投影与直观图
投影与直观图直观图
例题解析
例4 画棱长为2cm的正方体的直观图.
z
A
/
/
D
/
C
B
/
/
D A
/
/
C
B/
/
y/
D A B x/
C
A
D B
C
（1）先作一个正三角形
（2）然后以BC所在直线为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系， 画对应的x‘、y’轴，使夹角为45°画直观图时与x轴平行的线段长 度保持不变，与y轴平行的线段程度变为 原来的一半
4．与投射面平行的平面图形，它的投影
与这个图形全等； 5．在同一直线或平行直线上，两条线段
平行投影长度的比等于这两条线段长度
的比。
想一想
1.如何将一个直立放置的平面图形画在纸上?
2. 将一个水平放置的平面图形
画在纸上,怎样画才有立体感呢? (立体图形)
感受立体图
归纳总结
直观图: 表示空间图形的平面图形，
叫做空间图形的直观图.
如何画空间图形的直观图?
斜二测画法
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o 点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使
x Oy=45 或135 ，它确定的平面表示水平平面。
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画 成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不
变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
小结：“横同，纵半， 450 平行性不变”
例题解析
例1 画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图．
例题解析
例1 画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图．
投影与直观图
A
P
B
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
D
C
B
A
D
C
A
B
总结
1. 平行投影的性质; 2.斜二测画法步骤 (1)平面图形的斜二测画法, (2)简单几何体的斜二测画法； 3.坐标系的选取是画直观图的关 键，选取不同的坐标系，画出的 直观图可能不一样.
x
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
2 画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4
cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5 cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
y
F A
M
E D
O'
y'
O
x
B N C
x'
y
F
M
E D
y
A
B
O
x
A
B
F M E
N
O
D
C
x
N
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF D
y
A
B
O
x
A
B
当投射线和投射面成适当的角度或改 变图形相对于投射面的位置时，一个空 间图形在投射面上的平行投影（平面图 形）可以形象地表示这个空间图形。像 这样用来表示空间图形的平面图形，叫 做空间图形的直观图。 依据平行投影的性质画直观图的方法， 国家规定了统一的标准，一种较为简单 的画图标准是斜二侧画法。
投影与直观图
一、平行投影
1、点的平行投影
点M′叫做点M在平面内关于直线l的平行投影(或象)
M I
M’
一、平行投影
2、图形的平行投影
如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构 成图形F′，则F′叫做图形F在平面内关于直线l的平行投影
I 投射线 斜投影 投射面
一、平行投影
正投影
二、平行投影的性质
问题1：直线或线段的平行投影是什么图形？ 1.当直线或线段不平 行于投射线时，直线 或线段的平行投影仍 是直线或线段 2.当直线或线段平行 于投射线时，直线或 线段的平行投影是一 个点
第二步 在x`轴上取O`A` OA, O`B` OB, O`C ` 1 / 2OC. 第三步 连结A`C`, B`C`, 所得 的 三 角 形A`B`C`就是正三角形 ABC的直观图.
A`
O`C`B` x`源自A`B`图1 1 29
例2：画水平放置的正六边形的直观图 思考：如何画出正六棱柱的直观图？
y D C D′ A
O
y′ C′
B x
A′
B′
x′
平面图形的直观图画法
（1）画轴.
y
y’
o
x
o’
( 450或1350 )
x’
（2）确定平行线段. 平行x轴的线段平行于x’ 轴 平行y轴的线段平行于y’ 轴
（3）确定线段长度. 平行x轴的线段的长度保持不变.
确定点位置的画法: 在斜坐标系里横坐 标保持不变,纵坐 标变为原来的一半.
二、平行投影的性质
问题4：平行于投射面的图形的平行投影是什么 图形，具有什么性质？ 与原图全等
二、平行投影的性质
问题5：当图形中的直线或线段不平行于投射线时, 在同一直线（或平行直线）上的两条线段，它们 的平行投影的比还等于原来这两条线段的比吗？ 投影比等于原线段比 A B C C’
高中数学必修二教案-1.1.4 投影与直观图1-人教B版
（2）已知图形中的线段与三个
坐标轴平行关系在直观图中是
否改变？
（3）已知图形中与三个坐标轴
平行的线段长度在直观图中是
否改变？
教
学
过
程
总结斜二测画法的步骤
例题:
画长、宽、高分别为4cm、3cm、
2cm的长方体的直观图.
独立画图
用手机投屏，将学
生在画图中出现
的问题一一指出思考与发现
1．画边长为2cm正方形水平放
置的直观图？
2．试画出边长为4cm的正三角
形的水平直观图
会做出平面图形的直观
图，并求出直观图面积
总结面积比公式
3.水平放置的△ABC的斜二测直
观图如图所示,已知A′C′
=3,B′C′=2,则AB边上的中线
的实际长度为( )
能将直观图还原
实际图形
课堂小结
本课感悟
布置作业。
1.1.4 投影与直观图
张喜林制1.1.4 投影与直观图考点知识清单1．如图1-1-4 -1所示，已知图形F ，直线L 和平面α．过F 上任意一点M 作直线MM /平行于L ，交平面α于点M /，则点M ’叫做点M 在平面α内关于直线Z 的 (或 )．如果图形F 上的所有点在平面α 内关于直线L 的平行投影构成图形,/F 则/F 叫做图形F 在α内关于直线L 的____，平面α叫做____，L 叫做____2．用来表示空间图形的平面图形，叫做____，空间图形的直观图的画法标准是 ． 3．一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的要点核心解读1．平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有下列性质：(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段； (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；(3)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长，图1-1-4 -2中，;//,//////CD D C AB B A(4)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，如图1-1-4 -3所示，事实上，如果线段AB 在平面α内关于直线L 的平行投影是AB （如图1-1-4 -3所示），点M 在AB 上，且.::n m MB AM =，则点M 的平行投影M 在AB 上，由平行线分线段成比例定理得.::////n m B M M A =2．空间图形的直观圈的画法(1)空间图形的直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． (2)斜二测画法：一种画直观图的方法，其规则是：①在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox 、Oy ，再取Oz 轴，使;90,90o yOz xOz =∠=∠②画直观图时，把它们画成对应的轴,//////z O y O x O 、、使 45///=∠y O x （或//////,90),135y O x z O x =∠所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于茹轴、y 轴或=轴的线段，在直观图中分别画成平行于/x //z y 轴或轴、轴的线段； ④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半．(3)正等测画法．正等测画法的依据也是平行投影，不过这时投影线和人的视线平行，并且投影线与投影面垂直，它一般用于画圆、圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体． 3．中心投影与平行投影的区别与联系中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法，但应注意的是：(1)画实际效果图时，一般用中心投影法，如人的视觉、照片、美术作品等都具有中心投影的特点； (2)中心投影和平行投影的区别在于：平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线交于同一点，如图1-1_4 -4所示；(3)中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括斜二测画法和下节将要学习的三视图，经中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体；(4)画实际效果图时，一般用中心投影法；匦立体几何中的图形时，一般用平行投影法．典例分类剖析考点1 平行投影的性质 命题规律（1） 平行投影的性质：平行且等长．（2） 平行投影与实际间距相结合，[例1] 有两根木棒AB 、CD 在同一平面上竖立着，其中AB 这根木棒在太阳光下的影子如图1-1-4-5中的BE ，则CD 这根木棒的影子DF 应如何画？[解析] 要解决此题首先要知道这两个物体都是竖直立在地面上的，而且是由于太阳光即平行光照射，则可连接AE ，过点C 作CF 平行于AE ，作DF//BE ，交点为F ，则DF 即为所求CD 的影子． [答案]如图1-1-4 -6所示，画法：(1)连接AE ；，(2)过点C 作CF//AE ； (31)过点D 作DF ∥BE ，交CF 于点F ，则DF 即为所求CD 的影子．（点拨]平行投影中，光线是平行光线，若物体是互相平行的，则影子也互相平行． 母题迁移1．画出在图1-1-4 -7中沿S 方向向下平行四边形在平板内的投影．考点2斜二测画法 命题规律（1）利用斜二测画法画出直观图．（2）将直观图还原。
投影与直观图
投影与直观图一、学习目标1、初步了解空间平行投影和中心投影的原理，初步了解平行投影的性质。
2、了解空间图形的不同表示形式，会运用斜二则画法的规则画出水平放置的简单空间图形的直观图。
二、课前预习1、平行投影的定义在一束光线照射下形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投射线是的2、平行投影的性质（1）直线或线段的平行投影仍是或（2）平行直线的平行投影是或的直线。
（3）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段（4）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形（5）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比这两条线段的比。
3、直观图（1）定义：用来表示空间图形的平面图形叫做（2）画直观图的标准是（3）斜二则画法画直观图的规则是：4、中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是他在这个平面上的。
三、预习检测1、判断题（1）矩形的平行投影一定是矩形。
（2）梯形的平行投影一定是梯形。
（3）两条相交直线的投影可能平行。
（4）平行四边形的平行投影可能是正方形。
（5）正方形的平行投影一定是菱形。
（6）如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线。
2、用斜二则画法画出水平放置的正方形和等边三角形的直观图。
四、典型例题例一、画水平放置的正六边形的直观图变式训练：已知正三角形ABC 的边长为a ，那么三角形ABC 的直观图三角形111A B C 的面积是（ ）Ａ 24a Ｂ 28a Ｃ 28a Ｄ 216a 例二、直观图还原图形一个四边形的直观图是一个底角为45 ，腰和上边长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积。
变式训练：一个四边形的直观图是一个边长为1的正方形则原图形的周长为（ ）Ａ 6 Ｂ 8 Ｃ 2+ Ｄ 2+五 、随堂检测1、若线段AB 平行于投影面，O 是AB 上一点，且AO ：OB=m:n ，则点O 的平行投影分线段AB 的平行投影的长度之比为2、已知三角形的平面直观图为边长为a 的正三角形，那么原三角形的面积为3、下列命题中正确的是（ ）A 等腰三角形的直观图仍为等腰三角形。
5投影与直观图
远 近 高 低 各 不 同
横 看 成 岭 侧 成 峰
题 西 林 壁
苏 轼
欣赏了庐山美景，同学们认为庐山怎样？ 横看成岭侧成峰 诗中这句话揭示了深刻的道理？ 你能用自己的话说说对它的理解吗？ 同桌互相讨论，交流。 在生活中我们应从不同角度，多方面地 去看待一件事物，分析一件事情。 在这首诗中诗人通过文字语言形象生动 地描述了庐山美景，在我们现实生活中为 了精确地描述出一个物体的形状，除了文 字语言外，还有没有更好的办法？
1 M N = MN .以点N 为中心, 画B C 平行于x轴, 2 并且等于B C ; 再以M 为中心, 画E F 平行于x轴, 并且等于E F.
y
y
F
M
E
A
F M E
N C
A
B
O
D
C
x
B
O
D
x
N
斜二测画法的关键:
3 连接A B , D , F , A , C E F 并擦去辅助线x轴和y轴, (1)尽量使用对称关系建系；
C1
y'
A1 D M A P Q
B1 C N B
o'
x'
二、中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平
面上，这个图形的影子就是它在这个平面的中心投影. 注意：投射线交于一点. A
B C B’
D D’ C’
平行投影
一、投影
斜投影
中心投影
A
B C
D
正投影
投射线的方向垂直于 投影面且彼此平行
工程图样一般都是采用正投影
根据直观图的画法规则，怎么画出正六棱锥？
Z SC
O
D
x
投影与直观图斜二测画法.ppt
A
M
B
A’
M’
B’
练习：下列说法是否正确？
（1）正方形的平行投影可能是梯形. （×）
（2） 两条相交直线的平行投影可能平行（. ×）
（3）互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂
直.
（×）
（4）等腰三角形的平行投影仍是等腰三角形.
（×）
二.斜二测画法
1. 直观图
当投射线和投射面成适当的角度或改变图 形相对于投射面的位置时，一个空间图形在 投射面上的平行投影（平面图形）可以形象 地表示这个空间图形。像这样用来表示空间 图形的平面图形，叫做空间图形的直观图。
（1） 直线或线段的平行投影仍是直线或线段.
（2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
（3）平行于投射面的线段，它的 平行投影与这条线段平行且等长.
（4）与投射面平行的平面图形， 它的投影与这个图形全等.
F F’
一.平行投影
（5）在同一直线或平行直线上，两条线段的平 行投影线段的长度比等于这两条线段的长度比.
三、概念形成
相关概念 在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点 的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度。人们把这 个弧长叫做两点的球面距离。
B
A O
三、概念形成
概念4.组合体 我们观察周围的物体，除了柱、锥、台、球等基 本几何体外，还有大量的几何体是由柱、锥、台、 球等基本几何体组合而成的。这些几何体叫做组 合体。
四、应用举例
例3.填空：
（1）用一张4×8（cm2）的矩形硬纸卷成圆柱的侧
面，接头忽略不计，则轴截面面积是
。
（2）圆台的两底半径分别为2cm和5cm，母线长为
53cm1，0c则m 它的轴截面面积是 28
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y
C
例 画水平放置的正三角形 的 . 直观图
B
x
A
O
画法按如下步骤完成 : 第一步 在已知的正三角形ABC中,
y`
C` A`
O`
取AB所在的直线为x轴, 取对称轴 CO为y轴. 画对应的 x` 轴、y` 轴, 使 使∠x`O`y`= .
第二步 在x`轴上取O`A`= OA, O`B`= OB, O`C `= / OC.
所示 .
投射中心 投影面
视点
投影
图 − −
中心投影
能非常逼真地反映原来 的物体 , 中心投影形成的直观图 因此主要运用于绘画邻 , 也常用来概括地描绘一 域 个结 . 构或一个产品的外貌 由于中心投影的投影中 、投影 心 面和物体的相对位置改 ,直观图的大小和形状也 变时 将 , ,而 改变因此工程制图或技术图 样一般不采用中心投影 , 采用平行投影方法
再取 z轴, 使∠xOz =
( )画直观图时把它们画成对应的 x`轴、y`轴和z`轴,它们相
, yOz =
.
交于O`, 并使∠x`O`y`= 或 轴所确定的平面表示水平面 .
(
), ∠x`O`z`=
, x`轴和 y`
( )已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段, 在直观图中分
别画成平行于x`轴、y`轴或z `轴的线段 .
D
45 0
C B x`
A
⇓
D` A` B` C`
D A B
C
第三步 连结A`B`, B`C `, C `D`, D`A`, 得到 的图形就是所求的正方形直观图.
图 − −
, , 图画好后擦去补助线如图 − −
.
上面画直观图的方法叫做 斜二测画法(oblique axonometry ), 其法则是 : ( )在空间图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴, 两轴相交于O点,
投影与直观图
皮影戏表演
皮影戏表演
手影表演
手影表演
手影表演
射下 物体的灯光或日光的照 , 生影 就会在地面或墙壁上产 , 子 这是一种自然现象.投影 ( project) 就 是由这类自然现 . 象抽象出来的生活中有许多 利用投影的例子 .如手影表演 . 皮影戏等
投影是光线 ( 投射线)通过物体,向选定的面( 投射面) 投射, 并在该面上得到图形的方法 .
( )已知图形中平行于x轴和z轴的线段, 在直观图中保持原
长度不变; 平行于y轴的线段, 长度为原来的一半.
圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆.水平放置的圆的 直观图应该画成椭圆 (图 − −
y y`
).
O
x
⇒
O
x`
圆 − −
投射线交于一点的投影称为中心投影 如图 − −
投影面 投射线 投射线 投影
•
投影线相互平行的投影称为 平行投影, 平行投影按投 射 方向是否正对着投影面, 可分为斜投影和正投影 两种, 如 图 − − 所示 .
投 射 A 方 向
A`
B`
C
B
投 射 方 向
A
B
C
C`
A`
C`
B`
斜投影
平Hale Waihona Puke 投影图 − −正投影
平行投影的性质： 平行投影的性质：
1、直线或线段的平行投影仍是直线或线段。 2、平行直线的平行投影是平行或重合的直线。 3、平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长。 4、与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图像全等。 5、在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这 两条线段的比。
B` x`
C` A` B`
第三步 连结A`C `, B`C `, 所得 的 三 角 形A`B`C `就是正三角形ABC的直观图.
图 − −
例
z`
D` A`
. 画棱长为 cm正方体的直观图
解 画法按如下步骤完成 .
C`
B`
y`
第一步 作水平放置的正方形的直观图 ABCD, 使∠BAD = , AB = cm, AD = cm. 第二步 过A作z `轴, 使∠BAz `= .分别 过点B, C , D作z `轴的平行线, 在z `轴及这 组平行线上分别截取 AA`= BB`= CC `= DD`= cm.
, 在中心投影(透视)中水平 ) 线(或铅直线仍保 持水平 (或垂直 但斜的平行线则 ), , ) 会相交 (如左图中的铁轨, 交点称为 消点.在图 − − ( )、)中分别有一个和两 ( , ( ) ( ) 个消点水平 或垂直线仍保持水平或垂直 . 在中心投影(透视)虽然可以 显示空间图形的直 , , 观形象, 但作图方法比较复杂又不易度量因此 在立体几何中通常采用 斜投影来画空间图形的 , . 直观图我们先看两个具体例子