甘志国“数学解题与研究丛书”序言 (2) (1)
(甘志国)对《选修2-2》中一道习题的研究
对《选修2-2》中一道习题的研究甘志国(该文已发表 中小学数学(高中)，2011(4)：42-43)普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版) (下简称《选修2-2》)第91页习题2.2的第4题是：4.ABC ∆的三边c b a ,,的倒数成等差数列，求证2π<B .它应当是关于教学内容《选修2-2》第89-91页“2.2.2 反证法”的一道习题，我们先给出下面的证法：证明 设等差数列c b a 1,1,1的公差为d . (1)当0≤d 时，cb a 111≥≥，所以c b a ≤≤，得C B A ≤≤.假设2π≥B ，得2π≥≥B C ，所以π≥+C B .(2)当0>d 时，cb a 111<<，所以c b a >>，得C B A >>.假设2π≥B ，得2π≥>B A ，所以π≥+C B .而得到的结论π≥+C B 与三角形内角和定理“0,>=++A C B A π”矛盾！所以假设错误，得2π<B .顺利完成了任务，但总感觉意犹未尽：在解题过程中没有用好题设“等差数列”.这是否意味着该题的结论可以加强？(由以下定理中的第四个结论，立得B 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛3,0π，当且仅当ABC ∆为正三角形时3π=B .)定义]1[ 设ABC ∆中角A,B,C 的对边长分别为c b a ,,(可不妨设c b a ≤≤，下文也同)，把满足下列条件之一的ABC ∆都叫做平均三角形：(1)2c a b +=； (2)ac b =； (3)222c a b +=； (4)c a ac b +=2还可分别叫做算术平均三角形；几何平均三角形；平方平均三角形；调和平均三角形.文献[1]还证明了它们的一条共性：30π≤<B (当且仅当ABC ∆为正三角形时等号成立).下面再给出较文献[1]更广的结论：定理 对于定义中的四类平均三角形，均有A 、B 的取值范围均是⎥⎦⎤⎝⎛3,0π，C 的取值范围均是⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,3(均当且仅当ABC ∆为正三角形时A,B,C 取到3π).证明 先证明关于角B 的结论.(1)对于算术平均三角形的情形：当c b a ≤≤时，c b a ,,是某三角形三边长的充要条件是c b a >+，即3c a >. 21418)(32cos 22222≥-+=-+=ac c a ac b c a B (当且仅当c a =时取等号)所以可得B 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛3,0π，当且仅当ABC ∆为正三角形时B 取到3π. (2)对于几何平均三角形的情形：当c b a ≤≤时，c b a ,,是某三角形三边长的充要条件是c b a >+，即c a 253->. 212122cos 22222≥-+=-+=ac c a ac b c a B (当且仅当c a =时取等号)所以可得B 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛3,0π，当且仅当ABC ∆为正三角形时B 取到3π. (3)对于平方平均三角形的情形：当c b a ≤≤时，c b a ,,是某三角形三边长的充要条件是c b a >+，即c a )32(->.2142cos 22222≥+=-+=ac c a ac b c a B (当且仅当c a =时取等号)所以可得B 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛3,0π，当且仅当ABC ∆为正三角形时B 取到3π. (4)对于调和平均三角形的情形：当c b a ≤≤时，c b a ,,是某三角形三边长的充要条件是c b a >+，即c a )12(->.1)(22)(2cos 22222-+-+=-+=c a acac c a ac b c a B 令t acc a =+2)(2，有2≥t (当且仅当c a =时取等号)，得 )2(11cos ≥--=t tt B易知上式右边是t 的增函数，21cos ≥B ，从而可得B 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛3,0π，当且仅当ABC ∆为正三角形时B 取到3π. 再由C B A ≤≤及π=++C B A 可立得关于A 、C 的结论也成立. 文献[2]还给出了比定理更广的结论. 高考题 (2009·全国II ·理·17(即文·18))设ABC ∆的内角C B A 、、的对边c b a 、、成等比数列，且23cos )cos(=+-B C A ，求角B 的大小. 解 有ac b =2，由正弦定理，得C A B sin sin sin 2=. 由23cos )cos(=+-B C A ，得 23)cos()cos(=+--C A C A23sin sin 2=C A 23sin ,23sin 22==B B 由ac b =2及定理的第二个结论，得30π≤<B (当且仅当ABC ∆为正三角形时等号成立).所以3π=B (且还可得ABC ∆为正三角形).一点感悟 是的，数学教学基本上就是解题教学，但绝不是陷入茫茫题海之中而难以自拔.盲目地解十道题与把一道题探究两、三次效果是不一样的，师生的收获、幸福指数也差别很大.关于此，读者还可参阅文献[3],[4].参考文献1 李明.四类平均三角形的一条共性[J].数学教学，2008(6)：192 甘志国.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.532-5373 甘志国.“思、探、练、变、提”的解题教学[J].中小学数学(高中)，2009(12)：74 甘志国.教育者也要关注另一个1%——谈数学特困生的成长[J].中国数学教育(高中)，2011(1-2)：16-19。
(甘志国)谈谈人教版教材中函数极值的定义
谈谈人教版教材中函数极值的定义甘志国(该文已发表 中学数学杂志2011(5)：15-16)普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版) (下简称《选修2-2》)第27页给出了函数极值的定义：定义1 如图1，以b a ,两点为例，我们可以发现，函数)(x f y =在点a x =的函数值)(a f 比它在点a x =附近其他点的函数值都小，0)(='a f ；而且在点点a x =附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f .类似地，函数)(x f y =在点b x =的函数值)(b f 比它在点a x =附近其他点的函数值都大，0)(='b f ；而且在点点b x =附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f .图1我们把点a 叫做函数)(x f y =的极小值点，)(a f 叫做函数)(x f y =的极小值；点b 叫做函数)(x f y =的极大值点，)(b f 叫做函数)(x f y =的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值点统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.《选修2-2》第29页又作了以下说明：导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数3)(x x f =，……所以0=x 不是函数3)(x x f =的极值点.一般地，函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的必要条件，而非充分条件.一般地，求函数)(x f y =的极值的方法是：解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时：(1)如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值；(2)如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值.显然，以上函数极值的定义是针对可导函数的，而在某些点不可导的函数也可以有极值，例如函数∈=x x y (R )在0=x 处取极小值.但《选修2-2》并没有给出“可导函数”的定义，而是在第5页直接给出导数的定义：一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000 我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000 显然，《选修2-2》这样处理的目的是为了帮助学生易于理解.但笔者认为这样不科学，至少没有注意定义的合理性，笔者建议把此定义改述为：一般地，若函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000 存在，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个瞬时变化率叫做函数)(x f y =在点0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000 在本章(指《选修2-2》第一章)中，我们所研究的函数在定义域上的每一点都是可导的. 在此约定下，《选修2-2》第一章后面的叙述都没有问题了，包括《选修2-2》第7页的叙述“我们发现，当点n P 趋近于点P 时，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线”也是正确的(否则割线n PP 不一定趋近于确定的位置).我们再来看看全日制普通高级中学教科书《数学·第三册(选修II)》(2006年人民教育出版社)(下简称《选修II 》)第141页给出的函数极值的定义：定义 2 一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有)()()(0x f x f ><，我们就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大(小)值. 极大值与极小值统称为极值.大学中的一些《数学分析》、《微积分》教材中也是这样定义极值的，比如樊映川等编的《高等数学讲义》(人民教育出版社，1964年第2版)第305页的定义.首先，定义1与定义2中的“点的附近”意义不同：由定义1中的“)(a f 比它在点ax =附近其他．．点的函数值都小”知“点a x =附近”包括点a x =，即指点a x =的一个无限小的邻域；而定义2中的“点0x 附近”指点0x 的一个无限小的空心邻域.笔者认为，前者正确.即使按照后者的理解，定义也不不严谨.]1[ 由定义2知：常数函数c x f =)(是没有极值的，所以它在任何开区间上也无极值 ①又由上述《高等数学讲义》第311页的叙述(以下也是显然的事实)：“设函数)(x f 在闭区间],[b a 上是连续的，则它的最大值及最小值必然是存在的.我们来讨论怎样求出最大值的方法(求最小值的方法也可同样讨论).如果函数在a 与把b 之间的某一点达到最大值，这个最大值显然也是极大值；但最大值也可以在区间的端点b a ,处达到，…”可知：在开区间上可导函数的最值一定是极值 ②又常数函数在任何开区间上都是可导的，所以由结论①②知：常数函数在开区间上没有最值 ③众所周知，函数的最大(小)值就是所有函数值中最大(小)的，常数函数的最大值、最小值均存在，并且都是这个常数本身.这与③矛盾！这说明《选修II 》中函数极值的定义不严谨，可修正为：一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有)()()(0x f x f ≥≤，我们就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大(小)值.极大值与极小值统称为极值.注 以上“0x 附近”是不严格的表述(限于高中生的理解只能这样表述).罗元等主编、路见可主审《数学分析简明教程(上册)》(1988年武汉工业大学出版社)第169页，赵慈庚编《一元函数微分学》(1980年上海科技出版社)第316页及谷超豪主编《数学词典》(1992年上海辞书出版社)第275页的函数极值的定义均与该“修正”一致.文献[2]认为定义1有误(但没有指出产生错误的原因)，定义2正确，这也是值得商榷的.笔者还认为，在《选修2-2》中先给出极限的描述性定义(同《选修II 》)，再由极限给出导数的严格定义是可取的.一方面，极限的定义在数学中很有用，在高一时很多求函数值域的问题(包括恒成立问题)就必须要用到极限；另外，这样不会加重学生负担，反而会减轻学生在理解上的负担，在教学老教材(即大纲教材)时，我校在高一上学期讲完《第二章 函数》后就立即讲授《导数》，很受学生欢迎且教学效果良好，就不曾有理解困难，那要是在高二下学期的《选修2-2》中讲极限、讲导数，学生在理解上绝无困难；第三，学生肯定还会遇到在某些点不可导的函数，如何用导数研究它们呢(若不用导数肯定有难度)？对于导数，讲就讲彻底、讲清楚，只有好处，绝无坏处！参考文献1 甘志国著.初等数学研究(I)[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.266-2672 刘焕芬.值得商榷的问题——谈新人教版与旧人教版教材中对极值的处理[J].中学数学(高中)，2010(12):14。
阅读或引用文献时要有质疑精神(甘志国,发表于《中学数学教学》2016(3)：61-64)
p
p x1
p 1
x1 .
p 1
2
同理有 p x2
x2 ，所以 p ( x1
2
2
p 1
x2
2p 1Leabharlann ) ( x1 x2 ) .
p 1 2
2
2
再由题设 p x1 x 2 ，得 p ( x1 x 2 x 2 )
2
2
2
( x2 )
2
p 1 2
.
p 1 2 又由 2 ，得 p 2( x 2 ) 2
1 1
6.371 0.52268
1 (cm)
pk k 1 ( p1 1)
( pk 1) ，其中
m p11
pk k ( pi 是互不相同的素数， i N* , i 1,
,k )
①
关于 (m) ，有一个迄今未得证实的猜想，不存在满足 (m) m 1 的合数 m，这是半世纪 前莱梅(Lehmer)提出的. 下面的定理 1 说明了这个猜想成立. 定理 1 当 m 2 时， (m) m 1 (当且仅当 m 是素数时取等号). 证明 当 a1 , 当 a1 ,
p 1 2
，所以 p x2 .进而可得欲证结论成立.
下面用定理 2 来证明上段话中的两个猜想均正确： (1)方程 (3m 2)n 3 t 没有整数解.
2 2
证明
假设该方程有整数解 (m, n, t ) ，可得
(3m 3)n2 3 n2 t 2
3 n2 t 2
由定理 2，得 3 (n, t ) ，所以 9 n ,9 n t .
2 40 1099511627776( 1.1 1012 )
(甘志国)对《选修2-1》中一道习题的研究
对《选修2-1》中一道习题的研究甘志国(该文已发表 数理化学习(高一二版)，2014(1)：20)普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称《选修2-1》)第61页习题2.3的A 组第1题是：题目 双曲线064422=+-y x 上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到它的另一个焦点的距离等于 .与《选修2-1》配套使用的《教师教学用书》(人民教育出版社，2007年第3版)第58页给出的解答是： 把方程化为标准方程，得1166422=-x y .因为8=a ，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16.因此点P 到另一个焦点的距离是17.变式 (1)双曲线1166422=-x y 上一点P 到它的一个焦点的距离等于17，那么点P 到它的另一个焦点的距离等于 ；(2)双曲线1166422=-x y 上一点P 到它的一个焦点的距离等于2116，那么点P 到它的另一个焦点的距离等于 ；(3)双曲线1166422=-x y 上一点P 到它的一个焦点的距离等于21，那么点P 到它的另一个焦点的距离等于 ；(4)已知双曲线1166422=-x y 上一点P 到它的一个焦点的距离等于)0(>r r ，求点P 到它的另一个焦点的距离.解 (1)填“1或33”.设双曲线1166422=-x y 的两个焦点分别为21,F F ，由双曲线的定义，得1621±=-PF PF .可不妨设171=PF ，得12=PF或33. (2)同理可得答案“21或2132”. (3)同理可得答案“2116”. (4)同理可得答案：当160≤<r 时，答案为16+r ；当16>r 时，答案为16+r 或16-r . 事实上，这里对变式诸问的解答并不严谨，第(2),(4)问的答案还是错误的.比如，在第(2)问中，若答案“21”能成立，则由1621±=-PF PF ，得⎪⎭⎫ ⎝⎛==21,211621PF PF 或⎪⎭⎫ ⎝⎛==2116,2121PF PF ，所以1721=+PF PF .又175821>=F F ，所以2121F F PF PF <+，而这是不可能的！即答案“21”不能成立. 这说明我们在解答“变式”这类问题时，要注意双曲线上任一点到其一个焦点的距离的取值范围.定理 双曲线),0,0(1222222b a c b a by a x +=>>=-左支上任一点P 到左焦点F 的距离PF 的取值范围是),[+∞-a c ，右支上任一点Q 到左焦点F 的距离QF 的取值范围是),[+∞+a c .证明 设))(,(a x y x P -≤，得222222222222)()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++=++=c a x a c b x a b c x y c x PF 由a x -≤，可得PF 的取值范围是),[+∞-a c . 同理可证，QF 的取值范围是),[+∞+a c . 推论 设双曲线),0,0(1:222222b a c b a by a x C +=>>=-上一点P 到该双曲线的一个焦点的距离是r r (是已知的正数，可得)a c r -≥，则(1)当a c r a c +<≤-时，点P 到该双曲线的另一个焦点的距离的取值集合是}2{a r +；(2)当a c r +≥时，点P 到该双曲线的另一个焦点的距离的取值集合是}2,2{a r a r +-. 由推论知，以上变式题(1)的答案正确；(2),(3),(4)小问的答案均不对，应分别为： (2)2132. (3)这是一道错题(因为题设“……距离等于21”不可能成立). (4)由题设知，854-≥r .当854854+<≤-r 时，答案为16+r ；当854+≥r 时，答案为16+r 或16-r .。
(甘志国)先解决一个问题,再解决一串问题
先解决一个问题，再解决一串问题甘志国(该文已发表 数学教学，2012(9)：35-37)两条异面直线所成的角是锐角或直角.本文中还规定：两条相交直线所成的角指它们相交所成的四个角中的较小者，所以也是锐角或直角；当两条直线平行或重合时，它们所成的角是0︒.所以空间两直线(包括重合的情形)所成角的范围是[0,90]︒︒.空间的一条直线与一个平面所成角的范围也是[0,90]︒︒.本文中又规定：两个相交平面所成的角指它们相交所成的四个二面角中的较小者，所以也是锐角或直角，两个相交平面所成角的范围是(0,90]︒︒.问题 1 若直线,a b 成θ角(θ是定值，有090)θ︒<≤︒，则过空间一定点P 与,a b 均成(090)γγ︒≤≤︒角的直线有且仅有几条？图1答案 可不妨设a b O ⋂=，这是不会影响本题的答案的.如图1，设过点O 的直线l '与,a b 均成γ角，又过点P 作直线//l l '(则l 存在且唯一)，则l 与,a b 也均成γ角，所以问题1等价于“过点O 与,a b 均成γ角的直线l '有且仅有几条”.又设,a b 所成的角及其补角的平分线所在的直线分别为,(m n 有)m n ⊥.得问题1的答案是：(1)当090θ︒<<︒时： ①又02θγ︒≤<时，所求的直线为0条； ②又2θγ=，所求的直线为1条，即,a b 所成锐角的角平分线所在的直线； ③又9022θθγ<<︒-时，所求的直线为2条，且它们在,a b 确定的平面α内的射影均为m ，cos arccos cos2l Om γθ'∠=； ④又902θγ=︒-时，所求的直线为3条，且其中2条在,a b 确定的平面α内的射影均为m ，cos arccos cos 2l Om γθ'∠=，另一条就是n ； ⑤又90902θγ︒-<<︒时，所求的直线为4条，且其中2条在,a b 确定的平面α内的射影均为m ，cos arccos cos 2l Om γθ'∠=，另2条在,a b 确定的平面α内的射影均为n ，cos arccos sin 2l On γθ'∠=；⑥又90γ=︒时，所求的直线为1条，即α的过点O 的垂线.(2)当90θ=︒时：①又045γ︒≤<︒时，所求的直线为0条；②又45γ=︒，所求的直线为2条，即,m n ；③又4590γ︒<<︒时，所求的直线为4条，且其中2条在,a b 确定的平面α内的射影均为m，)l Om γ'∠=，另2条在,a b 确定的平面α内的射影均为n，)l On γ'∠=；④又90γ=︒时，所求的直线为1条，即α的过点O 的垂线.证明 由全日制普通高级中学教科书(必修)《数学·第二册(下B)》(2006年人民教育出版社，第2版)(下简称《教科书第二册(下B)》)第28页第6题“从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，设它和已知角两边的夹角为锐角且相等，求证这条斜射线在平面内的射影是这个角的平分线”的结论知，l '在α内的射影为m 或n (包括l α'⊂的情形).若过点O 的直线l '在α内的射影为m ，由《教科书第二册(下B)》)第48页的公式“12cos cos cos θθθ=”，得cos cos cos (l Om mOa l Oa ''∠⋅∠=∠当Ol '与Om 重合时也成立). 又2mOa θ∠=(定值)，所以l Oa '∠随l Om '∠的增大而增大，且(2l Oa θ'∠≥当且仅当Ol '与Om 重合时取等号). 并注意9022θθ<︒-，可得欲证成立.问题1是一个常见问题，高中师生应当都很清楚.下面由这个问题的解决再来解决下面的一串问题.问题 2 若直线,a b 成θ角(θ是定值，有090)θ︒<≤︒，则过空间一定点P 与,a b 均成90(09090)γγ︒-︒≤︒-≤︒角的平面有且仅有几个？解 因为直线l 与平面α成γ角⇔直线l 与平面α的垂线成90γ︒-角，又过定点P 的直线l 的垂面是唯一确定的，所以问题2与问题1是等价的，得问题1的答案中关于直线条数的结论就是问题2中关于平面个数的答案.问题 3 若相交平面,αβ成θ角(θ是定值，有090)θ︒<≤︒，则过空间一定点P 与,αβ均成90(09090)γγ︒-︒≤︒-≤︒角的直线有且仅有几条？解 因为平面,αβ成θ角⇔平面,αβ的垂线成θ角，直线l 与平面α成γ角⇔直线l 与平面α的垂线成90γ︒-角，所以问题3与问题1是等价的，所以两者答案也一致.问题 4 若相交平面,αβ成θ角(θ是定值，有090)θ︒<≤︒，则过空间一定点P 与,αβ均成(090)γγ︒≤≤︒角的平面有且仅有几个？解 可得问题4与问题3是等价的，因而两者答案一致.问题5 若直线a 与平面β成90θ︒-角(90θ︒-是定值，09090)θ︒<︒-≤︒，则过空间一定点P 与,a β分别成,90(090)γγγ︒-︒≤≤︒角的直线有且仅有几条？解 因为直线a 与平面β成90θ︒-角⇔直线a 平面β的垂线成θ角，直线l 与平面β成90γ︒-角⇔直线l 与平面β的垂线成γ角，所以问题5与问题1是等价的，得问题1的答案中关于直线条数的结论就是问题2中关于平面个数的结论.问题6 若直线a 与平面β成90θ︒-角(90θ︒-是定值，09090)θ︒<︒-≤︒，则过空间一定点P 与,a β分别成90,(090)γγγ︒-︒≤≤︒角的平面有且仅有几个？解 可得问题6与问题5是等价的，因而两者答案一致.高考题1 (2004·湖北·理·11)已知平面α与β所成的锐二面角为80︒，P 为,αβ外一定点，过点P 的一条直线与,αβ所成的角都是30︒，则这样的直线有且仅有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解 D.在问题3的答案(1)②中选=80,30θγ︒=︒后立得答案.高考题2 (2009·重庆·理·9)已知二面角l αβ--的大小为50︒，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面面β所所成的角都是25︒的直线的条数为( )A.2B.3C.4D.5解 B.在问题3的答案(1)③中选=50,25θγ︒=︒后立得答案.自主招生题 (2011·华约·6)已知异面直线a,b 成60°角，A 为空间一点，则过A 与a,b 都成45°角的平面( )A.有且只有一个B.有且只有两个C.有且只有三个D.有且只有四个解 B.在问题2的答案(1)④中选=60,45θγ︒=︒后立得答案.最后，我们再来看一个问题(当然，读者还可把它转化成其他一些问题)：问题7 如图2，点O ∈平面α，l 是空间的一条定直线，l 与α成θ角(θ是定值，有090)θ︒≤≤︒.在α内过点O 与l 成(090)γγ︒≤≤︒角的直线有且仅有几条？图2答案 如图2，过点O 作直线//l l '，得l '与其在α内的射影m 成θ角.(1)当=0θ︒时：①又=0γ︒或90︒时，所求的直线为1条，分别为l '及l '在α内过点O 的垂线；②又090γ︒<<︒时，所求的直线为2条.(2)当=90θ︒时：①又090γ︒≤<︒时，所求的直线为0条；②又90γ=︒时，所求的直线为无数条，即α内过点O 的任意直线.(3)当090θ︒<<︒时：①又0γθ︒≤<时，所求的直线为0条；②又γθ=，所求的直线为1条，即m ；③又90θγ<≤︒时，所求的直线为2条，即与m 成cos arccos cos γθ角的两条直线. 证明 (1)，(2)显然成立.(3)由《教科书第二册(下B)》第48页的黑体字“平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角”知①，②成立！下证③成立.如图3，设α内过点O 的直线a 与l '成γ角，得cos cos cos mOa θγ⋅∠=即所求直线a与m所成的角cosarccoscosmOaγθ∠=，易知它是锐角，所以所求的直线有且仅有2条(为图3中的,a b)，且m是,a b所形成的一对对顶角的平分线.图3参考文献1 甘志国著.初等数学研究(II)下[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.104-105。
(甘志国)商榷2015年高考题中表述欠严谨的11道题
商榷2015年高考题中表述欠严谨的11道题甘志国(已发表于 中学数学教学，2015(5)：55-59)一年一度的高考是考生、老师、家长、学校乃至全社会关注的重点话题．2015年的高考已尘埃落定，笔者作为一名高中数学老师，也抓紧时间认真钻研了本年度的高考数学真题(文理共计31套，其中江苏文理同卷)，发现了它们有试题常规、情景新颖、杜绝偏怪、难度在降低等特点，这也与新课改之精神、教育乃培养人的活动、数学本来应当是人人能够喜爱的美的科学合拍．但笔者发现有10道高考题在表述上欠严谨：虽然原题不会太影响考生正确答题，但作为高考题的权威性及引用的广泛性，还是要注意表述上的严谨．题1 (2015年高考湖北卷文科第4题)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 解 A.显然x 与y 负相关，又y 与z 正相关，所以x 与z 负相关.商榷 高中生是在普通高中课程标准实验教科书《数学3²必修²A 版》(人民教育出版社，2007年第3版)(下简称《必修3》)第86页接触到“正相关、负相关”这两个概念的：图1从散点图(如图1所示)可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表(见《必修3》第85页的表2-3)中得出的结论.另外，这些点散布的位置也是值得注意的.它们散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.还有一些变量，例如汽车的重量和汽车每消耗1L 汽油所行驶的平均路程，成负相关，汽车越重，每消耗1L 汽油所行驶的平均路程就越短，这时的点散布在从左上角到右下角的区域内.由此论述可知，“正相关、负相关”是呈相关关系的两个变量之间的关系.而在本题中，满足关系y ＝－0.1x ＋1的两个变量x 和y 呈函数关系(即确定性关系)不是相关关系，在函数关系中，教科书中没有介绍两个变量之间“正相关、负相关”的含义(笔者在整个数学领域中也未听说过有此含义).建议把这道题的题干中的“y ＝－0.1x ＋1”改为“11.0+-=∧∧x y ”(改述后的解法及答案均不变).题2 (2015年高考全国卷II 理科第10题即文科第11题)如图2所示，长方形ABCD的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )图2解法1 B.当点P 在BC 边上时，PB ＝OB ·tan x ＝tan x ，P A ＝AB 2＋PB 2＝tan 2x ＋4，所以f (x )＝tan x ＋tan 2x ＋4(0≤x ≤π4)，显然f (x )单调递增且是非线性的，且f (π4)＝1＋ 5.当P 位于边CD 的中点时，x ＝π2，且f (π2)＝P A ＋PB ＝22，所以可知当点P 从点B 运动到点C 时，f (x )从2增到1＋5，当点P 从点C 运动到边CD 的中点时，f (x )从1＋5减到22，且增减都是非线性的，结合图象可知选B.解法2 B.由题意可知，f (π2)＝22，f (π4)＝1＋ 5.得f (π2)<f (π4)，排除选项C,D.当ππ≤≤x 43时，f (x )＝-tan x ＋tan 2x ＋4，可知其函数图象不是线段，排除选项A. 所以选B.商榷 建议把题2中的“长方形ABCD ”改成“矩形ABCD ”；“点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动”改成“动点P 从点B 开始沿着折线BCDA 运动到点A 停止”(原说法是不清楚的：动点P 从哪一点开始运动？运动到哪一点停止？是连续运动还是跳跃的运动？因为题目只说了“点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动”).作为选择题，题2是可以勉强解答的；要是作为非选择题，题2将无从解答.题3 (2015年高考浙江卷理科第6题)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( ) A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立解 A.命题①显然成立，由图3可知d (A ，C )表示的区域不大于d (A ，B )＋d (B ，C )表示的区域，所以命题②也成立.图3商榷 建议把题干改述为(若不改述，则题意不清，会使考生很茫然；因为有不少高考选择题是要求选出错误的选项，比如2015年高考中的福建卷理科第10题、陕西卷理科第12题)：设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )． 则下列结论正确的是( )题4 (2015年高考浙江卷文科第8题)设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t.( ) A ．若t 确定，则b 2唯一确定 B ．若t 确定，则a 2＋2a 唯一确定C ．若t 确定，则sin b2唯一确定 D ．若t 确定，则a 2＋a 唯一确定解 B.对于选项A ，取t ＝12，b 可取π6或5π6，得b 2不能唯一确定；对于选项B ，由|a＋1|＝|sin b |＝t ，得|a ＋1|2＝t 2，即a 2＋2a ＋1＝t 2，a 2＋2a ＝t 2－1，所以若t 确定，则t 2确定，所以a 2＋2a 唯一确定，得选项B 正确；若t 确定，由|sin b |＝t ，得sin 2b ＝t 2，所以cos b ＝±1－t 2，sin b2＝±1－cos b 2＝±1±1－t 22，不唯一确定，选项C 中的结论不正确；若t 确定，由|a ＋1|＝t ，得a ＋1＝±t ，所以a ＝－1±t ，所以a 2＋a ＝(－1±t )2－1±t ＝t 2∓2t ±t ＝t 2∓t ，不唯一确定．综上可知，只有选项B 正确．商榷 建议把题干改述为(改述的理由同上)：设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t ，则下列结论正确的是( )题5 (2015年高考广东理科第8题)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5 解 B.正四面体符合要求，因此n 可以等于4. 下面证明n ＝5不可能．假设存在五个点两两距离相等，设为A ，B ，C ，D ，E .其中A ，B ，C ，D 构成空间的正四面体ABCD ，设其棱长为a .设G 为△BCD 的中心，则不难算出AG ＝63a ，BG ＝33a ，且AG ⊥平面BCD .如果点E 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，那么点E 一定在直线AG 上，且EB ＝a .如果点E 在线段AG 上或线段GA 的延长线上，那么在Rt △EBG 中，EG ＝BE 2－BG 2＝63a ，AG ＝63a ，此时A ，E 重合. 如果点E 在线段AG 的延长线上，此时EG ＝63a ，EA ＝263a ≠a . 综上所述可得，正整数n 的取值至多是4.商榷 建议把选项A,B 中的“至多”均改为“最多”.中国社会科学院语言研究所词典编辑室编《现代汉语词典》(商务印书馆，2012年第6版)第1677页对“至少”的解释是“表示最小的限度”，所以“正整数n 至多等于4”的意思是“正整数4≤n ，但等号不一定能取到”，而在本题中“正整数4≤n ，等号一定能取到”，所以改动后的表述更准确(不改动也无错误)．而对于2014年高考上海卷理科第13题“某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若2.4)(=ξE ，则小白得5分的概率至少为 ．”若不把其中的“至少”改为“最少”，则答案可填闭区间[0,0.2]中的任一个数，就不一定是参考答案“0.2”.题6 (2015年高考江苏卷第9题)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解 7.设新的底面半径为r ，得13π³52³4＋π³22³8＝13πr 2³4＋πr 2³8 ，即283πr 2＝1003π＋32π，解得r ＝7.商榷 一般来说，在橡皮泥的重新制作过程中，体积会变化(但质量不变)，所以建议把题中的“若将它们重新制作”改述为“若将它们重新制作(假设重新制作的过程中，橡皮泥的体积不变)”.题7 (2015年高考陕西卷文科、理科第22题)如图4所示，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．图4解 (1)因为DE 为⊙O 的直径，得∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED . 又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ，得BA BC ＝ADCD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，得AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，所以DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.商榷 建议把该题及其解答中的“直径”改为“直径的长”.题8 (2015年高考陕西卷文科、理科第24题)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)由柯西不等式，得at ＋12＋bt=－3t ＋12＋t ＝3²4－t ＋t ≤ [（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4当且仅当4－t 3＝t1即t ＝1时等号成立，所以(－3t ＋12＋ t )max ＝4. 商榷 第(2)问中的“t ”是变量还是常量呢？题目没作交代.若“t ”是变量，则解答同上；若“t ”是常量，则答案为“at ＋12＋bt ”(因为at ＋12＋bt 是常量).所以建议把该题第(2)问改述为：(2)求函数f (t )=at ＋12＋bt 的最大值．题9 (2015年高考全国卷II 理科第21题)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x . 若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0. 若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1，即 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≤--1e e 1e e m m mm① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，得g ′(t )＝e t －1.当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.所以g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，所以当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0.所以当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①成立；当m >1时，由g (t )的单调性，知g (m )>0，即e m －m >e －1；当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1.综上所述可得，m 的取值范围是[－1，1]．商榷 建议把第(1)问中的“(－∞，0)”，“(0，＋∞)”分别改述为“(－∞，0)上”，“(0，＋∞)上”.题10 (2015年高考广东卷理科第17题)某工厂36名工人的年龄数据如下表：到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解 (1)依题意知，所抽取的样本编号是一个首项为2公差为4的等差数列，得其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，所以对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得9100,402==s x . (3)由(2)知，310=s ，所以3143,3236=+=-s x s x . 因为年龄在s x -与s x +之间的共有23人，所以其所占的百分比是%89.633623≈(精确到0.01%).商榷 解答第(3)问时，必须要知道x 与s 的值，而在大前提及第(3)问的题设中均找不到，考生(也包括所有的答题者)在万般无赖的情形下，只有在第(1)问或第(2)问中找出这两个数据：果真在第(2)问中找到了！而后也作出了所谓正确的解答，也得出了理想的分数.这好像就是出题者的意思.但这是不对的，也是完全错误的！可把此题第(3)问改述为：(3)36名工人中年龄在s x -与s x s x ,(+的值见第(2)问)之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?2011年高考广东卷理科第17题及2010年高考安徽卷理科第19题也都存在这种错误]1[. 笔者发表的文献[2],[3]均指出了2014年高考题中表述欠严谨的地方，读者可以浏览. 题11 (2015年高考广东卷文科、理科第20题)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)因为圆C 1的方程即4)3(22=+-y x ，所以圆C 1的圆心坐标是(3,0)． (2)设线段AB 的中点为),(y x M ，可得AB M C ⊥1即OM M C ⊥1. 得点M 在以OC 为直径的圆0322=-+x y x 上.又点M 在圆C 1内，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+4)3(032222y x x y x ，得两圆的交点为⎪⎭⎫⎝⎛±532,35，进而可得所求轨迹C 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛>=-+350322x x y x . (3)存在实数k 满足题意.如图5所示，曲线C 是以⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23C 为圆心，23为半径的圆弧»EF (不包括端点)，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛532,35,532,35F E.图5当直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 相切时，得43,23104232±==+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k . 又直线L ：y ＝k (x －4)过定点D (4,0)，所以5724350532-=--=-=DFDE k k .再结合图5可得，当且仅当k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,43572,572时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点.注 本题源于普通高中课程标准实验教科书《数学²选修2-1²A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称《选修2-1》)第37页习题2.1的A 组第4题：过原点的直线与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．与《选修2-1》配套使用的《教师教学用书》(人民教育出版社,2007年第2版)第11页给出的《选修2-1》第40页给出的答案是“335,0322≤≤=-+x x y x ”.笔者认为，由“弦AB ”知点B A ,不能重合，所以答案应当是“335,0322≤<=-+x x y x ”，也即“⎪⎭⎫⎝⎛>=-+350322x x y x ”.(这道高考题的解答与笔者的这一观点是一致的.) 商榷 应注意交点与切点是有区别的]4[：直线与圆相交时的公共点叫做交点，直线与圆相切时的公共点叫做切点，交点和切点统称为公共点.所以建议把题10(即2015年高考广东卷文科、理科第20题)第(3)问中的“交点”改为“公共点”(改动后答案不变；若不改动，则答案为：当且仅当k 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-572,572时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点).参考文献1 甘志国.大前提、小前提的规范使用[J].数学教学，2014(7)：23-242 甘志国.商榷2014年高考题中表述欠严谨的六道题[J].数学教学研究，2014(12)：24-253 甘志国.高考数学真题解密[M].北京：清华大学出版社，2015：287-2924 甘志国.应区分“交点”与“公共点”[J].中学数学教学，2009(3)：37。
甘志国高中数学题典精编出版年份
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(甘志国)对2010年高考数学湖北卷压轴题的研究
对2010年高考数学湖北卷压轴题的研究甘志国(该文已发表 中学数学杂志，2010(7)：45-49)2010年的全国普通高考已落下帷幕，笔者在第一时间认真钻研了2010年高考数学湖北理科卷和文科卷，发现其中最靓丽的题就是两道压轴题，本文将对它们作深入研究. 1 对文科压轴题的研究文科压轴题 设函数c bx x a x x f ++-=23231)(，其中0>a ，曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线方程为1=y .(1)确定c b ,的值；(2)设曲线)(x f y =在点))(,(11x f x 及))(,(22x f x 处的切线都过点)2,0(，证明：当21x x ≠时，)()(21x f x f '≠'.(3)若过点)2,0(可作曲线)(x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围. (答案：(1)1,0==c b ；(3)),32(3+∞⋅.)1.1 对第(2)问的研究第(2)问的结论即：若曲线1231)(23+-==x a x x f y 在两个不同点处的切线重合，则重合的这条切线不经过点)2,0(.下面给出其一般性的结论：定理1 三次函数的图象在两个不同点处的切线不会重合.证明 即证三次曲线)(x f y =在点)0))((,()),(,(≠++h h t f h t B t f t A 处的切线不会重合.设O 为坐标原点，把三次曲线)(x f y =沿向量平移后，曲线)(x f y =经过坐标原点，点))(,(t f t A 也变为坐标原点O ，所以只需证明：曲线)0()(:23≠++==a cx bx ax x g y C 在点)0))((,(),0,0(≠h h g h P O 处的切线不会重合.用反证法来证明：c bx ax x g y ++='='23)(2. 假设曲线C在点PO ,处的切线重合，得023,23),()0(2=+++='='b ah c bh ah c h g g .得曲线C 在点P O ,处的切线分别为)()(,23h x c ch bh ah y cx y -=++-=即 )(,2b ah h cx y cx y ++==因为它们重合，所以0=+b ah ，又由得到的023=+b ah ，得0=ah ，这与题设“0,0≠≠h a ”矛盾！所以欲证结论成立.(用平移证题、解题，非常简洁.2009年的高考数学理科湖北卷压轴题(无考生做全对)也可用平移给出简洁的解答.)关于定理1，还有以下注记：(1)常数函数、一次函数的图象及任意直线(包括铅垂线)在两个不同点处的切线均重合. (2)二次函数的图象(即抛物线)及三次函数的图象在两个不同点处的切线均不会重合. (3)当∈≥n n n ,4(N )时，均存在n 次函数的图象，使它在某⎥⎦⎤⎢⎣⎡2n (表示不大于2n的最大整数)个不同点处的切线重合.下面证明结论(3)：读者易证曲线2222)]1([)2()1()(----==m x x x x x f y 在点∈≥-=m m m i i f i P i ,21,,2,1,0))((,(； N )处的切线均为0=y ；曲线2223)]1([)2()1()(----==m x x x x x g y 在点∈≥-=m m m i i g i Q i ,21,,2,1,0))((,(； N )处的切线均为0=y .还可以把曲线22)1(-=x x y (如图1)绕坐标原点逆时针旋转︒45得到曲线0),(=y x h ，由旋转变换公式⎪⎩⎪⎨⎧+=-=**，θθθθcos sin sin cos y x y y x x 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=****，22x y y y x x 把它代入22)1(-=x x y 后可得曲线0),(=y x h ，即0)(22)2()(),(22=-+-++=y x y x y x y x h所以曲线0),(=y x h 在点⎪⎭⎫⎝⎛21,21),0,0(处的切线重合，且为直线x y =.(读者也可用隐函数导数的求法证得此结论)图1猜想 对于∈≥n n n ,4(N )次曲线)(:x f y C =，有(1)若曲线C 在两个点处的切线重合，则该切线的斜率为0；(2)当n 已知时，若曲线C 在δ个点处的切线重合，则δ的最大值是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2n .1.2 对第(3)问的研究此问与2007年全国卷(II)理科压轴题的压轴问“已知函数x x x f -=3)(.设0>a ，如果过点),(b a 可作曲线)(x f y =的三条切线，证明)(a f b a <<-”是同样的问题. (注 文献[1]末还得到：在本题中有，过点),(b a 可作曲线)(x f y =的三条切线)(a f b a <<-⇔.)下面浅探“过一点可作n 次曲线的切线条数”的问题.定理2 当且仅当已知点M 在已知直线l 上时，直线l 过点M 的切线存在(且切线存在时,切线就是直线l ).证明 可不妨设点b kx y l y x M +=:),,(00，得k y ='. 若直线l 过点M 的切线0l 存在，设切点为),(b kt t +，得)()(:0t x k b kt y l -=+-即 b kx y +=说明切线0l 与直线重合,从而可得定理2成立.定理3 过已知点),(00y x M 可作已知∈≥n n n ,2(N )次曲线∈≠++++==---0110111,,,,0()(a a a a a a x a x a x a x f y n n n n n n n ；R )切线的条数即关于t 的一元n 次方程(因为以下多项式)(t g 的首项系数0)1(≠-n a n )0)()()()(00=-'-+=y t f t x t f t g ① 的相异实数解的个数.证明 设切点为))(,(t f t ,得切线方程为))(()(:0t x t f t f y l -'=-由0l M ∈,得))(()(00t x t f t f y -'=-此即方程①,从而可得定理3成立.推论1 (1)过已知点作已知n n (是正偶数)次曲线切线的条数可以是n ,,2,1,0 ； (2)过已知点作已知n n (是奇数，3≥n )次曲线切线的条数可以是n ,,2,1 ； (3)过已知点作已知∈n n (N *)次曲线切线的条数最少是0，最多是n .证明 (1)当n 是正偶数时，由“实系数一元∈n n (N *)次方程的虚根成对出现”(见文献[2]第118页定理2)知，方程①可以没有实根，此时所作切线的条数为0.事实上，当已知点在已知二次曲线内部(即含拋物线焦点的区域)时，所作的切线就是0条.当n 是正偶数时，n 次方程①可以有n 个相异实根，也可以让n 个实根中恰有2个,3个,1,-n 个相等，n 个全相等，从而得方程①相异实数解的个数是1,,1, -n n .所以结论(1)成立.(2)当)3(≥n n 是奇数时，由“实系数一元∈n n (N *)次方程的虚根成对出现”知，此时方程①至少有一个实根，得此时的切线为一条.而后同上可证得结论(2)成立. (3)由(1),(2)知成立.引理1]1[ 设∈≠=+++=d c b a a d cx bx ax x f ,,,0(0)(23；R )，方程023)(2/=++=c bx ax x f 的判别式)3(42ac b -=∆，则(1)方程0)(=x f 有三个不同实根0>∆⇔且)(x f 的两个极值异号；(2)方程0)(=x f 有一个二重根和一个一重根0>∆⇔且)(x f 有一个极值为0；(3)方程0)(=x f 有三重实根0=∆⇔且d a b 2327=；(4)方程0)(=x f 有一个实根和两个共轭虚根⇔除(1),(2),(3)之外的所有情形. 引理2 设∈≠=+++=d c b a a d cx bx ax x f ,,,0(0)(23；R )，方程023)(2/=++=c bx ax x f 的判别式)3(42ac b -=∆(当0>∆时,设)(/x f =0的两根为21,x x )，则方程0)(=x f 相异实根个数的情形是：(1)方程0)(=x f 有三个不同实根0)()(021<⋅>∆⇔x f x f 且；(2)方程0)(=x f 有且仅有两个相异实根0)()(021=⋅>∆⇔x f x f 且； (3)方程0)(=x f 有唯一实根⇔除(1),(2)之外的所有情形0)0)()(0(21≤∆>⋅>∆⇔或且x f x f .由引理2及定理3，得 推论2过已知点),(00y x M 作已知曲线∈≠=+++==d c b a a d cx bx ax x f y ,,,0(0)(23；R )的切线条数为1,2或3.具体的情形是(以下⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-'⋅-=0000)3()3)(3(])([y a b f a b x a b f y x f G )： (1)所作切线的条数为30<⇔G ；(2)所作切线的条数为2⎪⎩⎪⎨⎧=-≠⇔030G a b x ；(3)所作切线的条数为1⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=⇔0)3(30330000G a b f y ab x G a b x a b x 或或. 证明 此时的方程①，即02)3(2)()()()(00020300=-+++-+-=-'-+=y cx d t bx t b ax at y t f t x t f t g)3)((62)3(26)(0002abt x t a bx t b ax at t g +--=+-+-=' 可以验证引理2中的)()(21x f x f ⋅即这里的))(3()(0G abg x g =-⋅(用00)()()()(y t f t x t f t g -'-+=)，由定理3及引理2可证推论2成立，再细加说明如下:(1)所作切线的条数为30030<⇔<-≠⇔G G abx 且(因为当0<G 时用反证法可证ab x 30-≠).(3)第二个“⇔”是因为可证：当,30a b x -=)3(0abf y -≠时0>G . 三次曲线∈≠=+++==d c b a a d cx bx ax x f y ,,,0(0)(23；R )在对称中心(即拐点)处的切线方程为)3)(3()3(:a b x a b f a b f y l +-'=-- 即 0)3()3)(3(:=--++-'y abf a b x a b f l理科科压轴题 已知函数)0()(>++=a c xbax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=x y .(1)用a 表示出c b ,；(2)若x x f ln )(≥在),1[+∞上恒成立，求a 的取值范围； (3)证明：)1()1(2)1ln(131211≥+++>++++n n n n n . (答案：(1)a c a b 21,1-=-=；(2)⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.) 本题可能是以欧拉(Euler,1707-1783)常数(有结论n n c nε++=++++ln 131211 ，其中c 为欧拉常数，且0lim =∞→n n ε)为背景编拟的.2.1 第(2)问的自然解法——分离常数法x x f ln )(≥即x a xa ax ln 211≥-+-+，它在1≥x 时恒成立，即)1()1(1ln ),1(2111ln 2>-+-≥>-+-+≥x x x x x a x xx x x a恒成立.用导数可证函数)1(ln )1()1(21)(2≥--+-=x x x x x x g 是增函数(只需证)1(01ln )(≥≥--='x x x x g 恒成立，再用导数可证)，所以)1(0)1()(≥=≥x g x g ，当且仅当1=x 时0)(=x g ，得21)1(1ln lim ),1(21)1(1ln 212=-+-><-+-+→x x x x x x x x x x所以“)1()1(1ln 2>-+-≥x x x x x a 恒成立”即“21≥a ”. 读者可能会问是如何想到证明以上函数)(x g 是增函数的：须求函数)1()1(1ln )(2>-+-=x x x x x x h 的上确界，就大胆猜测它是减函数(也可用多次求导的方法给予证明)，再用洛必达(H L 'ospita ，1661~1704)法则可求出其上确界是21，但洛必达法则不能在解答题中使用，笔者就使用以上技巧简洁圆满地解决了这个棘手问题.高考难题考什么，一定程度上来说就考合情推理、大胆猜测(猜测出正确的结论是解答难题的关键). 2.2 第(3)问的伴随结论试卷提供的两种证法都要用到第(2)问的结论，而不用此结论也可直接证得第(3)问.证法1 (数学归纳法)由43327.277.2>⨯>>e 可得1=n 时成立.假设∈=k k n (N*)时成立：)1(2)1ln(131211+++>++++k k k k . 下证1+=k n 时成立：)2(21)2ln(1131211++++>+++++k k k k .只需证明 )2(21)2ln(11)1(2)1ln(++++>+++++k k k k k k k即 ⎪⎭⎫⎝⎛+++<⎪⎭⎫ ⎝⎛++211121111ln k k k ②只需证明)0(011111ln 2><⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ，这用导数可证： 设)0(11111ln 2)(>⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x g ，得0)1(1)(22>+='x x x g ，所以)(x g 是增函数，0)(lim )(=<+∞→x g x g x .所以欲证成立.证法2 (累加法)由②，得⎪⎭⎫ ⎝⎛++<-+11121ln )1ln(k k k k 令n k ,,2,1 =后，把得到的n 个不等式相加可得欲证.(当然，证法1、2实质相同.)读者用以上证法还可证得该问的伴随结论： 定理4 (1))0(1112111ln 11>⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+x x x x x ；(2)∈≥<+++<++-+n n n nn n n ,2(ln 13121)1(22)1ln( N*).证明 (1)右边在上述证法1中已证，左边同右边的证法(用导数)也可证，详细过程见专著[3].(2)左边即上述第(3)问，右边用(1)的左边同证法1、2可证，详细过程也见[3].参考文献1 甘志国.三次方程根的情况的简明结论[J].中学数学(高中)，2007(10)：20-212 张远达编著.浅谈高次方程[M].武汉：湖北教育出版社，19833 甘志国著.初等数学研究(II)下[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.173。
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甘志国“数学解题与研究丛书”《序言》我在读小学时，就喜欢上数学课，喜欢做数学题.喜欢的原因很简单(学数学只需一张纸、一支笔和一个不太聪明的大脑就行了)，从做题中体验到了成功的喜悦；到了读中学时，这种兴趣就更强烈了，每天除了完成学习任务之外，就是到学校图书室去借阅各种数学习题集做，也翻阅《数学通报》《数学通讯》等数学杂志；又到了参加工作时，更是酷爱数学这门科学了，一边进行数学教学，一边攻读大学数学课程和研究生课程，还利用一切业余时间进行初等数学研究，并有不少论文发表(几乎每周都有论文发表在期刊上)，哈尔滨工业大学出版社分别于2008年、2009年还出版了我的专著《初等数学研究(I)》、《初等数学研究(II)》(总计230万字)，这两部书也很受读者喜爱，有网友说它们是数学教学中的“圣经”，也有网友留言“他确实是我相当佩服的老师，如果高中时他能教我那该多好啊！可惜我现在已经到了大学，不过我还是对初等数学充满了强烈的兴趣，他的《初等数学研究》让我十分着迷”.我是如何学数学并获得一些快乐的，从哈尔滨工业大学出版社第一编辑室主任刘培杰先生在《初等数学研究(I)》(哈尔滨工业大学出版社，2008)中所写的序言(这篇《序言》也被《中学数学教学参考》(上旬)2008年第10期转载)里可以找到部分答案：甘先生的研究历程带给我的感受有三点.一是坚持的重要.甘先生如同中国象棋中的小卒，一直向前拱到底线终成大器.一位青年数学教师写一篇小文章并不难，难的是坚持数十年，由青年而至中年，一篇积成几百篇，这就要有一种精神了，这可能就是湖北人的韧劲.甘先生不是天才，但勤奋有加，靠后天努力终成正果.二是定位的自觉.搞研究定位十分重要，它决定着将来学问的规模，层次与格调，有些人眼高手低，非世界难题不搞，结果与自身能力不相配匹，终落得“壮志未酬身先死”.单墫教授曾有比喻，二流人才搞三流问题，结果必是一流的，而二流人才搞一流问题，其结果必是三流的.甘先生定位准确，结合本职工作，立足岗位成材，主攻初等数学研究，终于取得了可喜的成果.三是对事业的热爱.曾国藩曾在其家书中告诫自己的后代，交友一定要交有嗜好有癖之人.后代不解，追问没有嗜好没有癖的人有何不可，曾国藩说：其没有深情也！对某项事业某种物件某位佳人一往情深是一个人幸福的基础，也是事业成功的必要条件.甘先生就是一位对初等数学情有独钟，嗜数如命的青年教师.曾经贫穷过，曾经疾病过，但都不改初衷，坚持钻研，并从中得到了乐趣.法国数学家泊松(Poisson Simeon Denis Baron, 1781—1840)有一句名言：人生最大的乐趣有二，一为数学的发现，一为数学的教学.甘先生兼而有之想必人生充满乐趣.一位教育专家曾说过，教师有两种类型：一类是“为生存而教育”，一类是“为教育而生存”.甘先生显然是后者.现在随着国家对教育的重视，中学教师特别是数语外教师靠自己的知识和劳动也跻身于中产阶级行列.享受生活成为了这一阶层的生活核心，如C·赖特·密斯瓦所说：“中产阶级的气质意味着对自己的生活感到满意，意味着形而上学的情思的枯竭，意味着人生的终极关怀的丧失，意味着探索精神之路的断绝.”我们很高兴看到甘志国式的青年教师有追求有理想有成果.1996年美国“数学与美国未来全国委员会”发表了引发转折的标志性报告《至关重要：美国未来的数学》，其中提出“高胜任教师”(highly qualified teacher)的概念.可以断言，只有不断钻研初等数学的中学数学教师才能是一位新时代的高胜任教师.英国《泰晤士报》曾刊发过一篇题为《未来是橙色的》的署名文章.其中介绍了一个奇特现象，那就是北纬53度“盛产”数学家.据安德鲁斯大学研究人员计算得出：在过去的400年中，54%的数学家出生在北纬53度的地方.这个国外的研究结论在中国是否适用不得而知，但中国有句俗语：“天上九头鸟，地上湖北佬”.湖北人聪明勤奋，数学自然不弱，读完甘先生的大作相信你一定会有这样的感觉：唯楚有才！我喜欢轻松与享受，例如，倾听优美的音乐与品尝可口的美味，但是许多科学实验已经证明，永远的“轻松与享受”的代价就是寿命的减短，因此生物的本性需要在“轻松与享受”和“劳累和克服”之间来回振荡.我认为，如果一本书能在轻松之间让读者对某种对象产生了兴趣，虽然是一种成功，但如果到此为止，就有些不够.这就像一位人士被你说得胃口大开，正想去实际品尝一下，却不知餐馆在何处一样.所以我的愿望是既让你有了胃口，又要能让你吃到一些真实的菜.即使这道菜以你目前的水平还不能享受，但是经过努力学习后，就随时可以享用了.我还想回答一个问题，就是学习数学是需要吃一些苦的，是需要克服一些困难的，克服这些困难实际上是对自己的一种磨练，是自己对自己的强制与要求.于是有的人就要问，那你为什么要受这种苦？值得吗？我的回答是：爱什么是不需要任何理由的！甘愿吃苦的原因和动力来自对数学的喜爱，就因为你就是这种人，你的回报就在于你每一次得知答案时的满足和享受.你可以不受这些苦，但你也就体会不到那种快乐.我认真研读过冯贝叶编著的《数学拼盘和斐波那契魔方》(哈尔滨工业大学出版社，2010)，该书《序言》末的一首小诗也写出了我对数学的挚爱，现抄录下来(略有改动)供数学爱好者欣赏：美丽的数学女神你就像一个蒙着神秘面纱的美丽女神，面纱的后面总是闪耀着宝石的光芒；红宝石，蓝宝石，绿宝石，多姿多彩，吸引着我去摘取.但是，当我想揭开这面纱，摘取这些迷人的宝石的时候，我却发现，这里有很多机关.我必须，先回答一些问题，找出答案后，才能获得你的微笑.伴随着你的微笑，一颗带着芳香的小宝石，轻轻落入我的手心.啊！多么美丽，多么雅致，像有一股可口的清泉，滋润着我的心田.我用一个精致的盒子将这颗宝石收藏，作为永久的纪念.我是这样的贪心，得到一颗宝石之后，还想立即摘取下一棵，而你的问题就愈加困难.随着我收藏的宝石的增多，这困难就成了折磨，但我甘愿忍受你的折磨，因为，不让我忍受你的折磨，本身就是一种更大的折磨.这宝石，我不时拿出来欣赏，每当此时，就是我最大的快乐.不要问我，这宝石值多少钱？可能在你看来，它一钱不值，但是对我来说，它却是无价之宝.美丽的女神，经过一生的追求，我才知道，你的魅力，就在于，蒙在你脸上的面纱，永远不可能彻底揭开.但是，你又是那样慷慨，只要对你有追求，你就有无穷的宝石，伴随着你的微笑，再次落到我的手中.所以，我要永远追求你，永远享受着你的折磨.我还想敬告本书的部分读者——高中生，学习数学一定要建立在喜欢的基础上，也就是要培养浓厚的兴趣.同学们要深信以下三点：第一，数学是有用的.宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学.——华罗庚数学是科学的女皇.——高斯一门科学只有成功地运用数学，才算达到真正完善的地步.——马克思发表在《人民日报》的文章《数学——撬起未来的杠杆》(该文曾选入高一(下)语文自读课本)中写道：“数学家们还介绍，美国国家研究委员会从1984年起，向美国政府提出了四份关于美国数学和数学教育的报告.报告指出：高技术的出现把我们的社会推到了数学技术的新时代，‘很少有人认识到，被如此称颂的高技术，本质上是数学技术’.报告说：未来社会最好的工作和岗位，属于准备好了处理数学问题能力的人；数学已不单是一门学科，而且是重要的潜在资源；现今技术发达的社会里，扫除‘数学盲’的任务已取代了扫除‘文盲’的任务.”这些名言及论述都说明了数学的重要性和作用.我们来举一个漂洗衣服的例子吧：在洗衣服时，衣服上已打好了肥皂，揉搓得很充分了，再拧一拧，当然不能把水全部拧干，设衣服上还有残留污物的水1kg，用20kg的清水来漂洗，怎样才能漂洗得更干净？方案1 如果把衣服一下子放到20kg的清水中，那么连同衣服上那1千克水，一共21kg 水.让污物均匀分布到这21kg水中，拧“干”后，衣服上还有1kg水，所以污物残留量是原来的1/21.方案2 通常我们会把20kg水分两次用，比如，第一次用5kg，可使污物减少到1/6；再用15kg水，污物又减少到1/6的1/16，即1/96.分两次漂洗，效果好多了！方案3同样分两次漂洗，也可以每次用10kg水，每次可使污物减少到原来的1/11，两次漂洗后，污物减少到原有量的1/121.多学点数学，并用数学的眼光看世界，将会使你的生活更美好！(可见笔者发表于《中学数学杂志》2010(11)第57~60页的文章《数学，让你生活得更美好》)第二，学数学是需要花时间的.在欧几里得(Euclid，约前330-前275)的时代，学点几何学是很时髦的事.相传，当时的托勒密国王也来请欧几里得教他学几何，但没学多久，国王就不耐烦了，问欧几里得，学习几何有没有更简便的方法.欧几里得答道：“学习几何无王者之道！”意思是，在几何学里，没有专门为国王铺设的康庄大道！数学以计算为主，所以做一道题是需要花时间的，比如，做一道解析几何题就要花半个小时，小学生做“36×37”这样的一道题也要花一两分钟，而做一道文科的选择题可能只需一瞬间.当然，这里不是说学数学要花很多时间，我们干任何事情都要争取达到“会者不难”的一种境界，只是在打好数学基础时肯定要花时间，甚至是大量的时间.学好数学必须做题，并且是有效率的做题，我曾经发表过“思探练变题”的解题法(见《中小学数学》(高中)2009(12)：7)，值得大家在学习高中数学时借鉴.学数学，要打好基础，绝不可只顾盲目做题，要反思、要总结.这套丛书中的练习题都是我在二十多年的高中数学教学中积累下来的.我善于积累，在平时的教学中，遇到一道好题，认真研究后记载下来，供以后教学时使用.这就是这套丛书中练习题的来历，所以这套丛书中的习题，读者应抽出时间认真完成(可作为考试来对待)，这样，你才会有大的收效.学数学，要特别重视思考，且不能急于求成.我有时想一道题，要想几年(当然是间断地想)才获解决.第三，不要畏惧数学，因为数学好学.我认为，数学学科的规律性最强，题意清楚明白，不会出现模棱两可的现象，有公式可套，有例题可仿，打好基础、适当训练、循序渐进、注重反思，就可学好数学.最后，作为一名经常战斗在高三的数学老师，多次亲历了学子们的顽强战斗.也作为你们的朋友，针对你们的高考复习备考，我想对你们说几句知心话.吃苦耐劳，无怨无悔.诚然，高中学习是够累的，没有双休日，很少有节假日，早上6:30就开始起床，晚上10:30还不能上床休息，用“披星戴月”这个词来形容是再恰当不过的了，但是，要把学习搞好，必须有充足的学习时间，谁在时间上拥有了优先权，谁就可能在学习上赢得竞争的胜利.同学们，别以为人生漫长，美国人是这样算出一生的学习时间的：一生以60年计，穿衣梳洗5年，路途旅行5年，娱乐8年，生病3年，打电话1年，照镜子70天，擤鼻涕10天，……这样，即使一个人终生学习，学习时间也不足12年，不够4300天.高中三年更是求学的黄金时期，千万不要浪费每一点时间.同学们，也别埋怨求学时间短暂，雷巴柯夫曾强调：“时间是一个常数，但对勤奋者来说，又是一个变数，用‘分’来计算时间的人，比用‘时’来计算时间的人，时间多59倍.”如何争取时间，也听两首通俗的诗吧：一首是“无事此静卧，一日算半日，若活七十岁，只算三十五.”另一首是“无事此静坐，一日算两日，若活七十岁，便是百四十.”有迟到习惯的同学，你还能天天迟到吗？康熙皇帝是中国历史上很有作为的一位帝王，在位长达61年之久.他一生不仅勤勉为政，还酷爱自然科学.康熙皇帝14岁时，看到新旧历法之争相当激烈，自己因对自然科学知之不多，而无法判明是非，于是暗下决心要努力学习自然科学，并拜请比利时传教士南怀仁(Ferdinand Verbiest,1623-1688)为师.因每日需早朝，故只能把学习时间安排在早朝前，命南怀仁半夜起床赶到宫中上课，小康熙刻苦学习、虚心请教，按时交纳作业.一位封建帝王竟如此好学，我们高中生还能懒惰吗？鼓足信心，扬起理想风帆.斗转星移，以前各次考试成绩的酸甜苦辣都将于我们一一作别，或是成功，或是失败，或是顺航，或是逆流，都成了无可挽留的昨天.古人云：“弃我去者，昨日之日不可留.为什么你总对过去纠缠不休而耿耿于怀呢？”从今天开始，让我们带着灿烂的、甜蜜的笑脸，怀揣超脱喜悦的心情，重新打扮一下自己，你便是一个全新的你：有信心，有理想，自然就会有抱负，有作为.勤奋拼搏，弹奏壮丽凯歌.同学们一定从电视上欣赏过体育竞赛的激动场面，上千人上万人的体育运动会都是有的，运动员的拼搏精神值得我们认真学习.我们要努力，我们要拼搏.人生难得几回搏，此时不搏，更待何时？成长不可无书，成功不能无知.据说美国历史上曾有这样的两个家族，一个是爱德华家族，其始祖爱德华是位满腹经纶的哲学家，他的八代子孙中出了13位大学校长，100多位教授，20多位文学家，20多位议员和一位副总统；另一个家族的始祖叫珠克，他是个缺乏文化修养的赌徒和酒鬼，他的八代子孙中有300多位乞丐，7个杀人犯和60多个盗窃犯.同学们，一个人有没有文化修养，竟能产生如此源远流长的影响.你是做一个造福子孙的“拼搏者”，还是做一个遗臭万年的“懒汉”呢？同学们，你们是凭才学才选择并实现读××高中的，××高中每年都要走出数以千计的大学生，很多大学生又要通过自己的刻苦努力在知识上成为金字塔尖上的人类佼佼者.实际上，你们离这些佼佼者并不遥远，在高考前的这一阶段，再努一把力，调整好心态，你也可以同他们一样成为人类的佼佼者.下面，也赋诗一首《奔向远方》与你们共勉：满怀青春的憧憬与幻想，我匆匆前行.我仿佛听见远方的呼唤：走吧，朋友！让我们鼓起风帆，去搏击狂风去搏击恶浪去搏击苦涩的日子吧.远方有旖旎的风光，远方有壮丽的辉煌，远方是太阳升起的地方.走吧，朋友！放飞你蓝色的梦，去讴歌生命去讴歌壮丽去讴歌远方的风景吧.不要再贪恋港湾的的温馨了，它不过是暂时栖息的地方；不要采撷往日的绿叶，它已随秋风舞落在地，不要回眸身后孤寂的足迹，它已被涨起的海潮冲得无影无踪.走吧，朋友！只要我们不息的奋斗，我们都能达到那理想的绿地！祝高三学子在高考中取得优异成绩！谢谢大家！甘志国北京丰台二中2013年8月1日附“数学解题与研究丛书”包括11册，均由哈尔滨工业大学出版社出版：1.《集合、函数与方程》(2014年1月)，290千字2.《数列与不等式》(2014年1月)，328千字3.《三角与平面向量》(2014年1月)，242千字4.《平面解析几何》(2014年1月)，306千字5.《立体几何与组合》(2014年1月)，225千字6.《极限与导数、数学归纳法》(2014年1月)，314千字7.《趣味数学》(2014年3月)，310千字8.《教材教法》(2014年4月)，730千字9.《自主招生》(2014年5月)，438千字10,11.《高考压轴题》(上、下)(即将出版)。