均匀随机数的产生之会面问题
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3.3.2均匀随机数的产生
1.整数随机数与均匀随机数有何异同？ 提示：二者都是随机产生的随机数,在一定的区域长度上出现 的机率是均等的.但是整数随机数是离散的单个整数值,相邻两 个整数随机数的步长为1;而均匀随机数是小数或整数,是连续
的小数值,相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的.
2.可以用计算器的RAND函数产生的0~1之间的均匀随机数进行 随机模拟吗？ 提示：可以，试验的结果是区间［ 0，1］内的任何一个实数，
思路点拨：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，
而后由几何概型概率公式进行面积估计.
1.下列命题不正确的是 (
)
n
（A）根据古典概型概率计算公式P（A）= n A 求出的值是事 件
A发生的概率的精确值
（B）根据几何概型概率算公式P（A）=
A
求出的值是事
【解析】正方形的面积为4，以A为圆心，1为半径作圆，在正 方形内部的部分面积为 ,因此取到的点到A的距离小于1的概
4 率为 4 = , 取到的点到A的距离大于1的概率为1- . 16 4 16 答案： 116
4.（15分）如图，曲线y=x2与y轴、直线y=1围成一个区域A （图中的阴影部分），用模拟的方法求图中阴影部分的面积.
（4）计算频率 N1 .
记事件A＝{面积介于36 cm2与81 cm2之间}= {边长介于6 cm与9 cm之间}， 则P（A）的近似值为fn(A)= N1 .
N N
1.（5分）在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y=(
1 x ） 2
与x轴,x=±1围成的部分)的面积时,需要经过伸缩变换得到哪 两个区间上的均匀随机数( (A) [-1,1], [0,1] )
【解题提示】已知正方形的面积，用面积之比等于豆子数 之比求解.
的小数值,相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的.
2.可以用计算器的RAND函数产生的0~1之间的均匀随机数进行 随机模拟吗？ 提示：可以，试验的结果是区间［ 0，1］内的任何一个实数，
思路点拨：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，
而后由几何概型概率公式进行面积估计.
1.下列命题不正确的是 (
)
n
（A）根据古典概型概率计算公式P（A）= n A 求出的值是事 件
A发生的概率的精确值
（B）根据几何概型概率算公式P（A）=
A
求出的值是事
【解析】正方形的面积为4，以A为圆心，1为半径作圆，在正 方形内部的部分面积为 ,因此取到的点到A的距离小于1的概
4 率为 4 = , 取到的点到A的距离大于1的概率为1- . 16 4 16 答案： 116
4.（15分）如图，曲线y=x2与y轴、直线y=1围成一个区域A （图中的阴影部分），用模拟的方法求图中阴影部分的面积.
（4）计算频率 N1 .
记事件A＝{面积介于36 cm2与81 cm2之间}= {边长介于6 cm与9 cm之间}， 则P（A）的近似值为fn(A)= N1 .
N N
1.（5分）在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y=(
1 x ） 2
与x轴,x=±1围成的部分)的面积时,需要经过伸缩变换得到哪 两个区间上的均匀随机数( (A) [-1,1], [0,1] )
【解题提示】已知正方形的面积，用面积之比等于豆子数 之比求解.
332 均匀随机数的产生课件#
(4)计算频率
fn(A)=
N1即为概率 N
P(A)的近似值．
方法 2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分， 标上刻度[0,3](这里 3 和 0 重合)．转动圆盘记下指针 在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及 试验总次数 N，则 fn(A)＝NN1即为概率 P(A)的近似值．
迁移变式 4 利用随机模拟的方法近似计算图 7 中阴影部分(y＝log2x 与 y 轴及 y＝±1 围成的图形) 的面积．
图7
• 解：
(5)设阴影部分面积为 S.由几何概型概率公式
得点落在阴影部分的概率为S， 4
∴S4≈NN1，S≈4NN1即
为阴影部分面积的近似值．
反思总结
1．[0,1]上均匀随机数的产生 利用计算器的 RAND 函数可以产生[0,1]的均匀随 机数．试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数，而 且出现任何一个实数是等可能的，因此，可以用计算 器产生的 0 到 1 之间的均匀随机数进行随机模拟．
图6 [解] (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的 均匀随机数 a1，b1.
(5)设阴影部分面积为 S.由几何概型概率公式 得点落在阴影部分的概率为1S2，∴1S2≈NN1，S≈12NN1 即为阴影部分面积的近似值．
• [点评] 利用几何概型的模拟方法可以计算 平面不规则图形的面积．其关键是选择合 适的对应图形和由几何概型正确计算概率， 其实质是几何概型概率公式的逆用，计算 机(计算器)的作用是利用随机模拟的方法产 生概率的近似值．
(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x1＝ RAND，y1＝RAND；
(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为 P＝S4，∴NN1＝S4，∴S≈4NN1即为阴影部分面积的近似 值．
均匀随机数的产生 课件
（3）三天中至少有一天下雨的概率大概是多少？ 70％
（4）三天中恰好连续两天下雨的概率大概是多少？10％
例2.在如右图所示的正方形盘子中随机的撒一 把豆子,计算落在圆中得豆子数与落在正方 形中的豆子数之比并依此估计圆周率的值.
分析1:由于每个豆子落在正方 形内任何一点是等可能的,所以 每个区域中的豆子数近似的与 该区域的面积成正比.
6.5 x 7.5
解 : 7 y 8
y x
P( A) SCDEFG SCDHG
602 302
2
602
0.875
y 父亲离家时间 8:00 C 7:00 G
y=x D
H
x
O
6:30 7:30 报纸送到时间
例3.假如你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7;30之间把报 纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间是在早上7;00~8:00, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？
均匀随机数的产生
产生随机数的方法
1.由试验产生随机数
如: 若产生1～25之间的随机整数,先将25个大小形状等 均相同的小球分别标上1, 2, … , 24, 25, 放入一个袋中,把它们 充分搅拌,然后从中摸出一个球,这个球上的数就是随机数.
范围：所需要的随机数的个数不太多
2.由计算器或计算机产生随机数 由于计算器或计算机产生的随机数是根据确定的算法产
想一想：你能设计一个随机模拟的方法来估计圆 的面积吗？
例2.在如右图所示的正方形盘子中随机的撒一 把豆子,计算落在圆中得豆子数与落在正方 形中的豆子数之比并依此估计圆周率的值.
圆的面积
落在圆中的豆子数
正方形的面积 落在正方形中得豆子数
假设正方形的边长为2,则有:
均匀随机数的产生 (35张)
栏目 导引
第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、 纵坐标，从而确定点的位置．
栏目 导引
第三章 概率
2．解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为 16 m，宽为 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分 别为 1 m，2 m，5 m．若着陆点在圆环 B 内，则跳伞成绩为 合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若 跳伞者的着陆点在小圆 A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不 合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内， 利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
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第三章 概率
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线 y＝2x 与 x 轴、x＝±1 围成的部分)的面积．
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第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1*2，得到一组 [－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数． (3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 b＜2a 的点(a，b)数)． (4)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
则 S≈NN1，即阴影部分面积的近似值为NN1.
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第三章 概率
[感悟提高] (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对 应图形；二是由几何概型正确计算概率． (2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器 或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机 数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影 响随机事件结果的量．
第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、 纵坐标，从而确定点的位置．
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第三章 概率
2．解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为 16 m，宽为 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分 别为 1 m，2 m，5 m．若着陆点在圆环 B 内，则跳伞成绩为 合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若 跳伞者的着陆点在小圆 A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不 合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内， 利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
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第三章 概率
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线 y＝2x 与 x 轴、x＝±1 围成的部分)的面积．
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第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1*2，得到一组 [－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数． (3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 b＜2a 的点(a，b)数)． (4)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
则 S≈NN1，即阴影部分面积的近似值为NN1.
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第三章 概率
[感悟提高] (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对 应图形；二是由几何概型正确计算概率． (2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器 或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机 数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影 响随机事件结果的量．
均匀随机数的产生 课件
类型一 几何概型的识别
例1 下列关于几何概型的说法错误的是
√A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B.几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关 C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基 本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个.
类型二 几何概型的计算 命题角度1 与长度有关的几何概型 例2 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的 长都不小于1 m的概率为多少？ 解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.
把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中 间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A)＝13 .
知识点二 几何概型的概率公式
思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算 概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？ 答案 可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之 比来表示. 梳理 事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积) 成比例，故可用区域的测度代替基本事件数.
反思与感悟 几何概型特点的理解 (1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本 事件有无限多个； (2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等， 即基本事件的发生是等可能的.
跟踪训练1 判断下列概率模型是古典概型还是几何概型. (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率； 解 先后抛掷两枚质地均匀的骰子， 所有可能结果有6×6＝36(种)， 且它们的发生都是等可能的， 因此属于古典概型.
3.3.2均匀随机数的产生(2)1
§3.3.2均匀随机数的产生
复习回顾
1.几何概型的定义及其特点?
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
2.古典概型与几何概型的区别与联系.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个; 几何概型要求基本事件有无限多个.
显然，“金币”与阶砖的相对大小将决定 成功抛中阶砖的概率.
设阶砖每边长度为a , “金币”直径为d . 若“金币”成功地落 在阶砖上，其圆心必 位于右图的绿色区域 A内.
a A S
a 问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投 点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内 的概率.
于是成功抛中阶砖的概率
p= A的面积 S的面积 (a-d) a
2 2
a
0<d<a
A
=
由此可见，当d 接近a, p接近于 0; 而当d接近0， p接近于1.
a
3.几何概型的概率公式.
构 成 事 件 A的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）
P(A)=
全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
思考:(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去, 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的， 且二人互不影响。求二人能会面的概率。
则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为
3
例4:在棱长为3的正方体内任取一点， 求这个点到各面的距离大于1/3棱长的 概率. 分析：设事件A为点到各面的距离大于 1/3棱长，则该事件发生即为棱长为3的 正方体所分成棱长为1的二十七个正方 体中最中间的正方体中的所有点，是几 何概型问题。
复习回顾
1.几何概型的定义及其特点?
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
2.古典概型与几何概型的区别与联系.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个; 几何概型要求基本事件有无限多个.
显然，“金币”与阶砖的相对大小将决定 成功抛中阶砖的概率.
设阶砖每边长度为a , “金币”直径为d . 若“金币”成功地落 在阶砖上，其圆心必 位于右图的绿色区域 A内.
a A S
a 问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投 点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内 的概率.
于是成功抛中阶砖的概率
p= A的面积 S的面积 (a-d) a
2 2
a
0<d<a
A
=
由此可见，当d 接近a, p接近于 0; 而当d接近0， p接近于1.
a
3.几何概型的概率公式.
构 成 事 件 A的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）
P(A)=
全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
思考:(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去, 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的， 且二人互不影响。求二人能会面的概率。
则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为
3
例4:在棱长为3的正方体内任取一点， 求这个点到各面的距离大于1/3棱长的 概率. 分析：设事件A为点到各面的距离大于 1/3棱长，则该事件发生即为棱长为3的 正方体所分成棱长为1的二十七个正方 体中最中间的正方体中的所有点，是几 何概型问题。
均匀随机数的产生
时间：2018年3月31日必修3第三章概率
第7课时均匀随机数的产生
学习目标：了解均匀随机数的概念
能利用计算机产生均匀随机数
进一步了解模拟方法
养成动手、动脑的好习惯
学习过程：
一、如何产生均匀随机数？
1．几何概型具有什么特点？
2．怎样计算几何概型下的事件发生的概率？
3．如果试验的结果是区间[a，b]上的任何一点，而且是等可能的，如何产生[a，b]之间的均匀随机数？
二、问题分析
1．在图中的正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值。
2．利用随机模拟方法计算图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积。
三、总结性思考
1．利用随机模拟方法怎样估算概率？
建立概率模型→进行模拟试验→统计试验结果并计算频率（概率近似值）
2．利用随机模拟方法怎样估算面积？
建立适当模型→利用随机模拟估算概率→利用几何概率公式求得几何概率→利用模拟概率等于几何概率求得面积近似值
四、课后作业
P134 A
五、再思考。
原创1：3.3.2均匀随机数的产生
试验的总次数
.
思考2 设X、Y为[0，1]上的均匀随机数，6.5＋X表示送 报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离开家的时间， 若事件A发生，则X、Y应满足什么关系？ 7＋Y >6.5＋X，即Y>X－0.5.
思考3：如何利用计算机做100次模拟试验，计算事件A发 生的频率，从而估计事件A发生的概率？ （1）在A1～A100，B1～B100产生两组[0，1]上的均匀随机 数；
a1=RAND,b1=RAND; （2）经平移和伸缩变换， a=(a1-0.5)﹡2; （3）数出落在阴影内的样本点数N1,用几何概型计 算阴影部分的面积. 例如做1000次试验，即N=1000,模拟得到N1=698, 所以 S 2N1 1.396.
N
根据几何概型计算概率的公式，概率等于面
积之比，如果概率用频率近似表示，在不规则 的图形外套上一个规则图形，则不规则图形的 面积近似等于规则图形的面积乘频率.
（2）选定D1格，键入“=A1-B1”，按Enter键. 再选定D1格， 拖动至D100，则在D1～D100的数为Y-X的值； （3）选定E1格，键入“=FREQUENCY（D1：D100， 0.5）”，统计D列中小于0.5的数的频数；
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找 出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题 转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.
记“两人会面”为事件A.
阴影（红色）部分的面积
P( A)
正方形的面积
25 2 1 42
=
2
=
9
.
25
25
y
5
y=x+1
4
y=x-1
3
2
1
0 1234 5 x
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y=x
S 11
111 7 SA 1 2 2 2 8
y=8 y=7
P A
SA
1 1 1 1 222
7
S
11
8
O
x
x=6.5 x=7.5
理论计算
●归纳对比
试验模拟
P A 0.873
理论计算
P A SA 7 =0.875
S 8
理论计算
●归纳小结
文字语言
邮递员在早上6:30~7:30之间送报纸，父亲在早上 7:00~8:00之间离家，求父亲离家前能拿到报纸的概率
P A
20
试验模拟
●“转表盘”试验的学生活动
试验模拟
●“转表盘”试验的学生活动
试验模拟
●“转表盘”试验的数据分析
P（A）=
众数0.85？中位数0.85？平均数0.84？
各小组试验的原始数据合并，计算200次试验 A事件发生的频率？
方法2： “Excel表格”试验模拟
试验模拟
●“Excel表格”模拟试验的原理
“=a+|b-a|*RAND( )” 产生 [a,b]范围内的均匀随机数
“=6.5+RAND（）” “=7+RAND（）”
邮递员送报时间为6:30~7:30之间， 产生[6.5,7.5]的均匀随机数
父亲离家时间为7:00~8:00之间， 产生[7,8]的均匀随机数
试验模拟
●表格的设置及解析
输入函数 =6.5+ RAND()
试验表格
1. 制作两个带指针的表盘，以分钟 第i次 送报时间 离家时间 能否成功
为刻度，转一圈表示经过60分钟； 1
2. 指定一个表盘为A，表示送报时
2
间；指定另一个转盘为B，表示
3
离家时间。同时旋转两个转盘的 ……
指针，分别记录两个时间。
19
3. 反复试验20次，统计送报时间早 20
于离家时间的次数n，则P A n 合计 成功（ ）次
6.5 x 7.5
7 y8
条件下，
y x 发生的概率
数学语言
图像语言
会面问题
模拟试验
“Excel表格”试验
理论计算
“转表盘”试验
频率 ≈ 概率
随机模拟的基本思想
End
方法1： “转表盘”试验模拟
试验模拟
●“转表盘”模拟试验的原理
直接而简单的随机模拟试验 ——“转表盘”
通过旋转表盘随机产生送报时间和 离家时间，统计取得报纸的次数，计 算取得报纸的频率，以此估计概率。
试验模拟
●“转表盘”试验的步骤及任务
以小组为单位，完成“转表盘”试验，并填写试验表格。
试验步骤
输入函数 =7+ RAND()
输入函数 =A2-B2
试验次数为 统计C列中
N，产生N “≤0”发
组数据
生的次数
输入函数 =E1/D1
计算频率
试验模拟
●数据的分析及 结论
0.873
随着试验次数的增加，A发生的概 率稳定在0.87~0.88，故估计：
P（A）≈0.873
试验模拟
●概率模型的思考
方法3： 几何概型理论计算
科学而高效的随机模拟试验 ——“Excel表格”
通过Excel表格中的函数来实现均匀随机 数的产生和数据的计算、统计，相比转表盘试 验，Excel可以使随机数自动生成并短时间内 完成大量的重复试验，使得概率估计的过程更 为科学和高效。
试验模拟
“=RAND( )” “=|b-a|*RAND( )”
● 均匀随机数的产生及变换 产生间，明确发生条件
1.若确定爸爸离家时间为7:20，求P(A) 7:20
2.若确定邮递员送报时间为7:15，求P(A) 7:15
理论计算
●学生活动
理论计算
●确定一个时间，明确发生条件
1.若确定爸爸离家时间为7:20，P求 AP (AA)
50 60
5 6
7:20
2.若确定邮递员送报时间为7:15，P求 AP (AA)
广东省中学数学青年教师教学片段比赛
人教版必修3 ·第三章 概率 ·3.3几何概型
3.3.2均匀随机数的产生 之
会面问题
授课教师：郭慧敏 广东省惠州市第一中学
会面问题
例2
假设你家订了一份报纸，邮递员可能在早 上6:30~7:30之间把报纸送到你家 ，你父亲离 开家去工作的时间在早上7:00~8:00之间，问 你父亲在离开家前能得到报纸（成为事件A） 的概率是多少？
45 60
3 4
7:15
事件A发生条件：送报时刻≤离家时刻
理论计算
●两个时间随机，确定概率模型
概率模型： 几何概型之面积问题
理论计算
●设量建系，量化面积，计算概率
邮递员送报纸时间为x, 则 6.5 x 7.5
爸爸离家时间为y,则 7 y 8
y
爸爸离家前取得报纸,
只需送报时刻≤离家时刻，则 x y
会面问题
●概率本质的理解
大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生 的频率稳定在区间[0,1]中的某个常数上，我们用这个常 数来度量事件A发生的可能性的大小，称为概率。
●随机模拟试验
根据问题，创设情境，设计模拟试验， 通过试验的反复操作，统计出事件发生 的频数，计算出频率，并以此估计出事 件的概率。