1 (D)b>a>1解析:log a2<log b2<0,所以a,b都小于1,log a2<log b2⇒lg2lg a <lg2lg b⇒lga>lg b⇒a>b,综上0<b<a<1.故选B.2.(2019·温州适应性测试)已知实数a>0,b>0,a≠1,且满足lna 则下列判断正确的是( C )(A)a>b (B)a<b(C)log a b>1 (D)log a b<1解析:由ln b=a =a-a得ln b-a+a=0,设f(x)=ln x-x+x(x>0),则f′(x)=1x -2x-2x x=2(1)2xx x--,则函数f(x)=ln x-x+x在(0,+∞)上单调递减, 且f(1)=0,所以当0<x<1时,ln x-x+x >0,即ln x>x-x;当x>1时,ln x-x+x <0,即ln x<x-x,在平面直角坐标系内画出函数y=ln x与y=x-x的图象如图所示,由图易得若ln b=a =a-a,则0<b<a<1或1<a<b,A,B错误;当a>1时,1<a<b,函数y=log a x为增函数,则log a b>log a a=1,当0<a<1时,0<b<a<1,函数y=log a x为减函数,则log a b>log a a=1,C正确,D错误,故选C.考点三对数函数的性质及应用[例3] 已知函数f(x)=12log(x2-2ax+3).(1)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数?若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.解:(1)由f(-1)=-3,得12log(4+2a)=-3.所以4+2a=8,所以a=2.这时f(x)= 12log (x 2-4x+3),由x 2-4x+3>0, 得x>3或x<1,故函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞). 令g(x)=x 2-4x+3,则g(x)在(-∞,1)上单调递减, 在(3,+∞)上单调递增.又y=12log x 在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1), 单调递减区间是(3,+∞).(2)不存在满足题意的实数a,理由:令h(x)=x 2-2ax+3,要使f(x)在(-∞,2)上为增函数,应使h(x)在(-∞,2)上单调递减,且恒大于0.因此2,(2)0,a h ≥⎧⎨>⎩即2,740,a a ≥⎧⎨->⎩a 无解.所以不存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数.(1)利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的. (2)利用对数性质比较大小的解题策略①能化为同底数的对数值可直接利用其单调性进行判断.②既不同底数,又不同真数的对数值,先引入中间量(如-1,0,1等),再利用对数函数的性质进行比较.③底数不同,真数相同的对数值,可利用函数图象或比较其倒数大小来进行.1.(2018·江苏卷)函数2log 1x -的定义域为 .解析:由20,log 10x x >⎧⎨-≥⎩解得x ≥2,所以函数2log 1x -{x|x≥2}. 答案:{x|x ≥2} 2.函数f(x)=log x log 2(4x)的最小值为 ,此时x 的值是 . 解析:f(x)=log x log 2(4x)=12log 2x ·(2+log 2x),可令log 2x=t,t ∈R,则y=12t ·(2+t)=12t 2+t, 当t=-1时,函数取到最小值为-12, 此时x=12. 答案:-1212考点四 易错辨析[例4] (2018·天津卷)已知a=log 2e,b=ln 2,c=121log 3,则a,b,c 的大小关系为( )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)c>b>a (D)c>a>b 解析:c=121log 3=log 23>log 2e=a>1,即c>a.又b=ln 2=21log e<1<log 2e=a,即a>b. 所以c>a>b.故选D.(1)由于a 与c 既不同“底”又不同“真”,所以无法直接比较大小,造成思维受阻;(2)在利用对数函数的单调性比较大小时因函数的单调性判断错误而致误.1.已知a=2log 3.45,b=4log 3.65,c=3log 0.315（）,则( C )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>a>b解析:c=3log 0.315（）=3log 0.35 =310log 35.法一 在同一坐标系中分别作出函数y=log 2x,y=log 3x,y=log 4x 的大致图象,如图所示.由图象知,log 23.4>log 3103>log 43.6. 由于y=5x 为增函数. 所以2log 3.45>310log 35>4log 3.65.即2log 3.45>3log 0.315（）>4log 3.65,故a>c>b.故选C.法二 因为103<3.4, 所以log 3103<log 33.4<log 23.4. 因为log 43.6<log 44=1,log 3103>log 33=1,所以log 43.6<log 3103.所以log 23.4>log 3103>log 43.6. 由于y=5x为增函数.所以2log 3.45>310log 35>4log 3.65.即2log 3.45>3log 0.315（）>4log 3.65,故a>c>b.故选C.2.(2018·全国Ⅲ卷)设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( B ) (A)a+b<ab<0 (B)ab<a+b<0 (C)a+b<0<ab (D)ab<0<a+b 解析:因为a=log 0.20.3>log 0.21=0, b=log 20.3<log 21=0,所以ab<0.因为a b ab +=1a +1b =log 0.30.2+log 0.32=log 0.30.4,1=log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31=0,所以0<a b ab +<1,所以ab<a+b<0.故选B.类型一 对数的基本运算 1.已知x,y 为正实数,则( D ) (A)2lg x+lg y =2lg x +2lg y (B)2lg(x+y)=2lg x ·2lg y (C)2lg x ·lg y =2lg x +2lg y (D)2lg(xy)=2lg x ·2lg y 解析:2lg x+lg y =2lg x ·2lg y ,选项A 错; 2lg x ·2lg y =2lg x+lg y =2lg(xy),选项B 错; 令x=10,y=10,则2lg x ·lg y =2, 2lg x +2lg y =4,选项C 错.故选D.2.已知函数f(x)=123e 1,2,1log ,2,3x x x x -⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩则f(x)的零点为( A )(A)1,2 (B)1,-2 (C)2,-2 (D)1,2,-2解析:当x<2时,令f(x)=e x-1-1=0, 即e x-1=1,解得x=1满足x<2; 当x ≥2时,令f(x)=log 3213x -=0, 则213x -=1,即x 2=4,得x=-2(舍)或x=2.因此,函数y=f(x)的零点为1,2,故选A.3.已知函数f(x)= 311log (3),2,3,2,x x x x -+-<⎧⎪⎨≥⎪⎩则f(-6)+f(log 312)= ,满足f(x)>3的x 的取值范围是 . 解析:f(-6)=1+log 39=3, 因为log 312>log 39=2, 所以f(log 312)=4; 则f(-6)+f(log 312)=7;当x<2时,1+log 3(3-x)>3,解得x<-6, 当x ≥2时,3x-1>3,解得x>2,所以f(x)>3的x 的取值范围为(-∞,-6)∪(2,+∞). 答案:7 (-∞,-6)∪(2,+∞) 类型二 对数函数的图象及应用4.函数y=2log 4(1-x)的图象大致是( C )解析:函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B; 函数y=2log4(1-x)在定义域上单调递减,排除D.故选C.5.(2019·嘉兴市、丽水市、衢州市高三模拟测试)函数y=ln(x+21x+)·cos 2x的图象可能是( D)解析:设f(x)=y=ln(x+21x+)·cos 2x,则易得函数的定义域为R,且f(-x)=ln[-x+2()1x-+]·cos 2(-x)=ln[2()1x x+-+]·cos2x=-ln(x+21x+)·cos 2x=-f(x),所以函数f(x)=ln(x+21x+)·cos 2x为奇函数,则函数图象关于原点中心对称,排除A,B;f′(x)=22111xx x++++·cos 2x-2ln(x+21x+)·sin 2x=21x+·cos2x-2ln(x+21x+)·sin 2x,f′(0)=1,即函数f(x)=ln(x+21x+)·cos 2x在原点处的切线的斜率为1,不为0,排除C,故选D.6.若不等式(x-1)2<log a x在x∈(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围是.解析:设f 1(x)=(x-1)2,f 2(x)=log a x,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,只需f 1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f 2(x)=log a x 图象的下方. 当0<a<1时,显然不成立; 当a>1时,如图所示,要使x ∈(1,2)时,f 1(x)=(x-1)2的图象在f 2(x)=log a x 的图象下方,只需f 1(2)≤f 2(2),即(2-1)2≤log a 2,即log a 2≥1.所以1<a ≤2,即实数a 的取值范围是(1,2]. 答案:(1,2]7.已知x 1,x 2,x 3分别为方程2x =12log x, 1()2x=log 2x, 1()2x=12log x 的根,则x 1,x 2,x 3的大小关系是 (从小到大排列).解析:作出y=2x ,y=12log x,y=1()2x,y=log 2x 的大致图象,由图象知x 1<x 3<x 2.答案:x 1<x 3<x 2类型三 对数函数的性质及应用 8.(2019·浙江省教育绿色评估联盟)已知a=121()3 ,b=32,c=121log 3,则( C )(A)a>b>c (B)c>a>b(C)a>c>b (D)c>b>a 解析:因为a=121()3-,b=32,c=121log 3=log 23,则a>b,又322<3,则log2322=32<log 23,即b<c;构造函数f(x)=log 2则f ′(x)=1ln 2x 因此函数f(x)在区间(0,4(e2log )2)上单调递增,在区间 (4(e 2log )2,+∞)上单调递减,由f(4)=0,知f(3)<0,即 a>c,故选C.9.函数f(x)=12log (x 2-4x)的单调递减区间是 ;单调递增区间是 .解析:由x 2-4x>0,解得x>4或x<0,即函数定义域为(-∞,0)∪(4,+∞),根据复合函数的单调性知f(x)= 12log (x 2-4x)的单调递减区间是(4,+∞),单调递增区间是(-∞,0). 答案:(4,+∞) (-∞,0) 10.关于函数f(x)=lg 21xx+ (x ≠0),有下列结论: ①其图象关于y 轴对称;②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是lg 2;④f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数. 其中所有正确结论的序号是 . 解析:因为函数f(-x)=lg 2()1x x -+-=lg 21x x+=f(x),所以函数为偶函数,即图象关于y 轴对称,故①正确.因函数y=x+1x 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=|x|+1x在(-∞,-1)和(0,1)上单调递减,在(-1,0)和(1,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数,在区间(-∞,-1)和(0,1)上是减函数,故②错,④正确.因为21x x +=|x|+1x≥=2,所以f(x)≥lg 2,即最小值为lg 2,故③正确. 答案:①③④11.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f(13)=0,则不等式f(18log x)>0的解集为 . 解析:因为函数f(x)是偶函数, 所以f(x)=f(|x|),所以f 18log x)>0⇔f(|18log x|)>f(13). 因为f(x)在[0,+∞)上为增函数, 所以|18log x|>13, 即18log x<-13或18log x>13. 因为18log x=-log 8x=-13log 2x, 所以不等式可转化为log 2x>1或log 2x<-1, 所以x>2或0<x<12. 答案:(0,12)∪(2,+∞) 类型四 易错易误辨析12.若log a 43<2,则a 的取值范围是( D ))(C)(0,1)∪) (D)(0,1)∪,+∞)解析:log a 43<2等价于log a 43<log a a 2,201,43a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩或21,4,3a a >⎧⎪⎨<⎪⎩ 解得0<a<1或故选D.13.已知函数f(x)=|ln(x-1)|,满足f(a)>f(4-a),则实数a 的取值范围是( A ) (A)(1,2) (B)(2,3) (C)(1,3) (D)(2,4)解析:函数f(x)=|ln(x-1)|的定义域为(1,+∞),由f(a)>f(4-a)可得|ln(a-1)|>|ln(4-a-1)|=|ln(3-a)|,两边平方得 [ln(a-1)]2>[ln(3-a)]2⇔[ln(a-1)-ln(3-a)][ln(a-1)+ln(3-a)]>0,则ln(1)ln(3)0,ln(1)ln(3)0,10,30,a a a a a a --->⎧⎪-+->⎪⎨->⎪⎪->⎩① 或ln(1)ln(3)0,ln(1)ln(3)0,10,30,a a a a a a ---<⎧⎪-+-<⎪⎨->⎪⎪->⎩② 解①得a 无解,解②得1<a<2, 所以实数a 的取值范围是(1,2), 故选A.。
对数与对数函数的基础知识梳理
课堂互动讲练
(2)原式＝(llgg23＋llgg29)·(llgg34＋llgg38) ＝(llgg23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32) ＝32llgg23·56llgg32＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg 130600×110 ＝lg6＋2－lg1060＝4； ∴原式＝34.
课堂互动讲练
自我挑战
(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)， 要使f(x)>0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.12分
规律方法总结
1．比较两个对数的大小的基本 方法是构造相应的对数函数，若底 数不相同时，可运用换底公式化为 同底数的对数，还要注意与0比较或 与1比较．
规律方法总结
2．把原函数做变量代换化归为二次 函数，然后用配方法求指定区间上的最 值是求对数函数的常见题型．在给定条 件下，求字母的取值范围也是常见题型， 尤其是与对数函数结合在一起的高考试 题更是屡见不鲜．
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3= aloga12＝12.
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考点二
对数函数的图象
要正确识别函数图象，一是熟 悉各种基本函数的图象，二是把握图 象的性质，根据图象的性质去判断， 如过定点、定义域、值域、单调性、 奇偶性．
函数值分布
1，则 y<0 ； ②当0＜a＜1时：若x＞1，
则 y<0 ；若x＝1，则 y＝0 ；
高考数学一轮复习第二章函数5对数与对数函数课件新人教A版22
则 logax2=2logax1,∴x2=12 ,
又 2logax2=logax1+3,∴2loga12 =logax1+3,∴x1=a,x2=a2.
∵四边形ABCD为正方形,∴|AB|=|BC|,
即x2-x1=(logax1+3)-2logax1,
∴a2-a=2,解得a=2或a=-1(舍去).
2
3
2 lg 2
3
2
=100lg 3-lg 2=100lg =(10 ) =102lg =10
lg
3 2
2
=
4
(2)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg
2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.
3
(3)∵f(x)=logax,∴f(4t)-f(t)=loga4t-logat=loga4=2loga2=3,∴loga2=2,
的底数.
故0<c<d<1<a<b,即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.反函数
y=logax
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数
(a>0,且
y=x
a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线
对称.
-9知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
6
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
2
故选 B.
对数公式及对数函数的总结
对数公式及对数函数的总结对数是数学中的一个重要概念。
如果一个数N可以表示为a的x次方（a>0且a≠1），那么x就是以a为底N的对数，记作x=logaN。
其中a称为底数，N称为真数。
负数和零没有对数。
对数式与指数式可以互相转化：x=logaN等价于ax=N （a>0，a≠1，N>0）。
常用的对数有lgN（即以10为底N的对数）和lnN（即以自然常数e为底N的对数）。
自然常数e≈2..对数函数是指函数y=logax（a>1或0<a<1）的图像。
它的定义域为正实数集，值域为实数集。
对数函数的图像经过点（1,0），在（0，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数。
当x=1时，y=0.对数函数既非奇函数也非偶函数。
对数公式在数学中有广泛的应用。
例如，可以用对数公式计算各种对数值，如log26-log23=2，log212+log25=log=3，等等。
还可以用对数公式来解对数的值，如lg14-2lg7+lg7/lg18-2lg2-(-1)=log0.5，以及2(lg2+lg5)+log3(4/27)的值等。
在第一象限内，a越大图像越靠下，在第四象限内，a越大图像越靠上。
总之，对数及其函数在数学中有着广泛的应用，是不可或缺的数学工具。
4、已知a>b>c，那么a>b>c。
3、设a=log3π，b=log23，c=log32，则a>b>c。
2、如果a>b>logc1，那么B选项___c。
5、如果a>1，且a-x-logaxy。
1、已知函数f(x)=logx，如果f(ab)=1，则f(a)+f(b)=2.6、设函数f(x)={x-1，x<2；2logx-1，x≥2}，那么f(f(2))=2log2-1.7、设函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=1/x；当x<4时，f(x)=f(x+1)，那么f(2+log23)=1/7.参数问题部分无需改写。
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§2.5 对数与对数函数
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．函数y ＝2－x lg x
的定义域是 ( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |0<x <1或1<x <2}
C ．{x |0<x ≤2}
D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}
2．已知0<log a 2<log b 2，则a 、b 的关系是 (
) A ．0<a <b <1 B ．0<b <a <1
C ．b >a >1
D ．a >b >1
3．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则 (
) A ．a <c <b B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．b <a <c
4．已知函数f (x )＝||lg x ，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是 (
) A ．(1，＋∞) B.[)1，＋∞
C ．(2，＋∞) D.[)2，＋∞
5．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，若g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝1
4，则a 等于 (
) A ．－2 B ．－1
2 C.1
2 D ．2
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．已知2
3a ＝49 (a >0)，则32
log a ＝________.
7．已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是________．
8．函数f (x )＝12
log (x 2－2x －3)的单调递增区间是__________．
9．函数y ＝12
log (x 2－6x ＋17)的值域是__________．
10．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋a
x －4，(a >0且a ≠1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是
___ .
三、解答题(共40分)
11．(13分)计算下列各题：
(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40
； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.
12.(13分)已知f (x )＝log a 1＋x 1－x
(a >0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；
(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．
13．(14分)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋
2－3×4x 的最值 及相应的x 的值．
答案
1．D 2．D 3．D 4．C 5．C
6．3 7．m >n 8．(－∞，－1) 9．(－∞，－3] 10．(0,1)∪(1,4]
11．解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54
＝1.
(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2－2lg 2＋1
＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|
＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1.
12．解 (1)∵f (x )＝log a 1＋x 1－x ，需有1＋x
1－x >0，
即(1＋x )(1－x )>0，即(x ＋1)(x －1)<0，∴－1<x <1.
∴函数f (x )的定义域为(－1,1)．
(2)f (x )为奇函数，证明如下：
∵f (－x )＝log a 1－x
1＋x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1
＝－log a 1＋x
1－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．
(3)log a 1＋x
1－x >0 (a >0，a ≠1)，
①当0<a <1时，可得0<1＋x
1－x <1，
解得－1<x <0.又－1<x <1，
则当0<a <1时，f (x )>0的x 的取值范围为(－1,0)． ②当a >1时，可得1＋x
1－x >1，解得0<x <1.
即当a >1时，f (x )>0的x 的取值范围为(0,1)．
综上，使f (x )>0的x 的取值范围是：
a >1时，x ∈(0,1)；0<a <1时，x ∈(－1,0)．
13．解 ∵y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0，
解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1，或x >3}，
f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.
令2x ＝t ，∵x <1或x >3，
∴t >8或0<t <2.
∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝⎛⎭⎫t －2
32＋4
3(t >8或0<t <2)．
由二次函数性质可知：
当0<t <2时，f (t )∈⎝
⎛⎦⎤－4，43， 当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)，
当2x ＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43
. 综上可知：当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43
，无最小值．。