第三章达朗贝尔公式
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
数学物理方法-7.4达朗贝尔公式-PPT课件
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 1 1 0 2 0 2 2 a 2 x 0
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 2 1 0 2 0 2 a 2 x 0
x at
x at
x at
（二）端点的反射 一个端点固定
2 2 2 ( 2 a 2) u ( x ,t ) 0 t x
( 0x )
设初始条件为 边界条件
u t0 (x)
和
ux t0 (x)
u x0 0
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。自变量限制为 x 0 。
衔接条件
f ( t ) g ( t ) h ( t ), 1I 1 II IY [ f ' ( t ) g ' ( t )] II Y h ' ( t ) a a
f ( t ) g ( t ) h ( t ), III I II a Y [ f ( t ) g ( t )] a Y h ' ( t )
( x)
x1 x
x1 x2 x x2 2 x x1, or, x x2
x1 x2 2
(x) 0
u(x, t)
1 (x) 2
u0
x1
x2
x x x
u0
x
x1
x1 x 2 2
x2
1 u ( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
降维法推导达朗贝尔公式
降维法推导达朗贝尔公式降维法是一种常用的数据处理方法，在数据分析和机器学习领域具有重要的应用价值。
降维的目的是从高维空间中找到一个低维子空间，能够保留原有数据的主要信息，同时减少数据维度，简化计算复杂度。
在降维法中，达朗贝尔公式是一个重要的定理，它可以帮助我们理解降维过程中数据的变化。
达朗贝尔公式的推导主要基于线性代数的知识，下面我们就一起来推导一下达朗贝尔公式。
假设我们有一个原始数据矩阵X，其中每一行代表一个样本，每一列代表一个特征。
我们的目标是将这个矩阵降维为一个新的矩阵Y，使得Y能够尽可能地保留X中的主要信息。
首先，我们需要找到一个转换矩阵A，将原始数据矩阵X映射到一个新的低维空间。
这个转换矩阵A的列向量是我们感兴趣的特征向量，它们构成了一个正交基。
我们假设A的每一个列向量都是单位向量，即它们的长度为1。
接下来，我们将原始数据矩阵X用转换矩阵A进行线性变换，得到新的矩阵Y：Y=XA矩阵Y的每一列是原始数据矩阵X的每一行在转换矩阵A的基上的投影，它们构成了新的低维子空间。
现在我们来推导达朗贝尔公式。
假设X的协方差矩阵为C，Y的协方差矩阵为D。
我们知道协方差矩阵描述了数据之间的相关性。
首先，我们需要计算C和D之间的关系。
我们知道投影前后的数据具有相同的协方差矩阵，即C和D具有相同的特征值，不同的特征向量。
假设矩阵A的列向量是特征向量，记作a1,a2,...,am，对应的特征值是λ1,λ2,...,λm。
则有：CA=AΛDA=AΛ其中Λ是一个对角阵，对角线上的元素是特征值。
我们可以将上述等式两边同时左乘A的逆矩阵A^(-1)：C=AΛA^(-1)D=AΛA^(-1)其中A^(-1)是A的逆矩阵。
根据矩阵乘法的性质，我们可以得到：D=AΛA^(-1)=AA^(-1)Λ=Λ我们可以看到，新的协方差矩阵D就是特征值构成的对角矩阵Λ。
这就是达朗贝尔公式的推导过程。
通过达朗贝尔公式，我们可以进一步理解降维的过程。
达朗贝尔公式的推导
达朗贝尔公式的推导
达朗贝尔公式是用于计算球体表面积的公式，其推导可以分为以下几步：
1. 将球体划分为许多小面片，每个小面片都可以近似看作一个平面三角形。
2. 对于一个小面片，其面积可以使用三角形面积公式计算，即 S = 1/2ab*sin(C)，其中 a、b 分别为两边的长度，C为其夹角。
3. 将每个小面片的面积加起来即可得到整个球体表面积。
由于球体具有对称性，每个小面片的面积都相等，可以用一个代表性的面积 S0 代替。
4. 通过对球体的几何性质，可以推导出小面片边长 a、b 和夹角 C 之间的关系式：cos(C) = cos(a/r)*cos(b/r) +
sin(a/r)*sin(b/r)*cos(θ)，其中 r 为球体半径，θ为两边的夹角。
5. 将第4步得到的关系式代入第2步的公式中，即可得到达朗贝尔公式：S = 4πr^2，其中π为圆周率。
总结起来，达朗贝尔公式的推导主要依赖于球体的几何性质和三角形面积公式，并通过分割小面片、近似处理等方法进行求解。
- 1 -。
达朗贝尔公式
达朗贝尔公式
达朗贝尔公式是一种可以用于计算和比较利息的公式。
它是由18世纪英国经济学家威廉·达朗贝尔（William J. Darby）创造的，用来计算一种名为实际利率的概念。
达朗贝尔公式由两个因素组成，即贴现率（discount rate）和时间价值（time value）。
贴现率表示贷款本息的实际利率，而时间价值表示借款本息的未来价值。
达朗贝尔公式的公式如下：
实际利率＝贴现率－时间价值
达朗贝尔公式用于计算和比较利息，而且它也可以用于计算债务的未来价值，以及未来价值和实际价值之间的差异，以及可以用来估计未来收入的折现率。
达朗贝尔公式对经济学家们来说是一个非常重要的工具，它可以帮助他们更好地了解和分析利率及其对经济的影响。
它也可以帮助投资者更好地理解投资的潜在风险和回报。
达朗贝尔公式是一个非常有用的工具，它可以帮助投资者和经济学家正确地估计和比较利息，以便作出明智的投资决策。
它也可以用来估计未来的收入，有助于投资者作出明智的投资决策。
3.1达朗尔公式
( x ≥ 0) ( x < 0)
1 1 u ( x, t ) = [Φ ( x + at ) + Φ( x − at )] + ∫at Ψ (ξ )dξ 2a x − 2
t= 1 (ξ − η ) 2a
t
ξ = x + at η = x − at
1 x = (ξ + η ) 2
1 t= (ξ − η ) 2a
ξ = x + at η = x − at
∂ ∂ ∂t ∂ ∂x 1 ∂ 1 ∂ = + = + ∂ξ ∂t ∂ξ ∂x ∂ξ 2a ∂t 2 ∂x
1 ∂ ∂ = ( +a ) 2a ∂t ∂x
x
−∞
∫ψ (ξ )dξ
1 Ψ ( x) = ∫∞ψ (ξ )dξ 2a −
x
x < x1
1 1 Ψ ( x) = ψ (ξ )dξ = ∫∞ ∫∞0dξ 2a − 2a −
x x
x
x
=0
x
x1 < x < x2
1 1 1 Ψ ( x) = ∫∞ψ (ξ )dξ = 2a [−∫∞0dξ +ψ 0 x∫ 1dξ ] 2a − 1
C.定解 达朗贝尔公式 确定待定函数 待定函数的形式 无限长，即无边界条件。 待定函数
(−∞ < x < ∞)
设初始条件
u t =0 = ϕ ( x)
ut
t =0
= ψ ( x)
u = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
f1 ( x) + f 2 ( x) = ϕ ( x)
af1 ' ( x) − af 2 ' ( x) = ψ ( x)
第三章达朗贝尔公式
例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0
(x) 1 x, 0 x 1
0，
其它
-2
(x) 0
试说明其解的物理意义。
2 (x)
1
0
2
由达朗贝尔公式有
u(x,t) (x at) (x at)
2
可见右行波与左行波分别为
1 3
f1(3x)
f2 (x)
C
两式联立，求解得
f1 (3x)
3 ex2 4
3C 4
f1 ( x)
3 4
ex2
/9
3 4
C
f2 (x)
3 ex2 4
3C 4
故原问题的解为
u 3 ey3x2 3 C 3 eyx2 3 C
4
44
4
3 ey3x2 3 eyx2
4
4
2 达朗贝尔公式的物理意义
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=6
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=9
0.03 0.02 0.01
f (x at) 1(x at) g(x at) 1 (x at)
2
2
于是右行波与左行波的波形均为
f (x) g(x) 1(x)
2
随着时间的推移，其波形如图所示：
t 0
-4
-2
t1
波动方程的达朗贝尔公式
在上面的讨论中,我们看到了( x,t )平面上的直线 x ± at = c
(常数)对波动方程的研究起着重要的作用,它们称为波动 方程的特征线.
最后我们指出,在求解二阶方程线性常微分方程时,通 解中包含两个任意常数,因此,只须两个定解条件,就能完全 从中确定一个特解.
而今对于线性偏微分方程,比如对弦振动方程,在求得 达氏解,只用了两个定解条件,即两个初始条件,而在求的付 氏解时则又添了两个边界条件,一共用了四个边界条件.
那末,对于一个偏微分方程究竟要多少个定解条件,就 恰好(不多不少)能够从中确定一个特解呢?这一个问题没有 固定的答案.
这个事实,说明偏微分方程的定解问题比常微分方程要 复杂的多.
2.三维波动方程Cauchy问题的 Poisson公式
现在考察三维波动方程的初值问题
( ) ⎧⎪⎪⎨uut(t
= x,
a2Δu = a2
=
x+at)
+ϕ(
x-at)
2
给出.
为了简单起见,假设
⎧0
⎪
ϕ
(
x)
=
⎪⎪2 ⎨ ⎪⎪2
+ −
2x
α
2x
α
⎪⎩0
( x < −α ) (−α ≤ x ≤ 0)
(0 ≤ x ≤α) (x >α)
也就是说,初始位移是区间 [−α,α ] 上的一个等腰三角形.
图1给出了这个弦每经过时间
α
后的相对位移.
4a
0
y
x
u(M,t)
=
u ( x,
y, z,t)
=
∂ ∂t
⎡t
⎢⎣ 4π a2t2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t=4
0.6 0.4 0.2 0 -0.2
t=8
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
例3 用达朗贝尔公式求解下列问题
utt a 2u xx 0, x x2 x2 u |t 0 e , ut |t 0 2axe
t=9
0.01
0.01
0
0
-0.01
-0.01
-0.02 -0.03 -0.04 -0.05
-0.02 -0.03 -0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.05
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
(dx)2 a 2 (dt )2 x at C 解得特征线为 做变换 x at ，则 ux u x u x u u
x at
uxx u u u u u 2u u
utt a 2 (u 2u u )
( x at ) ( x at )
2 1 x at x0 ( s)ds 2a
1 x at x0 ( s)ds 2a
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
2
1 xat ( s)ds 2a xat
特解
可分解成如下两个问题
vtt a 2vxx , x , t 0 （Ⅰ） v |t 0 ( x), vt |t 0 ( x)
和
用达朗贝尔公式求解
如何求解？用齐次化原理
wtt a 2 wxx f ( x, t ), x , t 0 （Ⅱ） w |t 0 0, wt |t 0 0
齐次化原理：
若 w( x, t ; ) 是下列问题
wtt a 2 wxx , x , t w |t 0, wt |t f ( x, )
utt a 2uxx 的通解为 于是
u( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
f ( x) g ( x) ( x) 由初始条件得： af '( x) ag '( x) ( x)
对第二式积分：a( f ( x) g ( x)) c ( s)ds
随着时间的推移，其波形如图所示：
t0
2 1 0 2
-4
-2
2
4
t1
-4 -2 0
1
2 2
4
t2
-4 -2
0
1 2
2
4
2
t3
-4 -2 0
1 2 4
2
t4
-4 -2 0
1 2 4
2
t5
-4 -2
0
1
2
4
图形演示： （1）初位移不为零，初速度为零：
7 sin x ( x) l 0
u( x,0) e
x2
f1 (3x) f2 ( x) e
f1(-3x) f 2( x) = 0
x2
u ( x, 0) =0 y
1 f1 (3x) f 2 ( x) C 3
两式联立，求解得
3 x2 3 f 1 (3 x) e C 4 4 3 x2 / 9 3 f1 ( x) e C 4 4 3 x2 3 f 2 ( x) e C 4 4
故原问题的解为 3 y 3 x 2 3 3 y x 2 3 u e C e C 4 4 4 4
3 y 3 x 2 3 y x 2 e e 4 4
2 达朗贝尔公式的物理意义
(1) f ( x at ) 的物理意义
0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2
这就是无界弦自由振动的达朗贝尔公式。 例1 解定解问题
解
2u 2u 2u 3 2 0, y 0, x 2 2 x xy y 2 u ( x,0) e x , u ( x,0) 0, x y 方程的特征方程为
解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有
u ( x, t ) [ e
1 2
( x at )2
e
( x at ) 2
]
1 2a
x at
x at
2ase
s2
ds
1 [e ( x at ) 2
2
e
( x at ) 2
]
1 2
x at
x at
e
s 2
（2）区间 [ x1 , x2 ] 上的初值都能 确定哪些点处的函数值？ 答：过 ( x1 ,0) 和( x2 ,0)分别作斜率 为 a 1 和 a 1 的两条直线，与x 轴围成的三角形区域内任一点的 函数值都可由 [ x1 , x2 ] 上的初值决 定。 称此区域为 [ x1 , x2 ] 的决定域。
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
t=1
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
1
1
1 0.8
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
t=2
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2
x0
x
联立求解得
1 1 x c f ( x) 2 ( x) 2a x0 ( s ) ds 2a 1 1 x c g ( x) ( x) x0 ( s)ds 2a 2 2a
于是原问题的解为 u ( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
特征线， 斜率1/a
特征线
依赖区间
t
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
（3）区间 [ x1 , x2 ]上的初值都能影响到哪些点处的函数值？
答：过 ( x1 ,0) 和 ( x2 ,0) 分别作斜率为 a 1 和 a 的两条直线， 与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 [ x1 , x2 ] 上
dy 2 2dxdy 3dx2 (dy 3dx)(dy dx) 0
解得特征线为
y 3x = C1
y x = C2
做变换 y 3x y x 于是方程的通解为
2u 0 ，则
u f1 ( ) f 2 ( ) f1 ( y 3x) f 2 ( y x)
看达朗贝尔公式，回答下面三个问题：
（1） u ( x, t )
，即在(x, t)处函数值由哪些初值决定？进一步
由x轴上哪些点对应的初值决定？ 答：由区间[x-at, x+at]上的初值决定。将此区间称为点(x, t) 的依赖区间。
进一步分析：方程的特征线为
x at C
过(x, t)的两条特征线与x轴的 交点正好是x-at和x+at. 如图
表示的波形向左、右以a的速度移动。
1 xat 1 xat 1 xat u ( x, t ) ( )d ( )d ( )d 2a xat 2a 2a x0 0 该式表示将函数 1 x ( )d x / 2a x 1 2a 1 / 2a x 1
( x)
2
由达朗贝尔公式有
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
2
可见右行波与左行波分别为
1 1 f ( x at ) ( x at ) g ( x at ) ( x at ) 2 2
于是右行波与左行波的波形均为
1 f ( x) g ( x) ( x) 2
f ( x)
1
即 t =0 时的波形
2 4 6 8
2
1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2
f ( x at )
2
即 t 时的波形
2
4
6
8
f ( x at ) 表示在t时刻初始波以速度a沿x轴向右平移at个单位，
称为右行波。
同理
g ( x at ) 表示以速度a沿x轴的左行波。
行波
(2) u f ( x at ) g ( x at ) 的物理意义 例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0 ( x) 1 x, 0 x 1 其它 0， ( x) 0
试说明其解的物理意义。
2 1 -2 0
第三章 行波法
无界区域上偏微分方程的一种求解方法
§3.1 达朗贝尔（
DAlembert ）公式
1 无界弦自由振动的达朗贝尔公式推导