1.1.4投影与直观图
O
:
ABC 中 ,
B
x
第一步
在已知的正三角形
取 AB 所在的直线为
y`
x 轴 , 取对称轴
x ` 轴、 y ` 轴 , 使
CO 为 y 轴 . 画对应的
使 x `O ` y ` 45 .
0
C`
45
0
A`
O`
B`
x`
第二步
在 x `轴上取 O ` A ` OA , O `B `
OB , O `C ` 1 / 2 OC .
长度不变 ; 平行于 y 轴的线段 , 长度为原来的一半
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圆柱、圆锥和圆台的底 直观图应该画成椭圆
y
面都是圆 .水平放置的圆的
图 1 1 31 .
y`
O
x
O
x`
圆 1 1 31
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投影是光线
投射线 通过物体 , 向选定的面
方法 .
( 投射面 )
投射 , 并在该面上得到图形的
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投影线相互平行的投影 方向是否正对着投影面 图 1 1 21 所示 .
称为 平行投影, 平行投影按投
射
, 可分为 斜投影 和 正投影两种 , 如
.
第一步
作水平放置的正方形的
0
直观图
ABCD , 使 BAD 45 , AB 2 cm , AD 1
C B
D
45
0
cm .
x`
A
第二步
过 A 作 z `轴 , 使 BAz ` 90 .分别 , 在 z `轴及这 AA ` BB ` CC `
0
D` A` B` C`
过点 B , C , D 作 z `轴的平行线 组平行线上分别截取 DD ` 2 cm .
1.2.3 中心投影和平行投影
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皮影戏表演
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皮影戏表演
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手影表演
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在中心投 影 透视 虽然可以显示空间图形的直 观形象 , 但作图方法比较复杂 又不易度量 因此 , , 在立体几何中通常采用 斜投影来画空间图形的 直观图 我们先看两个具体例子 , .
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y
C
例1
画水平放置的正三角形 的
直观图.
画法按如下步骤完成
做 斜二测画法 ( oblique
axonometry
),
1 在空间图形中取互相垂
0
直的 x 轴和 y 轴 , 两轴相交于
0
O点,
再取 z 轴 , 使 xOz 90 , yOz 90 .
2 画直观图时把它们画成
交于 O `, 并使 x `O ` y ` 45 轴所确定的平面表示水
投射线交于一点的投影
投影面 投射线
称为 中心投影 如图 1 1 20 所示 .
投射线 投影
投射中心 投影面
视点
投影
图 1 1 20
中心投影
中心投影形成的直观图 能非常逼真地反映原来 的物体, 因此主要运用于绘画邻 , 也常用来概括地描绘一 域 个结 构或一个产品的外貌 . 由于中心投影的投影中 心、投影 面和物体的相对位置改 变时, 直观图的大小和形状也 将 改变,因此工程制图或技术图 样一般不采用中心投影 ,而 采用平行投影方法 , 中国基础教育研发网（）版权所有
投 射 A 方 向
A` B`
C B
投 射 方 向
A B
C
C`
A` B`
C`
斜投影
平行投影
图 1 1 21
正投影
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平行投影的性质：
• 1、直线或线段的平行投影仍是直线或线段。 • 2、平行直线的平行投影是平行或重合的直线。 • 3、平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且 等长。 • 4、与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图像全 等。 • 5、在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比 等于这两条线段的比。
手影表演
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手影表演
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物体的灯光或日光的照 射下, 就会在地面或墙壁上产 生影 子, 这是一 种自然 现象 .投影 ( project ) 就 是由这类自然现 象抽象出来的.生活中有许多 利用投影的例子如手影表演 . 皮影戏等.
D
C B
第三步
连结 A `B `, B `C `, C `D `, D ` A `, 得到 形直观图 .
A
的图形就是所求的正方
图 1 1 29
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图画好后 擦去补助线 如图1 1 30. , ,
上面画直观图的方法叫 其法则是 :
0
对应的 x `轴、 y `轴和 z `轴 , 它们相
或 135 , x `O `z ` 90
0
0
, x `轴和 y `
平面 .
3 已知图形中平行于
别画成平行于
x 轴、 y 轴或 z 轴的线段 , 在直观图中分 .
x `轴、 y `轴或 z `轴的线段
4 已知图形中平行于
x 轴和 z 轴的线段 , 在直观图中保持原 .
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在中心投 影 透视 中, 水 平 线 或铅直线仍 保 持水平 (或垂直), 但斜的平行线则
会相交, 如左图中的铁轨,
交点称为消点 .在图1 1 282 3 、 中分别有一个和两
个消点 水平(或垂直)线仍保持水平或垂直) . , (
C`
第三步
A` B`
连结 A `C `, B `C `, 所得 的 三 角 ABC 的直观图 .
形 A `B `C `就是正三角形
图 1 1 29
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例2
z` D` A`
y`
画棱长为 cm 正方体的直观图 2 .
解
C` B`
画法按如下步骤完成
• 作业： • P22 第3题和第4题
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原创1：1.1.4 投影与直观图（讲授式）
D′
C′
y
画空间几何体的直观图的步骤简记为：
横（轴）竖（轴）不变，纵（轴）减半.
A′
B′
D
Q
C
M
O
A
P
N
B
x
新课讲授
例题5
空间几何体的直观图的画法的应用
如图，已知几何体的三视图，用斜
二测画法画出它的直观图．
[分析]
由几何体的三视图知道，
这个几何体是一个简单组合体，
它的下部是一个圆台，上部是一个圆锥，
与这条线段平行且等长
③平行于投射面的线段，它的投影___________________________；
与这个图形全等
④与投射面平行的平面图形，它的投影________________________；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于
这两条线段的比
_____________________．
过F上任一点M作直线MM′平行于l，交平面α于点M′
________________________________________________，
则点M′叫做点M的在平面α内关于直线l的平行投影(或
象)．如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行
投影构成图形F′，则F′叫做图形F在α内关于直线l的
D
F
图(1) B′
G′
C′
E′
O′
F′ D′
图(2)
H′
x′
典例精析
例题3
一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四
边形的面积等于(
A.
解：
水平放置的平面图形的直观图的画法的应用
1[1].1.4投影与直观图
![1[1].1.4投影与直观图](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/d73fed8a02d276a200292e12.webp)
三、平行投影的性质
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有下列性质. 1 、直线或线段的平行投影仍是直线或线段. 2、平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
3、平行于投射面的线段，它的平行投影与这条线段平行且等长. 4、与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等. 5、在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
L
F
L
A
B
C F’
A’
B’
C’
练习1：下列说法是否正确？
（2） 两条相交直线的平行投影可能平行. （×） (3) 互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂 直.
（1）水平放置的正方形的平行投影可能是梯形. （×）
（×）
（4）等腰三角形的水平放置的平行投影仍是等腰 三角形. （×） 思考：当图形中直线或线段平行于投射线时，它 的平行投影是什么图形？
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在 直观图中分别画成平行于 x ' 轴 y '轴或 z '轴的线段； （4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观 图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原 来的一半.
练习、画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的
长方体的直观图.
D1
z'
C1
y'
O
D
x
规则：
（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、 oy,再取oz轴，使∠xoy=900，且∠xoz=900 ；
（2）画直观图时，把它们画成对应的 o' x' , o' y' , o' z ' 轴，使 x' o' y' 450 或135 0 , x' o' z ' 90 0. x' o' y' 所确定 的平面表示水平平面；
课件4：1.1.4 投影与直观图
3．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图 中的( )
[解析] 由直观图可知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形， 且梯形两腰不能与底垂直． [答案] A
题型一 水平放置平面图形直观图画法
例1 用斜二测画法画正五边形的直观图． [解] (1)建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示 的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°；
题型二 与直观图有关的计算问题
例 2 如图，正方形 OABC 的边长为 1，它是水平放置的一个
平面图形的直观图，则原图形的面积是( )
A．2 2
B．1
C. 2
D．2(1＋ 2)
[解析] 根据原图形中平行于x轴或x轴上的线段长度不变，原图形
中平行于y轴或y轴上的线段长度减半，由直观图可知，原图形为
(3)已知图形中，平行于x轴、y轴、z轴的线段，在直观图中，分 别画成___平__行__于__x_′轴__、__y_′_轴__、__z′_轴__的__线__段______，并使它们和所画 坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系 ___相__同___． (4)已知图形中，平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度保持 __不__变____，平行于y轴的线段长度为__原__来__的__一__半___． (5)画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴就得到了空间图形的直 观图．
(3)成图．连接PA′、PB′、PC′、PD′、PE′、PF′，并擦去x′轴、y′轴、 z′轴，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(图3)．
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点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′，则F′叫做图形F在α内
关于直线l的__平__行__投__影__．平面α叫做__投__射__面__，l叫做_投__射__线___．
数学：1.1.4《投影与直观图》.
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8
中心投影
投影面
中心投影形成的直观图能非常逼真地反映 原来的物体,因此主要运用于绘画领域.
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M
F
平行投影的性质：
l
M'
F'
1、直线或线段的平行投影 仍是直线或线段。 2、平行直线的平行投影是平行或重合的直线。 3、平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 平行且等长。 4、与投射面平行的平面图形，它的投影 与这个图 形全等。 5、在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影 的比 等于这两条线段的比。
2画直观图时把它们画成对应的 x`轴、y`轴和z`轴,它们相
交于O`, 并使x`O`y` 450 或 1350 , x`O`z ` 900 , x`轴和 y` 轴所确定的平面表示水平面 .
3已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段, 在直观图中分
别画成平行于x`轴、y`轴或z `轴的线段.
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思考3:用灯泡照射一个与投射面平行的不透明物体， 在投射面上形成的影子与原物体的形状、大小有什 么关系？
光源
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7
思考4:用手电筒照射一个与投射面平行的不透明 物体，在投射面上形成的影子与原物体的形状、 大小有什么关系？
1 MN= MN .以点N 为中心,画BC平行于x轴, 2 并且等于BC;再以M为中心,画EF平行于x轴, 并且等于EF.
y
F
M
E D
C
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y
A
F M E
N C
A
课件2：1.1.4 投影与直观图
y
y'
O
x
y
O'
y'
x'
O
x O'
x'
变式2：用斜二测法画出水平放置的任意三角形直观图
y
y'
O
x
O'
x'
总结：
平行于 x 轴的线段，仍平行 x，轴，且长度不变 平行于 y 轴的线段，仍平行 y’ 轴，且长度变为原来的0.5
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是5cm、4cm、 3cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.
1.1.4 投影与直观图
请看下面几个常见的自然现象,考虑它们是怎样得到的?
这种现象我们把它称为是投影.
一、投影的概念 在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做
投影．其中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕 叫做投影面．
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角 度的平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影.
斜投影：投射线 倾斜于投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方便， 在作图中应用最广泛．
斜投影在实际中用得比较少，其特点是直观性强，但作图比 较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一种 辅助图样．
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.
1.正投影：投影线与投影面垂直 2.斜投影：投影线与投影面斜交
中心投影后的图形与原图形相比，虽然 改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉 效果一致，最象原来的物体．所以在绘画时， 经常使用这种方法，但在立体几何中很少用 中心投影原理来画图．
三、平行投影
如果将投影中心移到无穷远处，则所有的投影线都相互平 行，这种投射线为平行线时的投影称为平行投影．
教学设计1：1.1.4 投影与直观图
1．1．4 投影与直观图三维目标1．知识与技能(1)了解中心投影和平行投影的原理．(2)会用斜二测画法画水平放置的平面图形以及空间几何体的直观图．(3)会画简单空间几何组合体的直观图．2．过程与方法学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．3．情感、态度与价值观：(1)提高空间想象力与直观感受．(2)体会对比在学习中的作用．(3)感受几何作图在生产活动中的应用．重点、难点重点：(1)中心投影、平行投影的概念与特点；(2)水平放置的平面图形直观图画法．难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图．重难点突破：通过动画演示投影的形成过程，使学生直观、生动地感悟，使抽象问题具体化，加速学生对投影概念的理解．通过变换投影点及物体的摆放位置，让学生明确：同一物体的投影会随着投影光线或者物体摆放的变换不断地发生变化；不同物体的投影也不一定不相同．以学生熟知的水平放置的平面图形的直观图为切入点，先让学生观察直观图与平面图的区别与联系，发现共同点，总结规律，教师适时点拨，引导学生切实理解“斜”和“二测”的含义，并通过典例训练加深对直观图画法的理解，重点得以突破．在此基础上，通过正方体直观图的画法，总结用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤，在此过程中让学生体会平面图形直观图和空间几何体直观图的画法的联系与区别，从而难点得以化解．教学建议由于本节知识具有由抽象到具体再到抽象、空间思维难度较大的特点，建议采用直观教学法、启导发现法进行讲解．以多媒体播放手影表演、皮影戏的动画为切入点，激发学生的学习兴趣，引出投影的概念．在此基础上，画出空间几何体的直观图是学好立体几何的前提和基础，是解决学生识图难及画图难的关键，故本节课在整个立体几何教学中有着不可替代的作用．鉴于本节知识的特点，教学时可以大胆放手让学生通过自主的学习进行归纳总结，教师在此过程中适时引导和点拨．如在平面图形直观图的画法中，给学生指出确定坐标系的关键性；引导学生发现平面图形的直观图的画法其实质是确定点位置的画法；在从平面图形的直观图过渡到空间几何体的直观图中，要引导学生进行对比学习；最后通过例题及练习辅助教学，澄清学生学习本节知识的疑难点，提升学生的认知能力．知识梳理1．平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：(1)直线或线段的平行投影仍是______或______；(2)平行直线的平行投影是______或______的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段________且________；(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形________；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比________这两条线段的比．2．斜二测画法运用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，主要步骤如下：(1)在已知图形中取水平平面，作相互垂直的轴__________，使∠xOy＝90°；(2)画直观图时，把轴Ox，Oy画成对应的轴____________，使____________(或135°)，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；(3)已知图形中，平行于______轴、______轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴．并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．(4)已知图形中，平行于______轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于______轴的线段，长度变为原来的一半．(5)画图完成后，擦去作为轴助线的坐标轴，就得到了水平放置的平面图形的直观图．3．中心投影一个__________把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．知识点1 投影的概念【问题导思】请同学们看下面几个常见的自然现象，考虑它们是怎样得到的？【提示】光照射到手上，在墙上(或屏幕上)留下的影子．1．投影的概念(1)定义：由于光的照射，在物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影．(2)投影线：．(3)投影面：．2．投影的分类(1)中心投影：光由向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于．(2)平行投影：在一束光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的是平行的．例1 下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3规律方法总结1．考察一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．2．平行投影需注意图形、投射线、投射面之间的位置关系，位置发生改变，一般情况下投影也会改变．3．中心投影与人的视觉效果一致，解题时可结合生活实际作出判断．变式训练1 如图1－1－32所示，这是圆桌正上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成的阴影(圆形)的示意图．已知桌面的直径为1.2 m，桌面距离地面1 m，若灯泡距离地面3 m，则地面上阴影部分的面积为________．(忽略桌脚)图1－1－32知识点2 斜二测画法【问题导思】正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？【提示】没有都画成正方形．1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则2．立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度，其他同平面图形的画法.例2 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．【思路探究】画轴―→画底面―→画顶点―→成图规律方法总结1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”变式训练2 画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)例3 如图1－1－33，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．图1－1－33【思路探究】解答本题可先由斜二测画法的逆步骤来作，先确定点，再连线画出原图．解答本题过程中容易把OB或AB画成O′B′或A′B′的2倍而造成错误．由直观图恢复到平面图形时应注意角度的改变、平行性不变、长度的变化，关键是点的确定．变式训练3 (2013·临沂高一检测)直观图(如图1－1－34)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为 2 cm，则在xOy坐标中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.图1－1－34课堂小结1．理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所形成的影子，研究两者的不同之处．另应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直线或线段不平行于投影线的情况．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.作业设计一、选择题1．下列命题正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的投影可能平行D ．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 2．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍然相等； ③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行． 其中正确的有( )A ．①②B ．①④C ．③④D ．①③④3．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cm4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A ．12＋22B ．1＋22C．1＋ 2 D．2＋2二、填空题7．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．三、解答题10．试画出底面边长为1．2 cm，高为1．5 cm的正四棱锥的直观图．11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．能力提升12．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．反思感悟1．直观图与原图形的关系斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系，在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍． 2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．答案知识梳理1．(1)直线 线段 (2)平行 重合 (3)平行 等长 (4)全等 (5)等于2．(1)Ox ，Oy (2)O ′x ′，O ′y ′ ∠x ′O ′y ′＝45° (3)x y (4)x y 3．点光源知识点1 （1）不透明 影子 （2）光线 （3）留下影子的屏幕例1【自主解答】 平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．故3种说法都正确．故选D 。
第一章 1.1.4 投影与直观图
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规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
基础知识梳理
课堂互动讲练
思维误区警示
第 一 章 立 体 几 何 初 步
法二：(1)如图(3)所示，以BC边所在的直 线为y轴， 以BC边上的高AO所在的直线为x轴．
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规律方法总结
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
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1．平行投影 (1)有关概念 ①点的平行投影 如右图，已知图形F、直线l与平面α相 交，过F上任一点M作直线MM′平行于l ，交 平面α于点M′，则点M′叫做点M在平面α内关 于直线l的平行投影(或象)．
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
2．直观图 (1)空间图形的直观图：用来表示空间图 形的平面图形，叫做空间图形的直观图． (2)斜二测画法：一种画直观图的方法， 其规则是： ①在已知图形中建立直角坐标系xOy， 画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两 轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的 平面表示 水平 平面；
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
(2) 画 下 底 面 ， 在 xOy 平 面 上 画 △ABC 的直观图， 3 3 在 y 轴上量取 OC＝ cm， OD＝ 3 6 cm. 过 D 作 AB∥x 轴，且 AB＝2 cm， 以 D 为中点，则△ABC 为下底面三角形 的直观图．
课件3：1.1.4 投影与直观图
学习目标
1.了解中心投影和平行投影的概念.(重点) 2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤. (重点) 3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体 的直观图.(重点) 4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图.(难点)
知识梳理 教材整理1 投影的概念 1.投影的概念 (1)定义：由于光的照射，在 不透明 物体后面的屏幕上 可以留下这个物体的 影子，这种现象叫做投影. (2)投影线：光线 . (3)投影面：留下影子的屏幕 .
知识梳理
3.立体图形直观图的画法 画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′ 垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变 .其他同 平面图形的画法.
预习自测 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行. () (2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴. () (3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变. ()
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(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，
在y′轴上截取O′A′＝12AO＝
3 4
cm，连接A′B′，A′C′，则
△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图.
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3.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系 xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它 的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.
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【解析】 画出直观图，BC 对应 B′C′，且 B′C′＝1，
∠B′C′x′＝45°，故顶点
B′到
x′轴的距离为
题型探究
【解析】 其中②可以是四边形BFD1E在正方体的面 ABCD或在面A1B1C1D1上的投影. ③可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影. 【答案】 ②③
课件7：1.1.4 投影与直观图
【解析】对于 A，矩形的平行投影可以是线段、矩形、 平行四边形，主要与矩形的放置及投影面的位置有关；同理， 对于 B，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于 C，平行 投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D 正 确．
【答案】D
2．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是( ) A．原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x′轴， 且长度不变 B．原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y′轴，长 度变为原来的12 C．画与直角坐标系 xOy 对应的 x′O′y′时， ∠x′O′y′必须是 45° D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
(3)连接 AB，BC，则△ABC 即为△A′B′C′原来的图形，如图②.
规律方法 解答本题过程中容易把 OB 或 AB 画成 O′B′或 A′B′的 2 倍
而造成错误．由直观图恢复到平面图形时应注意角度的改变、 平行性不变、长度的变化，关键是点的确定．
变式训练 直观图(如图 1－1－34)中，四边形 O′A′B′C′为菱
＝45°(或 135°)，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面：根据 x′轴，y′轴，画正六边形的直观图 ABCDEF.
(3)画侧棱：过 A、B、C、D、E、F 各点分别作 z′轴的平 行线，在这些平行线上分别截取 AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、 FF′都等于侧棱长 2 cm.
(4)成图：顺次连接 A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理 (去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的 直观图．
【解析】画直角坐标系对应的 x′O′y′时，∠x′O′y′可以是 45°也可以为 135°.
【答案】C
3．如图 1－1－36 所示是水平放置的三角形的直观图，
1.1.4投影和直观图
2.下列说法正确的是_______. ①直线或线段的平行投影仍为直线或线段； ②与投影面平行的平面图形,其平行投影与这个图形一定全等； ③平行四边形的平行投影可能是矩形； ④如果一条长为2米的线段,其平行投影为1米,则长为10米的线 段,其平行投影的长为5米.
3.在正方体ABCD-A′B′C′D′中， E，F分别是A′A，C′C的中点，则 下列判断正确的是_______. ①四边形BFD′E在平面ABCD内的平 行投影是正方形(投影线BB′)； ②四边形BFD′E在平面A′D′DA内的平行投影是菱形(投影线
分 类 中 心 投 影
定义
图示
一个点光源把一个图形照射到 影子 一个平面上，这个图形的_____ 就是它在这个平面上的中心投 影.
2.平行投影的性质(当直线与线段不平行于投影线时)
直线或线段 （1）直线或线段的平行投影仍为___________.
平 行 投 影 的 性 （2）平行直线的平行投影是平行或重合的 ____________直线. （3）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 平行且等长 ____________. （4）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个 全等 图形______. （5）在同一直线或平行线上，两条线段平行投
1.1.4 投影与直观图
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1.了解中心投影、平行投影的主要特征和关系. 2.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图. 3.通过观察，用两种方法(平行投影与中心投影)画出直观图， 了解空间图形的不同表示形式.
1.投影的分类及概念 分类 定义 图示
已知图形F，直线l与平面α 相交，过 任意一点 作直线MM′______ 平行于 l， F上__________M 交平面α 于点M′，则点M′叫做点M 在平面α 内关于直线l的平行投影(或 平行 象). 投影 所有点 在平面α 内关 如果图形F上的_______ 于直线l的平行投影构成图形F′，则 F′叫做图形F在α 内关于直线l的平 行投影.