2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第四章 数学建模 建立函数模型解决实际问题
数学建模 建立函数模型解决实际问题课标要求素养要求收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义.通过生活中具体的数学模型，进行提出问题、分析数据、建立模型、检验模型来发展数据分析、数学抽象及数学建模素养.教材知识探究数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.问题 你知道什么是数学建模吗？提示 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题.1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤(1)观察实际情景：对实际问题中的变化过程进行分析；(2)发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系；(3)收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型；(4)选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；(5)求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型；(6)检验模型： 利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.2.数学建模活动的要求(1)组建团队；(2)开展研究报告；(3)撰写研究报告；(4)交流展示.教材拓展补遗[微判断]1.在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据.()2.在用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系.()3.求出函数模型后，还需要利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，从而达到解决问题的目的.( )√√√[微思考]数学建模活动是一个科学的研究过程，科学研究通常要经历哪几个步骤？提示 科学研究通常需要经历四个基本步骤(1)选题；(2)开题；(3)做题；(4)结题.题型一 数学建模主要步骤的探究【例1】 [提出问题]在小傅家门口有一个十字型的交通路口(如图所示)，小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？[建立模型] 此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.(1)每条线路都有往返双向线；(2)设4条路分别为A，B，C，D；(3)以A为起始，①如允许原路调头，则有A→A，A→B，A→C，A→D，②如不允许原路调头，则有A→B，A→C，A→D.[求解模型] 第一步：始线路条数；第二步：终线路条数.①如允许原路调头：则N＝4×4＝16(种)可能；②如不允许原路调头：则N＝4×3＝12(种)可能.[检验结果] 如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况，如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况.【例2】 [提出问题] 两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时.现同时点燃两根蜡烛.一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍.问两根蜡烛燃烧了多长时间？[建立模型] ①设两根蜡烛的长度为l厘米，粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x、y(厘米/小时)，则有y＝l＝3x；②点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，剩余粗、细蜡烛的长度分别为R、r，则R＝3r.【例3】 [提出问题] 李明玩套圈游戏，游戏规则为：套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，李明共套10次，且每个小玩具都至少被套中一次.已知李明共得61分，求其中小鸡被套中过多少次.[建立模型] ①设每次不可能同时套中2个及2个以上的玩具；②为了保证“每个小玩具都至少被套中一次”，可设小鸡、小猴、小狗分别被套中x，y，z次，x，y，z∈N＋，然后解不定方程组.【例4】 [提出问题] 甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人4天的食物和水.如果允许将部分食物存放于途中，问其中1人最远可深入沙漠多少千米？(要求最后两人返回出发点)[建立模型] 要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和水？①经过商议让甲走得更远(最远走4×20＝80(千米)，但回程就没有食物和水了)，需要乙在适当的地点留下足够的食物和水.②第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返，到20千米处再吃1份，第3天走20千米回出发点.③第1天甲20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃1份，第3天走到60千米处吃1份，第4天走到65千米处然后往返，到50千米处吃1份(到此为止甲自带的食物和水已吃完)，第5天走到30千米处吃1份(此处食物和水是乙留下的)，第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点.[求解模型] 所谓“错位推进法”，对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论：其中的一位沙漠探险家最多可深入沙漠65千米.[检验结果] 从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲还可以再往前推进5千米吗？题型二 数学建模活动主要过程的探究【例5】 关于外卖垃圾问题的分析与解决[选题] 餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展.为了满足当今社会快速的生活节奏，“外卖”这一餐饮方式便应运而生.“外卖”这个词是舶来品，原意是离店销售.目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐.外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活.本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论.[开题] 从具体的处理方式考虑.通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方式.而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染.因此，我们想要在不减少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染.而填埋数量与填埋场的体积有关.目前，填埋场的深度基本已达最大.因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更好的可建为填埋场的图形.在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以c为半径的.并假设填埋场形状可以为任意形状.在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后，我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择.因此，在一定的条件下，填埋场建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染.一、固体废物数据的搜集与处理我们通过技术手段(代码见附件)，在知名外卖网站“饿了么”上面定点抓取了一个地区方圆7 500 m左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约32 109条，合计月销量267 305份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了135 655份月销量，并按照一个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算.分类结果如下：外卖网站数据分类结果商品类饭类面类汉堡烤肉饺子菜类饮料汤类型数量34 25812 409 6 41611 420 2 99631 84110 5887 647占比29.23%10.59% 5.47%9.74% 2.56%27.16%9.03% 6.52%根据我们的理想数值，其产生的垃圾如下：网站ele.me理论单月垃圾产生量垃圾种类一次性筷子塑料袋塑料碗锡箔包装纸数量113 496195 355111 254 1 26872 010占比23.00%39.60%22.55%0.26%14.60%根据网络搜集的市场份额与分类算法的处理偏差可以合理计算出附近外卖垃圾的月总量.线上外卖网站理论单月垃圾产生量垃圾种类一次性筷子塑料袋塑料碗锡箔包装纸数量302 656520 947296 677 3 381192 027占比23.00%39.60%22.55%0.26%14.60%根据以上的数据我们可以清楚地看到：①饭类、面类、菜类占比较高，根据本小组的实践，这类外卖都会产生塑料碗、塑料袋、一次性筷子，而这些塑料是最难处理的，当塑料上沾上油的时候，清洗也是件困难的事情.②在这些外卖产生的垃圾中，塑料袋最多，一次性筷子其次，塑料碗也较多.二、固体废弃物处理情况由问题一我们推出的一个区域的废弃物再结合网络上的数据我们可以合理推理：垃圾回收方式占比质量(kg)未处理(kg)填埋(kg)焚烧(kg)回收(kg) 12 077.208 5326.084 629 59 988.455 29940.089 909 6822.578 670 9根据我们在网络上了解的知识：①大部分的塑料都是以填埋的方式处理；②筷子、包装纸等可回收的一般是能回收则回收，但是难以回收的会放弃；③塑料制品一般是填埋.根据以上的信息并结合我们手上的数据，可以猜想：预测垃圾单类回收方法占比垃圾种类一次性筷子塑料袋塑料碗锡箔包装纸质量(kg) 1 513.28 1 041.898 900.3145.64576.08未处理(kg)75.66104.19445.029.5923.04填埋(kg)75.66771.007 743.27 4.1134.56焚烧(kg)15.13125.03356.010.4651.85回收(kg) 1 346.8241.68356.0131.49466.63[做题] 改变填埋场形状以降低污染1.问题分析填埋作为重要的处理方式，可以优化填埋所进行的具体措施来减少污染.我们了解到，填埋的污染主要为土地污染，因此减少土地污染即可.我们通过查找资料得知，填埋对土地的污染大多是以填埋场地为中心，并往四周拓展一定区域，我们假定其是以均匀半径进行拓展.因此可以尝试在同体积的情况下减小其污染的土地.因为目前的填埋场深度基本已达最大深度，所以在此暂不考虑对深度的拓展.假设垃圾填埋场为规则的立体图形.因此要保证同体积的情况下，深度一样，则表面积一样.所以我们的目的便是使在相同的表面积下，什么图形所构成的表面会对土地污染数量最小.2.模型建立我们通过网上的信息了解到，目前的填埋场形状大多为长方形.如图：(周围为污染区)设长为a，宽为b，对四周土地进行污染的半径为c，总污染面积为S.那么S＝ab＋2ac＋2bc＋πc2＝ab＋2c(a＋b)＋πc2(1)圆形在这里为方便，把正方形的图与圆形的图放在一起做对比.(2)正三角形综上所述，目前的填埋场形状为长方形，而我们通过计算得出，圆形实则为更好的一种方案.因此我们可以通过把长方形的填埋场改建为圆形的填埋场，这样可以有效的减少土地污染体积.模型优化成立.[结题] 1.模型优点：A.该模型可以有效的减少土地污染体积；B.该模型不需要耗费大量的人力物力.2.模型缺点：A.该模型没有考虑渗滤液处理区等方面的限制条件；B.该模型只能用于填埋场形状为圆形的填埋场.3.我们了解到填埋是我国目前最重要的垃圾处理方式.而填埋造成的环境污染主要体现在对周围土地的污染.因此我们想在不影响填埋数量的情况下，通过改变填埋场形状来减少对土地的污染.在此模型中，我们采用了枚举法，通过比较不同的形状带来的污染，最后得出结论.在一定的条件下，圆形较好.最后，我们通过调查问卷和数据抓取的方式，得到订外卖的主体为服务业的年轻人.大量的外卖垃圾正威胁着我们的环境，但并非无解决方法.但是，最重要的还是我们自身需建立起环境保护意识，自觉保护环境，维护生态平衡.只有这样，我们才能继续绿色、健康的生存和发展下去.2.模型假设设如下变量：商品价格为C，商品重量为W，单位重量价格为c，商品包装面积为S，生产成本为C1，包装成本为C2，其它成本为C3.3.研究的大体思路、方法与步骤(1)分析商品价格C与商品重量W的关系.价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素.(2)求单位重量价格c与W的关系，可以用简图分析.最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议.4.研究此问题的意义实际生活中，经常会遇到大、小包装的问题，如洗衣粉、洗发水、纯净水等.在选择购买时，可依据下面的数学模型做选择.2.模型解释c－W的简图如图所示：由函数解析式及图象可知单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着W的增加，c的减少幅度减少，当W很大时，则c不再减少，所以说，不要盲目追求大包装商品.[结题] 对于商家，一般来说，小包装商品的利润较高，但成本也相应的增多，所以应该包装大小适宜，在适当情况下，可以尽量生产小包装的商品；对于顾客，在用得完的情况下，尽量买较大的包装，可以节省包装的费用，但是也不能盲目地认为越大包装的商品就越便宜，可能会有其他消耗，如用不完的情况.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法、数学模型解题的过程.在构建模型时 ，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据，再进行分析、建模.下面摘录一些中学生曾经研究过的问题供参考，同学们可根据情况组织团队进行建模活动.自然方面的问题公路上雪的融化速度；都江堰宝瓶口的水有多深；圭表与日晷原理的数学分析；利用灯光促进植物生长的实验；由氢键理论推算冰的密度；从拼图游戏到人类基因组计划；水草治理问题；天体日、月相在旋转点阵屏上运行的数学模型；云南白马雪山地区树木年轮宽度与气候变化的相关性研究；植物叶表粗糙程度与吸附大气颗粒物能力的关系探究；孔雀鱼体色基因类型初步研究.社会方面的问题“110”巡警站的位置安排；公路护栏的改良；防错拨的城市电话号码设置方案；对小区学生择校问题的研究；如何使防护林达到最佳防护效果；保安巡更路线方案及软件流程设计；高峰期学校门前十字路口红绿灯周期时间的设计；利用数码相机测量桥梁裂纹；埙的容积对音高的影响；考试焦虑的影响因素分析；老年人免费乘公交车的社会成本；“梦之队”组建的最优化选择；汉字结构特征及其识别；“月上柳梢头，人约黄昏后”——古诗中的天文学问题；中国古建筑建造中“举折法”屋面曲线猜想；泰森多边形在环境空气监测网络布设中的应用.生活方面的问题流行歌曲的流行趋势分析；地铁站旅客流通情况及优化方案；暖瓶的最佳保温水位；讨论适合拼音输入法的键盘布局；游览卢浮宫的最佳路线；抽取式面巾纸的包装盒优化设计；汽车后视镜的角度分析及安装改进；14款笔记本电脑性价比报告；地区加油站各区域分布数量方案；为数独定难度；太阳能电池板发电设备优化；区域养老院规划；城市周边地区住房入住率估算与分析；碘酸钾碘盐在烹饪食物时碘损失率的研究.结束语 数学建模是一个让纯粹数学家(指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家)变成物理学家、生物学家、经济学家甚至心理学家等等的过程.本节内容结束。
2019-2020学年高一数学人教A版(2019)必修第一册教案：4.5.3 函数模型的应用
第四章指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）4.5.3 函数模型的应用教学设计一、教学目标1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。
2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律。
二、教学重难点1.教学重点应用函数模型解决实际问题的方法与步骤2.教学难点如何选择适当的函数模型分析和解决问题三、教学过程1.新课导入我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画。
面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？2.探索新知学习课本P148例3~例6，理解函数模型的应用，学会建立函数模型解决实际问题。
常见的函数模型：(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2) 二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3) 指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0， b >0且b≠1)(4) 对数函数模型：f(x)＝mlog a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5) 幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数模型：这个模型实质上是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛。
建立函数模型解决问题的基本过程：建立函数模型时,求解函数解析式的方法：(1)待定系数法:已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型,此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数(未知系数)的值,就可以确定函数的解析式。
(2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相对应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数的解析式。
(3)方程法:用x表示自变量或其他相关的量.根据问题的实际意义,运用已掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数的解析式,此种方法形式上和列方程解应用题相仿,故称为方程法,实际上函数的解析式就是含x,y的二元方程。
2019-2020人教A版数学必修1第4章 4.5 4.5.3 函数模型的应用
4.5.3函数模型的应用1．常用函数模型思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()C．指数函数模型D．对数函数模型A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.]2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到() A．300只B．400只C．600只D．700只A[将x＝1，y＝100代入y＝a l o g2(x＋1)得，100＝a l o g2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100l o g2(7＋1)＝300.]3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是() A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)D[由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．]4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．7 [设二次函数y ＝a (x －6)2＋11，又过点(4,7)， 所以a ＝－1，即y ＝－(x －6)2＋11.解y ≥0，得6－11≤x ≤6＋11，所以有营运利润的时间为211.又6<211<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]利用已知函数模型解决实际问题【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12th，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？[解] 先设定半衰期h ，由题意知40－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，解之，得h ＝10，故原式可化简为T －24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，当T ＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10＝864＝18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，∴t ＝30.因此，需要30 min ，可降温到32 ℃.已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.1．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为： P ＝⎩⎨⎧t ＋20(0<t <25)，－t ＋100(25≤t ≤30).(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？[解] 设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800(0<t <25)，t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30).(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．自建确定性函数模型解决实际问题【例2】 牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值．[思路点拨] 畜养率―→空闲率―→y 与x 之间的函数关系――→单调性求最值[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m ，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m (0<x <m )．(2)对原二次函数配方，得y ＝－km (x 2－mx )＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4，即当x ＝m 2时，y 取得最大值km 4.1．(变条件自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.拟合数据构建函数模型解决实际问题[探究问题]1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？ 提示：不一定．2．对于收集的一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x n ，y n )我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．【例3】 某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示：(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？[思路点拨] 描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模 [解] (1)画出散点图，如图所示． (2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧ a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝1.5，b ＝2.5， ∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1， f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．函数拟合与预测的一般步骤： (1)根据原始数据、表格，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线. (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？[解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a ·b x 得： ⎩⎨⎧7.9＝a ·b 70，47.25＝a ·b 160，用计算器算得a ≈2，b ≈1.02. 这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x .将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x 得y ＝2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．1．思考辨析(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．( ) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．( ) (3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．根据日常生活A 、B 、C 、D 四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是()A B C D[答案] B3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝0.957 6x 100B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.957 6100xD ．y ＝1－0.042 4x100A [由题意可知y ＝(95.76%)x 100，即y ＝0.957 6x 100.]4．已知A ，B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km /h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50 k m /h 的速度返回A 地．(1)把汽车离开A 地的距离s 表示为时间t 的函数(从A 地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象． [解] (1)①汽车由A 地到B 地行驶t h 所走的距离s ＝60t (0≤t ≤2.5)． ②汽车在B 地停留1小时，则汽车到A 地的距离s ＝150(2.5＜t ≤3.5)． ③由B 地返回A 地，则汽车到A 地的距离s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t (3.5＜t ≤6.5)．综上，s ＝⎩⎨⎧60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5＜t ≤3.5)，325－50t (3.5＜t ≤6.5)，它的图象如图(1)所示．(1) (2)(2)速度v (km/h)与时间t (h)的函数关系式是v ＝⎩⎨⎧60(0≤t ≤2.5)，0(2.5＜t ≤3.5)，－50(3.5＜t ≤6.5)，它的图象如图(2)所示．。
2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第四章 4.2 4.2.1 4.2.2 第一课时 指数函数及其图象和性质
4.2 指数函数4.2.1 指数函数的概念4.2.2 指数函数的图象和性质第一课时 指数函数及其图象和性质课标要求素养要求1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.2.掌握指数函数的图象及简单性质.3.初步学会运用指数函数来解决问题.1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养.2.通过借助计算工具画出简单指数函数的图象，发展直观想象素养.3.通过指数函数的实际应用，发展数学建模素养.教材知识探究将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？提示 (1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量.1.指数函数的概念注意其特征：系数为1，指数为x，底数a>0且a≠1y=a x(a>0,且a≠1)一般地，函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.2.指数函数的图象和性质结合函数的图象熟记指数函数的性质a>10<a<1图象R（0，+∞）（0,1）01y>1 0<y<10<y<1 y>1增函数减函数3.在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如y＝ka x(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.教材拓展补遗[微判断]1.函数y ＝－2x 是指数函数.()提示 因为指数幂2x 的系数为－1，所以函数y ＝－2x 不是指数函数.2.函数y ＝2x ＋1是指数函数.( )提示 因为指数不是x ，所以函数y ＝2x ＋1不是指数函数.3.函数y ＝(－5)x 是指数函数.( )提示 因为底数小于0，所以函数y ＝(－5)x 不是指数函数.×××[微训练]1.函数y＝2－x的图象是( )答案 B2.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.3.指数函数y＝2x的定义域是________，值域是________.解析 由指数函数y＝2x的图象和性质可知定义域为R，值域为(0，＋∞).答案 R (0，＋∞)[微思考]1.为什么规定指数函数的底数a>0且a≠1?提示 规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1(x∈R)，无研究价值.因此规定y＝a x 中a>0，且a≠1.2.在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？提示 指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限.函数f(x)是指数函数，解析 (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2<0，不是指数函数.答案 (1)B (2)125规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)a x的系数是1.2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.【训练1】 (1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( )A.a＝1或－1B.a＝1C.a＝－1D.a>0且a≠1(2)已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，则函数f(x)的解析式为________.题型二 指数函数的图象和性质【例2】 (1)函数f(x)＝2a x＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.(2)若函数f(x)＝2x＋3，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为________.(3)已知函数y＝3x 的图象，怎样变换(1)解析 因为y＝a x的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(x)＝－1，故f(x)＝2a x＋1－3的图象过定点(－1，－1).答案 (－1，－1)(2)解析 由题意知函数f(x)＝2x＋3在R上是增函数，且x∈[2，3]，所以2x∈[4，8]，故f(x)的值域为[7，11].答案 [7，11]规律方法 处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.【训练2】 (1)函数y＝2|x|的图象是( )(2)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝a x(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.答案 (1)B (2)D (3)m<n…规律方法 指数函数在实际问题中的应用(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.【训练3】 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半.答案 19一、素养落地1.通过指数函数的概念和意义的学习，培养数学抽象素养.通过画指数函数的图象找出图象上的特殊点，提升直观想象素养.通过指数函数的实际应用提升数学建模素养.2.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a>0且a≠1)这一结构形式，即a x的系数是1，指数是x且系数为1.答案 D解析 由题意，设f(x)＝a x(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝4，得a＝2，所以f(x)＝2x.答案 B3.指数函数y＝a x与y＝b x的图象如图所示，则( )A.a<0，b<0B.a<0，b>0C.0<a<1，b>1D.0<a<1，0<b<1解析 结合指数函数图象的特点可知0<a<1，b>1.答案 C答案 A5.函数f(x)＝2·a x－1＋1的图象恒过定点________.解析 令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1，3).答案 (1，3)本节内容结束。
2024春新教材高中数学4.5.3函数模型的应用教学设计新人教A版必修第一册
另外，我在课堂上的引导和提问方式也需要改进。我注意到，在小组讨论的时候，有些学生因为害怕犯错而不愿意发表自己的观点。这让我意识到，作为教师，我需要创造一个更加包容和鼓励探索的学习环境，让学生敢于表达自己的思考，哪怕是不完整的想法。
针对学生的学情分析，本节课的教学重点是让学生掌握函数模型在实际问题中的应用，教学难点是如何将实际问题转化为函数模型。在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对不同学生的特点进行有针对性的指导，帮助他们克服困难，提高解决问题的能力。同时，教师需要设计合理的教学活动，激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习能力。
板书设计：
①函数模型的组成部分
②函数模型的原理
③函数模型的功能
3.函数模型的案例分析
板书设计：
①典型函数模型案例介绍
②案例分析方法
③案例对实际问题的影响
4.学生小组讨论的主题和目标
板书设计：
①小组讨论的主题
②小组讨论的目标
③小组讨论的方法
5.课堂展示与点评的内容和形式
板书设计：
①课堂展示的内容
②点评的形式
在知识方面，学生已经学习了函数的基本概念、性质和图像，对函数有了初步的认识。但是，他们对函数模型在实际问题中的应用还不够了解，需要通过实例来加深理解。在能力方面，学生已经具备了一定的数学思维能力和解决问题的能力，但将这种能力应用到函数模型解决实际问题中还需要进一步的培养。在素质方面，学生的逻辑推理和数据分析能力还有待提高，他们需要通过实际的例子来锻炼这些能力。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数函数模型的应用教案
考点学习目标核心素养指数、对数函数模型在实际问题中的应用会利用已知函数模型解决实际问题数学建模根据实际问题建立函数模型能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题数学建模问题导学预习教材P１４8—P１５４，并思考以下问题：１．一次、二次函数的表达形式分别是什么？２．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？几类常见的函数模型名称解析式条件一次函数模型y＝kx＋b k≠0反比例函数模型y＝错误!＋b k≠0二次函数模型一般式：y＝ax２＋bx＋c顶点式：y＝a错误!错误!＋错误!a≠0指数函y＝b·a x＋c a>0且a≠１，数模型b≠0对数函数模型y＝m log a x＋na>0且a≠１，m≠0幂函数模型y＝ax n＋b a≠0１．某种动物繁殖数量y（单位：只）与时间x（单位：年）的关系式为y＝a log２（x＋１）．若这种动物第１年有１00只，则到第7年它们发展到（）Ａ．３00只Ｂ．４00只C．５00只Ｄ．600只解析：选Ａ．由题意可得a＝１00．当x＝7时，y＝１00log２（7＋１）＝３00．２．某种产品今年的产量是a，如果保持５%的年增长率，那么经过x年（x∈N*），该产品的产量y 满足（）Ａ．y＝a（１＋５%x）Ｂ．y＝a＋５%Ｃ．y＝a（１＋５%）x—１Ｄ．y＝a（１＋５%）x解析：选Ｄ．经过１年，y＝a（１＋５%），经过２年，y＝a（１＋５%）２，…，经过x年，y＝a（１＋５%）x.３．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0．５x＋b，现已知该厂今年１月份、２月份生产该产品分别为１万件、１．５万件，则此厂３月份该产品产量为________．解析：由错误!得错误!所以y＝—２×0．５x＋２，所以３月份产量为y＝—２×0．５３＋２＝１．7５（万件）．答案：１．7５万件指数型函数模型的应用一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的错误!，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的错误!.（１）求每年砍伐面积的百分比；（２）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（３）今后最多还能砍伐多少年？【解】（１）设每年砍伐面积的百分比为x（0<x<１），则a（１—x）１0＝错误!a，即（１—x）１0＝错误!，解得x＝１—错误!错误!.（２）设经过m年后森林剩余面积为原来的错误!，则a（１—x）m＝错误!a，即错误!错误!＝错误!错误!，则错误!＝错误!，解得m＝５．故到今年为止，该森林已砍伐了５年．（３）设从今年开始，最多还能砍伐n年，则n年后剩余面积为错误!a（１—x）n.令错误!a（１—x）n≥错误!a，即（１—x）n≥错误!，则错误!错误!≥错误!错误!，则错误!≤错误!，解得n≤１５．故今后最多还能砍伐．错误!指数函数模型问题的求解策略（１）对于增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N（１＋p）x（其中N是基础数，p为增长率，x为时间）和幂函数模型y＝a（１＋x）n（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解．（２）函数y＝c·a kx（a，c，k为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系为p（t）＝p0e—kt（式中的e 为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量）．过滤１小时后，检测发现污染物的含量减少了错误!.（１）求函数关系式p（t）；（２）要使污染物的含量不超过初始值的错误!，至少还需过滤几个小时？（参考数据：lg ２≈0．３）解：（１）根据题意，得错误!p0＝p0e—k，所以e—k＝错误!，所以p（t）＝p0错误!错误!.（２）由p（t）＝p0错误!错误!≤错误!p0，得错误!错误!≤１0—３，两边取对数并整理得t（１—３lg ２）≥３，所以t≥３0．因此，至少还需过滤３0个小时．对数型函数模型的应用大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝错误!log３错误!，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．（１）当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？（２）某条鲑鱼想把游速提高１m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．【解】（１）由v＝错误!log３错误!可知，当θ＝900时，v＝错误!log３错误!＝错误!log３9＝１（m/s）．所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是１m/s.（２）由v２—v１＝１，即错误!log３错误!—错误!log３错误!＝１，得错误!＝9．所以耗氧量的单位数为原来的9倍．（变问法）若本例条件不变：（１）当一条鲑鱼的耗氧量是8 １00 个单位时，它的游速是多少？（２）求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．解：（１）将θ＝8 １00代入函数解析式，得v＝错误!log３8１＝错误!×４＝２（m/s），所以一条鲑鱼的耗氧量是8 １00个单位时，它的游速是２m/s.（２）令v＝0，得错误!log３错误!＝0，即错误!＝１，则θ＝１00，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为１00个单位．错误!对数函数应用题的基本类型和求解策略（１）基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；（２）求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（米/秒）和燃料的质量M（千克）、火箭（除燃料外）的质量m（千克）的函数关系式是v＝２000·ln错误!.当燃料质量是火箭质量的____________倍时，火箭的最大速度可达１２千米/秒．解析：当v＝１２000米/秒时，２000·ln错误!＝１２000，所以ln错误!＝6，所以错误!＝e6—１．答案：e6—１以图表信息为背景的函数应用题某医院研究开发了一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（单位：μg）与服药后的时间t（单位：h）之间近似满足图中的曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝ka t（t≥１，a>0，且k与a是常数）的图象．（１）写出服药后y关于t的函数关系式；（２）据测定，每毫升血液中含药量不少于２μg时治疗疾病有效，假如某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几时？【解】（１）当0≤t<１时，y＝8t；当t≥１时，将A（１，8），B（２，４错误!）代入y＝ka t，得a＝错误!，k＝8错误!.所以y＝错误!（２）设第一次服药后最迟经过t h第二次服药，依题意有t≥１．所以8错误!×错误!错误!＝２，解得t＝５．因此第二次服药最迟应在第一次服药后５h，即当天上午１１：00服药．错误!解决这类问题的一般步骤：（１）观察图表，捕捉有效信息．（２）对已获信息进行加工，选择适当的函数模型．（３）求函数解析式．（４）进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形．某药材种植基地准备种植某种药材，从历年市场行情可知，从２月１日起的３00天内，该药材的市场售价P（元/千克）与上市时间t（天）的关系可以用如图１所示的一条折线表示，该药材的种植成本Q（元/千克）与上市时间t（天）的关系可以用如图２所示的抛物线表示．（１）写出图１中表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f（t），写出图２中表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g（t）；（２）若市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市该药材的纯收益最大？解：（１）由题图１可得市场售价与上市时间的函数关系式为P＝f（t）＝错误!由题图２可得种植成本与上市时间的函数关系式为Q＝g（t）＝错误!（t—１５0）２＋１00，0≤t≤３00．（２）设从２月１日起的第t天的纯收益为h（t）（元/千克），则由题意，得h（t）＝f（t）—g（t），即h（t）＝错误!当0≤t≤２00时，h（t）＝—错误!（t—５0）２＋１00，所以当t＝５0时，h（t）在区间[0，２00]上取得最大值１00．当２00<t≤３00时，h（t）＝—错误!（t—３５0）２＋１00，所以当t＝３00时，h（t）在区间（２00，３00]上取得最大值87．５．综上可知，当t＝５0时，h （t）取得最大值，最大值为１00，即从２月１日开始的第５0天上市，该药材的纯收益最大，最大纯收益为１00元/千克．１．某市的房价（均价）经过6年时间从１２00元/m２增加到了４800元/m２，则这6年间平均每年的增长率是（）Ａ．600元Ｂ．５0%Ｃ．错误!—１Ｄ．错误!＋１解析：选Ｃ．设6年间平均年增长率为x，则有１２00（１＋x）6＝４800，解得x＝错误!—１．２．在固定电压差（电压为常数）的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为４毫米的电线时，电流强度为３２0安，则电流通过半径为３毫米的电线时，电流强度为（）Ａ．60安Ｂ．２４0安Ｃ．7５安Ｄ．１３５安解析：选Ｄ．由已知，设比例常数为k，则I＝k·r３.由题意，当r＝４时，I＝３２0，故有３２0＝k×４３，解得k＝错误!＝５，所以I＝５r３.故当r＝３时，I＝５×３３＝１３５（安）．故选Ｄ．３．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的１５%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按log５（２A＋１）进行奖励．记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．（１）写出奖金y关于销售利润x的关系式；（２）如果业务员小江获得３．２万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解：（１）由题意知，当0≤x≤8时，y＝0．１５x；当x>8时，y＝8×0．１５＋log５（２x—１５）＝１．２＋log５（２x—１５），所以y＝错误!（２）由题意知１．２＋log５（２x—１５）＝３．２，解得x＝２0．所以，小江的销售利润是２0万元．[A 基础达标]１．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（）Ａ．３１0元Ｂ．３00元Ｃ．２90元Ｄ．２80元解析：选Ｂ．设函数解析式为y＝kx＋b（k≠0），函数图象过点（１，800），（２，１３00），则错误!解得错误!所以y＝５00x＋３00，当x＝0时，y＝３00．所以营销人员没有销售量时的收入是３00元．２．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f（t）的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是（）解析：选Ａ．从题图看出，在时间段[0，t１]，[t１，t２]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t１]时间段内上升慢，在[t１，t２]时间段内上升快，于是下面大，上面小，故选Ａ．３．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了３次涨停（每次上涨１0%），又经历了３次跌停（每次下降１0%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）Ａ．略有亏损Ｂ．略有盈利Ｃ．没有盈利也没有亏损Ｄ．无法判断盈亏情况解析：选Ａ．由题意可得（１＋１0%）３（１—１0%）３＝0．970 ２99≈0．97<１．因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．４．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T１（℃），空气的温度是T0（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式T＝T0＋（T１—T0）e—0．２５t求得．把温度是90 ℃的物体，放在１0 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是５0 ℃，那么t的值约等于（参考数据：ln ３≈１．099，ln ２≈0．69３）（）Ａ．１．78 Ｂ．２．77Ｃ．２．89 Ｄ．４．４0解析：选Ｂ．由题意可知５0＝１0＋（90—１0）·e—0．２５t，整理得e—0．２５t＝错误!，即—0．２５t＝ln 错误!＝—ln ２＝—0．69３，解得t≈２．77．５．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为________．解析：由三角形相似，得错误!＝错误!，得x＝错误!×（２４—y），所以S＝xy＝—错误!（y—１２）２＋１80，故当y＝１２时，S有最大值，此时x＝１５．答案：１５，１２6．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T错误!.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：t（单位时间）0２４68１0A（t）３２２２１60１１80５7A（t）＝________．解析：从题表中数据易知半衰期为４个单位时间，由初始质量为A0＝３２0，则经过时间t的剩余质量为A（t）＝A0·错误!错误!＝３２0·２错误!（t≥0）．答案：４３２0·２错误!（t≥0）7．某种细菌经３0分钟数量变为原来的２倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝e kt，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过５小时，１个细菌通过繁殖个数变为________．解析：由题意知，当t＝错误!时，y＝２，即２＝e错误!k，所以k＝２ln ２，所以y＝e２t ln ２.当t＝５时，y＝e２×５×ln ２＝２１0＝１0２４．即经过５小时，１个细菌通过繁殖个数变为１0２４．答案：２ln ２１0２４8．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v（单位：m/s）可以表示为v＝５log２错误!，其中Q表示燕子的耗氧量．（１）求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；（２）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：（１）当燕子静止时，它的速度v＝0 m/s，代入题中给出的函数关系式，可得0＝５log２错误!，解得Q＝１0，即燕子静止时的耗氧量是１0个单位．（２）将Q＝80代入题中给出的函数关系式，得v＝５log２错误!＝５log２8＝１５，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为１５m/s.9．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝错误!错误!.测得数据如表（部分）（２）求函数f（x）的最大值．解：（１）当0≤x<6时，由题意，设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），由表格数据可得错误!解得错误!所以，当0≤x<6时，f（x）＝—错误!x２＋２x，当x≥6时，f（x）＝错误!错误!.由表格数据可得f（9）＝错误!错误!＝错误!，解得t＝7．所以当x≥6时，f（x）＝错误!错误!，综上，f（x）＝错误!（２）当0≤x<6时，f（x）＝—错误!x２＋２x＝—错误!（x—４）２＋４，所以当x＝４时，函数f（x）的最大值为４；当x≥6时，f（x）＝错误!错误!单调递减，所以f（x）的最大值为f（6）＝错误!错误!＝３．因为４>３，所以函数f（x）的最大值为４．[B 能力提升]１0．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e—kt.已知新丸经过５0天后，体积变为错误!a.若一个新丸体积变为错误!a，则需经过的天数为（）Ａ．１２５Ｂ．１00Ｃ．7５Ｄ．５0解析：选Ｃ．由已知得错误!a＝a·e—５0k，即e—５0k＝错误!＝错误!错误!.所以错误!a＝错误!错误!·a＝（e—５0k）错误!·a＝e—7５k·a，所以t＝7５．１１．某公司对营销人员有如下规定：１年销售额x（万元）在8万元以下，没有奖金；２年销售额x（万元），x∈[8，6４]时，奖金为y万元，且y＝log a x，y∈[３，6]，且年销售额越大，奖金越多；３年销售额x（万元）超过6４万元，按年销售额的１0%发奖金．（１）求奖金y关于x的函数解析式；（２）某营销人员争取年奖金y∈[４，１0]（万元），求年销售额x在什么范围内．解：（１）依题意知y＝log a x在x∈[8，6４]上为增函数，由题意得错误!所以a＝２，所以y＝错误!（２）易知x≥8．当8≤x≤6４时，要使y∈[４，１0]，则４≤log２x≤１0，所以１6≤x≤１0２４，所以１6≤x≤6４．当x＞6４时，要使y∈[４，１0]，则错误!x∈[４，１0]，即４0≤x≤１00，所以6４＜x≤１00．综上，当年销售额x在[１6，１00]（万元）内时，年奖金y∈[４，１0]（万元）．[C 拓展探究]１２．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响，经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）间的关系为P（t）＝P0e—kt（P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数），其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过５h过滤后还剩余90%的污染物．（１）求常数k的值；（２）试计算污染物减少到４0%至少需要多长时间．（精确到１h，参考数据：ln 0．２≈—１．6１，ln 0．３≈—１．２0，ln 0．４≈—0．9２，ln 0．５≈—0．69，ln 0．9≈—0．１１）解：（１）由已知得，当t＝0时，P＝P0；当t＝５时，P＝90%P0.于是有90%P0＝P0e—５k，解得k＝—错误!ln 0．9（或k≈0．0２２）．（２）由（１），知P＝P0e错误!t，当P＝４0%P0时，有0．４P0＝P0e错误!t，解得t＝错误!≈错误!＝错误!≈４２．故污染物减少到４0%至少需要４２小时．。
高一上学期数学人教A版必修第一册第四章数学建模活动课件
突出主要因素，弱化次要因素的影响.
实际问题的活动，可以继续研究不同室温下泡制一 问题4：该实验过程需要用到哪些测量工具？
茶已成为全世界最大众化、最受欢迎、最有益于身心健康的绿色饮料.
我国是茶的故乡，是世界上最早发现茶树、利用茶叶和栽培茶叶的国家，也是茶文化的发源地.
追问：如何保证测量数据的准确性以减少误差？
数据收集
任务1：请同学们课后按照实验流程进行实验， 获取并记录一组数据.
实验数据
时间/min 时间/min
0 85.00
3 71.19
1 79.19
4 68.19
2 74.75
5 65.10
建 立 模 型 问题5：观察散点图，思考两个变量有怎样的变化趋势？
问题4：该实验过程需要用到哪些测量工具？
追问：如何保证测量数据的准确性以减少误差？
两个变量有怎样的变化趋势？ 追问：当时间不断延长，最终茶水会降到什么温度？
茶已成为全世界最大众化、最受欢迎、最有益于身心健康的绿色饮料.
问题8：请同学们结合这五个函数图象与实际数据的吻合情况，思考应该如何选取a的值？
活动1：请同学们小组合作，为获取数据设计实验流程.
杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中 活动2：请同学们小组合作，结合以上探究过程归纳数学建模步骤.
请同学们仿照上述过程开展一次建立模型解决实际问题的活动，可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个：
选择一个： 追问：当时间不断延长，最终茶水会降到什么温度？
4. 估计阅读一本书所需要的时间. 问题5：观察散点图，思考两个变量有怎样的变化趋势？
人教A版高中数学必修第一册第四章4-5-3函数模型的应用课件
定其中的初始量y0和增长率r．
解：(1)由题意可设1950年为t＝0，则y0＝55 196．根据马尔萨斯人口 增长模型，有 67 207＝55 196e9r， 由计算工具得 r≈0.021 876． 因此，用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950～1959年期间的 人口增长模型为 y＝55 196e0.021 876t，t∈[0，9]．
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中 一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润 目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的 利润．于是，只需在区间[10，1 000]上，寻找并验证所选函数是否 满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5； 第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x． 不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通 过具体计算，确认结果．
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行 描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函 数y＝0.4×2x-1(x∈N*)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数， 后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情 况进行分析．
我 们 先 用 信 息 技 术 计 算 一 下 三 种 方 案 所 得 回 报 的 增 长 情 况 ( 表 4.55)．
解：借用信息技术画出函数 y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝ 1.002x的图象(图4.5-8)．观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型 y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模 型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．
2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第四章 章末复习课
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要点回顾
要点聚焦
@《创新设计》
(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下 关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下 到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变 大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.
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要点回顾
要点聚焦
@《创新设计》
【训练4】 已知关于x的方程a·4x＋b·2x＋c＝0(a≠0)，常数a，b同号，b，c异号，则 下列结论中正确的是( ) A.此方程无实根 B.此方程有两个互异的负实根 C.此方程有两个异号实根 D.此方程仅有一个实根
答案 D
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要点回顾
要点聚焦
@《创新设计》
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要点回顾
要点聚焦
@《创新设计》
5.函数零点存在定理 (1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；
②f(a)·f(b)<0， 即f(a)和f(b)的符号相反.这两个条件缺一不可. (2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存 在的，但是不能确定函数零点的个数.
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要点回顾
要点聚焦
@《创新设计》
②法一 (函数单调性法)当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x.
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要点回顾
要点聚焦
@《创新设计》
而f(1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f(1)·f(3)<0，又函 数f(x)的图象是连续的，故由零点存在定理，可得函数f(x)在(1，3)内至少有一个零点. 而函数y＝2x－6在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x) ＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上单调递增.故函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)内有且只有 1个零点.综上，函数f(x)共有2个零点.
人教A版高中数学必修一导学案函数模型的应用实例
§3.2.2 函数模型的应用实例（2）1. 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2. 初步了解对统计数据表的分析与处理.，找出疑惑之处）104106阅读：2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件.这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人.这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测.二、新课导学※典型例题例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.?变式：某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？小结：找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型。
；体重：kg）成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重78kg的在校男生的体重是否正常？小结：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.※动手试试请问(5)T h的T是多少？求出()解析式，并画出图象；（2）如果该同学在早晨8：00时开始工作，什么时候他未工作？练2. 有一批影碟（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台售价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较低？三、总结提升※学习小结1. 有关统计图表的数据分析处理；2. 实际问题中建立函数模型的过程；※知识拓展根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：①一次函数模型：()(0);f x kx b k=+≠②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a=++≠③幂函数模型：12()(0);h x ax b a=+≠④指数函数模型：()xl x ab c=+（0,a b≠＞0，1b≠）※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与溶液深度h的大概图象是（）.2.A ．21y x =-B ．21x y =-C ．21y x =-D ．21.5 2.52y x x =-+ 3. 某企业近几年的年产值如下图：则年增长率（增长率=增长值/原产值）最高的是（ ）. A. 97年 B. 98年 C. 99年 D. 00年4. 某杂志能以每本1.20的价格发行12万本，设定价每提高0.1元，发行量就减少4万本. 则杂志的总销售收入y 万元与其定价x 的函数关系是 .5. 某新型电子产品2002年投产，计划2004年使其成本降低36℅. 则平均每年应降低成本 %.某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？0099989796(年）2004006008001000（万元）。
人教A版高中数学必修第一册第4章4-5-3函数模型的应用课件
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只， 并以平均每年8%的速度增加． (2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式； [解] 由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8% 的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N．
兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的 环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量呈对 数增长．
知识点 常见函数模型
一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型
对数函数模型
幂函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且 a≠1) y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
反思领悟 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么， 限制什么”． 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务． 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因 素为自变量． 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、 不等式等． 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要 使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
3.5
3.8
4
4.16
4.3
4.5
根据表格中的数据画出散点图如下：
(2)利用(4，4)和(8，4.5)这两组数据求出你选择的函数模型的解析式， 并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5百 万个．
发现规律 函数拟合与预测的一般步骤 (1)根据原始数据、表格，绘出散__点__图__． (2)通过观察散点图，画出_拟__合__直__线__或__拟__合__曲__线_． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函__数__关__系__式__． (4)利用_函__数__关__系__式_，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策 和管理提供依据．