投影与直观图(斜二测画法)资料
斜二测画法PPT课件
竖直方向上的长度也不变。
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例2已知斜二测画法所得的直观图是正三角形画出原三角形的图形抓住关键点作图下列图形表示水平放置图形的直观图请画出它们原来的图形正确地画图对理解概念解决问题培养空间想象能力是十分重要的
一、已知平面图形画直观图
例１、画出正方形，等腰梯形、直角梯形
y的直观图
y
o
x o
x
建系原则：抓住直角性质
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y
y
o
x o
x
建系原则：抓住对称性质
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y
y
o
x o
x
建系原则：抓住直角性质
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问题1、 高变为原来的多少？ 长度变没变？ 面积变化如何?
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二、已知直观图画平面图形
例２、已知斜二测画法所得的直观图是正三
角形，画出原三y角形的图形yA 抓住关键点 作图
A
o B C
x o B C
x
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变式： 下列图形表示水平放置图形的直观图， 请画出它们原来的图形
y'
y'
பைடு நூலகம்
45
O' x'
135
O'
x'
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三、应用
y
A
b
o aB
S 1 ab 2
y
b A
2
1.1.5三视图
课题 1.1.4投影与直观图课型主备人李冬旭上课教师李冬旭上课时间学习目标1、了解表示空间图形的投影方法原理2、掌握斜二测画法3、了解中心投影方法教学重点掌握斜二测画法教学难点正确的把握斜二测画法的要点以及选择放置直观图的角度教师准备教学过程时间分配集备修正一、投影法物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。
人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。
如图1—1所示，以不在投影面上的定点S为投影中心，由S射出投影线，该投影线通过空间点A与投影面P相交于点ɑ，点ɑ就是空间点A在投影面P上的投影。
同理，点b则是空间点B在投影面P上的投影。
这种使物体在投影面上产生图像的方法叫投影法。
工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样。
二、投影法分类1.中心投影法投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法(图1—2)。
其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。
图1—1 投影法图1—2 中心投影法2.平行投影法1’5x5’投影线相互平行的投影法称为平行投影法(图1—3)。
其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜投影法〔图1—3(ɑ)〕；投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法〔图1—3(b)〕。
(ɑ)平行斜投影 (b)平行正投影图1—3 平行投影法应用正投影法，能在投影面上反映物体某些面的真实形状及大小，且与物体到投影面的距离无关，因而作图方便，故在工程中得到广泛的应用。
工程图样就是用正投影法绘制的。
三、平行投影的基本特性平行投影的基本特性，是指空间几何要素——点、线、面经过平行投影后的特性。
1.点的投影仍为点如图1—4所示，空间A点的投影为点ɑ。
2.直线的投影一般仍为直线如图1—5所示，AB直线的投影为直线ɑb。
图1—4 点的投影图1—5 直线的投影3.一点在某直线上，则点的投影一定在该直线的投影上如图1—6所示，点M在直线AB上，那么点M的投影m也一定在直线AB的投影ɑb上。
新必修二 8.2 立体图形的直观图(斜二测画法) 教案+练习
8.2 立体图形的直观图（斜二测画法）【要点梳理】要点一、平行投影（选讲）1．中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．2．平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．3．中心投影与平行投影的区别与联系（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．要点二、斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．要点三、立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段；④在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；⑤擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．（3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z＇轴，平面x＇O＇y＇表示水平平面，平面y＇O＇z＇和x＇O＇z＇表示直立平面．平行于z轴（或在：轴上）的线段，其平行性和长度都不变．（4）三视图与直观图的联系与区别三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图．②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．要点四、已知三视图画直观图三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换．由三视图画直观图，一般可分为两步：第一步：想象空间几何体的形状．三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图．正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等．俯视图反映出物体的长和宽．对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体。
空间几何体的直观图 斜二测画法PPT课件
y
D QC
MO N x
AP B
18
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD 的AB直C观D图
3画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.
Z
D
C y
A
D
BQ C
MO N x
AP B
19
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD 的AB直C观D图
y
y’
.
.
..
o
.. x
.
..
O’
. X’
7
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
1 在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，
对称轴MN所在直线为Y轴,两轴交于点O。画相应 的X轴和Y轴，两轴相交于点O,使xOy=45o
y
F ME
y
A
O Dx
O
x
B NC
8
2以O为中心,在X上取AD=AD，在y轴上取
D
A
C
B
D A
C B
4
画一个正方形的直观图。
思考：怎样画才更形象 准确？
5
.....
斜二测画法
y
.
.
.o .
. x
解： ①在直角坐标系 中画出正四棱柱 的底面；
6
.....
②建立∠x’o’y’=45°的坐标系 ③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’ 轴，但横向长度不变，纵向长度减半
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
用斜二测画法画出它的直观图
D
C
A
y
M
D
P
B
O
Q
C
N
B
A
x
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
D
C
B
C
A
D
A
B
思考6:斜二测画法可以画任意多边形水 平放置的直观图，如果把一个圆水平放 置，看起来像什么图形？在实际画图时 有什么办法？
关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画 法．在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版．
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图
Z ·
O
y
· O · O
正视图
· O · O
侧视图
y
x
O
x
·
俯视图
三视图从细节上刻画了空间几何体的结构, 根据三视图，我们可以得到一个精确的空间几 何体,正是因为这个特点，使它在生产活动中得 到广泛应用(比如零件图纸、建筑图纸等).直观 图是对空间几何体的整体刻画，我们可以根据 直观图的结构想象实物的形象．
D D C C
A
B
A
S 2 2
B
思考3:怎样画底面是正三角形，且顶点 在底面上的投影是底面中心的三棱锥？
z C C A
M
S y B x
B
A
o
S
C A B
思考4:画棱柱、棱锥的直观图大致可分 几个步骤进行？ 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图 思考5:已知一个几何体的三视图如下， 这个几何体的结构特征如何？试用斜二 测画法画出它的直观图.
苏教版 高中数学必修第二册 直观图的斜二测画法 课件2
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
45° 135° 水平面
x′轴或 y′轴的线段
保持原长度不变
一半
空间几何体的直观图画法的主要步骤
斜二测画法中的“斜”和“二测”的理解
(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线 段，在直观图中均与x′轴成45o或135o；
D
21 A
D B A 21 B
2. 利用斜二测画法得到的
① 三角形的直观图是三角形.
② 平行四边形的直观图是平行四边形.
③ 正方形的直观图是正方形.
④ 菱形的直观图是菱形.
以上结论, 正确的是 ( A )
(A) ①②
(B) ①
(C) ③④
(D) ①②③④
3. 用斜二测画法画出水平放置的一角为 60, 边长为 4 cm 的菱形的直观图.
[解] (1)先画出水平放置的边长为 3 cm 的正三角形的直观图， 如图(1)所示．
(2)过正三角形中心 O′建立 z′轴，画出正三棱锥顶点 V′，使 V′O′ ＝3 cm，连接 V′A′，V′B′，V′C′，如图(2)所示．
(3)擦去辅助线，遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图， 如图(3)．
4
牛刀小试
1. 判断下列结论是否正确, 正确的在括号内划“√”, 错误的划 “×”.
(1) 角的水平放置的直观图一定是角. ( )
(2) 相等的角在直观图中仍然相等.
()
(3) 相等的线段在直观图中仍然相等. ( )
(4) 若两条线段平行, 则在直观图中对应的两条线段仍然平行. ( )
解: (1) 正确. (2) 不正确, 如图: 正方形中 的∠1与∠2. (3) 不正确, 如图: 正方形中 的AB与AD. (4) 正确.
投影与直观图斜二测画法.ppt
A
M
B
A’
M’
B’
练习：下列说法是否正确？
（1）正方形的平行投影可能是梯形. （×）
（2） 两条相交直线的平行投影可能平行（. ×）
（3）互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂
直.
（×）
（4）等腰三角形的平行投影仍是等腰三角形.
（×）
二.斜二测画法
1. 直观图
当投射线和投射面成适当的角度或改变图 形相对于投射面的位置时，一个空间图形在 投射面上的平行投影（平面图形）可以形象 地表示这个空间图形。像这样用来表示空间 图形的平面图形，叫做空间图形的直观图。
（1） 直线或线段的平行投影仍是直线或线段.
（2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
（3）平行于投射面的线段，它的 平行投影与这条线段平行且等长.
（4）与投射面平行的平面图形， 它的投影与这个图形全等.
F F’
一.平行投影
（5）在同一直线或平行直线上，两条线段的平 行投影线段的长度比等于这两条线段的长度比.
三、概念形成
相关概念 在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点 的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度。人们把这 个弧长叫做两点的球面距离。
B
A O
三、概念形成
概念4.组合体 我们观察周围的物体，除了柱、锥、台、球等基 本几何体外，还有大量的几何体是由柱、锥、台、 球等基本几何体组合而成的。这些几何体叫做组 合体。
四、应用举例
例3.填空：
（1）用一张4×8（cm2）的矩形硬纸卷成圆柱的侧
面，接头忽略不计，则轴截面面积是
。
（2）圆台的两底半径分别为2cm和5cm，母线长为
53cm1，0c则m 它的轴截面面积是 28
斜二测画法
依据平行投影的性质画直观图的方法，国家规定了统一的标准， 一种较为简单的画图标准是斜二测画法
例1 画水平放置的正三角形的直观图
y C
A
O Bx
Aˊ
Cˊ
yˊ Cˊ O ˊ B ˊ xˊ
Aˊ
Bˊ
作法：
（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立 平面直角坐标系xOy （2）画直观图时，把它们画成对应的xˊ轴和yˊ轴，它们相交 于O ˊ点，并使∠x ˊO ˊy ˊ=45°
z
Dˊ
Cˊ
Aˊ
Bˊ
y
D
C
AO
B
x
zˊ
Dˊ
Cˊ
Aˊ
BˊyˊDCA Oˊ Bxˊ
Dˊ Aˊ
Cˊ Bˊ
D A
C B
作法：
（1）在空间中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴， 使∠ xOz=90 °,∠yOz=90 °
（2）画直观图时，把它们画成对应的xˊ轴，yˊ轴和zˊ轴，它 们相交于O ˊ点，并使∠x ˊO ˊy ˊ=45°， ∠x ˊO ˊz ˊ=45° x ˊ轴和y ˊ轴所确定的平面表示水平平面 （3） 已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别 画成平行于x ˊ轴、y ˊ轴或z ˊ轴的线段
（3） 以点O ˊ为A ˊ B ˊ的中点，在xˊ轴上取A ˊ B ˊ= A B 在yˊ轴上取O ˊ C ˊ=1/2 OC，连结A ˊ Cˊ， B ˊ C ˊ
（4）擦去作为辅助线的坐标轴，则Δ A ˊ B ˊ Cˊ 就是Δ A B C 的 直观图
这种这画直观图的方法就是斜二测画法 种
用斜二测画法画简单几何体的直观图的规则是（以一个正方体的 模型作为实例）
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一.平行投影
当图形中的直线或线段不平行于投射线时， 平行投影具有下列性质.
（1） 直线或线段的平行投影仍是直线或线段.
（2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
（3）平行于投射面的线段，它的 平行投影与这条线段平行且等长.
（4）与投射面平行的平面图形， 它的投影与这个图形全等.
F F’
一.平行投影
O'
x'
B NC
2以O为中心,在X上取AD=AD，在y轴上取
MN= 1 MN.以点N为中心,画BC平行于x轴, 2
并且等于BC;再以M为中心,画EF平行于x轴,
并且等于EF.
y
F ME
A
O Dx
y
F M E
A
O
D x
B N C
B NC
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去F
y
F ME
A
O Dx
B NC
y
F M E
A
O
D x
B N C
y
F ME
A
O Dx
B NC
F
A
E
D
B
C
例3 作一个底面边长为5cm，高为11.5cm 的正五棱锥直观图。
y D
EN o
C x
AM B
y1
E1
N1
·D1 ·
·o1
C1 x1
A1 M1 B1
z
S
S
y1
E1
·D1 C1
E1
·D1 C1
o1
（×）
二.斜二测画法
1. 直观图
当投射线和投射面成适当的角度或改变图 形相对于投射面的位置时，一个空间图形在 投射面上的平行投影（平面图形）可以形象 地表示这个空间图形。像这样用来表示空间 图形的平面图形，叫做空间图形的直观图。
先观察一个正方形，如何把它画成水平 放置的直观图呢？
y
x o
Y’
O’
X’
斜二测画法的步骤：
1.竖直或水平方向的线段画出时，方向、长度都不变；
前后方向的线段画出时，方向与水平成 45（ 或 135），
长度画成原来的一半，但仍表示原来的长度。
2.画图时，看得见的画实线，看不见的画虚线。
3.圆的直观图一般不用斜二测画法，直接画成椭圆即可。
y
Y’
x o
O’
X’
例2.画水平放置的正三角形的直
（5）在同一直线或平行直线上，两条线段的平 行投影线段的长度比等于这两条线段的长度比.
A
M
B
A’
M’
B’
练习：下列说法是否正确？
（1）正方形的平行投影可能是梯形. （×）
（2） 两条相交直线的平行投影可能平行（. ×）
（3）互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂
直.
（×）
（4）等腰三角形的平行投影仍是等腰三角形.
y C
观图。
画法按如下步骤完成:
A O
B
x
第一步 在已知的正三角形ABC中,
取AB所在的直线为x轴, 取对称轴
y` C`
CO为y轴. 画对应的x`轴、y`轴,使
使x`O`y` 450.
450
第二步 在x`轴上取O`A` OA,O`B`
A` O` B` x` OB, O`C` 1 / 2OC.
C`
第三步 连结A`C`, B`C`, 所得的 三 角
A`
B`
形A`B`C`就是正三角形ABC的直观图.
图1 1 29
例１、用斜二测画法画水平放置的正六边
形的直观图
(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x 轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点 O．画对应的x’，y’轴，两轴相交于点O’，使 ∠x’O’y’=45°.
y
F
ME
y'
A
O
D
x
x1
o1
A1
B1
A1
B1
三.中心投影
一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个 图形的影子就是它在这个平面上的中心投影。
B
中心投影
B’
A
D C
D’
C’
中心投影与平行投影的区别：
中心投影的投射线交于一点；平行投影的投射线互相平 行。
中心投影后的图形与原图形相比虽然改变很多，但
它的直观性很强，看起来与人的视觉效果一致，因此， 画实际效果图时，一般用中心投影（透视），而在立体 几何中，画图一般用平行投影，需要用斜二测画法画出 立体图形水平放置的直观图。
投影 直观图
一.平行投影
A
M
B
太阳光线（假定太阳光线 是平行的）把一个长方形形状 的窗框投射到地板上，变成了 什么图形？
F
P
D D’
P’ F’
A’ M’
C
C’ B’
窗框的投影图形与原窗框图比较，哪些几何 关系或几何量发生了变化？哪些没有发生变化？
一.平行投影
投射线
投射面 平行投影：我们把一束平行光线照射下形成的投 影叫做平行投影. 投影线正对着投影面时叫正投 影，否则叫斜投影。