多体动力学讲稿6 多刚体系统拉格朗日动力学
动力学中的拉格朗日方程
动力学中的拉格朗日方程在物理学和工程学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的重要工具。
拉格朗日方程由法国数学家和物理学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出，它能够将系统的动力学问题转化为一组方程，进而方便地求解系统的运动规律。
本文将介绍拉格朗日方程在动力学中的应用，以及其原理和推导方法。
一、拉格朗日方程的原理拉格朗日方程是从一种被称为“拉格朗日力学”的理论体系中得出的。
在拉格朗日力学中，系统的运动被描述为一种能量的变化过程。
拉格朗日方程的原理是基于系统的动能和势能的概念。
系统的动能可以用质点的质量和速度来表示，而势能则是系统中各个物体相对于某一参考点的位置所具有的能量。
根据能量守恒定律，系统的总能量在运动过程中保持不变。
拉格朗日方程的基本思想是，系统的动能和势能之间存在一种函数关系，称为拉格朗日函数。
通过对拉格朗日函数求取变量的极值，可以得到系统的运动方程。
这就是拉格朗日方程的原理。
二、拉格朗日方程的推导方法要推导拉格朗日方程，需要首先确定系统的拉格朗日函数。
拉格朗日函数可表示为系统的动能与势能之间的差异。
以单个质点为例，其拉格朗日函数可表示为L = T - V，其中T为动能，V为势能。
对于多个质点构成的系统，拉格朗日函数的表达式包含了各个质点的动能和相互作用势能。
然后，通过对拉格朗日函数对各个质点的运动变量求取变分，可以得到相应的运动方程，即拉格朗日方程。
三、拉格朗日方程的应用拉格朗日方程在经典力学和动力学中有广泛的应用。
它可以用于描述各种复杂力学系统的运动，如振动系统、弹性体、刚体等。
通过求解拉格朗日方程，可以精确地得到系统的运动规律，并且相较于牛顿力学的方法，具有更加简洁明了的形式。
在求解拉格朗日方程时，一种常见的方法是利用拉格朗日方程的守恒量。
当系统具有某些对称性时，拉格朗日方程会出现某些守恒量，如动量、角动量等。
这些守恒量能够更加简化运动方程的求解过程，并提供对系统运动性质的重要信息。
多刚体系统动力学理论概述
多刚体系统动力学理论概述多刚体系统动力学的研究方法包括Lagrange方法、Newton－Euler方法、Roberson－Wittenburg方法、Kane方法和变分法等。
基于第一类Lagrange方程建立带乘子的最大数目动力学方程，对推导任意多刚体系统的运动微分方程提供了一种规范化的方法，其主要特点有：为减少未知量数目，选择非独立的笛卡儿广义坐标；运动微分方程中不包含约束反力，利于求解；在方程中引入动能和势能函数，求导计算量随分析系统的刚体数目增加而大增。
此方法由于方便计算机编译通用程序，目前使用广泛，已被一些多体动力学软件作为建模理论而采用。
一、笛卡儿广义坐标下的各参量笛卡儿方法是以系统中每个物体为单元，在物体上建立随体坐标系。
体的位形均相对于一个公共参考系定义，位形坐标统一为固连坐标系原点的笛卡儿坐标系与坐标系的姿态坐标。
规定全局坐标系OXYZ，其基矢量为e＝［e1，e2，e3］T，过刚体任意一点O（基点）建立与刚体固连的随体坐标系oxyz，其基矢量为e′＝［e′1，e′2，e′3］T。
随体坐标系能够确定刚体的运动，采用3个笛卡儿坐标以及3个方位坐标。
坐标变换矩阵A表示随体坐标相对于全局坐标系的关系。
如图1.1所示，假设刚体从OXYZ变换到oxyz，随体坐标系oxyz 相对于全局坐标系OXYZ的姿态可以由三次有限转动（绕体轴3－1－3顺序）确定，即先绕OZ轴转ψ角度，再绕ON轴转θ角度，最后绕oz转φ角度。
其中，θ为章动角；ψ为进动角；φ为自转角。
图1.1 坐标系转换示意图将ψ、θ和φ这3个描述刚体姿态的坐标称为欧拉角坐标。
三次转动的坐标变换矩阵分别为从随体坐标系oxyz到全局坐标系OXYZ的坐标变换矩阵为式中，cψ＝cosψ，其余类推。
根据角速度叠加原理，刚体的角速度矢量ω为将该矢量投影到全局坐标系中，写成矩阵形式，有其中求导角速度表达式可得到角加速度的表达式：如上所述，刚体的位形由随体坐标系的平动以及相对全局坐标系的转动确定。
多体系统动力学基本理论
多体系统动力学基本理论第2章多体系统动力学基本理论本章主要介绍多体系统动力学的基本理论，包括多刚体系统动力学建模、多柔体系统动力学建模、多体系统动力学方程求解及多体系统动力学中的刚性（Stiff）问题。
通过本章的学习可以对多体系统动力学的基本理论有较深入的了解，为具体软件的学习打下良好的理论基础。
2.1 多体系统动力学研究状况多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。
从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义。
本节将叙述多体系统动力学发展的历史和目前国内外研究的现状。
2.1.1 多体系统动力学研究的发展机械系统动力学分析与仿真是随着计算机技术的发展而不断成熟的，多体系统动力学是其理论基础。
计算机技术自其诞生以来，渗透到了科学计算和工程应用的几乎每一个领域。
数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS、NASTRAN等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。
计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS和DADS为代表的动力学分析软件。
两者共同构成计算机辅助工程（CAE）技术的重要内容。
多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。
多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。
它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学上的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，目前已趋于成熟。
《刚体动力学》课件
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
应用场景：碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义：角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
角动量定理公式：L=Iω
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
应用场景：行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动：刚体在平面内绕固定点转动，滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦：刚体在平面内滑动时产生的摩擦力，滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例：例如，汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力，以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究：通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律，为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义：物体加速度的大小跟作用 力成正比，跟物体的质量成反比
应用：解释物体运动状态变化的 原因
添加标题
添加标题
公式：F=ma
添加标题
添加标题
注意事项：只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义：动量是物体质量与速度的乘积
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展：古代力学对刚体的研究 经典力学时期：牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期：弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展：计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容：刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生
机械多体系统动力学
机械多体系统动力学机械多体系统动力学是研究多个物体之间相互作用和运动规律的一门学科。
它涉及到刚体、弹性体等物体的运动学和动力学问题，是机械工程、航天航空等领域的重要基础理论之一。
在机械多体系统动力学中，我们关注的是多个物体之间的相对运动以及受力情况。
为了描述这些物体的运动，我们需要建立数学模型来表示它们的位置、速度和加速度等物理量。
通过对这些物理量的分析，我们可以得到物体之间的相互作用力以及它们的运动规律。
在机械多体系统中，物体之间的相互作用力可以分为两类：内力和外力。
内力是指物体内部不同部分之间的相互作用力，例如弹簧的弹力、杆件的轴向力等。
外力则是物体受到的外部作用力，例如重力、摩擦力等。
通过对这些力的分析，我们可以得到物体的受力情况，并进一步推导出物体的运动规律。
机械多体系统动力学的研究方法主要有两种：拉格朗日方法和牛顿-欧拉方法。
拉格朗日方法是一种基于能量原理的方法，通过建立广义坐标和广义力的关系，可以得到物体的运动方程。
牛顿-欧拉方法则是一种基于牛顿定律的方法，通过建立每个物体的受力平衡方程，可以得到物体的运动方程。
在实际应用中，机械多体系统动力学可以用于分析和设计各种机械系统，例如机械臂、汽车悬挂系统、飞机起落架等。
通过对这些系统的动力学分析，我们可以评估它们的运动性能和稳定性，并进行优化设计。
除了机械多体系统的动力学分析，我们还可以通过数值模拟和实验验证来验证和验证我们的理论分析。
数值模拟可以通过计算机仿真的方式来模拟物体的运动，从而得到物体的运动轨迹和受力情况。
实验验证则是通过实际测量和观察来验证我们的理论分析结果。
总的来说，机械多体系统动力学是一门研究多个物体之间相互作用和运动规律的学科。
通过对物体的运动学和动力学分析，我们可以得到物体之间的相互作用力以及它们的运动规律。
这对于机械工程、航天航空等领域的设计和研究具有重要的意义。
同时，数值模拟和实验验证也是验证和验证我们的理论分析的有效手段。
多体动力学
多体动力学摘要多刚体系统的位置、姿态、运动及受力分析。
目录引言 (3)1 矢量 (4)1.1 矢量的定义及符号 (4)1.2 矢量的基本运算 (5)1.3 单位矢量的定义和符号 (6)1.4 零矢量的定义和符号 (6)1.5 平移规定 (6)习题一 (6)2 坐标系 (7)习题二 (8)3 矢量的坐标阵和坐标方阵 (8)习题三 (10)4 方向余弦矩阵 (10)4.1 方向余弦矩阵的定义 (10)4.2 方向余弦矩阵的用途 (11)4.3 方向余弦矩阵的性质 (14)习题四 (16)5 欧拉角 (16)5.1 欧拉角的定义 (16)5.2 欧拉角与方向余弦矩阵的关系 (17)5.3 欧拉角的奇点 (19)5.4 确定欧拉角的几何法 (19)习题五 (20)6 矢量在某参照物内对时间的导数 (21)习题六 (23)7 角速度 (24)习题七 (25)8 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数 (25)习题八 (28)9 矢量在两参照物内对时间导数的关系 (28)习题九 (29)10 角速度叠加原理 (30)习题十 (31)11 角加速度 (31)习题十一 (31)12 角速度与欧拉角对时间导数的关系 (32)习题十二 (34)13 点的速度和加速度 (34)习题十三 (36)14 刚体上固定点及动点的速度与加速度 (36)14.1 刚体上固定点的速度与加速度 (36)14.2 刚体上动点的速度与加速度 (39)习题十四 (40)15 刚体的动力学方程 (40)15.1 并矢 (40)15.2 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩 (43)15.3 达朗贝尔原理和动力学方程 (45)习题十五 (46)16 约束方程 (46)习题十六 (48)参考文献 (48)引言多体动力学的研究对象是由多个物体通过约束及力元件连接起来的空间机构。
将机构中的物体抽象为柔体，则得到多柔体系统，抽象为刚体则得到多刚体系统。
这里只涉及多刚体系统。
多体系统动力学基本理论
The orientation cosine matrix is A A1 A2 A3 (i j k i3 j3 k3 )
k 2 (k3 ) k (k1 )
j3
j2
1
i
j
k i1 k2 k k1 sin j2 cos k2 sin (sin i3 cos j3 ) cos k3 i1 i2 cos i3 sin j3 k2 k3
i1 j1 k1
cos sin 0 A1 sin cos 0 0 0 1
i
i1 (i2 ) i3
j
i1 j1 k1
i1 i2 j j 1 A2 2 , k1 k 2
(i1 )
i2 j2 k2
0 0 1 A2 0 cos sin 0 sin cos
i2 j2 k2
(k 2 )
i3 j3 k3
i2 i3 cos sin 0 j2 A3 j3 , A3 sin cos 0 k 2 k3 0 0 1 i i1 i2 i3 j j j j A1 1 A1 A2 2 A1 A2 A3 3 k k1 k 2 k3
Name DADS ADAMS Formulation method Newton Euler First Lagrange Results Time history Animation Time history Animation Frequency Response Time history
机械设计中的多体系统动力学分析与优化
机械设计中的多体系统动力学分析与优化随着科技的进步和工程的发展，机械设计的复杂性也日益提高。
在许多机械系统中，多个刚体或刚体组件的相对运动对系统性能、寿命和稳定性产生重要影响。
因此，对多体系统的动力学行为进行分析和优化变得至关重要。
本文将探讨机械设计中的多体系统动力学分析与优化的关键问题，并提出一些解决方案。
一、多体系统的动力学分析多体系统是由相互关联的刚体或刚体组件构成的机械系统。
在进行动力学分析时，我们需要考虑以下几个方面：1. 刚体模型建立：基于机械系统的几何形状和运动特性，我们可以建立相应的刚体模型。
刚体模型可以是简单的几何形体，也可以是更为复杂的三维模型。
2. 运动学分析：通过解析几何和运动学方程，我们可以获得每个刚体的位置、速度和加速度等参数。
这些参数对于后续的动力学分析至关重要。
3. 动力学分析：根据牛顿定律和欧拉动力学方程，我们可以建立多体系统的动力学方程。
通过求解这些方程，我们可以得到刚体受力和受力矩的值，从而了解系统的受力情况。
4. 约束分析：在多体系统中，可能存在一些约束条件，如接触约束、几何约束和运动学约束等。
通过分析约束，我们可以确定系统自由度，并简化动力学模型。
5. 仿真与分析：利用计算机仿真技术，我们可以对多体系统进行动力学分析。
通过分析仿真结果，我们可以得出系统的运动规律、振动频率和应力分布等信息。
二、多体系统的优化在进行机械设计时，我们经常需要优化多体系统的性能和功能。
多体系统的优化可以包括以下几个方面：1. 尺寸优化：通过改变刚体的尺寸和形状，我们可以改善多体系统的性能。
如增加结构的刚度、降低质量、减小空间占用等。
2. 材料优化：选择合适的材料可以显著改善多体系统的性能。
通过选择耐磨材料、高强度材料或轻质材料等，我们可以提高系统的寿命、强度和效率。
3. 运动学优化：通过调整多体系统的运动规律，我们可以优化系统的性能。
如调整连杆机构的运动曲线、改变驱动方式等。
4. 控制策略优化：合理的控制策略可以改善多体系统的动力学性能。