4-4向量内积及正交化
合集下载
向量的内积长度及正交性
14
(3) 当 || x || || y || 0时, arcco[sx,y]
||x||||y|| 称为向量 x 与 y 的夹角.
例 求向 (1 ,2 ,2 ,3 量 )T 与 (3 ,1 ,5 ,1 )T 的.夹
解 cos||[||,||] ||
18 3 2 6
2, 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
定理 若n维向量 1,2,,r 是正交向量组, 则 1,2,,r 线性无关.
定理 若n维向量 1,2,,r 是正交向量组, 则 1,2,,r 线性无关.
证明 设1,有 2, ,r使 11 22 r 0
以a1T左乘上式两 ,得端 11T1 0
由 1 1 T 1 ||1 |2 |0 ,从而 1有 0.
同理 2 可 r 得 0 .
故 1,2, ,r线性.无关
3. 正交单位向量组
每个向பைடு நூலகம்都是单位向量的正交向量组.
4. 向量空间的正交基
若 1,2, ,r是向量 V的 空一 间,个 且 1基 ,2, ,r是两两正交组 的 ,则非 称 1,零 2, 向 ,r是 量
向量V 空 的间 正.交基
1 1
(1) 非负性: 当 x = 时, || x ||= 0;当 x 时, || x || 0. (2) 齐次性: || x ||= |||| x || ;
(3) 三角不等式: || x +y || || x || + || y ||; (4) |[ x, y ] | || x || || y ||.
则1,2,3 构成R3的一个正交基.
5. 规范 (标准) 正交基
定义 设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间 Rn)的一个,如 基果 e1,e2,,er两两正交且都是 向量 ,则称 e1,e2,,er是V的一个规范.正交基 例如
(3) 当 || x || || y || 0时, arcco[sx,y]
||x||||y|| 称为向量 x 与 y 的夹角.
例 求向 (1 ,2 ,2 ,3 量 )T 与 (3 ,1 ,5 ,1 )T 的.夹
解 cos||[||,||] ||
18 3 2 6
2, 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
定理 若n维向量 1,2,,r 是正交向量组, 则 1,2,,r 线性无关.
定理 若n维向量 1,2,,r 是正交向量组, 则 1,2,,r 线性无关.
证明 设1,有 2, ,r使 11 22 r 0
以a1T左乘上式两 ,得端 11T1 0
由 1 1 T 1 ||1 |2 |0 ,从而 1有 0.
同理 2 可 r 得 0 .
故 1,2, ,r线性.无关
3. 正交单位向量组
每个向பைடு நூலகம்都是单位向量的正交向量组.
4. 向量空间的正交基
若 1,2, ,r是向量 V的 空一 间,个 且 1基 ,2, ,r是两两正交组 的 ,则非 称 1,零 2, 向 ,r是 量
向量V 空 的间 正.交基
1 1
(1) 非负性: 当 x = 时, || x ||= 0;当 x 时, || x || 0. (2) 齐次性: || x ||= |||| x || ;
(3) 三角不等式: || x +y || || x || + || y ||; (4) |[ x, y ] | || x || || y ||.
则1,2,3 构成R3的一个正交基.
5. 规范 (标准) 正交基
定义 设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间 Rn)的一个,如 基果 e1,e2,,er两两正交且都是 向量 ,则称 e1,e2,,er是V的一个规范.正交基 例如
向量的内积_正交矩阵
= α ′β = β ′α
α = ( α ,α ) = a1 2 + a 2 2 + + a n 2
3 、单位向量： 当 α
=1
时，称α为单位向量
*
将非零向量α单位化： 取向量 α ，
=
1
α
α
(α , β ) = 0 4 、正交： 如果向量α 与β 满足 称 α β
向量 与 正交。
，则
二、主要性质 向量内积的性质： 设 α, β , γ 均为 n 维向量， λ 为实数，则
所以， e1 , e2 , e3 , e4 是 R4 的一组标准正交基
设α1 , α 2 , , α n 是R n的一组基，
利用此组基求 Rn 的一组标准正交基的方法： 步骤一：将 α 1 ,α 2 ,,α n 正交化，得一正交基 施密特（ Schmidt ）正交化法：
( β1 ,α 2 ) 取 β 1 = α 1 , β 2 = α2 − ( β , β ) β1 , 1 1 ( β 1 ,α 3 ) ( β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 ( β1 , β1 ) ( β2, β2 )
即
αi = (αi , αi ) = 1
n维向量组α1 , α 2 , , α m 是R n的一组标准正交基
（1） m=n (α ,α ) = 0 （2）i j
= 1
(i ≠ j) (i = j)
【例】
证明向量组
e1 =
1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 1 1 − , e = , e = , e = 2 3 2 4 2 2 2 0 1 1 0 − 0 2 2 0
第三节：向量的内积与施密特正交化过程
⇔ A =A
T
。
−1
令
α 1T T α 2 A = M T α n
= ( β , β ,L , β ) 1 2 n
由上式不难得到： 为正交矩阵 由上式不难得到：A为正交矩阵
1, i = j 1, ⇔(α ,α ) = ⇔ (βi , β j ) = 0. i ≠ j 0.
T T
都正交的向量集。 都正交的向量集。 解：设与 α1,α2 都正交的向量为
T x = ( x1, x2 , x3 , x4 ) 由 α1T x = 0 α2 x = 0
T
得齐次线性方程组
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 4 = 0
x = k1(−1,0,1,0)T + k2 (−1,0,0,1)T 解得
α1 = (1,0,1)T ,α2 = (1,1,0)T ,α3 = (0,1,1)T 例2 设
正交化过程将其化为标准正交组。 用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 正交化过程将其化为标准正交组 解：取 β1 = α1 = (1, 0,1)T
(α2 , β1 ) 1 1 1T 1 T T β2 = α2 − β1 = (1,1,0) − (1,0,1) = ( ,1, − ) = (1,2, −1)T (β1, β1 ) 2 2 2 2
θ =
π
2
时，称两向量正交。这里显然等价于 称两向量正交。 因此可利用内积定义两向量正交。 (α, β) = 0 因此可利用内积定义两向量正交。 正交， 定义3 定义 若 (α, β ) = 0 称 α , β 正交，记 α ⊥ β 中只要有一个为零向量， α , β 中只要有一个为零向量，必有 (α , β ) = 0 又零向量与任何向量看作是正交的， 又零向量与任何向量看作是正交的，且
第6讲向量的内积与正交化
ATA = E 则称 A 为正交矩阵，简称正交阵。 对正交阵 A 按列自然分块，则有
可得： 定理：方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列(行)向量都 是单位向量，且两两正交。
正交矩阵有如下性质： 1) 若 A 为正交矩阵，则 |A|=1 或 |A|= -1； 2) A为正交矩阵，则 AT=A-1 也为正交矩阵； 3) 若A，B为同阶正交矩阵，则 AB 也为正交矩阵。 定义：若 P 为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换。 性质：正交变换保持线段长度不变。 设 y=Px 为正交变换，则有 由于任意两点的距离均不变，从而正交变换不改变图形的形状， 这是正交变换的优良特性。
(1) (x,y) = (y, x); (2) (kx, y) = k (x, y); (3) (x+y, z) = (x, z)+(y,z); (4) (x, x)≥0，当且仅当 x=0 时, (x,x)=0。 内积还满足施瓦茨(Schwarz)不等式
定义：定义向量
的长度(范数, 模)为
向量的长度具有下述性质： (1) 非负性：当 x≠0 时，|| x ||>0；当 x=0 时，||x||=0； (2) 齐次性： ||k x || = |k| ||x||； (3) 施瓦茨不等式：|(x,y)| ≤ ||x|| ||y||； (4) 三角不等式：||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
正交的
；
，即得 n 个两两正交的
若现已有线性无关的向量组
，也可以构
建一个与之等价的且两两正交的向量组：
以上过程称为施密特(Schimidt)正交化过程。 进一步，可将 单位化（规范化），
对施密特正交化过程，应注意向量组 等价，其中 t=1,…, r
可得： 定理：方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列(行)向量都 是单位向量，且两两正交。
正交矩阵有如下性质： 1) 若 A 为正交矩阵，则 |A|=1 或 |A|= -1； 2) A为正交矩阵，则 AT=A-1 也为正交矩阵； 3) 若A，B为同阶正交矩阵，则 AB 也为正交矩阵。 定义：若 P 为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换。 性质：正交变换保持线段长度不变。 设 y=Px 为正交变换，则有 由于任意两点的距离均不变，从而正交变换不改变图形的形状， 这是正交变换的优良特性。
(1) (x,y) = (y, x); (2) (kx, y) = k (x, y); (3) (x+y, z) = (x, z)+(y,z); (4) (x, x)≥0，当且仅当 x=0 时, (x,x)=0。 内积还满足施瓦茨(Schwarz)不等式
定义：定义向量
的长度(范数, 模)为
向量的长度具有下述性质： (1) 非负性：当 x≠0 时，|| x ||>0；当 x=0 时，||x||=0； (2) 齐次性： ||k x || = |k| ||x||； (3) 施瓦茨不等式：|(x,y)| ≤ ||x|| ||y||； (4) 三角不等式：||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
正交的
；
，即得 n 个两两正交的
若现已有线性无关的向量组
，也可以构
建一个与之等价的且两两正交的向量组：
以上过程称为施密特(Schimidt)正交化过程。 进一步，可将 单位化（规范化），
对施密特正交化过程，应注意向量组 等价，其中 t=1,…, r
向量的内积与施密特正交化过程
向量的内积与施密特正交化过程向量的内积（亦称点积、内积积）是线性代数中非常重要的运算，它是将两个向量映射成一个标量的二元运算。
在内积中，有几个重要的性质和应用。
另一方面，施密特正交化过程是将线性相关的向量组转变为线性无关的正交向量组的过程。
在施密特正交化过程中，我们通过对向量组进行逐步的处理，使新的向量与之前的向量都正交。
一、向量的内积在二维欧几里得空间中，向量的内积定义为：其中，和分别为向量和的坐标。
在三维欧几里得空间中，向量的内积定义为：1.对于任何向量，都有。
2.对于任何向量，都有。
3.对于任何向量和标量，都有。
4.若向量和满足，则称向量和正交，记作。
内积具有许多应用和重要性质，其中之一是通过内积计算向量的模长，即。
内积还可以用于计算两个向量之间的夹角。
对于向量和，，当且仅当和共线时夹角为0，在此情况下,称向量和共线。
施密特正交化过程是将线性相关的向量组转化为线性无关的正交向量组的过程。
施密特正交化过程的基本思想是，通过不断减去之前所有的向量在当前向量上的投影，得到与之前向量正交的新向量。
具体步骤如下：对于给定的向量组，我们希望将其转化为正交向量组。
施密特正交化过程的步骤如下：1.令，即第一个正交向量等于第一个向量。
2.对于向量，对其进行如下处理：a.计算向量在的投影，即。
b.令为向量减去其在上的投影，即。
c.实际得到的向量与垂直，即。
得到向量的长度。
3.对于向量，继续对其进行如上处理。
经过施密特正交化过程，我们最终可以得到单位正交向量组。
如果希望得到标准正交向量组，即长度为1的正交向量组，需要将单位正交向量组进行标准化处理。
施密特正交化过程的关键思想是不断减去之前的向量在当前向量上的投影，得到与之前的向量正交的新向量。
这样可以确保每次得到的新向量都与之前向量组成的空间正交。
施密特正交化过程广泛应用于数值计算中的线性代数问题，例如最小二乘法、特征值问题等。
它的作用是简化计算，提高计算的精度和稳定性。
向量的内积与施密特正交化过程
向量的内积与施密特正交化过程向量的内积是线性代数中重要的概念，它不仅可以表述两个向量之间的夹角关系，还可以用于正交化过程中的计算。
施密特正交化是一种将一组线性无关的向量组转化为一组正交向量组的过程。
本文将分为以下几个部分介绍向量的内积和施密特正交化过程。
一、向量的内积A·B=a1b1+a2b2+...+anbn1.交换律：A·B=B·A2.分配律：(A+B)·C=A·C+B·C3.结合律：k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为实数4.内积为0的充要条件：当且仅当A、B正交（或垂直）时，A·B=0内积具有很多实际应用，比如：1.计算向量的模长：，A，=√(A·A)2. 计算向量之间的夹角：cosθ = (A·B)/(，A，B，)3.判断两个向量是否垂直：当且仅当A·B=0时，A与B垂直4.判断向量的正负性：当A·B>0时，夹角θ为锐角；当A·B<0时，夹角θ为钝角二、施密特正交化施密特正交化是一种将一组线性无关的向量组转化为一组正交向量组的过程。
假设有一组线性无关的向量A1,A2,...,An，施密特正交化的过程如下：1.选择一个向量a1作为正交向量组的第一个向量，令b1=a1/，a1，即单位化。
2.对于第k个向量向量Ak(k=2,3,...,n)，先将它与前k-1个向量的内积计算出来，然后减去它在前k-1个向量的投影：Ak' = Ak - (Ak·b1)b1 - (Ak·b2)b2 - ... - (Ak·bk-1)bk-1其中，bk = Ak'/，Ak'3. 重复步骤2，直到计算完所有向量。
经过施密特正交化，得到一组正交向量组b1,b2,...,bn。
施密特正交化的过程可以通过内积的运算来实现，将向量投影的概念用到了正交化过程中。
向量的内积
[ , ]
0
§4.1 向量的内积
定义4： 、 为任意两个向量，若内积 设
[ , ] 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交. ②
2 , 即 co s 0
.
§4.1 向量的内积
例1. 已知
称 [ , ] 为内积.
注：内积可用矩阵乘积表示为
[ , ] .
T
§4.1 向量的内积
内积的基本性质
1) 2) 3) [ , ] [ , ]; [ k , ] k [ , ]; [ , ] [ , ] [ , ]; [ , ] 0，当且仅当 0 时, [ , ] 0 .
T T
T
化成单位正交的向量组. 解：令 1 1 (1, 1, 1, 1)
2 2
[ 2 , 1 ] [ 1 , 1 ]
T
正交化
1 ( 2 , 2 , 2 , 2 )T
[ 3 , 2 ] [ 2 , 2 ]
3 3
[ 3 , 1 ] [ 1 , 1 ]
4)
§4.1 向量的内积
向量的长度
定义2
( x 1 , x 2 , , x n ) ,
T
[ , ]
x1 x 2 x n ,
2 2 2
称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
1) 2)
0， 0 0 ；
1
2 ( 1, 1, 1, 1)
T
§4.1 向量的内积
向量的内积与正交
使β3 与β1，β2 彼此正交，满足
β3β1 β3, β2 0
即有
β3β1 α3, β1 k1 β1, β1 0
以及
β3β2 α3, β2 k2 β2, β2 0
得
k1
α3 , β1,
β1 β1
,k2
α3 , β2,
β2 β2
于是得
β3
α3
α3 , β1,
1 3
1 21
5 3
1
1 1
1
2 10
那么 β1β2, , βr与 就是与 α1,α2, ,αr 等价的单位正交向量组。
1
例3，a1 1 1
求一组非零向量 α2, α3, 使 α1, α2, α3
两两正交。
解 α2, α3 应满足方程 α1T x 0, 即
x1 x2 x3 0
线性代数
向量的内积与正交
1 向量的内积
2 线性无关向量 组的正交化方法
3 正交阵
内容
向量的内积与正交
定义1 设n 维向量
a1 b1
a2
,
b1
an
b1
令
α, β a1b1 a2b2 anbn
称为向量的内积。
向量的内积是一种运算。如果把向量看成列矩阵，那么向量的内积 可以表示成矩阵的乘积形式
定义2 设有n 维向量
a1
α
=
a1
a1
令
α α, α a12 a22 an2
α 称为n 维向量α 的长度(也称为模或范数)。 向量的长度具有下列性质: （1） α 0,且 α 0当且仅当α 0 （2） kα k α （3） α β α β
性质(1)，(2)是显然的，性质(3)称为三角不等式，这里不予证明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1
1,2,2,3T 与 3,1,5,1T 的夹角. 求向量
18 2 cos 3 26 2
解[ , ] 来自4.3 正交向量组 定义5 当[ x, y] 0时, 称向量x与y正交, 记作x y. 由定义知 若 x 0, 则 x 与任何同维向量正交 , . 定义6 若非零向量构成的向量组中的向量两两正 交,则称 该向量组为正交向量组.
21:48 共23页 5
定理1 若n维向量 1 , 2 , , r 是一正交向量组, 则 1 , 2 , , r 线性无关. 证明 设1 , 2 , , r 使 11 2 2 r r 0. T T 以1 左乘上式两端, 得 1 1 1 0. 由1 0可知 2 T 1 1 1 0, 从而1 0. 同理 2 r 0. 故1 , 2 , , r 线性无关 . 注: 若单位向量组1 , 2 , , r 两两正交, 则称此 向量组为规范正交(向量)组. 例2 : １, 2 , 3为规范正交组, 求|| 4 1 4 2 7 3 || . 解 : || 41 4 2 7 3 ||2 [41 4 2 7 3 ,41 4 2 7 3 ] 16[1 , 1 ] 16[ 2 , 2 ] 49[ 3 , 3 ] 81 所以 || 41 4 2 7 3 || 9.
21:48 共23页 8
1
2
若 1 , , n是向量空间 V的一组规范正交基 , 那么 对任意x V x k1 1 k n n 其中 k i [ x , i ] x T i , i 1, , n. 定义 9 : 设 1 , 2 , , n是向量空间 V的一个基 , 所谓 把 1 , 2 , , n 这个基规范正交化. 就是找V的一个 规范正交基 e1 , e2 , , en , 使其与 1 , 2 , , n等价. 问题: 如何找 e1 , e2 , , en？ 解决方案: 采用所谓施密特(Schmidt)正交单位化方 法分两步进行: 先用施密特正交化将向量组转化为 正交组, 然后将该正交组中向量单位化.
(4 1 0)T 1 (1 2 1)T 5 ( 1 1 1)T 3 3 2(1 0 1)T .
21:48
共23页
12
再把它们单位化, 取 b b1 1 (1 2 1)T , e 2 2 13 ( 1 1 1), e1 6 b2 b1 b3 12 (1 0 1)T . e3 b3 e1 , e2 , e3 即为所求. 例6 : 设1 (1,1,0,1)T , 2 (1,0,1,1)T , 3 ( 2,1,1,0)T , 4 ( 2,1,1,1)T ,向量空间V Span{1 , 2 , 3 , 4 } 求V的一组规范正交基. 解 : 先确定V的一组基, 然后将该组基正交规范 化即 得所求之规范正交基. 由矩阵 1 0 0 1/ 2 A ( 1 2 3 4 ) 初等行变换 0 1 0 1 / 2 / 0 0 1 1 02 0 0 0
[b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br 1 , br 1 ]
[b1 , 3 ] [b , ] b1 2 3 b2 , [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
21:48
共23页
10
1 注: 1.直接计算可知对任意 i j n, [bi , b j ] 0, 因而b1 , , bn确为两两正交向量组. 2.以上得到正交组的方法 称为施密特正交化方法 可以证明向量组 b1 , , bk 与 1 , k 等价(1 k n). 从而 Span{b1 , , bk } Span{ 1 , , k } (1 k n). 3.施密特正交化过程有着明确的几何直观.我们以 三维向量为例 解释如下: 再单位化(规范化): bn b2 b1 e2 即令：e1 en || bn || || b2 || || b1 ||
21:48
共23页
9
具体步骤如下: 先正交化: 设 1 , 2 , , n为向量空间 V的一个基 , 取b1 1 , b , b2 2 1 2 b1 , 令
b1 , b1
b3 3
一般地 对任意r 1 [b , ] [b , ] [b , ] br r 1 r b1 2 r b2 r 1 r br 1 .
1
2
|| || u2 v 2 u u v v , cos cos( 2 1 ) cos 2 cos1 sin 2 sin1 xu yv . 2 2 2 2 x y u v
21:48 共23页 2
x1 y1 x y 定义1 设有 n 维向量 x 2 , y 2 , xn yn x , y x1 y1 x2 y2 xn yn 令 称 x , y 为向量 x 与 y 的内积 . 内积是向量的一种运算, 如果x , y都是列向 说明 量,内积可用矩阵记号表示为 : x , y xT y . 内积的运算性质 其中x, y, z为n维向量, 为实数 : (1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z; (4) , x] 0且[ x, x] 0 x 0. [x
21:48 共23页 7
定义8 设向量 1 , 2 , , n是向量空间V的一组基 , 如果 1 , 2 , , n两两正交且都是单位向 , 则称 量 1 , 2 , , n是 V的一组规范正交基 . 例如 e (1 0 0 0)T , e (0 1 0 0)T ,
2 2 2 x1 x2 xn ,
向量单位化 任何非零向量 都可通过用其长 度去除向量 本身的方法得到一个单 位向量, 这个过程称为向量 的单位化 .
21:48 共23页 4
x 定义4 对于任意两非零向量, y, 定义其夹角为 x, y , . arccos 0 x y
21:48 共23页 3
2 向量的长度及夹角 定义2 令 x x , x
称 x 为 n 维向量 x 的长度 或 范数 . 向量的长度具有下述性质: 1. 非负性 x 0且 x 0 x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y . 4. 对任意n维向量x , y, | [ x , y] ||| x || || y || . 定义3 称长度为1的向量为 单位向量 .
21:48 共23页 13
可知 1 , 2 , 3为向量组 1 , 2 , 3 , 4的极大无关组, 从而为空间V的一组基. 令 1 1 (1 1 0 1)T ; [ 2 , 1 ] 1 1 (1 2 3 1)T , 2 2 [1 , 1 ] 3 [ 3 , 1] [ 3 , 2] 2 T 3 3 1 2 2 1 1 3 , [1 , 1 ] [ 2 , 2 ] 5
21:48 共23页 6
4 规范正交基及其求法 定义7 : 若1 , 2 ,, n是向量空间 的一个基 且 V , 1 , 2 ,, n构成正交向量组则称1 , 2 ,, n为 , 向量空间 的正交基 V . T T 例3 已知 1 (1,1,1) , 2 (1,2,1) 正交,试求 一个3维向量 3使得1 , 2 , 3构成三维空间的一 个正交基. T 解 设 3 x1 , x2 , x3 0, 且分别与1 , 2正交. [ 1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0, 则有 [1 , 3 ] x1 x2 x3 0; 即 [ , ] x 2 x x 0. 2 3 1 2 3 x1 x 3 , x 2 0. 解之得 若令 x 3 1, 则有 3 ( x1 , x2 , x3 )T ( 1,0,1)T .
e1 , , en即为与 1 , , n等价的规范正交基 .
21:48 共23页 11
1 1 4 例5 : 设 a1 2 , a 2 3 , a 3 1 , 试用施 1 1 0 密特正交化过程把这组 向量正交规范化. T 解: 取 b1 a1 (1 2 1) ; 4 [a 2 , b1] T b2 a 2 [b , b ] b1 ( 1 3 1) 6 (1 2 1)T 1 1 5 ( 1 1 1)T ; 3 1 (1[a 32b13 (1a 1b2] ) , ] [) 3 , 4 b3 1 2b 2b ] 1) [b 1) ]6 2 1 a 3 [ , ( b1 ( , b b 1 1 2 2
21:48
共23页
14
4 正交矩阵 定义10 若n阶方阵A满足 AT A I (即A1 AT ), 则称A为 正交矩阵 . 正交矩阵的性质 (1) AT A1 (2) | A | 1或 1 (3) 正交矩阵的积仍为正交矩阵 (4) 正交矩阵的转置矩阵仍为正交矩阵 定理 2 A为正交矩阵的充要条件是A的列(或行) 向量都是单位向量且两两正交． 证明 先考虑列向量的情形
e3 (0 0 1 0)T , e4 (0 0 0 1)T ,
是R4空间中的一组规范正交 . 基 例4 : 验证以下向量组为R 4的一组规范正交基. 1 ( 12 12 0 0)T , 2 ( 12 12 0 0)T , 3 (0 0 12 12 )T , 4 (0 0 12 12 )T . 解 : 直接计算可知 [ i , j ] 0, i j , [ , ] 1, i j . i j 所以 1 , 2 , 3 , 4确为 R 4的一组规范正交基 .
第5节 向量的内积
1,2,2,3T 与 3,1,5,1T 的夹角. 求向量
18 2 cos 3 26 2
解[ , ] 来自4.3 正交向量组 定义5 当[ x, y] 0时, 称向量x与y正交, 记作x y. 由定义知 若 x 0, 则 x 与任何同维向量正交 , . 定义6 若非零向量构成的向量组中的向量两两正 交,则称 该向量组为正交向量组.
21:48 共23页 5
定理1 若n维向量 1 , 2 , , r 是一正交向量组, 则 1 , 2 , , r 线性无关. 证明 设1 , 2 , , r 使 11 2 2 r r 0. T T 以1 左乘上式两端, 得 1 1 1 0. 由1 0可知 2 T 1 1 1 0, 从而1 0. 同理 2 r 0. 故1 , 2 , , r 线性无关 . 注: 若单位向量组1 , 2 , , r 两两正交, 则称此 向量组为规范正交(向量)组. 例2 : １, 2 , 3为规范正交组, 求|| 4 1 4 2 7 3 || . 解 : || 41 4 2 7 3 ||2 [41 4 2 7 3 ,41 4 2 7 3 ] 16[1 , 1 ] 16[ 2 , 2 ] 49[ 3 , 3 ] 81 所以 || 41 4 2 7 3 || 9.
21:48 共23页 8
1
2
若 1 , , n是向量空间 V的一组规范正交基 , 那么 对任意x V x k1 1 k n n 其中 k i [ x , i ] x T i , i 1, , n. 定义 9 : 设 1 , 2 , , n是向量空间 V的一个基 , 所谓 把 1 , 2 , , n 这个基规范正交化. 就是找V的一个 规范正交基 e1 , e2 , , en , 使其与 1 , 2 , , n等价. 问题: 如何找 e1 , e2 , , en？ 解决方案: 采用所谓施密特(Schmidt)正交单位化方 法分两步进行: 先用施密特正交化将向量组转化为 正交组, 然后将该正交组中向量单位化.
(4 1 0)T 1 (1 2 1)T 5 ( 1 1 1)T 3 3 2(1 0 1)T .
21:48
共23页
12
再把它们单位化, 取 b b1 1 (1 2 1)T , e 2 2 13 ( 1 1 1), e1 6 b2 b1 b3 12 (1 0 1)T . e3 b3 e1 , e2 , e3 即为所求. 例6 : 设1 (1,1,0,1)T , 2 (1,0,1,1)T , 3 ( 2,1,1,0)T , 4 ( 2,1,1,1)T ,向量空间V Span{1 , 2 , 3 , 4 } 求V的一组规范正交基. 解 : 先确定V的一组基, 然后将该组基正交规范 化即 得所求之规范正交基. 由矩阵 1 0 0 1/ 2 A ( 1 2 3 4 ) 初等行变换 0 1 0 1 / 2 / 0 0 1 1 02 0 0 0
[b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br 1 , br 1 ]
[b1 , 3 ] [b , ] b1 2 3 b2 , [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
21:48
共23页
10
1 注: 1.直接计算可知对任意 i j n, [bi , b j ] 0, 因而b1 , , bn确为两两正交向量组. 2.以上得到正交组的方法 称为施密特正交化方法 可以证明向量组 b1 , , bk 与 1 , k 等价(1 k n). 从而 Span{b1 , , bk } Span{ 1 , , k } (1 k n). 3.施密特正交化过程有着明确的几何直观.我们以 三维向量为例 解释如下: 再单位化(规范化): bn b2 b1 e2 即令：e1 en || bn || || b2 || || b1 ||
21:48
共23页
9
具体步骤如下: 先正交化: 设 1 , 2 , , n为向量空间 V的一个基 , 取b1 1 , b , b2 2 1 2 b1 , 令
b1 , b1
b3 3
一般地 对任意r 1 [b , ] [b , ] [b , ] br r 1 r b1 2 r b2 r 1 r br 1 .
1
2
|| || u2 v 2 u u v v , cos cos( 2 1 ) cos 2 cos1 sin 2 sin1 xu yv . 2 2 2 2 x y u v
21:48 共23页 2
x1 y1 x y 定义1 设有 n 维向量 x 2 , y 2 , xn yn x , y x1 y1 x2 y2 xn yn 令 称 x , y 为向量 x 与 y 的内积 . 内积是向量的一种运算, 如果x , y都是列向 说明 量,内积可用矩阵记号表示为 : x , y xT y . 内积的运算性质 其中x, y, z为n维向量, 为实数 : (1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z; (4) , x] 0且[ x, x] 0 x 0. [x
21:48 共23页 7
定义8 设向量 1 , 2 , , n是向量空间V的一组基 , 如果 1 , 2 , , n两两正交且都是单位向 , 则称 量 1 , 2 , , n是 V的一组规范正交基 . 例如 e (1 0 0 0)T , e (0 1 0 0)T ,
2 2 2 x1 x2 xn ,
向量单位化 任何非零向量 都可通过用其长 度去除向量 本身的方法得到一个单 位向量, 这个过程称为向量 的单位化 .
21:48 共23页 4
x 定义4 对于任意两非零向量, y, 定义其夹角为 x, y , . arccos 0 x y
21:48 共23页 3
2 向量的长度及夹角 定义2 令 x x , x
称 x 为 n 维向量 x 的长度 或 范数 . 向量的长度具有下述性质: 1. 非负性 x 0且 x 0 x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y . 4. 对任意n维向量x , y, | [ x , y] ||| x || || y || . 定义3 称长度为1的向量为 单位向量 .
21:48 共23页 13
可知 1 , 2 , 3为向量组 1 , 2 , 3 , 4的极大无关组, 从而为空间V的一组基. 令 1 1 (1 1 0 1)T ; [ 2 , 1 ] 1 1 (1 2 3 1)T , 2 2 [1 , 1 ] 3 [ 3 , 1] [ 3 , 2] 2 T 3 3 1 2 2 1 1 3 , [1 , 1 ] [ 2 , 2 ] 5
21:48 共23页 6
4 规范正交基及其求法 定义7 : 若1 , 2 ,, n是向量空间 的一个基 且 V , 1 , 2 ,, n构成正交向量组则称1 , 2 ,, n为 , 向量空间 的正交基 V . T T 例3 已知 1 (1,1,1) , 2 (1,2,1) 正交,试求 一个3维向量 3使得1 , 2 , 3构成三维空间的一 个正交基. T 解 设 3 x1 , x2 , x3 0, 且分别与1 , 2正交. [ 1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0, 则有 [1 , 3 ] x1 x2 x3 0; 即 [ , ] x 2 x x 0. 2 3 1 2 3 x1 x 3 , x 2 0. 解之得 若令 x 3 1, 则有 3 ( x1 , x2 , x3 )T ( 1,0,1)T .
e1 , , en即为与 1 , , n等价的规范正交基 .
21:48 共23页 11
1 1 4 例5 : 设 a1 2 , a 2 3 , a 3 1 , 试用施 1 1 0 密特正交化过程把这组 向量正交规范化. T 解: 取 b1 a1 (1 2 1) ; 4 [a 2 , b1] T b2 a 2 [b , b ] b1 ( 1 3 1) 6 (1 2 1)T 1 1 5 ( 1 1 1)T ; 3 1 (1[a 32b13 (1a 1b2] ) , ] [) 3 , 4 b3 1 2b 2b ] 1) [b 1) ]6 2 1 a 3 [ , ( b1 ( , b b 1 1 2 2
21:48
共23页
14
4 正交矩阵 定义10 若n阶方阵A满足 AT A I (即A1 AT ), 则称A为 正交矩阵 . 正交矩阵的性质 (1) AT A1 (2) | A | 1或 1 (3) 正交矩阵的积仍为正交矩阵 (4) 正交矩阵的转置矩阵仍为正交矩阵 定理 2 A为正交矩阵的充要条件是A的列(或行) 向量都是单位向量且两两正交． 证明 先考虑列向量的情形
e3 (0 0 1 0)T , e4 (0 0 0 1)T ,
是R4空间中的一组规范正交 . 基 例4 : 验证以下向量组为R 4的一组规范正交基. 1 ( 12 12 0 0)T , 2 ( 12 12 0 0)T , 3 (0 0 12 12 )T , 4 (0 0 12 12 )T . 解 : 直接计算可知 [ i , j ] 0, i j , [ , ] 1, i j . i j 所以 1 , 2 , 3 , 4确为 R 4的一组规范正交基 .
第5节 向量的内积