投影与直观图

A
P
B
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
D
C
B
A
D
C
A
B
总结
1. 平行投影的性质; 2.斜二测画法步骤 (1)平面图形的斜二测画法, (2)简单几何体的斜二测画法； 3.坐标系的选取是画直观图的关 键，选取不同的坐标系，画出的 直观图可能不一样.
x
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
2 画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4
cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5 cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
y
F A
M
E D
O'
y'
O
x
B N C
x'
y
F
M
E D
y
A
B
O
x
A
B
F M E
N
O
D
C
x
N
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF D
y
A
B
O
x
A
B
当投射线和投射面成适当的角度或改 变图形相对于投射面的位置时，一个空 间图形在投射面上的平行投影（平面图 形）可以形象地表示这个空间图形。像 这样用来表示空间图形的平面图形，叫 做空间图形的直观图。 依据平行投影的性质画直观图的方法， 国家规定了统一的标准，一种较为简单 的画图标准是斜二侧画法。
一个水平放置的正方形， 如何画出它的直观图呢？
投影与直观图
h'
h' r' O'
l
r O
可以把空间图形画在平面内，使 得既富有立体感，又能表达出图形各 主要部分的位置关系和度量关系．
用来表示空间图形的平面图 形，叫做空间图形的直观图 如何画出一个空间图形 的直观图？
（1） 点的平行投影：已知 图形F，直线l与平面α相交， 过F上任一点M作直线l’平 行于l，交平面α于点M’，则 M’叫做点M在平面α内关于 直线l的平行投影. （2）图形的平行投影：如果图形F上的所 有点在平面α内关于直线l的平行投影构成 图形F’，则F’叫做图形F在α内关于直线l 的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投 射线。
空间几何体的直观图的画法：
1.画几何体的底面： 在已知图形中取互相的 x 轴、 y 轴，两轴相交于点 O ，画直观图时， 把它们画成对应的 x 轴、 y / 轴，两轴相交于点 O ，且使 x/ O/ y / =
/
/
，
已知图形中平行于 x 轴、 y 轴的线段，在直观图中平行于 x 轴、 y / 轴. 已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度 平行于 y 轴的线段，长度变为 2．画几何体的高： 在已知几何体中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z/ 轴， 也垂直于 x/ O/ y/ 平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中 仍平行于 z/ 轴且长度 . . ，
例1 画出水平放置的正三角形的直观图
A
A1
B
O
C
B1
C1
例1.画水平放置的正三角形的直观图.
画法如下: 第一步
在已知的正三角形ABC中,
取AB所在的直线为x轴, 取对称轴CO为y轴.
画对应的x` 轴、y` 轴, 使x`O`y` 450.
第二步 在x`轴上取O`A` OA, O`B` OB, O`C` 1/ 2OC. 第三步
4．与投射面平行的平面图形，它的投影
与这个图形全等； 5．在同一直线或平行直线上，两条线段
平行投影长度的比等于这两条线段长度
的比。
1. 直线的平行投影可能是（ A ） （A）点 （B）线段 （C）射线 （D）曲线
2. 两条不平行的直线，其平行投影不可能 是（ D ） （A）两条平行线. （B）一点和一条直线 （C）两条相交直线 （D）两个点
一个正方形，可用一个平行四边形来
表示它.那么这个平行四边形有什么要求
呢？
y
x o
Y’ X’
O’
探究四
（1）已知图形中的线段与轴平行关系在直观
图中是否改变？
（2）已知图形中与轴平行的线段长度在直观
图中是否改变？
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o 点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使

探究二：
平行于投射面的正方形的平行投影是 什么？
平行于投射面的正方形在平行投影下的投
影形状完全不变，相当于把正方形在平行 光线下“平移”到了地面．
探究二：
2．太阳光线（可看成平行的）照进窗户上，
在地面形成什么图形？
平行投影的性质：
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平 行投影都具有以下性质： 1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段; 2. 平行直线的平行投影是平行或重合的直线； 3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 平行且等长；
F M E
N
O
D
C
x
N
C
y
F
M
E
F
A
B
O
D
x
A
B
E
D
C
N
C
探究五
画空间几何体的直观图，和平面图形比较，
空间几何体多了一个“高”： （1）z轴在已知图形和直观图中位置是否改 变？ （2）在已知图形中与z轴平行的线段在直观 图中平行关系是否改变？ （3）在已知图形中与z轴平行的线段的长度 在直观图中是否改变？
探究一：
问题: 1.如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个 不同位置: (1)铁丝平行于投射面;按如图所示投射线，指出其平 行投影，线段与它的投影的大小关系为 . (2)铁丝倾斜于投射面，按如图所示投射线，指出其 平行投影，线段与它的投影的大小关系为 . (3)铁丝垂直于射影面(铁丝不一定要与投射面有公 共点)，按如图所示投射线，指出其平行投影.
连结A`C `, B`C `, 所得的 三 角形A`B`C ` 就是正三角形ABC的直观图.
变式练习：画出水平放置的正六边形的直观图 (1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x 轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点 O．画对应的x’，y’轴，两轴相交于点O’，使 ∠x’O’y’=45°.
Oy=45 或 ，它确定的平面表示水平平面。 x 135
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画 成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不
变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
小结：“横同，纵半，0 平行性不变” 45
Z
y
D
M
O
Q
C
N
B
A
x
P
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.
3 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
D
Z
B
O
C
Q
A
y
M
D
P
C
N
B
x
A
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图. Z D C y A B Q C D M O N x
/
步骤： 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
例2.画出高与底面边长相等的正三棱柱.
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
1 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,

xOz 90 .

Z
y
O