平面直角坐标系与函数
平面直角坐标系与函数的概念
专题四 函数第一节 平面直角坐标系与函数的概念一【知识梳理】1.平面直角坐标系如图所示：注意：坐标原点、x 轴、y 轴不属于任何象限。
2.点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由一个“有序实数对”组成，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，横坐标表示点在平 面内的左右位置，纵坐标表示点的上下位置。
3.各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律①各个象限内的点的符号规律如下表。
说明：由上表可知x 轴的点可记为(x , 0) ,y 轴上的点可记做(0 , y )。
⒋ 对称点的坐标特征:点P （y x ,）①关于x 轴对称的点P 1（y x -,）；②关于y 轴对称的点P 2（y x ,-）；③关于原点对称的点P 3（y x --,）。
5.坐标平面内的点和“有序实数对” (x , y)建立了___________关系。
6.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。
7.函数基础知识(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，对于x 的 ，y 都有与之对应，此时称y是x的，其中x是自变量，y 是．(2)自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②在实际问题的函数式中，要使实际问题有意义。
(3)常量：在某变化过程中的量。
变量：在某变化过程中的量。
(4) 函数的表示方法:①；②；③。
能力培养：从图像中获取信息的能力；用函数来描述实际问题的数学建模能力。
二【巩固练习】1. 点P(3，－4）关于y轴的对称点坐标为_______，它关于x轴的对称点坐标为_______．它关于原点的对称点坐标为_____．2.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).3.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点（3，－2）上，则○炮位于点（）A.（－1，1）B.（－1，2）C.（－2，1）D.（－2，2）4.如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a，b)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（）．A、y＝4n－4B、y＝4nC、y＝4n＋4D、y＝n26.函数13xyx+=-中自变量x的取值范围是（）A．x≥1-B．x≠3 C．x≥1-且x≠3 D．1x<-7.如图，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l），（2，－3），( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（）A．（2，－1）B．（2，2）C．（2，1） D．（3，l）8.右图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）图3相帅炮9.已知M(3a －9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．010.如图， △ABC 绕点C 顺时针旋转90○后得到△A ′B ′C ′， 则A 点的对应点A ′点的坐标是（ ）A ．（－3，－2）；B ．（2，2）；C ．（3，0）；D ．（2，l ）11．在平面直角坐标系中，点(34)P -，到x 轴的距离为（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．4 Ｄ．4-12.线段CD 是由线段AB 平移得到的。
讲平面直角坐标系与函数
奇偶性是指函数是否具有对称性的性质。如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则称该 函数为偶函数；如果满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。
03
一次函数
一次函数的定义
一次函数的定义
一般形式为y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0，自变量x的最 高次数为1。
解释定义
一次函数描述了一个直线上的点的变化规律，其中x表示横坐 标，y表示纵坐标。k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点坐 标。
值域是函数的重要组成部分，它们反映了函数与实际问题的联系和限制
。
函数的表示方法
函数的符号表示
通常用一个函数符号f(x)表示一个函数，其中x是自变量，f表示因变量。函数f(x)的值随x 的变化而变化。
表格法表示函数
表格法是一种直观地表示函数的方法，通过列出一些自变量x的值和对应的因变量y的值， 可以清晰地展示函数的变化情况。
当k<0时，函数在x<0和 x>0时都是单调递增的。
反比例函数的应用
在物理学中，反比例函数被用来 描述电磁场、引力场等物理现象 。
在生物学中，反比例函数被用来 描述细胞分裂、神经传导等生物 过程。
反比例函数的应用广泛，如在物 理学、工程学、生物学、数学、 化学和经济学等领域都有广泛的 应用。
在工程学中，反比例函数被用来 描述电路阻抗、流体阻力等物理 量之间的关系。
在数学中，反比例函数被用来研 究函数的奇偶性、单调性和周期 性等性质。
05
对数函数
对数函数的定义
自然对数函数：以数 学常数e为底数的对 数函数，记作f(x) = ln(x)。
对数函数的值域： f(x) ∈ (-∞, +∞)。
第9讲 平面直角坐标系与函数
度或函数增减性的变化规律.
[变式5] (2022武汉)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的
变化规律如图所示(图中O-A-B-C为一折线).这个容器的形状可能是(
A
B
C
D
)
A
1
(1)点的对称规律:关于横(或纵)轴对称的点,横(或纵)坐标不变,纵(或横)坐标变号;关于原点对称,
则横、纵坐标都变号.
(2)点的平移规律:左右移,纵不变,横减加;上下移,横不变,纵加减.
(3)有时需要根据点在坐标系中的位置,建立不等式(组)或方程(组),把点的坐标问题转化为不等式
(组)或方程(组)的问题解决.
D.若x-y=0,则点P(x,y)一定在第一、第三象限角平分线上
3.(2022雅安)在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点为(4,-b),则ab的值为(
A.-4
B.4
C.12
D.-12
D)
4.小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间
后到达学校,小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是(
停止.若点 P 的运动速度为 1 cm/s,设点 P 的运动时间为 t(s),AP 的长度为 y(cm),y 与 t 的函数图象
如图②所示.则当 AP 恰好平分∠BAC 时,t 的值为
①
②
2 +2
.
1.(2022常州)在平面直角坐标系xOy中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对称.已知点
2
A-D-C 向终点 C 运动,设点 Q 的运动时间为 x(s),△APQ 的面积为 y(cm ),若 y 与 x 之间的函数关系的
平面直角坐标系及函数基本概念
教师 许长征、田淑梅 年级九年 学科数学 第1课时 2012年 3月 14日课题平面直角坐标系及函数基本概念课型复习学 习 目 标1、平面直角坐标系2、点坐标对称性3、函数的概念4、自变量取值范围5函数表达方式及图像做法重点 点坐标对称性，函数的概念，自变量取值范围 难点 自变量取值范围环节导 学 设 计易错点及变式一、平面直角坐标系1、平面内有 且 的两条数轴，构成平面直角坐标系。
在平面直角坐标系内的点和 之间建立了—一对应的关系。
2、不同位置点的坐标的特征：（1）各象限内点的坐标有如下特征：点P （x, y ）在 象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在 象限⇔x ＜0，y ＞0；点P （x, y ）在 象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在 象限⇔x ＞0，y ＜0。
（2）坐标轴上的点有如下特征：点P （x, y ）在 轴上⇔y 为0，x 为任意实数。
点P （x ，y ）在 轴上⇔x 为0，y 为任意实数。
3．点P （x, y ）坐标的几何意义：（1）点P （x, y ）到 轴的距离是| y |； （2）点P （x, y ）到 袖的距离是| x |；（3）点P （x, y ）到 的距离是22y x +（4）在平面直角坐标系内任意两点的距离可表示为： 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是 ； （2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是 ； （3）点P （a, b ）关于原点的对称点是 ；【典型考题】 1、点P （-1，2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）．A ．（1，2）B ．（-1，2）C ．（1，-2）D ．（-1，-2）2、点M （1，2）关于x 轴对称点的坐标为（ ） A 、（－1，2） B 、（－1，－2） C 、（1，－2） D 、（2，－1）3、点 P （3，－4）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿＿＿＿。
平面直角坐标系及函数图像
曲面是三维空间中由无数个平面或曲线所围成的几何体。在 三维坐标系中，曲面的方程可以用一个三元方程来表示。例 如，球面方程为(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2，其中 (a,b,c)为球心坐标，R为球半径。
感谢您的观看
THANKS
空间点坐标
在三维坐标系中，任意一点P的位置可以用三个实数x、y、z来表示，称为点P的坐标，记 作P(x,y,z)。
空间点坐标表示方法
柱坐标
柱坐标是一种用极径、极角和垂直高度三个量来表示空间点位置的方法。在柱 坐标系中，点的位置用(r,θ,z)表示，其中r为点到Z轴的距离，θ为点与X轴正方 向的夹角，z为点到XY平面的距离。
05
拓展内容：三维坐标系简介
三维坐标系定义及性质
三维坐标系定义
三维坐标系是在平面直角坐标系的基础上，引入第三个坐标轴而形成的坐标系。通常，三 个坐标轴分别用X、Y、Z表示，它们互相垂直并相交于原点O。
右手定则
在三维坐标系中，通常采用右手定则来确定坐标轴的方向。即伸出右手，大拇指指向X轴 正方向，食指指向Y轴正方向，中指指向Z轴正方向。
利用性质判断
周期函数具有一些特殊的性质，如周期性、 对称性、可加性等，这些性质可以帮助我们 判断一个函数是否具有周期性。
04
典型问题解析与讨论
求交点坐标问题
01
02
03
解析法
联立两个函数的解析式， 解方程组求得交点的横纵 坐标。
图象法
在平面直角坐标系中分别 作出两个函数的图象，两 图象交点的坐标即为所求 。
坐标的表示方法
在平面直角坐标系中，一个点的坐标可以用数对来表示。例如，(a, b)表示一个点的横坐标为a，纵坐 标为b。当a>0且b>0时，该点位于第一象限；当a<0且b>0时，该点位于第二象限；当a<0且b<0时 ，该点位于第三象限；当a>0且b<0时，该点位于第四象限。
平面直角坐标系与函数
析 已: 知 点 (3 － m ， m － 1) 在 第 二 象 限 ， 所 以 方法点析 解决此类问题的一般方法是根据点在 ， 3－m<0 m>3， 坐标系中的符号特征，建立不等式 (组)或者方 故 ∴m>3，故选择 A. (组)或方程 程 ( 组 ) ，把点的问题转化为不等式 m－1>0， m>1， (组)来解决．
x<0，y<0 点 P(x, y)在第三象限⇔________________ x>0，y<0 点 P(x, y)在第四象限⇔________________
(2)坐标轴上点的坐标的特征
y＝0，x为任意实数 点 P(x, y)在 x 轴上⇔__________________
x＝0，y为任意实数 点 P(x, y)在 y 轴上⇔__________________
考点聚焦 归类探究 回归教材
作业：
《复习指导用书》
21
[点析] 根据函数图像，结合实际生活意义，对图像 进行分析判断即可得解．
19
考点聚焦
归类探究
回归教材
平面直角坐标系与函数
中考预测：看图说故事．请你编写一个故事，使故事情 境中出现的一对变量 x，y 满足如图所示的函数关系，要求： ①指出变量 x 和 y 的含义；②利用图中的数据说明这对变量 变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量．
3
考点聚焦
归类探究
回归教材
平面直角坐标系与函数
考点3 点到坐标轴或原点的距离
到 x 轴 点 P(a，b)到 x 轴的距离等于点 P 的 b 纵坐标的绝对值 ，即 的距离 ___________________ 到 y 轴 点 P(a，b)到 y 轴的距离等于点 P 的 横坐标的绝对值 ，即 a 的距离 ___________________ 到原点 点 P(a， b)到原点的距离 的距离
1.第9课时 平面直角坐标系与函数
或_(a__，__b_＋__n_)．口诀(a：，左b－减n右) 加，上加下减
第9课时 平面直角坐标系与函数
1. 在平面直角坐标系中，点M(－2，－5)在( C )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 下列各点不在x轴上的是( A )
A. (－1，－1)
B. (－1，1)
C. (1，1)
D. (1，－1)
第9课时 平面直角坐标系与函数
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Байду номын сангаас
5.点P(2，－3)关于y轴对称的点的坐标是_(_－__2_，__－__3_)_． 6. 在平面直角坐标系中，将点P(－3，2)向上平移4个单位长度后得到点P′，则P′ 的坐标为_(_－__3_，__6_)． 7. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m＋4，m－1)，若点P在过点A(2，－3)且 与x轴平行的直线上，则点P的坐标为(0_，__－__3_)__．
坐标刻画一个简单图形；
第9课时 平面直角坐标系与函数
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◎探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义； ◎结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例； ◎能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析； ◎ 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值； ◎能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系； ◎结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．
函数表达式的形式 自变量的取值范围
第9课时 平面直角坐标系与函数
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第11讲平面直角坐标系与函数课件
3．对称点的坐标
已知点 P(a，b)， (1)其关于 x 轴对称的点 P1 的坐标为__(_a_，__－__b_)_． (2)其关于 y 轴对称的点 P2 的坐标为__(_－__a_，__b_)_． (3)其关于原点对称的点 P3 的坐标为__(－__a_，__－__b_)_． 4．点与点、点与线之间的距离
5．常量、变量 在一个变化过程中，始终保持不变的量叫做__常__量__，可以 取不同数值的量叫做__变__量__． 6．函数 (1)概念： 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个值， y 都有__唯__一__确__定__的值与其对应，那么就称 x 是自变量，y 是 x 的函数．
(1)点 M(a，b)到 x 轴的距离为___|b_|_. (2)点 M(a，b)到 y 轴的距离为___|a_|_. (3)点 M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为__|_x_1－__x_2_| _. (4)点 M1(0，y1)，M2(0，y2)之间的距离为___|y_1_－__y_2|_.
⑥结合对函数关系的分析,能又对变量的变化情况进行初步讨论,了解分 段函数的意义
1.通过知识梳理，了解常量、变量的意义，函数的概念和三种表示方法, 能举出函数的实例 2.通过知识点例题训练，能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围, 并会求出函数值，并能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析 3.通过能力提升，熟练解决有关取值范围与函数图像的问题。 4.通过聚焦中考，感受中考，体验中考，提高学生分析问题解决问题的能 力。
小结与反思：求自变量的取值范围时要全面考虑式子有意 义的条件，特别是根号在分母中时，要考虑分母不为零的情况.
方法指点：确定自变量的取值范围
【点评】代数式有意义的条件问题: (1)若解析式是整式,则自变量取全体实数; (2)若解析式是分式,则自变量取使分母不为0的全体实数; (3)若解析式是偶次根式,则自变量只取使被开方数为非负数的全体实数: (4)若解析式含有零指数或负整数指数幂,则自变量应是使底数 不等于0的全体实数; (5)若解析式是由多个条件限制,必须第一求出式子中各部分 自变量的取值范围,然后再取其公共部分,此类问题要特别注意, 只能就已知的解析式进行求解,而不能进行化简变形,特别是 不能轻易地乘或除以含自变量的因式.
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• 【注意】 如果函数的解析式兼上述两种或 两种以上的结构特点时，则先按上述方法分 别求出它们的取值范围，再求它们的公共部 分．
第8页
知识点三
分析判断函数图象
• 1．判断实际问题的函数图象 • (1)找起点：结合题干中所给自变量及因变量 的取值范围，在对应的图象中找对应点； • (2)找特殊点：即交点或转折点，说明图象在 此点处将发生变化； • (3)判断图象趋势：判断出函数的增减性，图 象的倾斜方向等； • (4)看是否与坐标轴相交：即此时另外一个量 为0.
21
(a＋n，b)
第5页
知识点二
函数及其图象
• 1．函数的相关概念及函数值 • (1)变量、常量,变量是指在某一变化过程中， 不变 数值发生变化的量；常量是指在某一变化过 程中，数值始终①__________的量． 唯一确定 • (2)函数的概念及函数值 ,一般地，在一个变化 自变量 过程中，如果有两个变量 x与y，并且对于x的 每一个确定的值，y都有②______________的 列表法 值与其对应，那么我们就说 x是③ ____________，y是x的函数．如果当x＝a时， y＝b，那么b就叫做当自变量的值为a时的函
征
x<0，y<0 (4)点 P(x，y)在第四象限⇔③_________________
第2页
坐标轴 上点的 坐标特征
不属于 (1)坐标轴上的点④____________ 任何象限； y1 (2)点 P1(x1，y1)在 x 轴上⇔⑤__________ ＝0； x2 (3)点 P2(x2，y2)在 y 轴上⇔⑥__________ ＝0； (0,0)
第一部 分 教材同步复习
第三章 函 数
第10讲 平面直角坐标系与函数
知识要点· 归纳
知识点一
平面直角坐标系中点的坐标特征
• 1．点的坐标特征
各象限 (1)点 P(x，y)在第一象限⇔x>0，y>0；
x<0，y>0 内点的 (2)点 P(x，y)在第二象限⇔①_______________ ；
x>0，y<0 坐标特 (3)点 P(x，y)在第三象限⇔②________________ ；
第4页
•对称点的 3．点的对称与平移
坐标特征
(a，－b) 点 P(a，b)关于 x 轴对称的点的坐标为⑮__________________ ； (－a，b) 点 P(a，b)关于 y 轴对称的点的坐标为⑯__________________ ； (－a，－b) 点 P(a，b)关于原点对称的点的坐标为⑰____________________ (a，b＋m) 点 P(a，b)向上平移 m 个单位后的坐标为⑱____________________ ；
x≥2 y＝ x－2的自变量的取值范围为⑦____________
第7页
函数表达 式的形式
自变量的 取值范围 使底数不为零
举例
幂形式
的实数或全体 实数
y＝x－1 与 y＝x2 的自变量的取值范围分别为
全体实数 ⑧____________、⑨______________
x≠0
实际 问题
使实际问题有 正方形的边长为 x，面积为 y，则 y＝x2 的自变量的 意义 取值范围为⑩____________
2
(2)坐标轴上任意两点间的距离,①A(x1,0)，B(x2,0)都在 x 轴上，这两点间的距离 为|x1－x2|；,②C(0，y1)，D(0，y2)都在 y 轴上，这两点间的距离为|y1－y2|；,③E(x1， y1)，F(x2，y2)在平面直角坐标系中，这两点间的距离为 (x1－x2)2＋(y1－y2)2．
第 10 页
重难点 ·突破
重难点 分析判断函数图象 难点
• 例(2018·黄石)如图，在Rt△PMN中，∠P＝ 90°，PM＝PN，MN＝6 cm，矩形ABCD中， AB＝2 cm，BC＝10 cm，点C和点M重合，点B， C(M)，N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩 形ABCDA沿MN所在直线以每秒1 cm的速度向右 移动，至点C与点N重合为止．设移动x秒后， 矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y 与x的大致图象是( )
第3页
纵 坐标相等； (1)平行于 x 轴的直线上的点的⑩_____ 横 (2)平行于 y 轴的直线上的点的⑪______ 坐标相等
2．点到坐标轴、点到原点及两点间的距离,(1)点到坐标轴的距离,
|b| ①点 P(a，b)到 x 轴的距离,是⑫____________ ；,②点 P(a，b)到 y 轴的距离,是⑬ |a| a ＋b ____________ ；,③点 P(a，b)到原点的距离是⑭____________.
第9页
• 2．判断动点问题的函数图象 • (1)认真观察几何图形，找出运动起点和终点， 由动点移动范围确定自变量的取值范围； • (2)分清整个运动过程分为几段，关注动点运 动过程中的特殊位置(即拐点)的函数值，常关 注的拐点包括运动起点和终点的函数值以及 最大(小)函数值； • (3)关注每一段运动过程中函数值的变化规律， 与图象上升(或下降)的变化趋势相对比； • (4)在以上排除法行不通的情况下，需要写出 各段的函数解析式，进行选择．
第6页
• 3．确定函数自变量的取值范围 举例
式的形式 整式 分式 偶次 根式 取值范围 全体实数 使分母不为零 的实数 被开方数大于 或等于零
全体实数 y＝x＋1 的自变量的取值范围为⑤______________
函数表达
自变量的
1 x≠1 y＝ 的自变量的取值范围为⑥____________ x－1
(a，b－m) 点平移的 点 P(a，b)向下平移 m 个单位后的坐标为⑲____________________ ； (a－n，b) 坐标规律 点 P(a，b)向左平移 n 个单位后的坐标为⑳____________________ ；
点 P(a，b)向右平移 n 个单位后的坐标为○____________________
(4)原点的坐标为⑦________________ (1)第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵
相等 象限角平分线上 坐标⑧__________ ；
的点的坐标特征 (2)第二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵
互为相反数 坐标⑨________________
平行于坐标轴的 直线上点的坐标 特征