圆锥曲线中三点共线、四点共圆问题
圆锥曲线中的四点共圆问题
圆锥曲线中的四点共圆问题
圆锥曲线中的四点共圆问题是一个经典的几何问题。
它涉及到一个圆锥曲线上
的四个点，问是否存在一个圆可以同时经过这四个点。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
对于椭圆和抛物线，存在一个圆可以同
时经过任意四个点。
然而，对于双曲线，不存在一个圆可以同时经过四个不同的点。
要解决这个问题，我们首先需要理解圆锥曲线的性质。
椭圆是一个闭合曲线，
其中所有点的距离之和小于等于常数。
双曲线是一个无限曲线，其中所有点的距离之差等于常数。
抛物线是一个开放曲线，其中所有点到焦点的距离等于焦距的两倍。
如果我们选择任意四个点，对于椭圆和抛物线，我们可以找到一个圆可以同时
经过这四个点。
这是因为椭圆和抛物线的性质使得存在一个圆的半径足够大，可以同时与这四个点相切。
然而，对于双曲线，由于距离之差的性质，我们无法找到一个圆可以同时经过
四个不同点。
在双曲线上，任意四个不同点之间的距离之差不等于常数，因此无法通过一个圆来满足这个要求。
总结起来，圆锥曲线中的四点共圆问题在椭圆和抛物线中有解，但在双曲线中
无解。
这个问题涉及到圆锥曲线的性质和几何知识，对于几何研究和应用具有重要意义。
例谈曲线系方程在圆锥曲线中四点共圆问题的应用
图1曲线系方程：设f (x ,y )=0和g (x ,y )=0分别表示平面上的两条曲线，则经过两曲线交点的曲线系方程可以为λf (x ,y )+g (x ,y )=0(不含f (x ,y )=0).高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否在同一圆上，如果是，需求出圆的方程.应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤是：（1）设经过圆锥曲线和两直线交点的曲线系方程为λf (x ,y )+g (x ,y )=0，其中f (x ,y )=0表示圆锥曲线方程，g (x ,y )=0表示两直线构成的曲线方程；（2）将λf (x ,y )+g (x ,y )=0展开，合并同类项，与圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0比较系数，求出λ的值；（3）将λ反代回方程λf (x ,y )+g (x ,y )=0的展开式，化为圆的标准方程，从而得出四点共圆且求出了圆的方程.圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于四点，则四个交点在同一个圆上的充要条件是两直线的倾斜角互补.例1已知T (3,0),Q 是圆P :(x +3)2+y 2=16上一动点，线段QT 的中垂线与直线PQ 交于点S .（1）求动点S 的轨迹E 的方程；（2）过点()1,0且斜率为2的直线l 1与轨迹E 交于A ,B 两点，过原点且斜率为-2的直线l 2与轨迹E 交于M ,N 两点，判断A ,B ,M ,N 四点是否在同一圆上，若是，求出圆的方程.解析：(1)如图1，因为S 为QT 中垂线上的点，所以||ST =||SQ ，故||SP +||ST =||SP +||SQ =||PQ =4，即点S 的轨迹是以P ,T 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则2a =4，故a =2,又b 2=a 2-3=1，故动点S 的轨迹E 的方程为x 24+y 2=1.（2）由题意，l 1:2x -y -2=0，l 2:2x +y =0,例谈曲线系方程在圆锥曲线中四点共圆问题的应用四川省成都市树德中学李小蛟610091摘要：圆锥曲线中的四点共圆问题是近年考试的难点和热点，如何在解析几何问题中判断或证明四点共圆问题，是一直困扰师生的一个拦路虎.本文从曲线系方程出发，从纯解析的角度去理解并解决共圆问题.关键词：曲线系；运算；构建；共圆y QxTOP S ··20设经过A ,B ,M ,N 四点的曲线系方程为λæèçöø÷x 24+y 2-1+()2x -y -2()2x +y =0，整理得æèöøλ4+4x 2+()λ-1y 2-4x -2y -λ=0①.若方程①表示圆，则λ4+4=λ-1，解得λ=203，代入式①得x 2+y 2-1217x -617y -2017=0②.显然方程②表示圆，故A ,B ,M ,N 四点在同一圆上，圆的方程是x 2+y 2-1217x -617y -2017=0.评注：直线和椭圆交点是否共圆问题，若采用先求解出点坐标（用参数表示），再用三点确定圆方程（可用圆方程一般方程或标准方程），再检验其余点是否在该圆上.这种求解方法便于理解，但运算量非常大，对学生的应试心理和考场毅力要求较高.反观若运用曲线系方程则减少运算量，参数非常少（只引入了λ），在考场上对学生的应试信心会有很大的提升.例2已知抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ,过F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线E 交于A ,C 和B ,D .问：A ,B ,C ,D 四点是否共圆？若是，求出圆的方程；若不是，说明理由.解析：由题意，两直线都不与坐标轴垂直，可设AC 的方程为x =my +2，BD 的方程为y =-m ()x -2，经过A ,B ,C ,D 四点的曲线系方程y 2-8x +λ(x -my -2)(mx +y -2m )=0，化简整理得λmx 2+(1-λm )y 2+λ(1-m 2)xy-(8+4m λ)x +2λ()m 2-1y +4m λ=0③.若该方程表示圆，则{λ()1-m 2=0λm =1-λm,即m =±1且λm =12.代入式③整理得x 22+y 22-10x +2=0，化为标准方程得()x -102+y 2=96.综上，当且仅当两直线倾斜角分别为π4,3π4时，A ,B ,C ,D 四点共圆，圆的方程为()x -102+y 2=96.评注：抛物线方程形式上左边二次，右边一次，因此抛物线与直线交点共圆问题联立时相对椭圆运算量要小一些，但本题同样涉及用参数m 表示，形式还是比较复杂，且表示圆的形式更加繁琐.因此，采用曲线系方程解决问题可减少运算，思路清晰，求解目标明确，形式简捷.例3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b>0)的一条渐近线方程为3x -2y =0,且过点()4,3.（1）求双曲线C 的方程；（2）斜率为-12的直线l 1过点()-1,0且与双曲线C 交于A ,B 两点，斜率为k 的直线l 2过原点且与双曲线C 交于M ,N 两点，若A ,B ,M ,N 四点是在同一圆上，求k 的值及该圆的方程.解析:（1）由题意，ìíîïïïïb a16a 2-9b2=1,解得a =2,b =3，故双曲线C 的方程为x 24-y 23=1.（2）由已知直线l 1的方程为y =-12(x +1)，即x +2y +1=0，直线l 2的方程为kx -y =0，故可设经过A ,B ,M ,N 四点的曲线系方程为λæèçöø÷x 24-y 23-1+(x +2y +1)(kx -y )=0，整理得æèöøλ4-k x 2-æèöøλ3+2y 2+(2k -1)⋅xy +kx-y -λ=0④.若方程④表示圆，则ìíîïïλ4-k =-æèöøλ3+22k -1=0解得ìíîïïλ=-187k =12，代入式④··21图2化简得x 2+y 2-716x +78y -94=0⑤.显然方程⑤是圆的方程，经检验，当k =12时，直线l 2与双曲线C 有两个交点，故k =12，所求圆的方程为x 2+y 2-716x +78y -94=0.评注：本题是两直线与双曲线交点的四点共圆问题，采用曲线系方程求解，虽引入两个未知数（k ,λ），但根据圆一般方程的形式运算相对较小，且易于检验是否四点共圆.例4已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,直线y =4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且||QF =54||PQ .（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点，若AB 的垂直平分线与C 相交于M ,N 两点，且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上，求l 的方程.解析:（1）由{y =4y 2=2px .得x =8p ，即Q æèçöø÷8p ,4，所以||PQ =8p ，||QF =8p +p 2.因为||QF =54||PQ ，所以8p +p 2=54⋅8p，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .（2）由题意，直线l 的斜率存在，设为k ，且k ≠0，则直线AB 的方程为y =k (x -1).由ìíîy =k ()x -1y 2=4x .得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2k 2+4k2，x 1x 2=1，y 1+y 2=k ()x 1+x 2-2=4k，故AB 中点D 的坐标为æèçöø÷k 2+2k 2,2k ，故直线MN 的方程为x =-ky +3k 2+2k2.可设经过A ,M ,B ,N 四点的曲线系方程为λ(y 2-4x )+(kx -y -k )æèçöø÷x +ky -3k 2+2k 2=0，整理得kx 2+(λ-k )y 2+(k 2-1)xy -(4λ+)3k 2+2k 2+k x +æèçöø÷3k 2+2k 2-k 2y +3k 2+2k 2=0⑥.若方程⑥表示圆，则{k =λ-k k 2-1=0，故{k =1λ=2或{k =-1λ=-2.当k =1，λ=2时，代入式⑥整理得()x -72+()y +22=48，符合题意；当k =-1，λ=-2时，代入式⑥整理得(x -7)2+(y -2)2=48，符合题意.综上所述，直线l 的方程为y =±()x -1.评注:本题运算相对复杂（特别是求解直线MN 方程需用k 的相关形式表示），但涉及四点共圆时用曲线系解答非常巧妙地避开了用k 表示相关点求解圆方程，减少运算，降低思维难度，用一种形式轻松解决两个参数（k ,λ）的求解.曲线系方程从统一的思想高度来思考问题,求大同存小异,考虑共性的东西，不刻意去顾及个性特征，是数学形式与数学本质的完美结合，形式简洁、大气，体现了数学的形式美、简洁美与和谐统一之美.基金项目：本文为四川省数学会重点立项课题“提升学生核心素养的高中数学课程校本化研究”研究成果（项目编号：2020SXHJY004）.y A M DF B O Nx ··22。
一道圆锥曲线上四点共圆高考题的探析
１
设点 T
２
２
由于 １６c
n２ －１２＝０．
o
sα－s
i
nα≠０,又 直 线 AB 与 曲
线C 有 两 个 交 点,因 此 该 方 程 有 两 个 实 根 ．
设 点 A,
B
k１ ＋k２ ＝０．
故直线 AB 与直线 PQ 的斜率之和为 ０．
(t－ １２k )
２
２
２
y２
＝１(
a＞０,
b＞０),直 线 AB 与 CD 的 公 共 点 P (
k２
６
１ －１
２ －１
则(
k２
k１ －k２ )(
k１ ＋k２ )＝０,显 然 k１ －k２ ≠０,所 以
２,
因 为
２
k１ ＋k２ ＝０．
因此,直线 AB 与直线 PQ 的斜率之和为 ０．
解法 ４:直线的参数方程法 ．
λ
(
y２ － (
k１k２ ＋λ)
x ＋ １－
k１ ＋ k２ )xy ＋
１６
(
)
k ＋k
J]．
报,
２０１５(
３):
３５
Ｇ
３９．
[
基于学科核心素养 培养数学运算能力
i
nα
(下转第 ８６ 页)
２
(
t ＋１２)(
１＋k )
．
２
k２ －１６
２
１
２
x
证明:当 圆 锥 曲 线 是 椭 圆 时,不 妨 设 方 程 为 ２ ＋
a
２
２
２
２ ２
６９
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四点共圆的判定方法
四点共圆的判定方法四点共圆是指四个点在同一圆周上，这种情况在几何学中经常会遇到。
那么如何判断四个点是否共圆呢？本文将介绍四种方法，包括解析几何法、向量法、余弦定理法和三角形面积法。
以下是详细的方法：一、解析几何法1. 假设已知四个点的坐标分别为A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3,y3）和D（x4, y4）。
2. 计算出AB、AC和AD三条线段的长度，分别记作a、b和c。
3. 根据勾股定理可以求出三角形ABC、ABD和ACD的面积S1、S2和S3。
4. 如果S1+S2+S3等于ABC三角形的面积，则说明四个点共圆。
二、向量法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 分别计算出向量AB、AC和AD的叉积，得到三个向量的模长，分别记作a、b和c。
3. 计算出向量AB与AC之间的夹角α，向量AB与AD之间的夹角β，以及向量AC与AD之间的夹角γ。
4. 如果α+β+γ等于180度，则说明四个点共圆。
三、余弦定理法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 计算出AB、AC、AD、BC、BD和CD三对线段之间的夹角，分别记作α、β和γ。
3. 根据余弦定理可以求出三个角的余弦值cosα、cosβ和cosγ。
4. 如果cosα+cosβ+cosγ等于0，则说明四个点共圆。
四、三角形面积法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 构造三角形ABC和ABD，分别计算出它们的面积S1和S2。
3. 构造三角形ACD和BCD，分别计算出它们的面积S3和S4。
4. 如果S1+S2等于S3+S4，则说明四个点共圆。
总结：以上就是判断四点共圆的四种方法，其中解析几何法比较简单易懂，适用于初学者；向量法需要一些向量知识，但计算较为简便；余弦定理法需要一些三角函数知识，但也比较容易掌握；三角形面积法则需要计算多个三角形的面积，稍微有些繁琐。
根据实际情况选择合适的方法进行判断即可。
高考数学总复习考点知识专题讲解17 狭义曲线系与广义曲线系方程
高考数学总复习考点知识专题讲解 专题17 狭义曲线系与广义曲线系方程知识点一圆锥曲线与两相交直线构成的圆系方程（四点共圆问题）圆锥曲线上的四点共圆问题：圆锥曲线221(,)0f x y Ax By Dx Ey F =++++=上存在四点P 、Q 、M 、N,且PQ 与MN 相交于点T ，若满足TQ TP TN TM ⋅=⋅，则P 、Q 、M 、N 四点共圆（如图）．根据初中的相交弦定理（左图）或切割线定理（右图）即可证明，当然也有同学觉得需要更严谨的证明，不妨利用相似来证明．下面我们来理解四点共圆的曲线系方程形式，由于是221(,)0f x y Ax By Dx Ey F =++++=上四点形成的圆，不妨设0:11=+-m y x k l MN ，0:22=+-m y x k l PQ ，而⋅+-=)(),(112m y x k y x f0)(22=+-m y x k 表示满足直线MN 和直线PQ 上的任意点方程，0),(),(21=+y x f y x f λ表示过圆锥曲线和两直线构成的弱化二次曲线交点的一系列曲线方程，而这一系列曲线中，有一个满足圆的方程),(111223=++++=F y E x D y x y x f ，即()()2211220Ax By Dx Ey F k x y m k x y m l +++++-+-+=，或者221122()()Ax By Dx Ey F k x y m k x y m l +++++-+-+22111()x y D x E y F m =++++．由于没有xy 的项，必有120k k --=．即PQ 与MN 斜率互为相反数．定理：圆锥曲线的内接四边形PQMN 出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补．其方程可以写成22(Ax By Dx Ey F kx l +++++12)()0y m kx y m -+--+=，此时2A k B l l -=+，方程表示一个圆．推论:若圆锥曲线221()f x y Ax By Dx Ey ，=+++0F +=上存在四点P 、Q 、M 、N ，斜率互为相反数，且PQ 是MN 中垂线，则1MN k =±； 证明四点共圆的步骤：1．设出曲线系方程，解出l ；2．根据222440R D E F =+->证明四点一定共圆．【例1】（2021•新课标1卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(0)F ，20)F ，点M 满足12||||2MF MF -=．记M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【例2】（2005•湖北）设A 、B 是椭圆223x y λ+=上的两点，点(13)N ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点． （1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由．【例3】（2011•全国卷）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交于A ，B 两点，点P 满足0OA OB OP =++． （1）证明：点P 在C 上；（2）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．知识点二狭义曲线系之以坐标定曲线模型构造：123()()()f x y f x y f x y λμ+=，，，如图，A 、B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，M 、N 为椭圆上任意两点，MN 与x 轴交于点Q ，AM 与BN 交于点P ，我们可以理解为A ，M ，B ，N 四点确定椭圆（双曲线和抛物线也一致），那么四点之间连线有6条，我们选取两条交点在椭圆内的直线乘积式构造弱化二次曲线1()0f x y =，，再选取两条交点在椭圆外的直线乘积式构造另一条弱化的二次曲线2()0f x y =，，可以理解为两条弱化的二次曲线形成了这个椭圆22322()10x y f x y a b=+-=，，即123()()()f x y f x y f x y λμ+=，，，注意：这里最终结果会指向一个极点极线性质2P Q x x a =，故在设计:0AB l y =，:0MN l x ky m --=，1()()0f x y y x ky m =⋅--=，，1:0AM l x k y a -+=，2:0BN l x k y a --= 212()()()0f x y x k y a x k y a =-+⋅--=，，从而得出：221222()()()(1)x y y x ky m x k y a x k y a a bλμ⋅--+-+⋅--=+-；记住：曲线系只需要对比系数，确定参数，无需展开求出λ和μ，k ，1k ，2k 均是斜率倒数，不是斜率．【例4】（2020•新课标Ⅰ卷）已知A ，B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G为E 的上顶点，8AG GB =．P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．【例5】（2023•江苏月考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)bC x y a b a +=>>的离心率是12，焦点到 相应准线的距离是3． （1）求a ，b 的值；（2）已知A 、B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，(10)F ，，连接AF 、BF 并分别延长交椭圆C 于D 、E 两点，证明：直线DE 过定点．【例6】（2011•四川）如图，椭圆有两顶点)01(，-A 、)01(，B ，过其焦点)10(，F 的直线l 与椭圆交于D C ，两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．当点P 异于B A ，两点时，求证：OQ OP ⋅为定值．【例7】(2022全国甲卷)已知抛物线2:2(0)C y px p =>焦点为F ，点(,0)D p 过焦点F 做直线l 交抛物线于,M N 两点，当MD x ⊥轴时，||3MF =. (1)求抛物线方程(2)若直线,MD ND 与抛物线的另一个交点分别为,A B .若直线,MN AB 的倾斜角为,αβ，当αβ-最大时，求AB 的方程【例8】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点)22(，，离心率为22．（1）求椭圆的方程;（2）过点)10(，P 做椭圆的两条弦AB ，CD （A ，C 分别位于第一、二象限），若BC ，AD 与直线1=y 分别交于M ，N ，求证：PN PM =．【例9】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为23，半焦距为(0)c c >，且1a c -=，经过椭圆的左焦点1F 斜率为11(0)k k ≠的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设(10)R ，，延长AR ，BR 分别与椭圆交于C 、D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求12k k 的值及直线CD 所经过的定点坐标．知识点三广义曲线系之以斜率定曲线回到那个话题，就是曲线系是不需要解方程的，只需要对比方程的系数，为什么呢？只要满足同解同根，满足方程同构，这样构造的方程就是以这些根为基准的一系列曲线方程，通过系数锁定，找出他们共同的关系，体现了方程中的动中求静，从而实现定点定值的锁定。
圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件
圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件
四点共圆是椭圆锥曲线 (ECC) 中常见的一个概念，
它表示一条曲线上拥有相同的曲线长度。
椭圆锥曲线上的四点共圆的充要条件是：
首先，四点的坐标必须满足基准公式，即曲线的标量变换关系。
即四点之间的X和Y坐标之和必须满足特定的条件。
其次，四点必须在具有给定椭圆曲线方程的椭圆上。
因此，该椭圆只能是有解的，这意味着椭圆不可以是一个圆，它的F、D、G参数也必须满足一定的要求。
此外，四点的连接线必须存在一个共点，这个共点作为椭圆上的一个中心点，从而使四点可以构成一个共圆的椭圆锥曲线。
最后，四点的连接线的斜率必须相同，这样四点才能构成一个共圆的椭圆锥曲线。
总而言之，四点共圆椭圆锥曲线的充要条件是：四点必须满足曲线的标量变换关系；必须位于有解的椭圆上；连接线必须有一个共点；所述四点的连接线的斜率都必须相同。
只有符合上述所有条件的四点之后，四点才能构成一个共圆的椭圆锥曲线。
圆锥曲线中的四点共圆问题
圆锥曲线中的四点共圆问题摘要：一、引言二、圆锥曲线的基本概念1.椭圆2.抛物线3.双曲线三、四点共圆问题的定义和性质1.定义2.性质四、四点共圆问题的解法1.解析几何法2.代数法3.切比雪夫不等式法五、结论正文：一、引言圆锥曲线是数学中的一个重要领域，包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
在解决实际问题中，常常会遇到四点共圆问题，即判断四个点是否共圆。
本文将对圆锥曲线中的四点共圆问题进行探讨，分析其性质，并介绍一些常用的解法。
二、圆锥曲线的基本概念1.椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，其标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中a 和b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2.抛物线抛物线也是圆锥曲线的一种，其标准方程为：y^2 = 2px，其中p 为抛物线的参数。
3.双曲线双曲线是圆锥曲线的另一种类型，其标准方程为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，其中a 和b 分别为双曲线的长半轴和短半轴。
三、四点共圆问题的定义和性质1.定义四点共圆问题指的是判断给定的四个点是否共圆。
如果四个点共圆，则它们在同一个圆上；如果不共圆，则它们不在同一个圆上。
2.性质四点共圆问题有以下性质：（1）如果四个点共圆，则它们的圆心到任意一点的距离相等；（2）如果四个点不共圆，则它们的圆心到任意一点的距离不相等；（3）如果四个点共圆，且其中三点共线，则第四点一定在这条直线的垂直平分线上；（4）如果四个点不共圆，且其中三点共线，则第四点不在这条直线的垂直平分线上。
四、四点共圆问题的解法1.解析几何法解析几何法是解决四点共圆问题的一种直接方法，通过求解圆的方程，判断四个点是否满足圆的方程。
2.代数法代数法是另一种解决四点共圆问题的方法，主要通过计算四个点之间的距离，判断它们是否满足共圆的条件。
3.切比雪夫不等式法切比雪夫不等式法是一种求解四点共圆问题的实用方法，通过切比雪夫不等式求解四个点之间的最大距离和最小距离，从而判断它们是否共圆。
高中数学圆锥曲线系统讲解第26讲《三点共线问题》练习及答案
第26讲 三点共线问题知识与方法在解析几何中，三点共线一般用斜率相等或向量共线来计算：（1）斜率相等：A 、B 、C 三点共线AB AC k k ⇔=或直线AB 、AC 的斜率都不存在； （2）向量共线：A 、B 、C 三点共线AB AC ⇔∥.典型例题1.（★★★★）已知曲线()()22:528C m x m y −+−=()m ∈R .（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点分别为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A 、G 、N 三点共线. 【解析】（1）原曲线方程可化为2218852x y m m +=−−，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，所以88052m m >>−−，解得：752m <<. （2）当4m =时，曲线C 的方程为2228x y +=，由题意，()0,2A ，()0,2B −，联立22428kx x y y ++==⎧⎨⎩消去y 整理得：()222116240k x kx +++=，判别式()232230k ∆=−>，故232k >，设()11,4M x kx +，()22,4N x kx +，由韦达定理，1221621k x x k +=−+，1222421x x k =+， 直线MB 方程为1162kx y x x +=−，令1y =解得：1136x x kx =+，所以113,16x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭故113,16x AG kx ⎛⎫=−⎪+⎝⎭，()22,2AN x kx =+要证A 、G 、N 三点共线，只需证AG 与AN 共线， 即证()1221326x kx x kx +=−+成立，化简得：()121246kx x x x =−+①由1221621kx x k +=−+和1222421k x x k =+可得式①成立，所以A 、G 、N 三点共线.2.（★★★★）已知A 、B 分别为曲线222:1x C y a+=()0,0y a ≥>与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B且与x 轴垂直，S 为l 上异于B 的一点，连接AS 交曲线C 于点T . （1）若曲线C 为半圆，且T 为圆弧AB 的三等分点，求S 点的坐标；（2）如下图所示，M 是以BS 为直径的圆与线段BT 的交点，试问：是否存在a ，使得O 、M 、S 三点共线?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）当曲线C 为半圆时，1a =，由点T 为圆弧AB 的三等分点得60BOT ∠=︒或120°，当60BOT ∠=︒时，30SAB ∠=︒，又2AB =，所以在SAB △中，tan303SB AB =⋅︒=，故S ⎛ ⎝⎭当120BOT ∠=︒时，同理可求得点S 的坐标为(，综上所述，点S 的坐标为⎛ ⎝⎭或( （2）解法1：由题意，(),0A a −，(),0B a ，直线AS 不与坐标轴垂直，可设其方程为x my a =−()0m ≠，联立2222x a x m a ay y ⎧⎨+==−⎩消去x 整理得：()22220m a y may +−=，解得：0y =或222mam a+，所以222T may m a =+，从而()2222T T a m a x my a m a −=−=+，故()2222222,a m a ma T m a m a ⎛⎫−⎪ ⎪++⎝⎭， 联立x x amy a ⎧⎨==−⎩解得：2a y m =，所以2,a S a m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为点M 在以BS 为直径的圆上，所以SM BM ⊥，又M 是圆与线段BT 的交点，所以SM BT ⊥，故O 、M 、S 三点共线等价于OS BT ⊥，即()222222221OS BTmam a k k m a m a am a +⋅=⋅=−−−+，结合0a >可解得：a =，所以存在a =，使得O 、M 、S 三点共线.解法2：显然AS 的斜率存在且大于0，故可设直线AS 的方程为()y k x a =+，联立()ay k x x a ⎧⎪⎨==+⎪⎩解得：2y ka =，所以(),2S a ka ，故直线OS 的斜率22OS ka k k a ==， 设()00,T x y ，则220021x y a +=，所以220021x y a=−，从而202200022222000011AT BT BTx y y y a k k k k x a x a x a x a a−⋅=⋅=⋅===−+−−− 所以直线BT 的斜率为21BT k a k=−，因为点M 是线段BT 与以BS 为直径的圆的交点，所以BT SM ⊥，从而211BT MS MS k k k a k=−⋅=−，故直线MS 的斜率为2MS k a k = 而O 、M 、S 三点共线等价于OS MS k k =，即22a k k =，所以a =，故存在a =使得O 、M 、S 三点共线.强化训练3.（★★★★）已知椭圆22154x y +=的右焦点为F ，设直线:5l x =与x 轴的交点为E ，过点F 的直线1l 与椭圆交于A 、B 两点，M 为线段EF 的中点.（1）若直线1l 的倾斜角为45°，求ABM △的面积S ；（2）过点B 作BN l ⊥于点N ，证明：A 、M 、N 三点共线.【解析】（1）由题意，()5,0E ，()1,0F ，()3,0M ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 若直线1l 的倾斜角为45°，则其方程为1y x =−，联立221541x y y x =−⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：298160y y +−=，判别式()284916640∆=−⨯⨯−=故12121299ABM S FM y y y y =⋅⋅−=−==△.（2）证法1：当1l y ⊥轴时，易得A 、M 、N 三点都在x 轴上，故A 、M 、N 三点共线， 当1l 不与y 轴垂直时，设其方程为1x my =+，联立221541x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩ 消去x 整理得：()22458160m y my ++−=，易得判别式0∆>，由韦达定理，122845my y m +=−+，1221645y y m =−+()13,MA x y =−，因为()25,N y ，所以()22,MN y =，要证A 、M 、N 三点共线，只需证MA 与MN 共线，即证()12132x y y −=，即()121320x y y −−=，也即()1211320my y y +−−=，故只需证()121220my y y y −+=而()1212221682204545m my y y y m m m ⎛⎫⎛⎫−+=⋅−−⋅−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以A 、M 、N 三点共线. 证法2：当1l y ⊥轴时，易得A 、M 、N 三点都在x 轴上，故A 、M 、N 三点共线， 当1l 不与y 轴垂直时，设其方程为1x my =+，联立221541x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩ 消去x 整理得：()22458160m y my ++−=，易得判别式0∆>，由韦达定理，122845m y y m +=−+，1221645y y m =−+ 由题意，()25,N y ， 所以()()()()()()112112121212111123213232232323AM MN y x y y my y y y my y y y k k x x x x −−−+−+−−=−===−−−− 而()1212228162204545m y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫+−=⋅−−⋅−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故0AM MN k k −=，即AM MN k k =，所以A 、M 、N 三点共线.【反思】证明三点共线，常用证向量共线或证斜率相等的方法. 4.（★★★★）已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的右焦点为F ，椭圆的上顶点和两个焦点的连线构成一.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线:l x my q =+()0m ≠与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，设点A 关于椭圆长轴的对称点为1A ，试求1A 、F 、B 三点共线的充要条件.【解析】（1）由题意，2222122a cc b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪−=⎩，解得：2a =，b 1c =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1）知()1,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()111,A x y −()1111,FA x y =−−，()221,FB x y =−−，1A 、F 、B 三点共线的充要条件是1F A 与FB 共线，即()()()122111x y x y −=−−，整理得：()1221120x y x y y y +++=①联立22143x my q x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()2223463120m y mqy q +++−=判别式()()()2222223643431248340m q m q m q ∆=−+−=+−>，所以22340m q +−>②，由韦达定理，122634mq y y m +=−+，212231234q y y m −=+，所以()()()()()()122112122112121221x y x y y y my q y my q y y y my y q y y +++=+++−+=+−+()()()()2222312166403434m q q mq m q m m −+−−−===++因为0m ≠，所以4q =，代入式②得：24m >，即2m > 故A 、F 、B 三点共线的充要条件是4q =且2m >.。
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圆锥曲线中的三点共线、四点共圆问题
1、(2012北京卷）已知曲线C:
(m ∈R)， （1）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；
（2）设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线c 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线.
22(5)(2)8m x m y -+-=
2、（2017年上海卷）、已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．（1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小；
（2）求证：点B、O、C三点共线．
3、（2011年全国大纲卷）已知O为坐标原点，F为椭圆C：
2
21
2
y
x+=
在y轴正
半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A、B两点，点P满足
.
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。
4、（2014年全国大纲卷）已知抛物线C：22(0)
y px p
=>的焦点为F，直线4
y=
与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且
5
||||
4
QF PQ
=.
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线'l与C相较于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.。