高考数学 10.2投影与直观图的画法

10.2 投影与直观图的画法【知识网络】1、投影，中心投影和平行投影的相关概念，并注意区分中心投影和平行投影。

2、简单组合图形三视图的画法,由三视图想象实物模型,并画模型草图。

3、用斜二测画法画直观图，掌握作图规则，了解平面图形的直观图与空间图形直观图的区别与联系。

4、掌握简单几何体的三视图、直观图之间的相互转化，了解正投影主要用于绘制三视图，中心投影主要用于绘画，斜投影主要用来作几何体的直观图。

【典型例题】（）（B）（C）答案：C。

解析：由斜二测画法规则知。

（2）如图所示，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④答案：A 。

解析：由三视图的画法知。

（3）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为（）A．π34B．π38C．π316D．π332答案：C。

解析：由三视图知该几何体是底面半径为1。

（4）水平放置的△ABC的斜二测直观图如下图⑴所示，已知2,3=''=''CBCA，则AB边上中线的实际长度为。

答案：2.5。

解析：根据直观图的画法规则易求。

（5）如上图⑵所示，用中心投影法作正方体ABCD—A1B1C1D1的透视图中，若只有一个消点S，且3211=BBCC，则=CDDC11。

答案：1。

解析：由中心投影法的定义知。

x'x'例2：在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？答案: 这些正方体货箱的个数为7个例3：（1）如下图⑴所示，已知△ABC 在一个平面内的直观图是△C B A '''，则△ABC 的BC 边上的中线在这个平面内的直观图的作法是 。

⑴ ⑵（2）如上图⑵所示，现有一水平放置的边长为1的正方形D C B A ''''，其中对角线C A ''在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积。

答案:（1）取C B ''的中点M '，连结M A ''即可。

（2）解：四边形ABCD 的真实图形如图所示。

∵C A ''在水平位置，D C B A ''''为正方形，∴在四边形ABCD 中，DA ⊥AC ，且DA=2,22=''==''C A AC A D 。

∴22=⋅=AD AC S ABCD 四边形。

例4：一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； （Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组拼？试证明你的结论； （Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱CC 1的中点为E, 求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面 角的余弦值.答案： 解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的 正方形，高为CC 1=6，故所求体积是 7266312=⨯⨯=V（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体， 其拼法如图2所示.证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的 正方形，于是D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立（Ⅲ）方法一：设B 1E ，BC 的延长线交于点G ，A 'B 'C ''D 'BA C D 正视图 侧视图俯视图 ABCDC 1图1AB CDD 1 A 1 B 1 C 1 图2连结GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ， 连结HB 1，则B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与 平面ABC 所成二面角或其补角的平面角. 在R t △ABG 中，180=AG ，则512180126=⨯=BH ，5182121=+=BB BH H B ， 32cos 11==∠HB HB HB B ，故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±. 方法二：以C 为原点，CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E （0，0，3），B 1（0，6，6），A （6，6，0）. 设向量n =（x ，y ，z ），满足n ⊥1EB ，n ⊥1AB ，于是⎩⎨⎧=+-=+066036z x z y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==z y zx 21.取z =2，得n =（2，-1，2）. 又=1BB （0，0，6），321812||||,cos 111==>=<BB n BB n 故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±. 【课内练习】1．一个圆柱随位置放置不同其主视图可能发生变化，但不可能是下面的那一个？（ ） A ．长方形 B. 圆 C. 正方形 D.三角形 答案: D 。

2．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形。

以上结论，正确的个数是 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 答案：B 。

解析：①②正确。

3．下列说法错误的是 （ ） A 、正投影主要用于绘制三视图 B 、在中心投影中，平行线会相交 C 、斜二测画法是采用斜投影作图的 D 、在中心投影中最多只有一个消点 答案：D 。

解析：在中心投影中可以有多个消点。

4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为_______。

答案：2和32。

5．一个几何体的三个视图都是全等的正方形，则这个几何体是_______;一个几何体的三视图都是半径相等的圆，则这个几何体是_______.答案:正方体；球。

主视图 俯视图左视图6．在用斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图时，若∠A 的两边平行于x 轴、y 轴且 ∠A=90°，则在直观图中，∠A=________。

答案：45°或135°。

解析：根据斜二测画法规则知。

7．一个物体的三视图是下面三个图形，该物体的名称为________.答案:长方体。

8．一个几何体的主视图和左视图如图所示，它是什么几何体？请补画这个几何体的俯视图.答案: 三棱柱9．画出水平放置的正六边形的直观图。

答案：解如图所示 乙 丙（1）在已知正六边形ABCDEF 中，取对角线AD 所在直线为x 轴，取对称轴GH 为y 轴，画对应x '轴、y '轴，使∠='''y O x 45°。

（2）以点O '为中点，在x '轴取AD D A =''，在y '轴上取GH H G 21=''，以点H '为中点画E F ''平行于x '轴，并等于FE ；再以G '为中点画C B ''平行于x '轴，并等于BC 。

（3）连结A F E D D C B A '''''''',,,，所得的六边形F E D C B A ''''''就是正六边形ABCDEF 的直观图。

10．下图是一个容器的三视图，认真观察，说明它是由哪几种基本几何体组合而成的，并根据图中数据计算该容器上下两部分的容积.主视图 左视图主视图 左视图 俯视图'x B 'A 'C 'F 'E 'D '俯视图答案:该容器是由一个圆锥，一个圆台，一个圆柱组合而成的)(431233132cm V ππ=⋅⋅⋅=）（圆锥，)(164232cm V ππ=⋅⋅=圆柱【作业本】A 组1．下面是一个物体的三视图，该物体是所给结果中的（ ）A.正方体B.长方体C.圆锥D.四棱锥答案:D2．在用斜二测画法画水平放置图形的直观图时，下面的说法正确的是 （ ） A 、水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B 、两条相交直线的直观图可能是平行直线 C 、互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 D 、平行四边形的直观图仍是平行四边形 答案：D 。

解析：由斜二测画法规则可知。

0.5cm主视图左视图俯视图3．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图 和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值 分别为（ ）A ．9与13B ．7与10C ．10与16D ．10与15 答案：C 。

4．如图⑴所示，正四面体D —ABC （四个面是全等的等边三角形，每个顶点在底面的投影是这个等边三角形的中心），S 为AD 的中点，Q 为BC 上异于中点和端点的任一点，则△SQD 在四个面的射影可能是 （把你认为正确的序号都填上，正四面体及在四个面的射影如图⑵所示，射影为①②③④中阴影部分三角形）。

① ② ③ ④ ⑴ ⑵ 答案：②③。

5．棱长为1cm 的小正方体组成如图所示的几何体， 那么这个几何体的表面积是 2cm 答案：36cm 2。

6．四面体PABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，则P 在平面ABC 的正投影是△ABC 的 。

答案：垂心。

7．找出与下列几何体对应的三视图，在三视图的横线上填上对应的序号．答案：解：（3），（4），（6），（1），（8），（5），（2），（7）．8．一个几何体的三视图如图所示：其中，正视图中△ABC 的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，请画出该几何体的直观图，并求出它的体积.。

主视图 俯视图A BC D Q S 俯视图 侧视图B 组1．如图一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图是全等的等腰直角三角形，且直角边的边长为1，那么这个几何体的体积等于 A ．241 B ．121C ．61D ．31答案：C 。

解析：该几何体是三条棱两两互相垂直，交于一点且棱长为1的三棱锥，故16V =。

2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A 、2221+B 、221+ C 、21+ D 、22+答案：D 。