大学物理实验中不确定度的评定

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大学物理实验教学中关于实验数据的不确定度的计算和分析

大学物理实验教学中关于实验数据的不确定度的计算和分析作者：孙红章王翚苏向英来源：《教育教学论坛》2015年第35期摘要：本文首先讨论了大学物理实验教学中关于不确定理论中的直接测量量的A类、B类标准不确定度和合成不确定度以及间接测量量的不确定度的通常表示方法，随后推算出了几个基本物理实验中各个测量量不确定度的计算公式，对大学本科学生的物理实验教学具有指导意义。

关键词：大学物理实验教学;不确定度计算;固体密度测量;杨氏弹性模量测量;共轭法测凸透镜焦距中图分类号：G642 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）35-0169-02现如今在大学物理实验教学中为了更加准确和精确的表示实验测量结果，常使用不确定度理论来表示实验测量结果。

[1，2]在大学物理实验教学中，不确定度的计算一直是一个难点，也是一个重点，许多本科学生因为不确定度的计算方法非常复杂，而且计算量很大，而放弃对实验数据的科学处理。

这里我们将阐述大学物理实验教学中不确定度的通常表示方法，并结合有关的基本物理实验，在课堂上用多媒体演示，使大学一年级学生很容易掌握不确定度的计算，取得了良好的教学效果。

一、不确定度理论的一般原理和计算方法[3，4]不确定度理论对于直接测量量把数据的不确定度根据数据的性质来分类，把符合正态分布统计规律的称之为A类标准不确定度，而不符合正态分布统计规律的称之为B类标准不确定度。

把两类不确定度的平方和的根称之为测量量的合成标准不确定度，或者简称为不确定度。

大学物理实验中物理量的直接测量量的平均值的标准偏差即为A类标准不确定度，它的计算公式为：t的大小与物理量的测量次数n和置信概率p有关系，置信概率p一般约定取值为68.3%，特殊情况下置信概率p取95.4%。

如果我们测量9次，置信概率取p=68.3%，那么置信因子取t=1.07。

如果我们测量5次，置信概率取p=68.3%，置信因子取t=1.14。

大学物理实验测量不确定度与数据处理方法

0.0027m m
精选ppt
I 14 . 04 mA
电表额定误差：
AK %
（ A 为使用的量程，
K 为电表精度等级）
仪 15 0 . 5 %
0 . 075 mA
uB
u仪
0 . 0075 3
0 . 0043 mA
u c ( I ) u B 0 . 0043 mA
38
j4 D I23 .1 4 1 4 0 ..5 0 42 0 46 9.0 9m 3/m A2m
测量不确定度是测量质量的表述，决定了测量结果的使用价值，其值越小，测量结果质量越高，使用价值也越高，
精选ppt
14
标准不确定度u：用标准偏差表示的测量不确定度。
A类分标量准，不由确观定测度列分的量统u计A 分：析标评准定不。确又定称度
为统计不确定度。
B类标准不确定度分量u B：标准不确定度
分量，由不同于A类分量的其他方法确定。又称非统计不确定度。
例：测量某物体长度
ｎ
12
3
4
5
6
7
8
9
ｂｍｍ 42.35 42.45 42.37 42.33 42.30 42.40 42.48 42.35 42.49
长度的最佳值：
b
1 9
9
bi
i 1
＝42.369 mm
精选ppt
20
9 xi 42.3692 i1 91
＝0.064mm
uA
b
n
0.064＝0.021mm 9
次数 n时，t分布过渡到正态分布。
对有限次测量，要保持同样的置信概率（Ｐ= 68.3 %），A类标准不确定度应表示为

实验不确定度的评定

u B1 ( x ) = (1/ 2) × 0.2 V=0.1V。又如，利用肉眼观察远处物体成像的方法来粗测透镜的焦距时，虽然所用钢尺的分度值只有 1mm，但此时测量不确定度 u B1 ( x ) 可取数毫米，甚至更大。
仪器不确定度 u B 2 ( x ) 是由仪器本身的特性所决定的，它定义为：
u B 2 (x ) =
对乘除法： y = x1 ⋅ x2 ，或 y =
(2-2-6)
x1 ，则 x2
2 2 2
⎡ u (x1 ) ⎤ ⎡ u (x2 )⎤ ⎡ u ( y )⎤ ⎢ y ⎥ =⎢ x ⎥ +⎢ x ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦
对乘方（或开方）： y = x ，则
n
(2-2-7)
⎡ u ( y )⎤ ⎡ u (x )⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢n ⋅ x ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
u ( m) = ⎡ ⎣uB1 ( m ) ⎤ ⎦ +⎡ ⎣u B 2 ( m ) ⎤ ⎦ =
2 2
( 0.02 )
2
+ 0.01
(
3 g = 0.02g
)
2
（2）大圆柱体高度 H = ( H1 + H 2 + H 3 ) 3 = (5.026 + 5.029 + 5.007) 3 = 5.021mm
3 。有些仪器说明书没有直接给出其不确定度限值，但给出了仪器的准确度等级，则其不确定度限值 a 需经计算才能得到。如指针式电表的不确定度限值等于其满量程值
乘以等级，例如满量程为 10V 的指针式电压表，其等级为 1 级，则其不确定度限值
u B 2 (x ) = a
a = 10V × 1% = 0.1 V。

谈大学物理实验中不确定度A类分量的评定

Evaluation of Type A Component of Uncertainty in College Physics Experim ent QI N Yan - fen (N ingbo University of Technology, N ingbo, Zhejiang, 315016, China ) Abstract: The paper, based on the concrete data, discusses the random errors in multip le m easures in the col2 lege physics experim ent and the evaluation of type A component of uncertainty and its level of confidence when t - distribution follow s . Keywords: college physics experim ent, type A component of uncertainty, evaluation
σ ( x) — σ ( x ) 的意义其中 : x — 为样本的算术平均值 ,即最佳值也称期望值。算术平均值的标准误差。 σ ( x ) 范围之内。是在相同条件下再对 x进行 n次测量 ,其测量结果的平均值将有 68. 3%的概率落在 x ±
收稿日期 : 2006 - 10 - 21 作者简介 : 秦艳芬 ,女 ,宁波工程学院高级实验师。 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
多 ,在这种情况下 ,对于随机误差按 t分布处理 ,较为合理。 ( 3 )直接把样本的标准偏差 S ( x)值作为测量结果的不确定度 A 类分量 UA ,使结果处理简化 , S ( x) 可直接从计算器的统计功能中得到。 ( 4 )在实用中常常要求作高置信概率的报导。国家有关技术规范要求报导的置信概率取为 95% 。要求对一个物理量在同一条件下进行的测量次数 ≥7 次。

大学物理实验中的误差分析与不确定度评定

均值作为测量结果，如在霍尔效应实验巾，改变磁场和工作电流的方向，分别测出（＋Ｂ，十Ｉ）、（一Ｂ，＋Ｉ）、（＋Ｂ，一Ｉ）、（一Ｂ，一Ｉ）四种情况下的霍尔电压，再取其平均值，以减小或消除不等位电动势、温差电动势等附加效应所产生的
误差； ③数据分析法，测量所得数据明显不符合统计规律时，
测量过程巾可能存在线性系统误差或周期性系统误差。知道了系统误差的来源，就为减少和消除系统误差提供了依据。比如．可以采用更符合实际的理论公式、尽量满足理论公式的实验条件、仪器装置和测量的实验条件、控制实验环境条件等，
也可以利用实验技巧，改进测量方法。常Ⅲ 的方法有： ①交换
法（如用惠斯登电桥测中值电阻时通过交换Ｒ和Ｒ的位置减少系统误差：再如用天平测量物体质量时，把砝码和被测物体
ｎ一
∑ｘ．
总体平均值，ｐ￣＝ｌｉｍ
差大小。盯的大小只说明在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况，是表征测量结果分散性的重要参量。０－＝
臂电阻不准确造成的系统误差）： ③ 异号法，即改变测量中的

大学物理实验—不确定度

北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
6
1、合成不确定度
u ( x) u u
2 A
2 B
(k 1)
＊各不确定度相互独立扩展不确定度
U ( x) ku( x)
2、测量结果的不确定度表示
x u ( x) （单位） P …
u ( x) E ( x) 100 % x
在某一数值u范围内，用公式表示为：
N N0 u
（置信概率为P）
其中u值可以通过一定的方法进行估算，称为不确定度。
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
3
N N0 u
（置信概率为P）
测量的不确定度也可以理解为测量误差可能出现的范围，标示着测量结果的可靠程度。如果不确定度越大，则测量结果可靠性差，应用价值低，反之，则测量结果的可靠性好，应用价值大。
Uy
Uy yEy
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
21
1、间接测量量的最佳值
直接测量量
x, y , z , 的最佳值为 x , y , z ,
N f ( x , y, z ,)
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
其中：直接测量量x、y、z…的不确定度分别是
：
ux、uy、uz ux、uy、uz
则，间接测量量N的不确定度量的不确定度
uN 是由直接测量
传递而来。
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment

大学物理实验教学中的不确定度评定

（稿日期：０２０４收２０ — １２）
摘要本文根据《Ｊ０９１９ＪＦ１５ — ９９测量不确定度评定与表示》件精神，合物理实文结
验教学实际，最后测量结果如何报道进行了分析讨论．对关键词实验教学；确定度；不国家标准；信概率置
（ｐａｔｅｔｏａｈｍａｉｓＤｅｒｍｎｆＭｔｅｔｃ，Ｐｈｓｃｎｅｈｎｉｓ，ｙｉｓａｄＭｃａｃＲａｌｙＤｉｔｉｔｏｆＣｅｔａｓｔｎｖｒｉｙ，Ｃｈｎｈ．４０５，ＣｈｎａｉｗａｓｒｃｎｒｌｏｕｈＵｉｅｓｔａｇｓａ１０７ｉ）
ＡｂｓｒｃＷｅｓｕｅｔａｔｔｄｉｄａｎｄｄｓｕｓｅｗｏｒｐｔｒｓｔｆｔｅｓｅｅｓｕｎｄｅｉｃｓｄｈｏｔｅｏｒｅｕｌｓｏｈｅｍａｕｒｍｎｔｒ
“ ａｕｔｏｎｐｅｓｏｆＵｎｅｔｉｔｎＭｅｓｒｍｅｔ（Ｊ０９１９）ＥｖｌａｉｎａｄＥｘｒｓｉｎｏｃｒａｎｙｉａｕｅｎ ” ＪＦ１５－９，ｂｓｄ９ａｅ
差，９９年１月发布并于５月正式实施国家１９
１引言
计量技术规范《Ｊ０９１９ＪＦ１５－９９测量不确定度评定与表示》．近几年来很多院校已在物理Ｊ

大学物理实验不确定度分析实例

对各测量量求偏导：
∂ ln ρ 1 = ∂m m
∂ ln ρ 1 = −2 ∂D D
1 1 2 1 2 2 2 2 代入不确定度传递公式： = [( ⋅ ∆ m ) + ( − ⋅ ∆ D ) + ( − ⋅ ∆ H ) ] = 0 .0020 = 0 .20 % ρ m D H
∆ρ
ρ的不确定度为：
P = 0.683
E D = 0.03%
计算ρ：
ρ=
4m 4 × 14.00 = g / cm 3 = 8.094 g / cm 3 πD 2 H π (1.0492) 2 × 2.0003
ρ的不确定度分析：
函数为乘除形式，取对数：
ln ρ = ln
4m
π
− 2 ln D − ln H
∂ ln ρ 1 =− ∂H H
∆ ρ = 8.094 × 0.0020 g / cm 3 ≈ 0.02 g / cm 3
ρ的测量结果：ρ = (8.09 ± .02) g / cm3 0
Eρ = 0.2%
P = 0.683
D/cm H/cm 1.0502 2.000 1.0488 2.002 1.0516 1.998 1.0480 2.000 1.0495 2.000 1.0470 2.002
【解】
对于m，进行单次测量，只有B类不确定度
m = 14.00 g
m的测量结果表示：
∆B =
∆仪 3
=0.02 ຫໍສະໝຸດ = 0.01g 317 2 × 2 + 232 + 32 × 3 cm = 0.0006cm 5
∆A = σH = σH
2
6
= 0.0002cm

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( 4 ) 的标准偏差传递公式在数学上是严密的. 人们公
第2期
贺文阳等 : 大学物理实验中不确定度的评定
55
认 u( y) 为以标准偏差形式表示的不确定度 , 其传递公式形同标准偏差的形式, 也是各分量与偏导数之积的方和根, 于是得到间接测量量的总不确定度的近似公式为: u( y) = ( [( f ) u( x i ) ] 2 = xi + ( f 2 2 ) u ( xn ) xn ( 5) 式中 u( x i ) 为各直接测量量 x i 的合成不确定度; f 为传递系数. xi 2. 3 测量结果的扩展不确定度扩展不确定度 U 由合成标准不确定度 u ( y) 乘以包含因子 k p 得到 : U = k p u ( y) 式中 k p 为与 p 值相关的包含因子 , 通常 k p 等于 t p , 在实际数据计算中 , 都取 P = 0. 95 , k p = 1. 96. u( y) 中包含 A 类分量和 B 类分量 . 2. 4 相对不确定度为了更直观地评价测量结果的准确度, 常采用相对不确定度的概念 , 相对不确定度用百分数表示 U Ey= y 100%
3
结束语
不确定度的概念和体系是现代误差理论发展的
基础上建立和完善的 , 是对测量结果评定和表示国际标准化和规范化的重要体现. 掌握不确定度的概念 , 应作为大学物理实验教学的基本要求 , 这是物理实验教学内容改革的一个重要环节. 参考文献
朱鹤年 . 物理实验研究 [ M ] . 清华大学出版社 , 1990: 12 - 43. 国家质量技术监督局 , 测量不确定度评定与表示 , JJF1059- 1999[ S] . 中国计量出版社 , 1999. 李埸碚 . 实验的数学处理 [ M ] . 科学出版社 , 1980: 103. 丁慎训 , 张孔时 . 物理实验教程 [ M ] . 北京 : 清华大学出版社 , 2003.
(xi- x)
4
5 1. 11 2. 57
6 1. 09 2. 45
7 1. 05 2. 36
8 1. 05 2. 31
9 1. 05 2. 26
10 1. 05 2. 26
20 1. 03 2. 09 1. 00 1. 96
1. 20 3. 18
1. 14 2. 78
由表可见, 当测量次数足够多时, t 分布趋于标准正态分布 ( 2) 多次直接测量的 B 类标准不确定度的评定在物理实验中, B 类标准不确定度的数值主要来自以前的测量数据, 对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验 , 技术说明书或其他证书以及手册等提供数据 . 若已知 B 类分量误差的极限, 则 B 类不确定度为 u B( x) =
其中 tp 为与一定置信概率 p 相联系的包含因子 . 可由表 1 查出不同置信概率下因子 tp 与测量次数的关系
2
则平均值的标准偏差 S ( x) 为 : S ( x) =
测量次数 P = 68. 3% P = 95%
S ( xi) = n
1 1. 54 12. 7
1 n( n- 1)
2 1. 32 4. 30 3
式中 x 为测量值, 对等精度多次测量而言 , x 为多次测量的算术平均值; U 为不确定度, Er 为相对不确定度.
2
不确定的分类和评定方法
测量不确定度通常由几个分量构成, 按数值的
评定方法不同可将分量分为 A 类和 B 类 . A 类分量是指在同一条件下多次重复测量时由一系列观测结果用统计方法计算的分量, 用符号 u A 表示. B 类分量是指用非统计方法计算的其他分量, 用符号 u B 表示. 测量不确定度有三种定量表达方式: 标准不确定度 : 用标准偏差表示的测量结果的不确定度 . 合成标准不确定度: 由若干标准不确定度合成的不确定度 . 扩展不确定度: 用包含因子 k 乘以合成标准不确定度 , 得到扩展不确定度 , 这样可以得到一个区间的量, 该区间包含了合理赋予的被测量值分布的大部分. 它将合成标准不确定度扩展了 k 倍, 从而提高了置信水平. 2 1 直接测量的不确定度的评定 2. 1. 1 单次直接测量的标准不确定度的评定
n
这里直接把 S ( x ) 作为 A 类标准不确定度 U A ( x) , 测量次数不是很少时, 对应的置信率为 68 . 3% , 当测量次数不太多( 教学实验测量中均为有限次测量, 一般只有 5- 10 次) , 这时测量结果偏离正态分布, 而服从 t 分布 . 则 A 类不确定度分量 u A ( x ) 由 S ( x ) 乘以因子 t p 求得 , 即 u A ( x) = tp S ( x) = tp 1 (xi- x)2 n( n - 1) i = 1
54
湖南工程学院学报在物理实验中经常遇到单次测量的情况. 原因
2008 年
由于多次测量的平均值比一次测量值更准确, 随着测量次数的增多, 平均值收敛于期望值. 因此, 通常以样本的算术平均值作为被测量值的估计 ( 即测量结果 ) , 以平均值的标准偏差 S ( x) 作为测量结果的标= S ( x) = 1 2 (xi- x) n( n- 1) i= 1 ( 1)
[ 3] [ 4] [ 1] [ 2]
扩展不确定度 U 与相对不确定 E y 只取 1 至 2 位有效位数 , 由扩展不确定度决定测量结果的有效数字的位数 . 2. 5 测量结果可表示为 y= y k p u ( y) Ey = k p u ( y) y 100% ( 4)
f 2 2 f 2 2 ) u ( x1 ) + ( ) u ( x2 ) + x1 x2
Abstract: T his paper discusses t he m odern prog ress of the ev aluat io n sy st em of uncert aint y and puts fo r w ard t he ur gency of expanding and using uncert aint y in the universit y of physics ex periment teaching . A method o f assessing t he uncer tainty is given. Key words: uncert aint y; st andard uncert ainty ; synt hesis uncert aint y; ex panded uncer tainty
仪
f 2 f 2 f 2 ) S x 12+ ( ) S x 22+ ( ) Sx n 2 ( 4) x1 x2 xn 式中 s y 为间接测量量的标准偏差; S ( x i ) 为直 , x n 互相独立的前提下, 式
3
( 2)
接测量量的标准偏差. 在各量 x 1 , x 2 ,
( 3) 多次直接测量的合成标准不确定度的评定
摘要: 讨论了不确定度的评价体系的现代进展 , 提出了在大学物理实验中推广和使用不确定度的迫切性 , 就不确定度的评定方法进行了探讨 . 关键词: 不确定度; 标准不确定度 ; 合成不确定度 ; 扩展不确定度中图分类号 : O4- 34 文献标识码 : A 文章编号: 1671- 119X( 2008) 02- 0053- 03 范围, 即随机误差分量和未定系统误差分量的联合
是多次测量时 A 类不确定度远小于 B 类不确定度 , 或物理过程不能重复 , 因此无法多次测量. 在一般情况下 , 简化的做法是采用仪器误差 , 作为单次测量的不确定度的估计值. 故 U= uB( x ) = 仪 2. 1. 2 多次直接测量的标准不确定度的评定 ( 1) 多次直接测量的 A 类标准不确定度的评定在相同条件下, 对某一物理量 x 进行 n 次等精度独立测量 , 其测量值分别为 x 1 , x 2 , x 3 , , x n, 则该测量值的最佳估计值为算术平均值 , 即 1 x = n i = 1x i 在这种情况下, 单次测量的标准偏差 S xi , 由贝塞尔 ( Bessel) 公式得到 : S ( xi) = 1 n- 1 (xi- x)2
The Evaluation of Uncertainty in University of Physics Experiment
H E Wen yang, L IU Yan hui
( Dept. o f M ath. and P hy. , H unan Instit ute o f Eng ineering, Xiang tan 411104, China)
第 18 卷第 2 期
2008 年 6 月
湖南工程学院学报
Journal of H unan Inst it ut e of Engineering
V o1. 18. No . 2 June 2008
大学物理实验中不确定度的评定
贺文阳, 刘艳辉
( 湖南工程学院数理系 , 湖南湘潭 411104)
0
引
言
分布范围. 一个完整的测量结果不仅要给出该量值的大小 ( 即数值和单位 ) , 同时还应给出它的不确定度 , 用不确定度来表征测量结果的可信赖程度. 于是测量结果应写成下列标准形式: x= x U ( 单位 ) Er = U x 100 %
大学物理实验中的实验误差和数据处理是大学物理实验课程的重要教学内容之一 , 传统的误差理论是用" 测量误差 " 概念来评价测量结果的可信程度, 这种表示方法不尽完善, 往往有可能会遗漏一些影响测量结果准确性的因素, 例如未定的系统误差、仪器误差等. 鉴于上述原因, 为了更准确地表述测量结果的可靠程度 , 1980 年, 国际计量局制度了实验不确定度建议书 ING- 1( 1980) , 1993 年, 国际标准化组织在国际计量局等 7 个国际组织的支持下 , 制定测量不确定度表示指南 ISO1993CE ( Guide to the ex pression o f uncert aint y in measurement ISO1993CE) , 简称 GU M; 为了与国际标准同步 , 我国又颁布了新的国家计量技术规范 JJF1059- 1999 测量不确定评定与表示 , 中国国家计量技术规范明确提出了测量结果的最终形式 , 要用不确定度来评定与表示 . 因此 , 推广和使用不确定度表示是物理学研究和教学中的自然趋势, 对大学物理实验教学中有关误差分析和数据处理教学内容的改革提出了较为迫切的新要求 .