(甘志国)斜抛运动的最佳抛射角
斜抛运动课件高一下学期物理教科版必修第二册
空气阻力对物体运动的
2，如果将斜抛运动沿水平方向和竖直方向分解，抛射体在水平方向上做什么运动？在竖直方向上做什么运动？
（从2图）1小-5-球8可落以到看地出面影，所由用响于的空时有气间阻。时力的可影响以，子忽弹不略但射。不到但原来是那么，高像，也子射不弹到原或来那炮么远弹，而等且其物轨迹体的形，状也由变得于不对其称了飞。行速度很大，空
新知学习
仔细观察如图1-5-3所示的斜抛运动的频闪照片，并思考以下问题：
怎样利用这些器材定性地研究喷水的射程跟哪些因素有关？怎样利用实验检验你的猜想？先跟组内同学讨论，再跟其他组的同学交流。
四、空气阻力对斜抛运动的影响 再给你1个缺架台、1个接水盆、1只量角器、1把刻度尺、1根细木杆。
你认为斜抛运动的射高与射程可能跟哪些因素有关？
怎样利用这些器材定性地研究喷水的射程跟哪些因素有关？怎样利用实验检验你的猜想？先跟组内同学讨论，再跟其他组的同学交流。
物体在空气中运动时，会受到空气阻力的作用。 当斜抛运动的初速度大小一定时，随着抛射角的增大，射高增大；
做斜抛运动的物体从某一点上升到最高点和从最高点下降到同一高度所用的时间有什么关系？
谢谢
1．知道什么是斜抛运动． 当斜抛运动的抛射角一定时，随着初速度的增大，射高、射程均增大，如图1-5-5所示。
当斜抛运动的抛射角一定时，随着初速度的增大，射高、射程均增大，如图1-5-5所示。 当斜抛运动的抛射角一定时，随着初速度的增大，射高、射程均增大，如图1-5-5所示。
射怎高样和 证射明程斜的抛大运小动与的哪轨些迹因也2素是．有一关条能呢抛？物举线？例说明常见的斜抛运动．(重点＋难点)
二、斜抛运动的特点 从图1-5-8可以看出，由于空气阻力的影响，子弹不但射不到原来那么高，也射不到原来那么远，而且其轨迹的形状也变得不对称了。
最佳抛射角与抛体受力方向的关系
最佳抛射问题已为人们熟知，本文通过几个实际例子找出了最佳抛射角与抛体受力方向之间的关系.为简单起见，下面的讨论仅限于抛体运动轨迹在一个平面内的情形.1 沿斜面上升方向抛物体如图1所示，用初速度0→v 在倾角为θ的斜面上某一处沿斜面上升方向抛物体，抛射角为α（抛射程为式（1）、（2）联立消去t ，得物体运动的轨道方程,直线OA 的方程为 A 点是抛物线和直线的交点，其坐标值可由式（3）、（4）联立解出:)(cos 2)tan(tan 2202θαθαθ+-+=v gx x x 所以利用式（4）、（5）可以联立解出射程]sin )2[sin(cos tan 122022θθαθθ-++⋅=+=g v y x s最佳抛射角 最大射程这种抛射，抛体所受合力即为重力，方向竖直 向下. 如果我们将抛射点和落地点所在的平面叫做抛射面，在图1中，要让抛射面与抛体所受合力方向垂直，需将抛射面顺时针转θ角，这个角正好就是式（6）中的θ角. 亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上逆时针转θ角时，最佳抛射角在450的基础上减小2θ角.2 沿斜面下降方向抛物体如图2所示，若用初速度0→v 在倾角为θ的斜面上某一处沿斜面下降方向抛物体，抛射角为α（抛程为式（8）、（9）联立消去t ，得物体运动的轨道方程直线OA 的方程为 A 点是抛物线和直线的交点，其坐标值可由式（10）、（11）联立解出:所以经计算，物体沿斜边的射程为]sin )2[sin(cos tan 1220θθαθθ+-+⋅=g v s 最佳抛射角为 最大射程这种抛射，抛体所受合力也为重力，方向竖直向下.在图2中，要让抛射面与抛体所受合力方向垂直，需将抛射面逆时针转θ角，这个角正好就是⎪⎩⎪⎨⎧--=-=20021)sin()cos(gt t v y t v x θαθα)8()9()1()2(⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=20021)sin()cos(gt t v y t v x θαθα)5(gv x )(cos 2]tan )[tan(220θαθθα+-+=θsin 1120+⋅=g v s )7(最佳抛射角与抛体受力方向的关系 作者：中国龙 loong-yyc 457001)(cos 2)tan(2202θαθα+-+=v gxx y )3()4(θtan x y =)(cos 2)tan(2202θαθα---=v gx x y )10(θtan x y -=)11(θθθsin 11)sin 1(cos 20220-⋅=+=g v g v s )13()12(2450θα+=2450θα-=)6(g v x )(cos 2]tan )[tan(220θαθθα-+-=)(cos 2)tan(tan 2202θαθαθ---=-v gx x x 中学物理 V ol.29 No.11 2011年6月式（12）中的θ角. 亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上顺时针转θ角时，最佳抛射角在450的基础上增加2θ角.3 在水平面上“顺场抛射”物体如图3所示，在竖直平面内存在水平向右的匀强电场，有一带正电小球自坐标原点0以抛射角α抛出，不计空气阻力.小球抛出后，受重力和电场力两个力的作用，运动规律为a 为小球沿水平方向向右的加速度. 将式（14）两边乘以g ，式（15）两边乘以a ，再相加，求出t :将式（14）两边乘以αsin ，式（15）两边乘以αcos ，再相减，求出2t :结合式（16）、（17）两式得2202)sin cos ()(sin cos )cos sin (2ααααααa g v ay gx a g y x ++=+- 整理该式得 式（18）就是复合场内带电小球作“顺场抛射”时的运动轨道方程.在式（18）中，若令y =0得 αααsin )sin cos (2202a g v x g += 进一步整理，])2sin(1[)2cos 2(sin )sin 22(sin 222020220ga g a g v g a g a g v ga g v x +-+=+-=+=θααααα其中 显然，当0902=-θα时x 最大，即“顺场抛射”的最大射程“顺场抛射”的最佳抛射角 其中这种抛射，抛体所受的力为重力与电场力的合力，方向朝右下方，与竖直方向的夹角为)/arctan(11arccos22g a g a =+=θ，要让抛射面与合力方向垂直，需将抛射面逆时针转θ角，这个角正好就是式（20）中的θ角.亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上顺时针转θ角时，最佳抛射角在450的基础上增加2θ角.4在水平面上“逆场抛射”物体若在竖直平面内存在水平向左的匀强电场，将带正电的小球自坐标原点0以抛射角α抛出，不计空气阻力，小球抛出后，受重力和电场力两个力的作用，运动规律为，用同样的方法可以求得式（24）就是复合场内带电小球作“逆场抛射”时的运动轨道方程.在式（24）中，若令y =0得 αααsin )sin cos (2202a g v x g += 进一步整理，])2sin(1[2220ga g a g v x -++=θα2211cos ga +=θ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=202021sin 21cos gt t v y at t v x αα)14()15()sin cos (0ααa g v ay gx t ++=)16(ααααsin cos )cos sin (22a g y x t +-=)17()cos sin )(sin cos (2)(202ααααy x a g v ay gx -+=+)18()1(2220maxga g a g v x ++=)19(2211arccos ga +=θ)21(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=202021sin 21cos gt t v y at t v x αα)22()23()cos sin )(sin cos (2)(22ααααy x a g v ay gx --=-)24()20(2450θα+=其中显然，当0902=+θα时x 最大，即“逆场抛射”的最大射程“逆场抛射”的最佳抛射角 其中这种抛射，抛体所受的力为重力与电场力的合力，方向朝左下方，与竖直方向的夹角为)/arctan(11arccos22g a ga =+=θ，要让抛射面与合力方向垂直，需将抛射面顺时针转θ角，这个角正好就是式（26）中的θ角.亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上逆时针转θ角时，最佳抛射角在450的基础上减小2θ角.5 结论综上所述，当抛体所受合力方向发生变化时， 最佳抛射角也跟着变化.物体仅受重力作用在水平面上抛射时，重力方向与抛射面垂直，最佳抛射角为450.相对于抛射面而言，当物体所受合力方向沿着抛体前进一方与竖直方向偏离θ角时，最佳抛射角在450的基础上增加2θ角；当物体所受合力方向沿着抛体前进的反方向与竖直方向偏离θ角时，最佳抛射角在450的基础上减小2θ角.)1(2220maxga g a g v x -+=)25(2450θα-=)26(2211arccos ga +=θ)27(2211cos ga +=θ。
斜抛运动最大射程问题分析
斜抛运动最大射程问题分析作者：刘尚昊来源：《科技资讯》2018年第25期摘要：本文着眼于讨论物体从一定高度被抛出后，其水平方向的最大射程与抛射角之间的关系，讨论了斜抛运动达到最大射程应满足的条件，并通过理论公式的证明和实际数据的测量，指出45°不再是能够得到最大射程的角度。
本文通过具体计算了实际铅球抛出的最大射程和抛射角，并且随机取数进行了实验，从而得出了二者之间的关系，为斜抛运动的实际应用提供了力学理论依据。
关键词：斜抛运动最大射程抛射角力学理论依据中图分类号：O313 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）09（a）-0233-021 分部求导法该分析方法需要经过两次的求导，通过判断导数的大小和倒数的解，判断能否取到最大的射程。
将该物体在空中进行斜抛运动的时间假设为t，则可以得到物体在坐标轴X和Y方向的运动方程，如下：X=v0tcosθ （1）Y=H+v0tsinθ-1/2gt2 （2）假设物体在经过时间T以后由斜抛运动落地，此时物体的坐标为x=R，y=0，此时上式（1）（2）则变为：R=v0Tcosθ （3）0=H+v0Tsinθ-1/2gT2 （4）将上式联立起来，即可得出水平射程的表达式：R={v0{sin2θ+[sin22θ+8gH/v02cos2θ]1/2}}/2g （5）当物体落地后，H=0时，可以将上式化简为：R=v02sin2θ/g （6）假设物体的最大射程为Rm，在求解最大射程时使用导数求极值的方法，分析最大射程和抛射角度θ之间的关系，在求解时引入无量纲参数定义为Z：Z=gH/v02在进行求导时，令R对θ的一阶导数R’=0，此时可以得到最后求解出结果为：cos2θ=z/（1+z）（7）然后对R进行二次求导，即可以推论出R的二阶导数是小于零的，因此可以得出R是能够取得最大值的。
因此得出：Rm=vo2（1+2z）1/2/g （8）T=vo2/g[2（1+z）]1/2 （9）θm=1/2arccos（z/1+z）（10）根据上式当中的化简结果可知，决定最大射程的影响因素不仅包括抛射角度θ，还有无量纲参数Z，因此影响最大射程的参数还有距离地面的高度H和物体运动的初速度v0。
【新教材-新高考】新鲁科版 物理必修2 斜抛运动 教案设计
第4节斜抛运动教案三维目标一、知识与技能1.知道什么是斜抛运动;2.知道斜抛运动可以看作是两个不同方向运动的合运动;3.理解两个分运动的特点,知道什么是斜抛运动的射高和射程.定性地了解它们怎样随初速度和抛射角而改变.二、过程与方法能够用抛体运动的有关公式分析和解决有关问题.三、情感态度与价值观通过对抛体运动研究的教学，使学生了解对于同一个问题可以从不同的侧面进行研究.教学重点斜抛物体的运动规律及特点.教学难点斜抛运动的两个分运动特点.教具准备多媒体设备、自制教具.课时安排1课时教学过程导入新课据说，青蛙跳跃时，常常取45°角，以便跳得更远.你知道是为什么吗？推进新课一、斜抛运动的轨迹斜抛运动是指以一定的初速度将物体与水平方向成一定角度斜向上抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动.斜抛运动也是生活、生产中常见的一种运动形式.例如，节日夜空的礼花，体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪，斜向射出的子弹、炮弹等，都可以视为斜抛运动.斜抛运动较复杂，我们首先来研究其运动轨迹的特点.课件展示频闪照片由上图小球的闪光照片可以看出其运动轨迹，我们称这种曲线为抛物线.在忽略空气阻力的情况下，做斜抛运动的物体在竖直方向上只受重力作用，在水平方向不受力的作用，可以把斜抛运动看成是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的上抛运动的合运动.用运动合成与分解的方法来讨论斜抛运动.建立一个直角坐标系，将坐标系的原点选择在物体的抛出点，物体运动的水平方向为坐标的x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，如图所示.斜抛运动初速度的分解课件展示：速度规律：⎩⎨⎧==θθsin cos 0000v v v v yx 位移规律：⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=20021sin cos gt t v y t v x θθ 【活动与探究】1.列举几个斜抛运动的实例.2.设想一下，在斜抛运动中如果物体不受重力的作用，它将做怎样的运动.3.斜抛运动与平抛运动有何区别?对于如何研究斜抛运动，谈谈您的思路.二、斜抛运动物体的射高和射程射程在斜抛运动中，物体从被抛出的地点到落地点的水平距离x ma x 叫做射程.它跟初速度v 0和抛射角θ有关.利用射程的定义，即可理解射程跟初速度v 0和抛射角θ有关系.从gv x θ2sin 2=这个式子可看出，在抛射角θ不变的情况下，射程x 与v 成正比，所以射程随初速度的增大而增大.在初速度v 0不变的情况下，随抛射角θ的增大，sin2θ增大，射程也增大.当θ=45°时，sin2θ=1，射程达到最大值，以后抛射角再增大时，sin2θ减小，射程也减小.射高在斜抛运动中，轨迹最高点的高度叫做射高.它是由竖直方向的分运动决定的，求出初速度为v y 的竖直上抛运动的最大高度，即可得到斜抛运动的射高Y .斜抛物体的射程与射高跟哪些因素有关呢？思考：平抛运动和竖直上抛运动都可看成斜抛运动的特例.这句话怎样理解?【实验与探究】用右图所示的装置来做实验，可以看到，在喷水嘴方向不变（即抛射角不变）时，随着容器中水面的降低，喷出的水流速度减小，它的射程也减小，射高也随着降低.射高和射程与抛射角的关系如果在喷水过程中保持容器内水面的高度不变，喷出的水流速度也就不变.改变喷水嘴的方向，可以看到，在抛射角小的时候，射程随着抛射角的增大而增大，当抛射角达到45°时，射程最大；继续增大抛射角，射程反而减小.但是，水流的射高一直是随着抛射角的增大而增大的.上面的讨论中我们没有考虑空气的阻力.实际上，抛体运动总要受到空气阻力的影响.在初速度比较小时，空气阻力可以不计，但是在初速度很大时（例如射出的炮弹），空气阻力的影响是很明显的.教材中弹簧曲线图中的虚线是在理想的没有空气的空间中炮弹飞行的轨迹；实线是以相同的初速度和抛射角射出的炮弹在空气中飞行的轨迹，这种曲线叫做弹道曲线.可以看出，弹道曲线跟抛物线实际上有很大差别.用20°角射出的初速度是600m/s 的炮弹，假如没有空气阻力，射程可以达到24km ，由于空气阻力的影响，实际射程只有7km ，射高也减小了.【例题剖析】从地面上斜抛一物体，其初速度为v 0，抛射角为θ.求：(1)物体所能达到的最大高度h m (射高)；(2)物体落地点的水平距离x m (射程)；(3)抛射角多大时，射程最大?【教师精讲】应利用题意中所给出的条件，如斜抛物体达到最大高度时，它的竖直分速度为零(v y ＝0)；斜抛物体落地时，它的竖直分位移为零(y ＝0).解析：(1)求射高h m ：利用竖直分运动的速度公式，有v y ＝v 0sin θ-gt ＝0所以斜抛物体达到最高点的时间gv t θsin 0= 将此结果代入竖直分运动的位移公式，便可得g v g v gt t v h oy m 2sin sin 212202202θθ-=-=,因此g v h m 2sin 220θ=. (2)求射程x m ：设斜抛物体的飞行时间为T ,利用竖直分运动的位移公式，有021sin 20=-⋅=gT T v y θ. 所以斜抛物体的飞行时间为gv T θsin 20= 将此结果代入水平分运动的位移公式，便得到gv g v T v x m θθθθ2sin cos sin 2cos 20200==⋅=. (3)当θ＝45°时，sin2θ＝1,射程x m 最大，为gv x m 20=. 讨论 本例也可直接利用竖直分运动(竖直上抛运动)的规律求解.斜抛物体的射高等于竖直分运动的最大高度，可得gv g v h y m 2sin 222020θ==；斜抛物体飞行时间等于竖直分运动所经历的时间，包括竖直上抛达到最高点的时间和物体自最高点自由落下所需时间，而这两段时间又相等.因此可得g v g v T yθsin 2200==. 【例题剖析】如图所示，打高尔夫球的人在发球处(该处比球洞所在处低 1.5m)击球，该球初速度为36 m/s ，方向与水平方向成30°角.问他会把球向球洞处打到多远?(忽略空气阻力)解析：小球初速度的水平分量和竖直分量分别是v 0x ＝v 0cos θ＝36cos30°＝31.2 m/s ，v 0y ＝v 0sin θ＝36sin30°＝18.0m/s.在竖直方向上，有2021gt t v CD y -=, 代入已知量，整理后可得4.9t 2-18t +15＝0其解为s s t 40.252159.4418182=⨯⨯⨯-±=或1.28 s 其中t ＝1.28s 是对应于B 点的解，表示了该球自由飞行至B 点处所需时间.因此在本例中，应选解t ＝2.40s.在此飞行时间内，球的水平分速度不变，于是最后可得x ＝ v 0x t ＝31.2×2.40 m ＝74.7 m.讨论 球沿轨道OBAC 做实际斜抛运动，其竖直方向的分运动可看作一假想球沿轨道OB′A′C ′的运动，假想球到达C′的时间就是实际球到达C 点的时间.因此本题也可分别计算假想小球自O 竖直上抛至最高点A′的时间与随后自最高点A′落至C′点的时间，这两段时间之和就是实际球自O 至C 的飞行时间.课堂小结本节主要讲述了什么是斜抛运动:斜抛运动是指以一定的初速度将物体与水平方向成一定角度斜向上抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动.以及射程和射高的概念.射程:在斜抛运动中，物体从被抛出的地点到落地点的水平距离x ma x 叫做射程.射高:在斜抛运动中，轨迹最高点的高度叫做射高.布置作业课本P 60作业1、2、3.板书设计一、斜抛运动的轨迹斜抛运动是指以一定的初速度将物体与水平方向成一定角度斜向上抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动.二、斜抛运动物体的射高和射程射程:在斜抛运动中，物体从被抛出的地点到落地点的水平距离x ma x 叫做射程.射高:在斜抛运动中，轨迹最高点的高度叫做射高.速度规律：⎩⎨⎧==θθsin cos 0000v v v v yx 位移规律：⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=20021sin cos gt t v y t v x θθ 活动与探究自制器材研究抛体运动规律实验器材：木制学生尺（或２０厘米长的平整木片）、不同长度的橡皮筋若干根、小铁夹、废弃天线底座、量角器等.实验原理：用弹出的橡皮筋模拟抛体，研究做斜抛运动的物体的射程与抛射角和初速度间的关系.实验方法（１）用木制学生尺（不要用塑料尺，因为当橡皮筋拉紧时塑料尺容易弯曲）当作“枪”把橡皮筋套在尺上，橡皮筋就成了待发的“子弹”了，发射时用大拇指的指甲将橡皮筋一端往上推，使它一端脱离.橡皮筋就向尺的另一端飞去，成为飞出“枪口”的“子弹”了.（２）为了能改变和控制抛射角，还得制一个能改变射角的“枪架”，利用鞭状天线的底座作为调整角度的支架，将学生尺夹在天线底座的窄缝中，沿着天线底座的小孔在木尺上钻上一个小孔，用螺丝穿过小孔，并用螺母固定，固定时应注意松紧适宜.让鞭状天线底座的安装螺丝穿过小铁夹的小孔，如孔较大时可安上适当的垫圈，在铁夹下方拧上螺母固定.（３）将自制的“枪架”夹在桌子的边缘就可以做实验了.实验①：研究射程与抛射角的关系:用量角器量取不同夹角，用同一根橡皮筋分别射出，量取不同水平射程，列表看一看，在什么角度范围内射程最远.实验②：研究射程与初速的关系:用量角器取一定夹角，固定不变.选用不同长度的橡皮筋分别射出，量取每次的水平射程，列表看一看，当在相同的抛射角情况下初速度与射程的关系.该装置同样能研究平抛运动、竖直上抛运动规律.如何实验就请你自己设计了.。
《斜抛运动》 讲义
《斜抛运动》讲义一、什么是斜抛运动在我们的日常生活中，常常能观察到物体被以一定的角度和初速度抛出后在空中的运动轨迹。
比如，运动员投掷标枪、铅球，小孩扔出玩具飞机等，这些物体所做的运动就是斜抛运动。
斜抛运动是指将物体以一定的初速度沿与水平方向成一定角度的方向抛出，在只受重力作用下所做的曲线运动。
二、斜抛运动的特点1、初速度不为零物体在进行斜抛运动时，一开始就具有一定的速度，这个初速度可以分解为水平方向和竖直方向的两个分速度。
2、只受重力作用在不考虑空气阻力等其他因素的情况下，斜抛运动中的物体仅受到重力的作用，重力的方向始终竖直向下。
3、轨迹是抛物线由于初速度和重力的共同作用，斜抛物体的运动轨迹呈现出一条抛物线。
三、斜抛运动的分解为了更好地研究斜抛运动，我们通常将其初速度分解为水平方向和竖直方向的两个分速度。
假设初速度为 v₀，与水平方向的夹角为θ，则水平方向的分速度v₀x ＝ v₀ cosθ，竖直方向的分速度 v₀y ＝ v₀ sinθ。
在水平方向上，由于不受力，物体做匀速直线运动；在竖直方向上，物体做匀变速直线运动（上抛阶段为匀减速直线运动，下落阶段为匀加速直线运动，加速度均为重力加速度 g）。
四、斜抛运动的规律1、水平方向的运动规律水平方向的位移 x ＝ v₀x t ＝ v₀ cosθ t水平方向的速度vₓ ＝ v₀ cosθ （保持不变）2、竖直方向的运动规律竖直方向的位移 y ＝ v₀y t 1/2gt²＝ v₀ sinθ t 1/2gt²竖直方向的速度 vᵧ＝ v₀y gt ＝ v₀ sinθ gt3、飞行时间物体从抛出到落地的时间，取决于竖直方向上的运动。
当物体在竖直方向上的速度为零时，达到最高点。
从最高点落回地面的时间与上升时间相等。
所以，总的飞行时间 T ＝ 2v₀ sinθ ／ g4、水平射程水平射程是指物体从抛出点到落地点在水平方向上的距离。
水平射程 X ＝ v₀x T ＝ v₀ cosθ × 2v₀ sinθ ／ g ＝ v₀² sin2θ ／ g 从这个式子可以看出，当θ ＝ 45°时，水平射程最大。
高一物理鲁科版必修2 第3章第4节 斜抛运动 课件(26张)
名师归纳
求解斜抛运动的射高、射程和运动时间时，一般是将斜抛运动
沿水平和竖直方向正交分解，得出射高 y＝v20s2ign2θ，射程 x＝
v20sin g
2θ (θ
为初速度与水平方向的夹角)，然后对
y、x、t
讨论
分析即可．
2 ． (2013·高考 安 徽卷 ) 由消 防水 龙带 的喷 嘴喷 出水 的流 量是
(3)1 502 m
[名师点评] 1对于抛出点与落地点不在同一水平面上的问 题，因落地点与抛出点存在一定的高度差，所以可以将竖直 方向的运动分两步进行，即上升过程和下降过程. 2求解最大高度和落地速度时用动能定理更为简便，求运动 时间对竖直上抛分运动用整体法较方便.
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[思路点拨] 解此题可按以下思路： 画出轨迹 → 将运动分解 → 分阶段求解 [答题模板] (1)炮弹的运动轨迹如图所示．
斜抛运动——精选推荐
斜抛运动2011-04-06 06:59:33| 分类：曲线运动、万有引|举报|字号大中小订阅一. 教学内容：斜抛运动二. 教学知识点：知识点1 斜抛运动及其特点1、斜抛运动的概念及特点将物体以一定的初速度斜向上方抛出后，物体所做的运动叫做斜抛运动。
做斜抛运动的物体，在忽略空气阻力的情况下由于只受重力的作用，因此，斜抛运动是匀变速曲线运动。
轨迹特点：做斜抛运动的物体，先是沿着曲线上升，到达最高点后，又沿着曲线下降。
图1中的曲线OAB就是斜抛物体的运动轨迹。
图12、斜抛运动的研究方法利用运动的合成与分解。
由于斜抛运动在不考虑空气阻力的情况下，只受重力作用，因此，对斜抛运动也有多种分解方法。
方法一：类似于研究平抛运动，我们以抛出点为坐标原点，建立直角坐标系，把初速度分解为沿水平方向的分量和竖直方向的分量，这样，就可以将斜抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直向上的匀减速直线运动，如图2所示。
图2方法二：分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
如图3所示，每经过1s物体沿初速度方向走过相等的距离；而在竖直方向上，物体按自由落体运动的规律，在1s内、2s内、3s内……的下落距离之比为1：4：9……根据以上分析，我们可以画出物体做斜抛运动时的轨迹（如图3所示）图3知识点2 斜抛运动的规律如图4所示，为质点初速度为，倾角为的斜抛运动的示意图。
图41、速度公式水平速度；竖直速度。
2、位移公式水平位移；竖直位移；由上两式可得这就是斜抛物体的轨迹方程。
3、斜抛运动的射程和射高射程是做斜抛运动物体的水平位移，射高是做斜抛运动物体上升的最大高度。
飞行时间t：；射高h：；射程s：由此可见，在给定的情况下，当时，射程最大，。
三. 易错点透析（1）注意斜抛的对称性。
（2）对速度进行分解时要注意。
一般沿竖直方向与水平方向分解。
例：如图5所示，斜上抛，分解成竖直方向上的竖直上抛运动与水平方向的匀速直线运动。
斜抛运动
斜 抛 运 动 的 规 律
以斜向上 抛为例： 抛为例：
v0y
θ G
v0 v = v cos θ 0x 0 v0x
水平方向 初速度为vox ,合力 初速度为 为0 匀速直线运动
v0 y = v0 sin θ
g y = tan θ x − 2 x2 2V0 cos 2 θ
斜抛运动的轨迹为抛物线
1 2 gt 2
斜抛运动的射高、 斜 斜抛运动的射高、射程和运动时间 抛 据斜抛运动的规律： 据斜抛运动的规律： 影响斜抛运动的飞 运 水平方向： x = V0 x = V0 cos θ x = Vx t = V0t cos θ V 水平方向： 行时间、 行时间、射高和射 动 V 竖直方向： 竖直方向： y = V0 y − gt = V0 sin θ − gt 程的因素是斜抛运 的 1 2 动的初速度Vt sin 动的初速度 00和 θ − gt y =V 规 2 抛射角θ。 抛射角θ 由竖直上抛运动的特点可知： 律 由竖直上抛运动的特点可知： V sin θ
CD
A
C
B
A.物体在 C 点的速度为零 物体在 B.物体在 A 点的速度与在 点的速度相同 物体在 点的速度与在B点的速度相同 C.物体在 A 点、B 点的水平分速度均等于物体 物体在 在 C 点的速度 D.物体在 A、B、C 各点的加速度都相同 物体在 、 、
竖直方向 初速度为voy ,合力 初速度为 即加速度为g 为G,即加速度为 匀变速直线运动
斜向下抛 θ
v0x v0
v0y
G
v y = v0 sin θ − gt
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斜抛运动的最佳抛射角
甘志国（该文已发表数学通报，2011（12）: 35-36）
文献［1］介绍了球星德拉普（Rory John Delap）:
斯托克城属于英超中的一支中下游足球队，但是该队参加的每一场比赛，往往都能成
为人们关注的焦点，因为它拥有一位擅长掷远距离界外球、最远距离为48.17米的世界记录
创造者，他就是后卫德拉普（图1）.阿森纳主帅温格曾在一场比赛前说：“德拉普的手臂太可怕了，上天保佑这场比赛中他没有掷界外球的机会.”
图1
界外球怎样才能掷得更远呢？
图2
通常会认为，以初速度v0、抛射角「（0 ：：： : <90 ）掷出的球在不计空气阻力时的运动是斜抛运动（图2），其运动轨迹的参数方程为
X = V0 COS-：： t
« - + 1 +2 ①y =v0si na 1 - -gt
（其中X, y分别表示球在时刻t飞行的水平距离和竖直高度，g为重力加速度）由此可得球的
射程为
2
V0
s —si n2- ②
g
公式②说明，球的射程S与初速度V0及抛射角〉均有关，当V0 一定时，当且仅当
=45时射程s最大.
但文献［1］还说，英国物理学家尼克•林斯纳尔却给出了否定的答案：球员把求掷得最
远时，出手时的初速度与水平方向的夹角并不是45，而是25至30 .
xta n :
由文献［3］的结论立知，其焦点
为
产生这一结果的原因是：对于公式②，当 V 。
为定值时，：• =45时s 最大；而当:-为 定值时，v 越大s 就越大•可见球的飞行距离与初速度 V o 及抛射角：•均有关.而在〉=45时 V o 不能达到最大值， 所以在〉=25 ~30时，V o 可达到最大值，所以s 取到最大值也是可 能的•
早在2003年，笔者就在文献［2］中阐述了这样的观点：掷球的最佳抛射角应小于 45 . 文献［1］的出现，使笔者重新研究“斜抛运动的最佳抛射角” ，并得到了漂亮的结论： 定理 如图3，以初速度vo 、抛射角：•（0 ：：： : ::: 90 ）使物体作斜抛运动，当射程 s 最
大时（也即起点O 到落点A 的距离最大（因为在图3（a ）中OA = S ，在图3（b ）, （c ）中 OA 2 =s 2h 2,h 为定值），此时的抛射角：•叫做最佳抛射角，此时的抛射方向是起点 O 竖 直向上的方向OB 与OA 形成的角.BOA 的平分线，且 OA 是问题运动轨迹（抛物线OCA ） 的焦点弦•
证
明 易知图3中抛物线
OCA 的参数方程为①（其中x,y,t,g 的意义也同①中诸字母
的意义） x=v °cos ： t
y =v °sin : t 一如2
（其中x, y 分别表示球在时刻t 飞行的水平距离和竖直高度， g 为重力加速度）化为普通方程, 得
2
y <2 x 2v 0 cos a
/ 2 2 v 0sin 2。
v 0cos 2a l 2g ' 2g
即证 N BOA = 2Zv 0O 代 F E OA . 图3
（1）图1（a）的情形•由②式可得• v°OA =〉= 45 ，又BOA = 90 ，所以
.BOA =2. v0OA,F OA .
⑵图1(b)的情形(因为掷球时有一个出手高度h(h ■ 0),掷球时出手高而落点低),用t o 表示球运行到落点时的飞行时间，得
S = V o COS： t
一h = v0 sin ： t0
所以
gs2tan2：- 2v02stan：：£ 亠gs2- 2v02h = 0
因为这个关于"tan〉”的一元二次方程有实数解，所以
2 4 2 2 2
:=4s(V。
- g s 2gv° h) _ 0
又s 0，所以
进而可得，当且仅当tan a = |__1----- ，即a = arc cot +^2g2h时，s取最大值,
冒J v0
且最大值是^J v。
2+2gh .所以在图3中，最佳抛射角应为arc cot ，它显然小
g . v°
于45 .
可得tan 2 = 2tan:=匹J v02+ 2gh，又tan ^ = - = -° J v02 +2gh，所以
1 -tan a gh h gh
tan、-ta n2 ,三=2：,180 -- - 2（：90 - J，即BOA =2 v0OA .
可得直线OA的方程为
再由。
=arc cot ” + 2gh可验证F w OA.
⑶图1(c)的情形.同理可算得最大射程s = v^\/v/ -2gh ，最佳抛射角g
V o 可得 tan2: - - 0. v 02_2gh gh ，又 cot 一？ h = 'V ^^V0^2gh ，所
gh
tan? - -cot 二2：- - - 90 ,90 - 1 =2(： _ -)，即乙BOA 二 2乙v 0OA .
gh ------------ x
V 0：F V 0 - 2gh
再由〉=arc cot
V o 「arccot 1一卿
V 。
可得直线OA 的方程为
该定理是有用的.设想在地面OA 上从点O 开始让物体作斜抛运动，
BOA =2 VoOA 可迅速确定最佳抛射方向(即使起点O 到落点A 的距离最大的初速度
的方向)；设想图1(c)中的坐标原点是大炮口，落点 A 是射击目标，为增加隐蔽性，应使射 程s 越远越好，所以上述最佳抛射角在军事上也是有用的
参考文献
1戴静•界外球怎样才能掷得更远[J].数理天地(高中版)，2011(1)： 46
2甘志国•推铅球的最佳抛射角应小于 45 [J].数学通讯，2003(20): 20。