(甘志国)二次曲线上的四点共圆问题的完整结论
简解二次曲线上的四点共圆问题
Ｌ，
２
系数相等 ， 得 一
， 此时曲线（ １ ） 即
（ ２ ）
它 与椭 圆 ． ２ ７ ２ 一 一 的交 点 Ａ， Ｂ， ｃ， Ｄ 的坐
厶
ｚ ＋ｖ ０ ＋ｃ ＇ ｘ＂ ｑ － ｄ＇ ｙ＋ ｅ 一０
标 即方程 组
的形 式 ， 这 种形 式 表 示 的 曲线 有且 仅 有 ３种
６ ４
数学教学研 究
第３ ４卷第 ８期
２ ０ １ ５年 ８月
简解 二 次 曲线 上的 四点 共 圆 问题
甘志 国
（ 北京丰台二中 １ ０ ０ ０ ７ １ ）
竞赛题
． ．
（ ２ ０ １ ４ 年全国高中数学联赛湖
再结合 （ Ｉ） 的答案 知 ， 当 ＞ １ ２时， 点
Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ共圆（ 且在圆（ ＊） 上） ． 这道 竞赛题 的一般 情形 是二 次 曲线上 的 ４点共 圆 问题 ， 该 问题 的一 般结 论是 ： 定理 １ ） 若 两 条 二 次 曲线 口 ｚ 。 ＋ｂ ｙ ＋
题２ （ ２ ０ １ １ 年高考 全国大纲卷理科第
２ １ 题（ 文科 ２ ２题 ） ） 已知 ０为 坐标 原 点 ， Ｆ为
． ．
２
椭圆Ｃ ： 。 －普一１ ４ 在 轴正半轴上的焦点，
厶
必要性． 若４ 个交点共 圆， 则存在 ， 使方程
（ ３ ） 表示 圆 ， 所 以式 （ ３ ） 左 边 的展 开式 中含 ｘ ｙ 项 的系数 （ 以 １ ｂ ２ ＋ａ ２ ｂ １ ） 一０ ． 而 ≠ ０ （ 否 则 （ ３ ） 表 示 曲线 工 １ ， 不表 示 圆 ） ， 所 以
（ ｚ＋ ３ ） ０ ＋（ 一 ６ ） ＝４ ２ ＋３ ６ ．
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为2cm，则点P在⊙O( )A. 外B. 内C. 上D. 无法确定2. 下列方程中，没有实数根的是( )A. x2=xB. x2+1=0C. x2+2x+1=0D. x2+2x−1=03. 20名同学参加某比赛的成绩统计如表，则成绩的众数和中位数(单位：分)分别为( )成绩/分80859095人数/人2864A. 85，85B. 85，87.5C. 85，90D. 90，904. 已知关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+m2−m=0有一根为0，则m的值是( )A. 0B. 1C. 0或1D. 0或−15. 如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则BE⏜的度数为( )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°6. 如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为( )A. 4B. 5C. 6D. 8二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7. 方程x2=1的解是______．8. 已知⊙O的半径为10cm，圆心O到直线l的距离为12cm，则直线l与⊙O的位置关系是______．9. 书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月借阅图书845本，设该校这两个月借阅图书的月均增长率为x，根据题意可列方程为______，x=______．10. 设x1，x2是一元二次方程x2−3x−2=0的两个根，则x1x2−x1−x2=______．11. 正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则由半径OA，OC和AC⏜围成的扇形的面积为______．12. 若一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，另一组数据x1+2，x2+3，x3−5，x4−2，x5+1的平均数是b，则a______b(填写“>”、“<”或“=”)．13. 将半径为3cm面积为3πcm2的扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，该圆锥的底面半径为______cm．14. 如图，圆的内接五边形ABCDE满足CD=ED，CD//AE，∠ABC=140°，则∠D=______．15. 已知m是方程x2−3x−1=0的一个根，则m3−10m=______．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1.过⊙O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是______．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。
专题3.8 四点共圆(隐圆压轴五)(解析版)
∴DG＝CG﹣CD＝ ＝ ，
在 Rt△ADG 中，由勾股定理得
＝
＝
，
∴
＝
＝
．
故答案为：6，
．
【变式 1-5】如图，AB⊥BC，AB＝5，点 E、F 分别是线段 AB、射线 BC 上的动 点，以 EF 为斜边向上作等腰 Rt△DEF，∠D＝90°，连接 AD，则 AD 的最 小值为 ．
【答案】 ． 【解答】解：连接 BD 并延长，如图，
模型解读：
模型 1：对角互补型： 若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º, 则 A、B、C、D 四点共圆 模型 2：同侧等角型 （1）若∠A=∠C, 则 A、B、C、D 四点共圆
（2）手拉手(双子型)中的四点共圆 条件：△OCD∽△OAB 结论：①△OAC∽△OBD ②AC 与 BD 交于点 E,必有∠AEB=∠AOB； ③点 E 在△OAB 的外接圆上,即 O、A、B、E 四点共圆.同理：ODCE 也四点共圆.
∴S△ABC＝
＝
＝300 km2．
则当△ADC 的面积最大时，四边形 ABCD 的面积最大．
当 AD＝CD 时，DF 最大，此时四边形 ABCD 的面积最大．
在 Rt△ACE 中，AC＝
＝10 km，AF＝ AC＝5
km，
∵∠ADF＝
＝30°，
∴DF＝ AF＝5 km，
∴S△ADC＝
Hale Waihona Puke ＝＝925 km2．
C．15
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，
∴A、E、D、F 四点共圆，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴DE＝DF＝6，
一道圆锥曲线上四点共圆高考题的探析
１
设点 T
２
２
由于 １６c
n２ －１２＝０．
o
sα－s
i
nα≠０,又 直 线 AB 与 曲
线C 有 两 个 交 点,因 此 该 方 程 有 两 个 实 根 ．
设 点 A,
B
k１ ＋k２ ＝０．
故直线 AB 与直线 PQ 的斜率之和为 ０．
(t－ １２k )
２
２
２
y２
＝１(
a＞０,
b＞０),直 线 AB 与 CD 的 公 共 点 P (
k２
６
１ －１
２ －１
则(
k２
k１ －k２ )(
k１ ＋k２ )＝０,显 然 k１ －k２ ≠０,所 以
２,
因 为
２
k１ ＋k２ ＝０．
因此,直线 AB 与直线 PQ 的斜率之和为 ０．
解法 ４:直线的参数方程法 ．
λ
(
y２ － (
k１k２ ＋λ)
x ＋ １－
k１ ＋ k２ )xy ＋
１６
(
)
k ＋k
J]．
报,
２０１５(
３):
３５
Ｇ
３９．
[
基于学科核心素养 培养数学运算能力
i
nα
(下转第 ８６ 页)
２
(
t ＋１２)(
１＋k )
．
２
k２ －１６
２
１
２
x
证明:当 圆 锥 曲 线 是 椭 圆 时,不 妨 设 方 程 为 ２ ＋
a
２
２
２
２ ２
６９
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第46讲 解析几何中的四点共圆问题(解析版)
第46讲 解析几何中的四点共圆问题一、单选题1．（2020·全国全国·模拟预测）已知1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左右焦点，点P 为双曲线右支上一点，直线1PF 交y 轴于点Q ，且点O ，Q ，P ，2F 四点共圆（其中O 为坐标原点），若射线2F Q 是21PF F ∠的角平分线，则双曲线的离心率为（ ） A 21 B 31C ．2D 5【答案】B 【分析】由O ，Q ，P ，2F 四点共圆得到222QPF QOF π∠∠==，结合射线2F Q 是21PF F ∠的角平分线以及双曲线的性质求得212126PF F QF F Q PF π∠=∠=∠=，由此求得12,PF PF ，结合双曲线的定义求得双曲线的离心率. 【详解】因为点O ，Q ，P ，2F 四点共圆，所以222QPF QOF π∠∠==．因为射线2F Q 是21PF F ∠的角平分线，所以221PF Q QF F ∠=∠，由双曲线的对称性知1221PF F QF F ∠=∠，所以212126PF F QF F Q PF π∠=∠=∠=，122F F c =，因此2PF c =，13PF c ，从而1223=-=-a PF PF c c ， 因此离心率3131c e a ===-. 故选：B2．（2020·河北·张家口市宣化第一中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上下顶点分别为,A B ，右顶点为C ，右焦点为F ，延长BF 与AC 交于点P ，若,,,O F P A 四点共圆，则该椭圆的离心率为（ ） A ．212B 31- C 51- D 52- 【答案】C【分析】由,,,O F P A 四点共圆，可得AC BF ⊥，即1AC BF k k ⋅=-，列等式即可求解. 【详解】如图，()0,A b ，()0,B b -，(),0C a ，(),0F c ， 因为,,,O F P A 四点共圆，2AOC π∠=,所以2APF π∠=，所以AC BF ⊥，即1AC BF k k ⋅=-，()00100b b ac ---⋅=---，整理可得2b ac =， 所以22a c ac -=，210e e +-=，解得15e -±= 因为01e <<，所以51e -= 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.二、多选题3．（2021·山东菏泽·二模）已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y=1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（ ） A ．F 1，F 2，P ，I 四点共圆 B ．△PQF 1的内切圆半径为1 C ．I 为线段OQ 的三等分点 D ．PF 1与其中一条渐近线垂直【答案】ABD 【分析】根据双曲线的定义可得1||4PF =，2||2PF =，由双曲线的对称性可判断A ；由双曲线的定义可判断B ；根据122Rt Rt F PF QOF ∽可判断C 、D. 【详解】解析：由勾股定理及双曲线的定义可得：1||4PF =，2||2PF = 对于A ：易知I 在y 轴上，由对称性可得112GF I EF I IF Q ∠=∠=∠，则1290F IF ∠=︒，可知1F ，2F ，P ，I 四点共于以12F F 为直径的圆上；A 正确对于B ：11||||||2PF PQ FQ r +-=1212||||||||||122PF PQ F Q PF PF a +--====，正确对于C ：121222||||Rt Rt ||252||||||F P PF F PF QOF QO OI QO OF ⇒=⇒==∽△△， 故I 为QO 中点，C 错误．D 显然正确．故选：ABD4．（2021·江苏海安·模拟预测）已知双曲线22145x y -=，)(00,P x y 为双曲线上一点，过P 点的切线为l ，双曲线的左右焦点1F ，2F 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则（ ） A ．125d d =B ．直线l 与双曲线渐近线的交点为M ，N ，则M ，N ，1F ，2F 四点共圆C ．该双曲线的共轭双曲线的方程为22145y x -=D ．过2F 的弦长为5的直线有且只有1条 【答案】AB 【分析】对于A 中，求得切线l 的方程005420x x y y -=，结合点到直线的距离公式，可判定A 正确 对于B 中，联立方程组，分别求得,M N 坐标，结合斜率公式，可判定B 正确，根据共轭双曲线的定义，可判定C 错误；结合实轴长和通经，可判定D 错误. 【详解】由题意，双曲线22145x y -=的焦点坐标为)(13,0F -，)(23,0F ， 对于A 中，由双曲线的性质，可得切线l 的方程为00145x x y y-=，即005420x x y y -=， 则)()()()()(22000012222222220025916259161520152052516255204251654x x x x d d x y x xx yx y -----====++-⋅++，所以A 正确对于B 中，联立方程组0054205x x y y y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得0000455252M x y x y ⎫--，又由0054205x x y y y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得0000455252N x y x y ⎫++， 1000000524545356352MF x y k x y x y -==+-+-2000000524545356352MF x y k x y x y -=-+--，)()())(00000012200000060524535645356tan 10018035614535645356x y x y x y F MF x y x y x y ---++-∠==--+-+，1000000524545356352NF x y k x y x y +==++++2000000524545356352NF x y k x y x y +==---+则()())(00000012200220060524535645356tan 100180********x y x y x y F NF x y x y ++++--∠==-++-+1212tan tan F MF F NF ∠+∠))())()()(2000000002200006052180356605218035618035618056x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤--+++--⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎦⎣=⎡⎡⎤⎤---+⎢⎢⎥⎥⎦⎦⎣⎣)()))(2200000000605218095252180952x y x y x y x y ⎧⎫⎡⎡⎪⎤⎤=--+++--⎨⎬⎢⎢⎥⎥⎦⎦⎣⎣⎪⎭⎩))))2200000000540522052522052x y x y x y x y ⎧⎫⎡⎡⎪⎤⎤=--+++--⎨⎬⎢⎢⎥⎥⎦⎦⎣⎣⎪⎭⎩)())()2222000000000000540205405452205405452x y x y x y x y x y x y ⎡⎤=---+++---⎥⎢⎦⎣))00000540405205220520x x y x y ⎡⎤=-+--=⎢⎥⎦⎣， ∴1222tan tan 0F MF F NF ∠+∠=，1222180F MF F NF ∠+∠=︒， ∴M ，N ，1F ，2F 四点共圆，B 正确.对于C 中，双曲线22145x y -=的共轭双曲线为22154y x -=，所以C 错误对于D 中，由双曲线22145x y -=，可得2,a b ==3c =， 可得245a =<，且通经长225b a =，所以过2F 的弦长为5的直线有3条，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】方法点拨：联立方程组，求得点M ⎫，N ⎫，结合斜率公式和倾斜角的定义，判定得到四点共面是解答的关键.三、双空题 5．（2021·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上不同的三点(1,2)A ，()11,B x y ，()22,C x y ，满足AB BC ⊥，120y y ≠，且O ，A ，B ，C 四点共圆，则直线BC 的方程是___________；四边形OABC 的面积为___________． 【答案】224y x =-+ 90 【分析】结合AB BC ⊥，,,,O A B C 四点共圆，由1OA OC k k ⋅=-求得2y ，进而求得C 的坐标，由1AB BC k k ⋅=-求得1y ，进而求得B 点坐标.由,B C 的坐标求得直线BC 的方程.求得,,,OA OC AB BC ，由此求得四边形OABC 的面积. 【详解】依题意有π2AOC ABC ∠=∠=， 则22222222814OA OC y y k k y x y ====-⋅，得22228,164y y x =-==， 又有1112412AB y k x y -==-+， 1212121448BC y y k x x y y y -===-+-， 所以1144128y y ⋅=-+-，解得16y =或10y =（舍），21194y x ==. 故可知(9,6)B ，(16,8)C -， 则有直线BC 的方程为()8669169y x ---=--，即224y x =-+；易知OAOC =AB =BC =所以1()902OABC S OA OC AB BC =⨯+⨯=四边形．故答案为：224y x =-+；90四、填空题6．（2021·广西·模拟预测（理））过)F作与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于A 、B 两点，若OAFB 四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为______．【分析】联立OA 直线、与FA 直线，求出A 点的坐标，联立OB 直线、与FB 直线，求出B 点的坐标，观察坐标可知，四边形OAFB 为菱形，其外接圆圆心在AB 、OF 的交点处，再结合OA OB ⋅的数量积为0，即可求解． 【详解】解：由题意可得(),0F c ， ∵直线OA 、OB 都平行于渐近线， ∴可设直线OA 的方程为b y x a =，直线OB 的方程为by x a=-， ∴过点F 平行与OA 的直线FB 的方程为()by x c a=-， 过点F 平行与OB 的直线FA 的方程为()by x c a=--， 分别联立方程()b y x ab y xc a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，()b y x a b y x c a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即线段AB 与OF 互相垂直平分，则四边形OAFB 为菱形，其外接圆圆心在AB 、OF 的交点处， ∴OA AF ⊥，则2222044c b c OA AF a ⋅⋅=-=即a b =，∵22222c a b a =+=，c =，∴双曲线的离心率c e a ===7．（2021·浙江·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:24l x y +=与x 轴交于A 点，直线:10m kx y +-=与y 轴及直线l 分别交于B 点，C 点，且A ，B ，C ，O 四点共圆，则此圆的标准方程是__________.【答案】22117(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】由题意得AB 为直径，且直线l 与m 垂直故2k =-，得(0,1)B 所以圆心与半径可求，则圆方程易得. 【详解】由题意A ，B ，C ，O 四点共圆且OA OB ⊥，所以⊥CB CA ，则直线l 与m 垂直故2k =-，又(0,1)B ，()4,0A此圆的圆心为1(2,)2，半径为12r AB =17，所以圆的标准方程为22117(2)()24x y -+-=.故答案为：22117(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭五、解答题8．（2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）已知椭圆()22221x y a b a b +=>>的焦距为2，O 为坐标原点，F 为右焦点，点31,2E ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 的方程为4x =，AB 是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M 为弦的中点，直线MO 交l 于点P ，过点O 与AB 平行的直线交/于点Q ，直线PF 交直线OQ 于点R ，直线QF 交直线MO 于点S ．①证明：O ，S ，F ，R 四点共圆；②记△QRF 的面积为1S ，△QSO 的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 【答案】（1）22143x y += （2）①证明见解析，②9,116⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）设椭圆的左焦点为F '，利用2a EF EF '=+求解即可；（2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，直线AB 的斜率为k ，由点差法可得直线MO 的斜率为34k-，然后根据斜率可证明PR OQ ⊥、QS OP ⊥，即可得证； ②由①可知：~QRF QSO ，所以2122RF S S SO =，然后可算出2221k RF k =+，22216916k SO k =+，然后()22122229161716161161RF S k S k k SO +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，即可求得答案. （1）设椭圆的左焦点为F '，由题意可知()1,0F '-，()1,0F 根据定义，可求得24a EF EF '=+=，∴2a =，∴b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=（2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，直线AB 的斜率为k ，则有22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得：22221212043x x y y --+= 两边同除12x x -，可得：00043x y k +⋅=，即0034y k x ⋅=-，所以直线MO 的斜率为34k -，MO 的方程为3 4y x k=-所以34,P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线PF 的斜率为1k -，因为11k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，所以PR OQ ⊥由//OQ AB 可求得()4,4Q k ，所以直线QF 的斜率为43k ， 因为34143kk ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭，所以QS OP ⊥ 综上，O ，S ，F ，R 四点共圆，OF 为圆的一条直径. ②由①可知：~QRF QSO ，所以2122RFS S SO=，由于直线PF 的方程为10x ky +-=，直线OP 的方程为340x y +=，由垂径定理可知，222221421k RF k ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=⋅-= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，22222311642916k SO k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎛⎫⎢⎥=⋅-= ⎪+⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又因为0k ≠， 所以()221222291617916,116116161RF S k S k k SO+⎛⎫⎛⎫===-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 综上，12S S 的取值范围为9,116⎛⎫⎪⎝⎭. 9．（2021·吉林·梅河口市第五中学高二月考）已知双曲线C ：2222x y -=与点()1,2P ． （1）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】（1）存在；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆. 【详解】解：（1）双曲线的标准方程为2212y x -=，21a ∴=，22b =．设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，设()11,A x y ，()22,B x y ，221112-=y x ，222212-=y x 两式相减得2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+，即2221AB b k a⋅=得：22k ⋅=，1k ∴=． ∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为1y x =+．（2）设CD 直线方程为0x y m ++=，则点()1,2P 在直线CD 上． 则3m =-，直线CD 的方程为30x y +-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，CD 的中点为()00,Q x y ，223312y x -=，224412y x -=两式相减得2020CD y b k x a⋅=，则0012y x -⋅=，则002y x =-又因为()00,Q x y 在直线CD 上有0030x y +-=，解得()3,6Q -，221022x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得()1,0A -，()3,4B ， 223022x y x y +-=⎧⎨-=⎩，整理得26110x x +-=，则3434611x x x x +=-⎧⎨⋅=-⎩则34CD x =-=由距离公式得QA QB QC QD ====所以A 、B 、C 、D 四点共圆．10．（2021·福建福州·模拟预测）已知斜率为k 的直线交椭圆223(0)x y λλ+=>于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点()01,N y 是线段AB 的中点．（1）若03y =，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求0y 的取值范围． 【答案】（1）4y x =-+，12λ>；（2）{}3,3-； 【分析】（1）当03y =时，写出直线AB 方程，联立韦达定理，根据点()01,N y 的横坐标求出直线AB 的斜率，进而写出直线方程，根据判别式求出λ的取值范围；（2）若A ，B ，C ，D 四点共圆，则有22222CD AB d ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出来，因为不管λ怎么变化，式子恒成立，所以可以求得21k =，进而求得0y 的取值范围. 【详解】（1）因为直线AB 过点()1,3N ， 所以直线AB 方程为：(1)3y k x =-+，联立椭圆方程223(0)x y λλ+=>得到：222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ++-+--=， 设点()11,A x y ，()22,B x y , 由韦达定理可知：1222(3)23k k x x k -+==+，解得1k =-，所以直线AB 方程为：1(1)3y x =-⨯-+即4y x =-+， 将1k =-代入方程222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ++-+--=， 得到248160x x λ-+-=，则()2844(16)0λ--⨯⨯∆=->，解得12λ>， 所以λ的取值范围为12λ>.（2）设直线AB 方程0(1)y k x y =-+，联立椭圆方程223(0)x y λλ+=>得到：22200(3)2()()0k x k y k x y k λ++-+--=，由韦达定理可知：01222()23k k y x x k -+==+，即03ky -=，20122()3y k x x kλ--=+，则12AB x =-=====所以23()CD k=+-= CD 中点P 坐标等于00322211()()12131313()y ky k k x k k k ---+-===+++-，点P 到AB距离等于22223(1)3113k d k k -+=-++， 因为A ，B ，C ，D 四点共圆等价于22222CD AB d ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即222223(1)13k k ⎫+=+⎪⎪+⎝⎭ 整理得()()2222222222222119(1)1912(13)(3)33113k k k k k k k k k k λλ++++⎡⎤⨯-++=⨯+⨯--⎣⎦+++， 即不管λ怎么变化，都有上式成立，则222211313k k k k++=++，解得21k =， 代入方程22200(3)2()()0k x k y k x y k λ++-+--=，使得2222004()4(3)(())0k y k k y k λ∆=--+-->，解得12λ>，满足题意所以0y 的取值范围为：{}3,3-. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 11．（2021·重庆·高二期末）设动点P与定点)F 的距离和P到定直线:l x =（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设动点P 的轨迹为曲线C ，不过原点O 且斜率为12的直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M，直线OM 与曲线C 交于C ,D 两点，证明：A ，B ，C ，D 四点共圆.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列出关系式并整理化简即可；（2）联立直线与椭圆方程，分别求解,MA MB MC MD ⋅⋅，最后证明两者相等即可. 【详解】解：（1）设(,)P x y ， 因为动点P与定点)F的距离和P到定直线:l x ==2214x y +=.所以动点P 的轨迹方程为：2214x y +=.（2）设直线l 的方程为()102y x m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 由方程组221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得222220x mx m ++-=，①方程①的判别式为()242m ∆=-，由0∆>，即220m ->，解得m .由①得122x x m +=-，21222x x m =-.所以M 点坐标为,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线OM 方程为12y x =-，由方程组221,41,2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得C ⎛ ⎝⎭，D ⎭.所以)()2524MC MD m m m ⋅=-=-. 又()()()22221212121211544416MA MB AB x x y y x x x x ⎡⎤⎡⎤⋅==-+-=+-⎣⎦⎣⎦()()2225544222164m m m ⎡⎤=--=-⎣⎦.所以MA MB MC MD ⋅=⋅. 所以A ，B ，C ，D 四点共圆. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．12．（2021·北京·中央民族大学附属中学三模）已知椭圆的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，椭圆上的动点M 满足12122MF MF F F +=，A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，O 为坐标原点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若直线:6l x =与AM 交于点P ，l 与x 轴交于点H ，OP 与BM 的交点为S ，求证：B 、S 、P 、H 四点共圆.【答案】（1）椭圆的方程为22143x y +=，离心率为12；（2）证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的定义求出a 的值，结合已知条件可得c 的值，进而可求得b 的值，可得出椭圆的方程及其离心率；（2）计算得出34AM BM k k ⋅=-，可设直线AM 的方程为()()20y k x k =+≠，与直线l 的方程联立，求出点P 的坐标，利用斜率关系得出OP BM ⊥，由此可证得结论成立. 【详解】（1）由椭圆的定义可得12122244a MF MF F F c =+===，2a ∴=，则223b a c =- 所以，椭圆的方程为22143x y +=，该椭圆的离心率为12c e a ==；（2）设点()00,M x y ，则2200143x y +=，则002AM y k x =+，002BM y k x =-， 所以，220022003444443AM BMy y k k x y ⋅===----，设直线AM 的方程为()()20y k x k =+≠，联立()26y k x x ⎧=+⎨=⎩，可得68x y k =⎧⎨=⎩， 即点()6,8P k ，8463OP k k k ==， 而3344BM AM k k k=-=-，所以，1OP BM k k =-，则90BSP ∠=， 易知90BHP ∠=，所以，B 、S 、P 、H 四点共圆. 【点睛】关键点点睛：本题考查四点共圆的证明，一般转化为证明四边形的对角互补，本题中注意到 13．（2021·上海黄浦·三模）已知直线:l y x m =+交抛物线2:4C y x =于､A B 两点. （1）设直线l 与x 轴的交点为T ，若2AT TB →→=，求实数m 的值；（2）若点M N ､在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：AB M N ､､､四点共圆： （3）记F 为抛物线C 的焦点，过抛物线C 上的点P Q ､作准线的垂线，垂足分别为点U V ､，若UVF 的面积是PQF △的面积的两倍，求线段PQ 中点的轨迹方程.【答案】（1）8m =-；（2）证明见解析；（3）()222y x =-或()220y x x =≠.【分析】(1)联立直线:l y x m =+与抛物线2:4C y x =，韦达定理得到12124,4y y y y m +==，再利用2AT TB →→=化简得到240y +=，从而求出18y =，最后带回韦达定理求出实数m 的值；(2)通过证明0MA MB →→⋅=得到MA MB ⊥，同理NA NB ⊥，于是点,M N 在以AB 为直径的圆上，即,,,A B M N 四点共圆；(3)根据UVF 的面积是PQF △的面积的两倍求得直线PQ 与x 轴的交点为()0,0D 或()2,0D ，再根据直接法求出线段PQ 中点的轨迹方程，中间注意舍去不满足题意的点. 【详解】解：（1）由2,4,y x m y x =+⎧⎨=⎩得2440y y m -+=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4.y y y y m +== 因为直线l 与C 相交，所以16160m ∆=->，得 1.m <由2AT TB →→=，得1220y y +=，所以240y +=，解得24y =-，从而18y =，因为124y y m =，所以432m =-，故8m =-. （2）设()()3344,,,M x y N x y ，因为,M N 两点关于直线y x m =+对称，则4343344234324144y y y y y y x x y y --===--+-，故344y y +=-. 又4343,22y y x x m ++=+于是4322x x m +-=+， 即4342x m x =---.由点N 在抛物线上，有()()2334442y m x --=---.因为2334y x =，所以23341640y y m +++=，于是()()()()()()222233121323132313234444y y y y MA MB x x x x y y y y y y y y →→⎛⎫⎛⎫⋅=--+--=--+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()()132313232132312312316161616y y y y y y y y y y y y y yy y y y ----⎡⎤⎡⎤=+++=++++⎣⎦⎣⎦()()()13232334416016y y y y m y y --=+++=因此MA MB ⊥，同理NA NB ⊥， 于是点,M N 在以AB 为直径的圆上， 即,,,A B M N 四点共圆.（3）易知()1,0.F 设()()22,2,,2P p p Q q q ，则()()1,2,1,2.U p V q --设直线PQ 与x 轴的交点为()1,0D x ，则 ()111221,11222PQFUVFSp q FD p q x S UV p q =-=--=--=- 由题设2UVFPQFSS=，可得111x -=，所以10x =或12x =.设线段PQ 的中点为(),R x y ，有 当12x =时，当PQ 与x 轴不垂直时， 由PQ DR k k =可得()()22222q p yx q p x -=≠--， 即()22.2yx q p x =≠+- 而222p qy p q +==+，所以()()2222y x x =-≠. 同理，当10x =时，()220y x x =≠.当PQ 与x 轴垂直时，R 与()2,0D 重合.符合()222.y x =- 综上，线段PQ 的中点的轨迹方程()222y x =-或()220y x x =≠.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的中点或中点弦问题，一般就是点差法，斜率公式，中点坐标公式求解问题；(3)验证四点共圆是要找直径，问题可转化成边与边垂直，不管用向量还是用斜率都可以解决.14．（2021·四川泸州·三模（理））从抛物线24y x =上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ．（1）求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；（2）过点()2,0M 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．【答案】（1）曲线P 的方程为2y x =，曲线P 是焦点为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭的抛物线；（2）存在；圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【分析】（1）设抛物线2y x =上的任意点为()00,S x y ，垂线段的中点为(),x y ，根据中点坐标公式得出002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入等式2004y x =化简可得出曲线P 的方程，进而可得出曲线P 的形状；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，将直线l 的方程与曲线P 的方程联立，列出韦达定理，求出AB ，求出线段AB 的中点的坐标，进一步求出线段AB 的中垂线CD 的方程，求出CD ，根据四点共圆结合垂径定理可得出关于t 的等式，求出t 的值，进一步可求得圆的方程，由此可得出结论. 【详解】（1）设抛物线2y x =上的任意点为()00,S x y ，垂线段的中点为(),x y ，故002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，则002x x y y =⎧⎨=⎩，代入2004y x =得()224y x =，得曲线P 的方程为2y x =， 所以曲线P 是焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线；（2）若直线l 与x 轴重合，则直线l 与曲线P 只有一个交点，不合乎题意. 设直线l 的方程为2x ty =+，根据题意知0t ≠，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立22y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得220y ty --=，280t ∆=+>，则12y y t +=，122y y ⋅=-，则12A y y B =-==，且线段AB 中点的纵坐标为1222y y t +=，即2121222222x x y y t t ++=⋅+=+， 所以线段AB 中点为22,22t t M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，可设直线CD 的方程为1x y m t =-+，则21222t t m t ⎛⎫+=-⨯+ ⎪⎝⎭，故252t m +=， 联立22152y x t x y t ⎧=⎪⎨+=-+⎪⎩，得()222250ty y t t +-+=，设()33,C x y 、()44,D x y ，则341y y t +=-，()234152y y t ⋅=-+，故34y CD =-线段CD 中点为22151,222t N t t ⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 假设A 、B 、C 、D 四点共圆，则弦AB 的中垂线与弦CD 中垂线的交点必为圆心，因为CD 为线段AB 的中垂线，则可知弦CD 的中点N 必为圆心，则12AN CD =， 在Rt AMN △中，222AN AM MN =+，所以22212CD AM MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()()222222221111111121018442222t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故4228810t t t +--=，即()()24264222198880t t t t t t t t -+++--==， 解得21t =，即1t =±，所以存在直线l ，使A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为弦CD 的中点N ，圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.15．（2021·四川泸州·三模（文））已知抛物线P ：22y px =（0p >）上的点3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭到其焦点的距离为1． （Ⅰ）求p 和a 的值；（Ⅰ）求直线l ：y x m =+交抛物线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于两点C 、D ，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】（Ⅰ）12p =，a =；（Ⅰ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义可得点3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭到其焦点的距离等于该点到准线距离，即可求出p ，从而得到抛物线方程，再计算出参数a 的值；（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出线段AB 的中点M 的坐标，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的方程为1y x m =-+-，设()33,C x y ，()44,D x y ，求出线段CD 的中点坐标，再利用勾股定理计算可得； 【详解】解：（Ⅰ）22y px =的准线为2px =-， 因为点3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭到其焦点的距离等于该点到准线距离，所以3124p +=， 故12p =，即2y x =， 又3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭在2y x =上，所以a =； （Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2y x x x m⎧=⎨=+⎩，得20y y m -+=，则121y y +=，12y y m ⋅=， 且140m ->，即14m <，则12A y B =- 且线段AB 中点的纵坐标为12122y y +=，则12x m =-，所以线段AB 中点为11,22M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的方程为1y x m =-+-，联立21y xy x m⎧=⎨=-+-⎩，得210y y m ++-=，设()33,C x y ，()44,D x y ， 则341y y +=-，341y y m ⋅=-故34D y C =-=线段CD 中点为31,22N m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为()21154108242m CD m -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22225422AN AM m MN -==+=+， 所以12AN CD =， 所以点A 在以CD 为直径的圆上， 同理点B 在以CD 为直径的圆上， 所以A 、B 、C 、D 四点共圆． 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．16．（2021·江苏·高二单元测试）已知直线:l y x m +＝交抛物线2:4C y x =于,A B 两点． （1）设直线l 与x 轴的交点为T ．若=2AT TB ，求实数m 的值；（2）若点,M N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：,,,A B M N 四点共圆． 【答案】（1）8m ＝－；（2）证明见解析． 【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后由判别式得m 的范围，由韦达定理得1212,y y y y +，再由向量的数乘可得122y y +＝0，结合韦达定理可得12,,y y m 值； （2）设()()3344,,,M x y N x y ，由对称性得434y y =--，4342x m x =---．再由,M N 在抛物线上，代入变形得3y 与m 的关系，然后计算MA MB ⋅，得MA MB ⊥， 同理NA NB ⊥，得证四点共圆． 【详解】解：由24y x m y x =+⎧⎨=⎩得2440y y m -+=．设()()1122,,,A x y B x y ， 则12124,4y y y y m +==． 因为直线l 与C 相交， 所以16160,m ∆->= 得1m <．（1）由2AT TB =，得1220y y +=， 所以240y +=，解得24,y =- 从而18y =， 因为124,y y m =所以432,m =-解得8m =-． （2）设()()3344,,,M x y N x y ，因为,M N 两点关于直线y x m =+对称， 则4343223443434=144y y y y y y x x y y --==-+-解得434y y =--． 又434322y y x x m ++=+ 于是3343422y y x x m --++=+ 解得4342x m x =---． 又点N 在抛物线上，于是233()()4442y m x --=---．因为2334,y x =所以23341640y y m =+++，于是13231323()()()()MA M x x x x y y y y B ⋅=--+--222233121323()()(-)(-)4444y y y y y y y y =--()()()13231323()1616y y y y y y y y --=--+⎡⎤⎣⎦ ()()132********()1616y y y y y y y y y y --⎡⎤=++++⎣⎦ ()()2231333404()1616y y y y y m y --==+++ 因此MA MB ⊥， 同理,NA NB ⊥于是点,M N 在以AB 为直径的圆上， 即,,,A B M N 四点共圆． 【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，如设交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理可得1212,y y y y +，再利用向量的线性运算求得12,y y 关系，从而可求得12,,y y m 值．17．（2021·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l O ，为坐标原点，过F 的直线m 与抛物线E 交于A B 、两点，过F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ．（1）若直线m ||||AF BF 的值； （2）设AB 的中点为N ，若O M N F 、、、四点共圆，求直线m 的方程．【答案】（1）||3||AF BF =或||1||3AF BF =；（2）1)y x =-．【分析】（1）由抛物线的定义建立方程即可.（2）设直线m 的方程为1x ty =+，用t 表示,M N 坐标，再结合条件得到0OM ON ⋅=，建立关于t 的方程即可获解. 【详解】 （1）设||||AF BF λ=，当1λ>时，设||0BF k =>，则||AF k λ=，直线m 直线m 的倾斜角为60︒，由抛物线的定义，有()()1cos60cos602AB AF BF k k k k λλ⋅︒=+⋅︒=+⨯=-， 112λλ+∴=-，解得：3λ=， 若01λ<<时，同理可得：13λ=，||3||AF BF ∴=或||1||3AF BF =．（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=． 设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y t y y +==-．由2211224,4y x y x ==，得()22221212212122(4)2(4)424444y y y y y y t x x t +--⨯-+=+===+，所以()221,2N t t +．因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -， 则直线n 的方程为(1)t y x --=．由1(1)x y t x =-⎧⎨=--⎩，，解得(1,2)M t -．若O M N F 、、、四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥， 则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=，解得2t =所以直线m 的方程为2(1)y x =-． 【点睛】（1）有些题目可以利用抛物线的定义结合几何关系建立方程获解；（2）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.18．（2020·浙江丽水·高三月考）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N ，且当AF x ⊥轴时，||4MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线AN ，AM 分别交抛物线C 于G ，H （不同于A ），直线AB 交GH 于点P ，且直线AB 的斜率大于0，证明：存在唯一这样的直线AB 使得B ，H ，P ，M 四点共圆． 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）当AF x ⊥轴时得A ，B 点坐标及圆的方程，即||||24MN AB p ===可得答案；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()3,0M x ，()4,0N x ，直线:1AB x my =+与抛物线方程联立12y y +、12y y ⋅，1y 和12x x +，圆的方程并令0y =，得34x x +，34x x ⋅，即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG AB ⊥，再证明存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥可得答案. 【详解】（1）当AF x ⊥轴时，,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭故圆的方程为2222p x y p ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即||||24MN AB p ===，得2p =， 故抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()3,0M x ，()4,0N x ，直线:1AB x my =+，联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩得：2440y my --=，()2Δ1610m =+>，124y y m +=，124y y ⋅=-，所以12y m ==+∴()21212242x x m y y m +=++=+，故圆心()221,2m m +， 半径()21||212r AB m ===+，即圆的方程为()()2222221(2)41x m y m m --+-=+，令0y =，则()()2222221441x m m m --+=+，化简得：()224230x m x -+-=，23442x x m +=+，343x x ⋅=-，若B ，H ，P ，M 四点共圆，则090BPH BMH ∠=∠=， 即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG AB ⊥， 下证：存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥， 设()55,H x y ，()66,B x y ，直线()111:AM x x t y y -=-和直线()121:AN x x t y y -=-， 联立()21114y x x x t y y ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，得：211114440y t y t y x -+-=，所以1514y y t +=，5114y t y =-，同理1624y y t +=，6214y t y =-， ∴()65652265656512144424HG y y y y k y y x x y y t t y --====--++-，又∵1311x x t y -=，1421x x t y -=，∴113434114242HGy k x x x x x y y ==-=--+- 又1AB km =，得HG k m =-=，所以32m m m +=， 即32m 62410m m --=，设3()41f x x x =--，(0,)x ∈+∞，2()121f x x '=-，故()f x 在3⎛ ⎝⎭单调递减，3⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增， 又∵(0)10f =-<，30f <⎝⎭，且(1)20f =>，故存在唯一(0,)x ∈+∞满足()0f x =， 即存在唯一(0,)m ∈+∞，满足62410m m --=， 综上结论得证． 【点睛】本题考查了抛物线、圆的几何性质，解题的关键点是证明B ，H ，P ，M 四点共圆和证明存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥，考查了学生分析问题、解决问题及推理能力.19．（2020·广西师范大学附属中学高三月考）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左､右顶点分别为A ，B 6P 是C 上异于A ，B 的动点. （1）证明：直线AP ，BP 的斜率之积为定值，并求出该定值.（2）设||23AB =，直线AP ，BP 分别交直线l ：x =3于M ，N 两点，O 为坐标原点，试问：在x 轴上是否存在定点T ，使得O ，M ，N ，T 四点共圆？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析，定值13-；（2）存在，定点11,03T ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）由题意知(,0),(,0)A a B a -，设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则2200221x y a b+=，然后利用斜率公式求200022000y y y x a x a x a ⋅=+--化简可得结果； （2）由题意先求出椭圆C 的方程为2213x y +=，设直线AP 的方程为(3)y k x =，则直线BP 的方程为1(3)3y x k =-，直线方程与椭圆方程联立可求出(3,33)M k k ，13N k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，假设△MNO 的外接圆恒过定点T (t ，0)，t ≠0，然后求出线段MN 的垂直平分线所在直线的方程和线段OT 的垂直平分线所在直线的方程，从而可求出圆心113332k k t k k E ⎛++- ⎪ ⎪⎝⎭，再由|OE |=|ME |，可求出t 的值，进而得O ，M ，N ，T 四点共圆（1）由题意知(,0),(,0)A a B a -，设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则2200221x y a b+=，所以直线AP 与BP 的斜率之积22022222200022222200001131x b a y y y b a c x a x a x a x a a a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅===-=-=-+--⎭=--⎝，即直线AP ，BP 的斜率之积为定值13-.（2）存在.理由如下：由题意知2a =a =因为c a=c =所以b 2=1，所以椭圆C 的方程为2213x y +=.设直线AP的方程为(y k x =，则直线BP的方程为1(3y x k=-.联立(3,y k x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得(3,3)M k，同理可得1N k ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 假设△MNO 的外接圆恒过定点T (t ，0)，t ≠0， 因为线段MN的垂直平分线所在直线的方程为y OT 的垂直平分线所在直线的方程为2t x =，所以圆心2t E ⎛⎪ ⎪⎝⎭. 又|OE |=|ME |= 解得t =113.所以存在定点11,03T ⎛⎫⎪⎝⎭，使得O ，M ，N ，T 四点共圆.【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，考查计算能力，属于中档题 20．（2020·甘肃·天水市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上E 上一点，且点P 的横坐标为2，3PF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、M N 、F 四点共圆，求直线m 的方程.【答案】（1）24y x =（2）)1y x =-（1）由抛物线的定义可得22pPF =+，即可求出p ，从而得到抛物线方程； （2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，列出韦达定理，表示出中点N 的坐标，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则0OM ON ⋅=即可求出参数t ，从而得解； 【详解】解：（1）由抛物线定义，得232pPF =+=，解得2p =， 所以抛物线E 的方程为24y x =.（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-.由2114y x =，2224y x =，得()()()22222121212122424424444y y y y t y y x x t +--⨯-+=+===+， 所以()221,2N t t +.因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -，则直线n 的方程为()1y t x =--.由()1,1,x y t x =-⎧⎨=--⎩解得()1,2M t -.若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=，解得t =所以直线m 的方程为)1y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.21．（2020·江西师大附中三模（理））已知椭圆22:14x C y +=上三点A 、M 、B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ．（1）若点B 是椭圆C 的左顶点，求点M 的坐标； （2）若A 、M 、B 、O 四点共圆，求直线AB 的斜率．【答案】（1）1,⎛- ⎝⎭；（2）2±． 【分析】（1）由已知可得()2,0B -，由//AM BO ，且AM BO =，设()00,M x y ， ()002,A x y +代入椭圆方程解方程即可得解；（2）因为A 、M 、B 、O 四点共圆，则平行四边形AMBO 是矩形且OA OB ⊥，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，根据韦达定理代入 12120OA OB x x y y →→⋅=+=，化简计算求解即可. 【详解】解析：（1）如图所示：因为()2,0B -，四边形AMBO 为平行四边形， 所以//AM BO ，且2AM BO ==． 设点()00,M x y ，则()002,A x y +因为点M 、A 在椭圆C 上，所以()220022014214x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得001x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1,M ⎛- ⎝⎭．（2）因为直线AB 的斜率存在， 所以设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ．由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418440k x kmx m +++-=， 则有122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+．因为平行四边形AMBO ，所以()1212,OM OA OB x x y y →→→=+=++．因为122814kmx x k -+=+，所以()12122282221414km my y k x x m k m k k -+=++=⋅+=++，所以2282,1414km m M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭． 因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程化得22441m k =+．① 因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形， 且OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y →→⋅=+=． 因为2222121212122414m k y y kx m kx mk x x km x x mk ，所以22212122244401414m m k x x y y k k--+=+=++，化得22544m k =+．② 由①②解得2114k =，23m =，此时0∆>，因此11k = 所以所求直线AB 的斜率为11． 【点睛】本题主要考查了联立直线与椭圆的方程利用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法进而代入求解的问题，考查计算能力和逻辑推理能力，属于难题.22．（2020·江苏南京·三模）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2,0)和3⎛ ⎝⎭,椭圆C 上三点A ,M ,B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO .（1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点,求点M 的坐标； （3）若A ,M ,B ,O 四点共圆,求直线AB 的斜率.【答案】（1）24x ＋y 2＝1；（2）M (－3；（3）11【分析】(1)将点()2,0-和3⎛ ⎝⎭代入椭圆22x a ＋22y b＝1求解即可.(2)根据平行四边形AMBO 可知AM ∥BO ,且AM ＝BO ＝2.再设点M (x 0,y 0),则A (x 0＋2,y 0),代入椭圆C 求解即可.(3) 因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB ,再联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理代入OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0求解即可. 【详解】（1）因为椭圆22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)过点()2,0-和3⎛ ⎝⎭,所以a ＝2,21a ＋234b ＝1,解得b 2＝1,所以椭圆C 的方程为24x ＋y 2＝1.（2）因为B 为左顶点,所以B (－2,0).因为四边形AMBO 为平行四边形,所以AM ∥BO ,且AM ＝BO ＝2. 设点M (x 0,y 0),则A (x 0＋2,y 0).因为点M ,A 在椭圆C 上,所以()2200202014214x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩解得001x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以M (－（3）因为直线AB 的斜率存在,所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0, 则有x 1＋x 2＝2814km k -+,x 1x 2＝224414m k -+. 因为平行四边形AMBO ,所以OM ＝OA ＋OB ＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2). 因为x 1＋x 2＝2814km k -+,所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·2814km k -+＋2m ＝2214m k +,所以M (2814kmk -+,2214mk +).因为点M 在椭圆C 上,所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程,化得4m 2＝4k 2＋1.① 因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB , 所以OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝222414m k k-+, 所以x 1x 2＋y 1y 2＝224414m k -+＋222414m k k -+＝0,化得5m 2＝4k 2＋4.② 由①②解得k 2＝114,m 2＝3,此时△＞0,因此k ＝所以所求直线AB 的斜率为【点睛】本题主要考查了椭圆方程的基本求法,同时也考查了联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法,进而代入求解的问题.属于难题.23．（2020·江苏·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，P 为右准线上一点．点Q 在椭圆上，且FQ FP ⊥．。
第18讲四点共圆
C D F G O E
C D T F
B
.GF∥OA�证求�心外为 O�点中的 CB、DE 为别分 G、F �高为 EC、DB�中 CBA △在�图如�题赛竞学数中初滨尔哈年 0891� �5 例 .BKC∠�AMD∠∴�AKB∠�BMA∠证已但 B A · · .CKD∠�DMC∠是于�圆共点四 M�K�D�C 故 .°081�CDK∠+KMC∠∴ M K �°081�CDA∠+BAD∠故�CD∥BA∵ .KMC∠�BAD∠有�MK 接连 D C .圆共点四 K�M�B�A∴�KBC∠=MAD∠∵ 明证 .BKC∠�AMD∠�证求.KBC∠=MAD∠�上 CB�DA 在别分 M�K�DC�BA �CD∥BA�中 DCBA 形梯在�题试赛竞学数中初”杯之冲袓“届二第� �4 例 .圆共点四 3O�2O�1O�O 明证可也�补互角对用利 注评 .圆共 3O�2O�1O�O � 1O3OO∠=1O2OO∠由 2 .ACO∠=A3OO∠ =1O3OO∠得立�圆接外其及 ACO△察观 1 C B A 2 .BCO∠=B2OO∠ =1O2OO∠ 1 3O 2O 得立�圆接外其及 CBO△察观 � � .AO 分平直垂 3O1O�BO 分平直垂 2O1O 证易.3OB 1O �2OA 接连并�连相两两 3O�2O�1O�O 将 明证 O .圆共点四 3O�2O�1O�O�证求 .心外的 ACO△�CBO△�BAO△为别分 3O�2O�1O �外线直在点 O�线共点三 C、B、A)克匹林奥学数科斯莫届 72 第(�3 例 ,DF�′DF�CF∴ ,H′DF∠�HCF∠∴ ,′DF�DF ,H′DF∠�HDF∠∴�点称对的 FE 的线直于关 D 是′D∵ .CA�BA 故 ,
描扫法方识知
圆锥曲线中的四点共圆问题
圆锥曲线中的四点共圆问题摘要：一、引言二、圆锥曲线的基本概念1.椭圆2.抛物线3.双曲线三、四点共圆问题的定义和性质1.定义2.性质四、四点共圆问题的解法1.解析几何法2.代数法3.切比雪夫不等式法五、结论正文：一、引言圆锥曲线是数学中的一个重要领域，包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
在解决实际问题中，常常会遇到四点共圆问题，即判断四个点是否共圆。
本文将对圆锥曲线中的四点共圆问题进行探讨，分析其性质，并介绍一些常用的解法。
二、圆锥曲线的基本概念1.椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，其标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中a 和b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2.抛物线抛物线也是圆锥曲线的一种，其标准方程为：y^2 = 2px，其中p 为抛物线的参数。
3.双曲线双曲线是圆锥曲线的另一种类型，其标准方程为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，其中a 和b 分别为双曲线的长半轴和短半轴。
三、四点共圆问题的定义和性质1.定义四点共圆问题指的是判断给定的四个点是否共圆。
如果四个点共圆，则它们在同一个圆上；如果不共圆，则它们不在同一个圆上。
2.性质四点共圆问题有以下性质：（1）如果四个点共圆，则它们的圆心到任意一点的距离相等；（2）如果四个点不共圆，则它们的圆心到任意一点的距离不相等；（3）如果四个点共圆，且其中三点共线，则第四点一定在这条直线的垂直平分线上；（4）如果四个点不共圆，且其中三点共线，则第四点不在这条直线的垂直平分线上。
四、四点共圆问题的解法1.解析几何法解析几何法是解决四点共圆问题的一种直接方法，通过求解圆的方程，判断四个点是否满足圆的方程。
2.代数法代数法是另一种解决四点共圆问题的方法，主要通过计算四个点之间的距离，判断它们是否满足共圆的条件。
3.切比雪夫不等式法切比雪夫不等式法是一种求解四点共圆问题的实用方法，通过切比雪夫不等式求解四个点之间的最大距离和最小距离，从而判断它们是否共圆。
(甘志国)二次曲线上的四点共圆问题的完整结论
二次曲线上的四点共圆问题的完整结论甘志国(该文已发表 数学通讯，2013(7下)：40-41)百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθ)(sin cos,(b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线22y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ① 式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b aλ''-=-,此时曲线①即 220x y c x d y e '''++++= ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.证明 由21,l l 组成的曲线即111222()()0a x b y c a x b y c ++++=所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b aλ-=-. 此时曲线③即 220x y c x d y e '''++++= ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.由此可得欲证成立.推论 2 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.证明 设圆内接四边形是四边形ABCD ，其两组对边AB 与CD 、AD 与BC 及对角线AC 与BD 所中的直线分别是 1111:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==2222:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==3333:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：1112121121222221313232310,0,0a b a b a b a b a b a b +=+=+=再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3 设点A 是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C 上的定点但不是顶点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，则直线EF 的斜率为曲线C 过点A 的切线斜率的相反数(定值).由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：高考题1 (2009·辽宁·理·20(2)) 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1A 是椭圆134:22=+y x C 上的定点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明EF 直线的斜率为定值，并求出这个定值.(答案：21.) 高考题 2 (2004·北京·理·17(2))如图1，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P 作两条直线分别交抛物线于),(),,(2211y x B y x A .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.(答案：0212y p k y y y AB -=-=+；.)图1高考题3 (2004·北京·文·17(2))如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),,(),2,1(2211y x B y x A P 均在抛物线上.当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率.(答案：1421-=-=+AB k y y ；.)推论 4 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.(3)两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.参考文献1 陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[J].数学教学，2007(2)：332 甘志国著.初等数学研究(II)下[M ] .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.62-63 3 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯，2005(22):214 甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究[J].考试(高考·理科)，2011(8)：36-385 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究[J].数学教学，2012(7)：8-10。
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二次曲线上的四点共圆问题的完整结论
甘志国(该文已发表 数学通讯，2013(7下)：40-41)
百年前，着名教材《坐标几何》(Loney 着)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是
这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθ)(sin cos,(b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]
2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：
若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .
文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.
文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：
结论1 抛物线2
2y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.
结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.
请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.
定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.
证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ①
式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项
的系数相等，得a b b a
λ''-=-,此时曲线①即 220x y c x d y e '''++++= ②
的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.
定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.
证明 由21,l l 组成的曲线即
111222()()0a x b y c a x b y c ++++=
所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：
22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③
必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.
充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b a
λ-=
-. 此时曲线③即 220x y c x d y e '''++++= ④
的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.
推论 1 若两条直线与二次曲线22
:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.
证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.
(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即
120a a ==或120b b ==.
(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫-
+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.
由此可得欲证成立.
推论 2 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.
证明 设圆内接四边形是四边形ABCD ，其两组对边AB 与CD 、AD 与BC 及对角线AC 与BD 所中的直线分别是 1111:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==
2222:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==
3333:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==
由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：
1112121121222221313232310,0,0a b a b a b a b a b a b +=+=+=
再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.
推论2的极限情形是
推论3 设点A 是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C 上的定点但不是顶点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，则直线EF 的斜率为曲线C 过点A 的切线斜率的相反数(定值).
由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：
高考题1 (2009·辽宁·理·20(2)) 已知⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,1A 是椭圆134:22=+y x C 上的定点，F E 、是C 上的两个动点，
直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明EF 直线的斜率为定值，并求出这个定值.(答案：2
1.) 高考题 2 (2004·北京·理·17(2))如图1，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P 作两条直线分别交抛物线于),(),,(2211y x B y x A .当PA 与PB 的斜率存在
且倾斜角互补时，求0
21y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.(答案：0
0212y p k y y y AB -=-=+；.)
图1
高考题3 (2004·北京·文·17(2))如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),,(),2,1(2211y x B y x A P 均在抛物线上.当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率.(答案：1421-=-=+AB k y y ；.)
推论 4 设二次曲线22
:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：
(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；
(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；
(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.
证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：
(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.
(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.
(3)两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.
参考文献
1 陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[J].数学教学，2007(2)：33
2 甘志国着.初等数学研究(II)下[M] .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，
3 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯，2005(22):21
4 甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究[J].考试(高考·理科)，2011(8)：36-38
5 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究[J].数学教学，2012(7)：8-10。