2016--华杯决赛(小学高年级组).第3讲.组合计数
华杯小高组决赛真题演练2-教师版
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B （小学高年级组）一、填空题（每小题10份，共80分）1. 计算：8184157.628.814.48012552⨯+⨯−⨯+=________． 【难度】★2. 棵． =3. 5度，所以4. 是6的倍122． 5. 【考点】计数：组合计数 【答案】7 【解析】用1234567,,,,,,A A A A A A A 这7个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友国关系．则每个国家连出2条虚线，4条实线．共7227⨯÷=条虚线，其余为实线．首先说明这7个点必然由7条虚线依次连接为一个闭合回路．2A 必与两个点连接虚线，不妨记为13,A A ，而3A 必然再与一个点连接虚线，记为4A ； 4A 虚线连接5A ，否则剩下3个点互为敌国关系；5A 虚线连接6A ，否则剩下两个点无法由2条虚线连接； 6A 虚线连接7A ，最后7A 只能虚线连接1A ． 最终连线图如下．只要选出的三个点没有任何两个相邻则满足条件．有135，136，146，246，247，257，357，这7种．（为了直观我们用1,2,3,4,5,6,7分别代表1234567,,,,,,A A A A A A A ）6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是________，最小的是________． 【难度】★★★【考点】数论:位值原理 【答案】9421，1249【解析】设其中最小的四位数为abcd ，一共可组成432124⨯⨯⨯=个不同的四位数，由于每个数16，、75317. ,12,15x x x ，的面积8. ⑴如果都为0，则乘积末尾3位为000； ⑵如果为0，5，5①如果个位为0的数，末尾3位都为0，则乘积末尾3位为000；②如果个位为0的数，末尾2位都为0，则乘积末尾3位为500或000；③如果个位为0的数，末尾1位为0设末尾两位为0c ，设另外两个末尾2位为5,5a b ，则()551005025a b ab a b ⨯=+++，若()a b +为奇数，则乘积末尾3位为75；若()a b +为偶数则乘积为25，在乘上0c ,无论c 为多少，末尾三位只有000，250，500，750这4种．综上，积的末尾3位有000，500，250，750这4种可能．9. 如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为,5,y x 的长方体（,x y为整数），余下部分的体积为120，求x 和y ．【难度】★★★【考点】几何：长方体正方体 【答案】3,12x y == 【解析】解得36xy =；361362183124966=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，因为,x y 为整数，且4,15x y <<， 所以3,12x y ==．10. x ，甲要4032nt x=，11. 10平后多【答案】8 【解析】设赢的为甲，输的为乙．甲第一局获胜，如果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不符合题意，所以甲第二局输第三局赢．甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得4分，所以乙第二局至少赢甲4分及以上，所以只能以11分取胜．所以第二局的比分可以为：0:11,1:11,2:117:11，共8种．（乙在第二局赢了多少分，甲都可以通过一、三局赢回多少分使两人总分相同，所以甲在第二局得分从0~7都可能；例如三局比分分别为20:18、0:11、11:2）12. 如右图所示，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1:=MC DM ，四边形EBFC 为平行四边形，FM 与BC 交于点G ．若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13cm 2，求平行四边形ABCD 的面积． 【难度】★★★★【考点】几何：蝴蝶模型 【答案】60 【解析】 连接BD 令S a =13. 一家之言”、“言扬行举”、“个连续的1，2”，“2，。
2016年华杯赛初赛B卷小中组
一、选择题（每小题10分，共60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确的答案的英文字母写在答题栏中正确位置）．1．“凑24点”游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张（如果初练也可以只用110-折40张牌，任意抽去4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数．如果抽出的牌是3，8，8，9，那么算式为(98)83-创或(988)3-复等．在下面4个选项中，唯一无法凑出24点的是（）．A ．1，2，2，3B ．1，5，5，5C ．2，2，2，2D ．3，3，3，3【难度】★ 【考点】计算 【答案】C【解析】选项A ：23(13)24创+=． 选项B ：(515)524-复=． 选项D ：333324创-=．2．在下图的乘法算式中，每个汉字代表0至9中的一个数字，不同汉字代表不同数字，当算式成立时，“好”字代表的是（）．A ．1B ．2C ．4D ．6【难度】★★ 【考点】数字谜 【答案】B【解析】111337?=?创华杯赛好好好好好，则可知37=杯赛或74，而华是3的倍数；则华可以等于3、6或9．【注意有文字】经检验如下：×好 好 好十 年三 好杯 赛华×6 6 63 67 496 3×4 4 42 47 464 22 137 41 22 2 2××3 3 36 33 792 71 863 74 22 2 2××1 1 192 13 73只有第二个符合题意，故“好”字代表的数字是2．3．如图，边长分别为10厘米和7厘米的正方形部分重叠．重叠部分的面积是9平方厘米，图中两个阴影部分的面积相差（）平方厘米．A ．51B ．60C ．42D ．9【难度】★★ 【考点】几何 【答案】A【解析】211010991cm S =?=，2277940cm S =?=，所以21251cm S S -=．4．库里是美国NBA 勇士队当家球星，在过去的10场比赛中已经得了333分的高分，他在第11场得（）分就能使前11场的平均得分达到34分． A ．35B ．40C ．41D ．47【难度】★★【考点】应用题：平均数问题 【答案】C【解析】前10场总分为333分，若要使得前11场的平均分达到34分，则需要前11场的总分为1134374?，故第11场得分为37433341-=分．5．如图，木板上有10根钉子，任意相邻的两根钉子距离都相等，以这些钉子为顶点，用橡皮筋可套出（）个正三角形．A ．6B ．10C ．13D ．15【难度】★★★【考点】几何计数【答案】D【解析】分类讨论．共计有以上四类，第一共有9个，第二类有3个，第三类有1个，第四类有2个，共计15个．6．在桌面上，将一个边长为1的正六边形纸片与一个边长为1的正三角形纸片拼接，要求无重叠，且拼接的边完全重合，则得到的新图形的边数为（）．A．8B．7C．6D．5【难度】★【考点】几何【答案】D【解析】正六边形的一个内角为120度，一个等边三角形的内角为60度，正好可以拼成一个平角，故正六边形和正三角形拼在一起后如图所示，为5条边．二、填空题（每小题10分，共40分．请将正确答案填写在答题栏的正确位置）．??__________．7．计算：1987201519862016【难度】★★【考点】计算【答案】29【解析】原式(19861)20151986(20151)=+??=?-?198620152015198620151986=-20151986=．29。
华杯赛试题中的四种常见题型
（1）3◇＋○＝36；
（2）2△＋2○＝50；
（3）3○＋☆＝41；
（4）3◇＋△＝37.
解得△＝13,○＝12,◇＝8,☆＝5
则第三行的四个数的和为 2◇＋○＋☆＝33.
2. D；
提示：16×2×4－2×2×4＝112 平方厘米
3. 至少需要投入 41 枚硬币，这时所有的盒
子里的硬币的总钱数至少是 194 分；
以及小数化分数的问题， 同学们要熟练掌握以
下 几 点 ：（1）小 数 、循 环 小 数 化 分 数 的 基 本 法
则 ；（2）分 数 的 化 简 、约 分 ；（3）分 数 的 加 、减 法 法
则和乘、除法 法 则 ；（4）假 分 数 和 带 分 数 的 相 互
转换.
2.速算、巧算和估算
速算、巧算和估算的内容往往很多、分类较
学 的面积等于 12 平方厘米，则图中阴影部分的面 篇 积是（ ）平方厘米.
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新 思路
图1
解析：延 长 MH 必 然 交 AB 于 点 O ， 连 接
CO ， 因 为 M 是 弧 CD 的中点，H 是弦 CD 的中
点，所以 S 阴影＝ S 扇形 OMC . 根 据 题 意 可 得 CD∥AB ， 即 S ＝ △CHO S△CNH，
过运算结果的特征和性质对答案进行合理的
猜想、假设、计算检验和排除.
3.质数、分解质因数
有关质数、 分解质因数这一类知识点对同
学们的计算能力和分析能力也有很高的要求.同学们要熟练掌握判断质数、 分解质因数的
方法，通过数的两两互质将数分类等.
例 3 （第 13 届“华罗庚金杯”少年数学邀
请 赛 决 赛 ） 将 六 个 自 然 数 14，20，33，117，143，
华杯赛注意事项
成都奥数网3月13日华杯赛作为目前成都地区乃至全国最权威的小学数学比赛之一，备受本市各重点中学的认可。
每年华杯赛中获奖的同学受到了各大名校的青睐，甚至单凭优异的华杯赛获奖成绩就可以顺利进入这些名校。
第十八届华杯赛初赛即将开赛，在此之前您对华杯赛了解到底有多少呢？一、华杯赛为什么必须参加？"华杯赛"作为国内中小学数学奥林匹克的权威赛事，历史时间最久、覆盖地域最广、参赛学生最多、奖项含金量最高、升学保障最稳定、赛题水平最高、决赛规模最大。
总之，"华杯赛"是优秀中小学生必参加、重点中学必关注、小升初必参考的重要赛事之一。
二、华杯赛究竟考什么，考多难？1、华杯赛考察的知识点总结历届真题，华杯赛对知识的考察面比较广。
和其它杯赛可能会略有差别，更加侧重对代数思维、分类思想、构造能力的考察。
图表1. 第13-17届华杯赛知识模块比重分析几何、组合和数论这三个知识模块是华杯赛的难点所在，也是同学们掌握得最不理想的，是后期备战时候需要重点攻破的！（1）几何在华杯赛中多以解答题出现，直线型面积和立体几何中表面积是重点；（2）数论是华杯赛的绝对重点和难点。
近三年压轴题多以数字谜形式出现；（3）组合问题所占的比重达到25%左右，以中高难度的题目出现。
主要考查构造与论证、最值问题等。
2、华杯赛难度分析华杯赛试卷中基础题、中等题、高难度题的整体比例大约为初赛4:4:2，决赛4:6:4。
第十六、十七届华杯赛题目难度A.由此可以看出，基础题和中档题的比重超过三分之二，只要将基础和中档题全部做对，就可以在华杯赛中得奖；B.从往届获奖学生得分中可以了解，获奖的孩子不一定会做最难的题目，而是把能做的题目全部做对；C.如果想拿一等奖，难题是需要孩子们攻破的。
2015成都华杯赛刚刚开始报名，家长们的华杯赛备考氛围就“味道十足”了。
那么2015成都华杯赛将如何备考呢？下文是家长“huibaomami”根据经验总结的华杯赛备考时间规划，希望可以帮助参赛考生的备考事半功倍【备考知识点梳理】首先需要完整的过一遍华杯赛所涉及的全部知识点，保证自己知识体系的完整性，做到在知识点上无盲区。
2021年第二十一届华杯赛初赛高年级组讲解
2021年第二十一届华杯赛初赛高年级组讲解第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）答案的英文字母写下在每题的圆括号内．）一、选择题（每小题10分，共60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确1.算式9999?9999的结果中含有（）个数字0．2021个2021个a.2021b.2021c.2021d.2021【考点】排序，多位数排序【难度】☆【答案】c【分析】(1020211)(10220212)1020211999...998000 (001)2021个2021个2.已知a,b两地相距300米．甲、乙两人同时分别从a,b两地出发，相向而行，在距a 地140米处碰面；如果乙每秒多行1米，则两人碰面处距b地180米．那么乙原来的速度就是每秒（a.23b.2455【考点】行程，比例方程解行程【难度】☆【答案】dc.3）米．d.315【分析】设甲速v1乙速v2，有v1v1402300?14078v14解得??v1?300?180231v5?162v213.1805??在一个七位整数中，任何三个已连续排序的数字都形成一个能够被11或13相乘的三位数，则这个七位数最大是（a.9981733）b.9884737c.9978137d.9871773【考点】数论，相乘【难度】☆【答案】b【分析】注意到由于任一三个已连续排序的数字都能够形成三位数，所以这个七位数的前五个数字无法就是0，逐步极端分析，得988?13?76，884?13?68，847?11?77，473?11?43，737?11?674.将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排列成一行，使8的两边各数之和成正比，那么共计（）种不同的排行．a.1152b.864c.576d.288【考点】计数，加乘原理与排列组合【难度】☆☆【答案】a【分析】1?2?37?28，8的两边之和都就是14研究有7的一边，14?7?6?1?7?5?2?7?4?3?7?4?2?1数的两侧分法存有4种，两侧可互换，每个分法都就是一边四个数另一边三个数，两边内部可互换（全系列排序），共4?2?a4?a3?1152种排法43d5.在全等梯形abcd中，ab平行于cd，ab?6，cd?14，?aec就是直角，ce?cb，则ae 等2于（）eabca.84b.80c.75d.64【考点】几何，勾股定理【难度】☆☆【答案】a【分析】做出两侧的高，连结ac，有dfg?ab?6，cf?22212(cd?fg)?4，cg?10，令ag?bf?h，由勾股定理，222ac?ag?cg?h?100ce?bc?bf?cf?h?16ae?ac?ce?84aeb2222226.gfc从自然数1，2，3，…，2021，2021中，任一挑n个相同的数，建议总能在这n个相同的数中找出5个数，它们的数字和相等．那么n的最小值等于（a.109b.110c.111）d.112【考点】女团，最有利原则【难度】☆☆☆【答案】b【分析】1至2021中，数字和最小28。
小学数学 容斥原理之重叠问题(一).教师版
【关键词】希望杯，四年级，二试，第 6 题
【解析】至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有 46-34=12 人
【答案】12 人
【例 4】 如图，圆 A 表示 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3 整除的数，圆 B 表示这 50 个数中能被 5 整除的数，
7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）
教学目标
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
2
与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．
如图， A 圆表示学画画的人， B 圆表示学钢琴的人， C 表示既学钢琴又学画画的人，图中 A 圆不含 阴影的部分表示只学画画的人，有： 43 37 6 (人)，图中 B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人， 有： 58 37 21 (人)．
部分表示两项都不会的人数． 由图中可以看出，全班人数 至少会一项的人数 两项都不会的人数，至少会一项的人数为： 20 25 10 35 (人)，全班人数为： 35 9 44 (人)．
【答案】 44 人
【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有 32 人，参加军棋比赛的有 28 人，有18 人两项比赛都 参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？
则阴影部分表示的数是
。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 4 题 【解析】阴影部分是 A 和 B 共有的，即 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3×5＝15 整除的数，即 15，30，45 【答案】15 ， 30 ， 45
18~22届华杯赛【小高组】决赛试题打印版
18~22届华杯赛决赛试题【小高组】目录计算篇 (1)计数篇 (6)几何篇 (16)数论篇 (30)应用题 (40)行程篇 (46)组合篇 (50)第一部分：计算篇1、【第18届华杯赛决赛B A 、卷第1题】 计算:______5.1281281125.019=-⨯+⨯.2、【第18届华杯赛决赛C 卷第1题】计算:______2785111111131322=÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯.3、【第19届华杯赛决赛D B A 、、卷第5题】 如果54□711○<<成立，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为______.4、【第19届华杯赛决赛C 卷第1题】 计算:______5213.23.0241225.095.22.3=-⨯++⨯-.5、【第20届华杯赛决赛B 卷第1题】 计算：______2110804.1451848.28586.57=+⨯-⨯+⨯.6、【第20届华杯赛决赛C 卷第1题】 计算：______528.11.03.0441225.175.01=-+⨯++-.7、【第20届华杯赛决赛D 卷第1题】 计算：______8.0195105375.119484=⨯+⨯.8、【第21届华杯赛决赛A 卷第1题】计算:______107143214.2317=÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-.9、【第21届华杯赛决赛B 卷第1题】计算:_____4.213453611753971=-÷⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.10、【第21届华杯赛决赛B 卷第8题】现有算式:甲数□乙数○１，其中□，○是符号+，-，×，÷中的某两个.李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见右表，那么，A ○B =______.11、【第21届华杯赛决赛B 卷第9题】 计算:201620152016201420152014201635343201624232201613121+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++12、【第21届华杯赛决赛C 卷第1题】计算:______525125.022143225.0412=-⨯+-+.13、【第21届华杯赛决赛C 卷第3题】 大于20161且小于20151的真分数有______个.14、【第22届华杯赛决赛A 卷第1题】用][x 表示不超过x 的最大整数，例如3]14.3[=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯118201711720171162017115201711420171132017的值为_____.15、【第22届华杯赛决赛A 卷第2题】从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8，12，3210和319，则原来给定的4个整数的和为______.16、【第22届华杯赛决赛B 卷第1题】______2017120161201512017120151514131513131211311=⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯-+⨯⨯-.第二部分：计数篇1、【第18届华杯赛决赛B A 、卷第13题】用八个右图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形.若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同.问:在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种？2、【第18届华杯赛决赛B 卷第9题】 右图中，不含“*”的长方形有多少个？3、【第18届华杯赛决赛C 卷第3题】 最简单分数b a 满足4151<<b a ，且b 不超过19，那么b a +的最大可能值与最小可能值之积为______.4、【第18届华杯赛决赛C 卷第12题】一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有0分，3分和5分三种可能.比赛结束时，有三个队的总得分之和为32分.若任何一个队的总得分都可能达到32分，那么这三个队的总得分共有多少种不同的情况？5、【第18届华杯赛决赛C 卷第14题】用八个右图所示的1×2的小长方形可以拼成一个4×4的正方形.若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同.问:有几种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴？6、【第19届华杯赛决赛D B A 、、卷第3题】从1～8这八个自然数中任取三个数,其中没有连续自然数的取法有______种.7、【第19届华杯赛决赛A 卷第9题】把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上.下图给出了6=n 时所有的不同放置方法，那么9=n 时有多少种不同放置方法？8、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第9题】把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上.下图给出了6=n 时所有的不同放置方法，那么8=n 时有多少种不同放置方法？9、【第19届华杯赛决赛C卷第7题】1的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有用八块棱长为cm种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）.10、【第19届华杯赛决赛C卷第11题】a、和c.现有5块上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见下图的b一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？(下图d是其中一种摆放方式).（a）（b）（c）（d）11、【第20届华杯赛决赛B卷第5题】贝塔星球有7个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成______个两两都是友国的三国联盟.12、【第20届华杯赛决赛B卷第12题】两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后，多得两分者胜，两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局且赢得比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？13、【第20届华杯赛决赛C卷第2题】将自然数1至8分成两组，使两组的自然数各自之和的差等于16，共有______种不同的分法.14、【第20届华杯赛决赛C卷第5题】如图，3×4的长方形网格纸片，长方形纸片正面是灰色，反面是红色，网格是相同的小正方形，沿网格线将长方形裁剪为两个形状相同的卡片，如果形状和正反面颜色相同，则视为相同类型的卡片，则能裁剪出______种不同类型的卡片.15、【第20届华杯赛决赛D 卷第7题】一次数学竞赛有C B A 、、三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题，在答对A 的人中，只答对A 的比还答对其他题目的多5人，在没答对A 的人中，答对B 的是答对C 的2倍；又知道只答对A 的等于只答对B 的 与只答对C 的人数之和，那么答对A 的最多有______人.16、【第20届华杯赛决赛D 卷第8题】甲，乙两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后，多得两分者胜，两人的得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有______种情况.17、【第21届华杯赛决赛A 卷第4题】在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点.如右图，三角形ABC 的三个顶点都是格点.若一个格点P 使得三角形PAB 与三角形PAC 的面积相等，就称P 点为“好点”.那么在这张格子纸上共有______个“好点”.18、【第21届华杯赛决赛A 卷第5题】对于任意一个三位数n ，用 表示删掉n 中为0的数位得到的数，例如 102=n 时， 12=那么满足 n <，且 是n 的约数的三位数n 有 ______个.19、【第21届华杯赛决赛A 卷第9题】复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额.投票人数 固定，每票必须投给甲乙二人之一.最后，乙的得票数为甲的得票数的2120，甲胜出.但是，若乙得票数至少增加4票，则可胜甲.请计算甲乙所得的票数.20、【第21届华杯赛决赛A 卷第13题】如右图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字形纸片和一张5×6的方格纸.现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？(两图形经旋转后相同看作相同图形)21、【第21届华杯赛决赛C 卷第11题】如图，是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色.涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？22、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第3题】在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子最多放一枚棋子，共有______种不同的摆放方法.(如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）.23、【第22届华杯赛决赛A 卷第5题】某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组，已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的72，是只参加朗诵小组人数的51，那么书法小组与朗诵小组的人数比是______.24、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第8题】如右图，六边形的六个顶点分别标志为F E D C B A 、、、、、.开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于F E D C B A 、、、、、顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有______种．25、【第22届华杯赛决赛A 卷第10题】某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐.每名学生至少选择一种，也可以多选.统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选了香蕉，30%的学生选了梨.那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几.26、【第22届华杯赛决赛B 卷第4题】小于1000的自然数中，有______个数的数字组成中最多有两个不同的数字．27、【第22届华杯赛决赛B卷第7题】一个两位数，其数字和是它的约数，数字差（较大数减去较小数）也是它的约数，这样的两位数的个数共有______个.28、【第22届华杯赛决赛B卷第11题】从1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009中任意选出四个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法.第三部分：几何篇1、【第18届华杯赛决赛A卷第4题】如右图，在边长为12厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB.则三角形PAC的面积等于______平方厘米.2、【第18届华杯赛决赛A卷第4题、B卷第6题】两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成右图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点.如果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为______.3、【第18届华杯赛决赛A卷第8题，B卷第12题】由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是______.4、【第18届华杯赛决赛B 卷第4题】如图所示，Q P 、分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 上的点，且4:1:=PD AP ，2:3:=QC AQ ，如果正方形ABCD 的面积为25，那么三角形PBQ 的面积是______.5、【第18届华杯赛决赛B 卷第10题】如右图，三角形ABC 中，BD AD 2=，EC AD =，18=BC ，三角形AFC 的面积和四边形DBEF 的面积相等，那么AB 的长度是多少？6、【第18届华杯赛决赛C 卷第4题】如图所示，Q P 、分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 上的点，且3:1:=PD AP ，1:4:=QC AQ ，如果正方形ABCD 的面积为100，那么三角形PBQ 的面积是______.7、【第18届华杯赛决赛C卷第6题】两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上，构成右图所示的立体图形，其中，每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等分点．如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，那么这个立体图形的表面积是______.8、【第18届华杯赛决赛C卷第8题】由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是______.9、【第18届华杯赛决赛C卷第9题】右图中，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米.那么，大正方形的面积是多少平方厘米？10、【第18届华杯赛决赛C 卷第13题】在等腰直角三角形ABC 中，90=∠A 度，1==AC AB ，矩形EHGF 在三 角形ABC 内，且H G 、在边BC 上.求矩形EHGF 的最大面积.11、【第19届华杯赛决赛D B A 、、卷第1题】如右图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边D C B A 、、、处各有一根木桩，且3===CD BC AB 米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上.为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在______处的木桩.12、【第19届华杯赛决赛A 卷第4题】如右图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米.小明在网格纸上 画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为______平方厘米.13、【第19届华杯赛决赛A 卷第8题】平面上的五个点E D C B A 、、、、满足:8=AB 厘米，4=BC 厘米， 5=AD 厘米，1=DE 厘米，12=AC 厘米，6=AE 厘米.如果三角形EAB 的面积为24平方厘米，则点A 到CD 的距离等于______厘米.14、【第19届华杯赛决赛A 卷第12题】如右图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，BF AF 2=，AE CE 3=.连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值.15、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第4题】如右图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米.小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为______平方厘米.16、【第19届华杯赛决赛B 卷第8题】平面上的五个点E D C B A 、、、、满足:16=AB 厘米，8=BC 厘米， 10=AD 厘米，2=DE 厘米，24=AC 厘米，12=AE 厘米.如果三角形EAB 的面积为96平方厘米，则点A 到CD 的距离等于______厘米.17、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第12题】如右图，在三角形ABC 中，BF AF 2=，AE CE 3=，BD CD 2=.连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值.18、【第19届华杯赛决赛C 卷第3题】如右图，在直角三角形ABC 中，点F 在AB 上且BF AF 2=，四边形EBCD 是平行四边形，那么EF FD :为______.19、【第19届华杯赛决赛C 卷第4题】右图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点.一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面.如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米，水平爬行的速度为每秒4厘米，则蚂蚁至少爬行了______秒.20、【第19届华杯赛决赛C 卷第8题】如右图，在三角形ABC 中，BF AF 2=，AE CE 3=，BD CD 4=.连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值.21、【第19届华杯赛决赛D 卷第8题】长为4的线段AB 上有一动点C ，等腰三角形ACD 和等腰三角形BEC 在过AB 的直线同侧，DC AD =，EB CE =，则线段DE 的长度最小为______.22、【第20届华杯赛决赛B 卷第7题】如图，三角形ABC 的面积为1，3:1:=OB DO ，5:4:=OA EO ，则三角 形DOE 的面积为______.23、【第20届华杯赛决赛B 卷第10题，D 卷第6题】如图，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切割走一块长、宽、高为y ， 5，x 的长方体（y x 、为整数），余下部分的体积为120，求x 和y 的值.24、【第20届华杯赛决赛B 卷第13题】如图，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1:=MC DM ，四边形EBFC 为平行四边形，FM 与BC 交于点G ，若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积？25、【第20届华杯赛决赛C卷第4题】如图，四边形ABCD是边长为11厘米的正方形，G在CD上，四边形CEFG是直角，三角形EDH的是边长为9厘米的正方形，H在AB上，EDH面积是______.26、【第20届华杯赛决赛C卷第6题】一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是88厘米，问这个长方体总的侧面积最大是______平方厘米.27、【第20届华杯赛决赛C卷第13题】如图，ABCD是平行四边形，F在AD上，三角形AEF的面积是8平方厘米，三角形DEF的面积是12平方厘米，四边形BCDF的面积是72平方厘米，求三角形CDE的面积？28、【第20届华杯赛决赛D 卷第2题】如图，用六个正方形，六个三角形，一个正六边形组成的图案，正方形边 长都是cm 2，这个图案的周长是______.29、【第20届华杯赛决赛D 卷第11题】如图，长方形ABCD 的面积为2m 56，cm 3=BE ，cm 2=DF ，求：三角形AEF 的面积是多少？30、【第20届华杯赛决赛D 卷第13题】如图，ABCD 是平行四边形，MB AM =，CN DN =，FC EF BE ==四边形EFGH 的面积是1，求平行四边形ABCD 的面积.31、【第21届华杯赛决赛A 卷第3题】右图中，5=AB 厘米，85=∠ABC °，45=∠BCA °，20=∠DBC °， 则______=AD 厘米.32、【第21届华杯赛决赛A 卷第10题】如右图，三角形ABC 中，180=AB 厘米，204=AC 厘米，F D 、是AB 上的点，G E 、是AC 上的点，连结FG EF DE CD 、、、，将三角形ABC 分 成面积相等的五个小三角形.则AG AF +为多少厘米？33、【第21届华杯赛决赛B 卷第2题】如右图，30个棱长为1的正方体粘成一个四层的立体，这个立体的表面积等于______.34、【第21届华杯赛决赛B 卷第4题】如右图所示，将一个三角形纸片ABC 折叠，使得点C 落在三角形ABC 所在平面上，折痕为DE .已知74=∠ABE °，70=∠DAB °，20=∠CEB °，那么CDA ∠等于______.35、【第21届华杯赛决赛B 卷第1题】如右图，正方形ABCD 的边长为5，F E 、为正方形外两点，满足4==CF AE ，3==DF BE ，那么______2=EF .36、【第21届华杯赛决赛B 卷第11题】如右图，等腰直角三角形ABC 与等腰直角三角形DEF 之间的面积为20，2=BD ，4=EC ，求三角形ABC 的面积.37、【第21届华杯赛决赛B 卷第13题】如右图，正方形ABCD 的面积为1，M 是CD 边的中点，F E 、是BC 边上的两点，且FC EF BE ==.连接DF AE 、分别交BM 分别于G H 、.求四边形EFGH 的面积.38、【第21届华杯赛决赛卷第5题】如图，AD AB =，21=∠DBC °，39=∠ACB °，则______=∠ABC .39、【第21届华杯赛决赛C 卷第1题】如图，ABCD 是直角梯形，上底2=AD ，下底6=BC ，E 是DC 上一点，三角形ABE 的面积是15.6，三角形AED 的面积是4.8，则梯形ABCD 的面积是______.40、【第22届华杯赛决赛A 卷第6题、B 卷第5题】右图中，三角形ABC 的面积为100平方厘米，三角形ABD 的面积为72平方厘米.M 为CD 边的中点，90=∠MHB °.已知20=AB 厘米.则MH 的长度为______厘米.【几何天地】求阴影面积是正方形面积的几分之几？第四部分：数论篇1、【第18届华杯赛决赛B A 、卷第3题】 某些整数分别被119977553，，，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是92725232，，，，则满足条件且大于1的最小整数是______.2、【第18届华杯赛决赛A 卷第3题】有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个.那么这筐苹果至少有______个.3、【第18届华杯赛决赛A 卷第7题】设n 是小于50的自然数，那么使得54+n 和67+n 有大于1的公约数的所有n 的可能值之和为______.4、【第18届华杯赛决赛A 卷第14题】不为零的自然数n 既是2010个数字和相同的自然数之和，也是2012个数 字和相同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n 最 小是多少？5、【第18届华杯赛决赛B卷第5题】有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个.那么这箱苹果至少有______个.6、【第18届华杯赛决赛B卷第8题】用“学”和“习”代表两个不同的数字，四位数“学学学学”与“习习习习”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么“学习”所能代表的两位数共有______个.7、【第18届华杯赛决赛B卷第14题】对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法:对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类.若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数.1)求三种分类的类数之和？2)说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同.8、【第18届华杯赛决赛C卷第5题】四位数abcd与cdab的和为3333，差为693，那么四位数abcd为______.9、【第18届华杯赛决赛C 卷第7题】设c b a 、、分别是0～9中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9.将循环小数⋅⋅⋅c b a .0化成最简分数后，分子有______不同情况.10、【第18届华杯赛决赛C 卷第11题】设n 是小于50的自然数，求使得53+n 和45+n 有大于1的公约数的所有n .11、【第19届华杯赛决赛A 卷第2题】在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是______.12、【第19届华杯赛决赛A 卷第13题】从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n 个数，使这n 个数满足:任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的5倍.求n 的最大值，并说明理由.13、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第2题】在所有是20的倍数的正整数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是______.14、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第14题】从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n 个数，使这n 个数满足:任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的7倍.求n 的最大值，并说明理由.15、【第19届华杯赛决赛C 卷第5题】设e d c b a 、、、、均是自然数，并且e d c b a <<<<，3005432=++++e d c b a ，则b a +的最大值为______.16、【第19届华杯赛决赛C 卷第10题】 把20142013201420122014220141，，，，⋅⋅⋅中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？17、【第19届华杯赛决赛B 卷第12题】某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数.18、【第19届华杯赛决赛B 卷第14题】 将每个最简分数m n （其中n m 、为互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下:1)将1染成红色；2)相差为1的两个数颜色不同；3)不为1的数与其倒数颜色不同.问:20142013和72分别染成什么颜色？19、【第20届华杯赛决赛B 卷第4题】某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小是______.20、【第20届华杯赛决赛B卷第6题】由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是______，最小的是______.21、【第20届华杯赛决赛B卷第8题】三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么3个数之积的末尾3位数有______种可能数值.22、【第20届华杯赛决赛B卷第9题】将1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由.23、【第20届华杯赛决赛B卷第14题】设“一家之言”，“言扬行举”，“举世皆知”，“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少？24、【第20届华杯赛决赛C 卷第7题】5321-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x ，这里的[]x 表示不超过x 的最大整数，则______=x .25、【第20届华杯赛决赛C 卷第10题】将2015个分数2016120151413121，，，，，⋅⋅⋅化成小数，共有多少个有限小数？26、【第20届华杯赛决赛C 卷第11题】 b a 、为正整数，小数点后三位经四舍五入后，式子51.175≈+b a ，求 =+b a27、【第20届华杯赛决赛C 卷第12题】 已知原式e aad abcd ⨯=，式中不同字母代表不同的数字，问四位数abcd 的最大值是多少？28、【第20届华杯赛决赛D 卷第5题】由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大的是______.29、【第20届华杯赛决赛D 卷第9题】两个自然数之和为667，它的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120，求这两个数？30、【第20届华杯赛决赛D 卷第12题】当n 取遍1，2，3，…，2015中的所有的数时，形如33n n 的数中能够被7整除的有多少个？31、【第20届华杯赛决赛D 卷第14题】“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚”，且 各个成语中四个汉字所代表的数的和都是21，则“弄”可以代表的数最大 是多少？32、【第21届华杯赛决赛B A 、卷第7题】如果832⨯能表示成k 个连续正整数的和，则k 的最大值为______.33、【第21届华杯赛决赛A 卷第14题】设n 是正整数.若从任意n 个非负整数中一定能找到四个不同的数d c b a 、、、使得d c b a --+能被20整除，则n 的最小值是多少？34、【第21届华杯赛决赛B 卷第12题】试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数.35、【第21届华杯赛决赛C 卷第7题】n 为正整数，形式为12-n 的质数称为梅森数，例如：712,31232=-=-是梅森数.最近，美国学者刷新了最大梅森数，74207281=n ，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数字是______.36、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第12题】 使1523++n n 不为最简分数的三位数n 之和等于多少.37、【第22届华杯赛决赛B 卷第10题】求能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数.第五部分：应用题篇1、【第18届华杯赛决赛A卷第10题】小明与小华同在小六(1)班，该班学生人数介于20和30之间，且每个人的出生日期均不相同.小明说:“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说:“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”问这个班的有多少名学生？2、【第18届华杯赛决赛B卷第11题】若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同.如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务.问：共有多少人参加了植树？3、【第18届华杯赛决赛C卷第10题】某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线，录取了四分之一的考生.所有被录取者的成绩平均分比录取分数线高10分，所有没有被录取的平均分比录取分数线低26分，所有考生的平均成绩是70分.求录取分数线是多少？4、【第19届华杯赛决赛A卷第7题】学校组织1511人去郊游，租用42座大巴和25座中巴两种汽车.如果要求恰好每人一座且每座一人，则有______种租车方案.5、【第19届华杯赛决赛A卷第10题】有一杯子装满了浓度为16%的盐水.有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为10:4:3.首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出10%，取出小球；其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出；接着将大球沉入盐水杯中后取出；最后在杯中倒入纯水至杯满为止.此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）B、卷第7题】6、【第19届华杯赛决赛D学校组织482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴两种汽车.如果要求每人一座且每座一人，则有______种租车方案.。
2016年第22届“华杯赛”决赛初一组试题答案
因此所得图形中有 2475 2 4950 个三角形满足两个顶点在 a 或者 b 上. 综合上面两种情况共用 4950 1045 5995 . 14. 已知关于 x, y 的方程 x y k 有且只有六组正整数解, 且 x y , 求 k 的最大值.
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题答案（初中一年级组）
当 m 是偶数时, 根据前面的分析, m 是 4 的倍数, 记 m 4n . 如果 n 是平方数,
1 x2 - y 2 = m 的正整数解的个数是 （ n 的因数数目 1）; 否则 x 2 - y 2 m 的 2 1 正整数解的个数是 （ n 的因数数目）. 2
当 m 是奇 数时 , 如 果 m 只有一个 质因 数 , 则次 数为 11, m 的最小值 为
9. 是否存在长方体, 其十二条棱的长度之和、体积、表面积的数值均相等？如 果存在, 请给出一个例子; 如果不存在, 请说明理由. 答案: 否 解答: 假设存在长 a、宽 b、高 c 的长方体满足:
abc (ab bc ca ) (a b c) .
于是
abc(a b c) (ab bc ca) .
这样
a bc abc abc a b b c c a (a bc abc abc ) ,
即
a bc abc abc a b b c c a .
又 a , b , c , 于是 a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 a 2bc ab 2 c abc 2 0 . 矛盾！ 10. 如图, 已知正方形 ABDF 的边长为 6 厘米, △EBC 的 面积为 6 平方厘米, 点 C 在线段 FD 的延长线上, 点 E 为线段 BD 和线段 AC 的交点. 求线段 DC 的长度. 答案: 3 厘米
高年级组华杯赛实用答题技巧
实用技巧第四招：最值问题，极端求解
例4（2013年高年级组初赛第7题） 有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰 有2本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书.
实用技巧第四招：最值问题，极端求解
互动4（（2016年高年级组初赛第9题）
设q是一个平方数．如果q-2和q+2都是质数，就称q为P型平 方数，例如，9就是一个P型平方数，那么小于1000的最大P 型平方数是 ．
课前说明 1、如果没有讲义，直播开始后跟随老师思路听课即可
2、有互动题，请准备好笔和草稿纸
3、两次红包分别在19:30、20:00左右发放
热身篇：知己知彼，百战不殆 1、了解考试题型、题量、时间 特别注意：公开题（考前一周在公布）
热身篇：知己知彼，百战不殆 2、了解考试侧重的模块、出题的风格，复习更有针对性
A 9981733 B 9884737 C 9978137 D 9871773
实用技巧第二招：妙用排除，寻找正解 互动2（2015年高年级组初赛第3题） 春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困 学生；事后，甲、乙、丙、丁4位同学有如下的对话：
甲：“丙、丁之中至少有1人捐了款” 乙：“丁、甲之中至多有1人捐了款” 丙：“你们3人中至少有2人捐了款” 丁：“你们3人中至多有2人捐了款” 已知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款， 那么这2位同学是 . A 甲、乙 B 丙、丁 C 甲、丙 D 乙、丁
第一招：观察选项，巧解选择 互动1（2014年高年级组初赛第4题） 小明所在班级的人数不足40人, 但比30人多, 那么这个班男、 女生人数的比不可能是（ ）．
（A）2:3 （B）3:4 （C）4:5 （D）3:7
华杯赛组合数学(杂题)练习题
第七部分：组合篇（杂题）1、【第18届华杯赛决赛A卷第2题】农谚‘逢冬数九’讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天.2012年12月21日是冬至，那么2013年的元旦是______九的第______天.2、【第18届华杯赛决赛A卷第9题】用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3，4，5和6的算式.3、【第18届华杯赛决赛A卷第12题】由四个相同的小正方形拼成右图.能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由.B、卷第2题】4、【第18届华杯赛决赛C农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天.2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是______九的第______天.5、【第19届华杯赛决赛B A 、卷第6题】如右图，三个圆交出七个部分.将整数0～6分别填到七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是______.6、【第19届华杯赛决赛A 卷第14题】在右边的算式中，字母d c b a 、、、和“□”代表十个数字0到9中的一个.其中d c b a 、、、四个字母代表不同的数字，求d c b a 、、、代表的数字之和.7、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第13题】在右边的算式中，字母d c b a 、、、和“□”代表十个数字0到9中的一个.其中d c b a 、、、四个字母代表不同的数字，求d c b a 、、、代表的数字之和.8、【第19届华杯赛决赛C 卷第2题】在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字.则“数学竞赛”所代表的四位数是______.9、【第19届华杯赛决赛C 卷第9题】A、和C处.A处农场年产小麦50吨，B处有三个农场在一条公路边，分别在下图所示的B农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨.要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦.假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5元，从C到A方向是每吨每千米1元.问仓库应该建在何处才能使运费最低？10、【第19届华杯赛决赛B卷第13题】如右图，圆周上均匀地标出十个点.将1～10这十个自然数分别放到这十个点上.用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组.对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式.对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K.问所有的摆放中，K最大为多少？11、【第19届华杯赛决赛D卷第6题】如右图，三个圆交出七个部分.将整数1～7分别填到七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是______.12、【第20届华杯赛决赛C卷第3题】将2015的十位、百位和千位的数字之和相加，得到的和写在2015个位数字之后，得到一个自然数20153，将新数的十位，百位和千位数字相加，得到的和写在20153的个位数字之后，得到201536，再操作两次，得到201536914，如此继续下去，共操作了2015次，得到一个很大的自然数，这个自然数所有数字之和等于______.13、【第20届华杯赛决赛C卷第8题】右边是一个算式，9个汉字代表数字1至9，不同的汉字代表不同的数字，则算式“盼×望+树×翠绿+天空×湛蓝”可能的最大值为______.14、【第20届华杯赛决赛C卷第14题】将530本书分给48名学生，至少有几名学生分到的书的数量相同？15、【第21届华杯赛决赛A卷第2题】中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权.预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期______.（今天是2016年3月12日，星期六）16、【第21届华杯赛决赛A卷第6题】共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1.那么他们最多可以玩______次.17、【第21届华杯赛决赛A卷第8题】两把小尺与一把大尺组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动.大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两A、两点间距离，A点在大尺的0单位把小尺的起点都为0，都分别记为1至10.现测量B处，B点介于大尺的18与19单位之间；将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3恰好与大尺上某一单位相合.如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的______个单位恰好与大尺上某一单位相合.18、【第21届华杯赛决赛A卷第12题】将一个五边形沿一条直线剪成两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去.在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？19、【第21届华杯赛决赛B卷第10题】商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每100元可得一张价值50元的代金券.这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是:当次购物得到的代金券不能当次使用；每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半.李阿姨只有不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案；如果不能，说明理由.20、【第21届华杯赛决赛B卷第21题】现有下图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多.要在如下图右边所示的5×5方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分.那么最少放几个“四连方”就不能再放了？21、【第21届华杯赛决赛C卷第2题】某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期______.22、【第21届华杯赛决赛C卷第13题】黑板上先写下一串数：1，2，3，…，100，如果每次都擦去最前面的6个，并在这串数的最后再写上擦去的6个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足6个.问：(1)最后黑板上剩下的这些数的和是多少？(2)最后所写的那个数是多少？23、【第21届华杯赛决赛C卷第14题】数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7分，未答对，得0分.参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？24、【第22届华杯赛决赛A 卷第7题，B 卷第6题】一列数,,,,,21⋅⋅⋅⋅⋅⋅n a a a 记)(i a S 为i a 的所有数字之和，如422)22(=+=S .若)()(,22,20172121--+===n n n a S a S a a a ，那么2017a 等于______.25、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第9题】平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n 个交点，则n 有多少个不同的数值？26、【第22届华杯赛决赛A 卷第13题】班上共有60位同学，生日记为某月某号.问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）.结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？27、【第22届华杯赛决赛A 卷第14题】将1至9填入右图的网格中，要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍.已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母X的格子所填的数字最大是多少？28、【第22届华杯赛决赛B卷第13题】一个正六边形被剖分成6个小三角形，如右图.在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数.能否找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列.如果可以，请给出一种填法；如果不可以，请说明理由.29、【第22届华杯赛决赛B卷第14题】7×7的方格网黑白染色，如果黑格比白格少的列的个数为m，黑格比白格多的行的个数为n，求nm 的最大值.。