关于有出手高度的斜抛运动的最大射程分析
高中物理教学论文：斜抛运动的极值问题例析
斜抛运动的极值问题例析斜抛运动由于其速度的不确定性，使其在运动过程中派生出许多的极值问题，比如射程和运动的对称性是斜抛运动常见的问题。
而物体在不同平面的斜抛其特点不同，对应的极值也各不同，现就物体在几种平面上斜抛运动时的极值问题进行分类说明。
（一）在水平面上的斜抛运动的极值问题例题1：在水平地面上以速度v 抛出一小球，v 的方向与水平面的夹角为θ，试确定θ为多大时，小球的射程最远？解：建立如图一所示的坐标系，把小球的运动看作是竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的匀速直线运动的合运动。
则两速度的分量为：v x ＝v sin θ v y ＝v cos θ 小球在空中运动的时间为：t ＝2v y /g ＝2v cos θ/g则小球的射程X ＝v x t ＝v sin θ·2v cos θ/g ＝v 2sin 2θ/g由上式可知：当θ＝45o 时，射程具有最大值。
最大射程为：X ＝v 2/g即要使物体以一定的速度在平面上有最大的射程的条件是：物体的抛射角为45o 。
（二）斜抛到上斜面的斜抛运动的极值问题例题2：如图二所示，倾角为θ的斜面光滑，自斜面上某处以速度v 沿与斜面夹角为Ф的方向向斜面上抛出一质点，设质点与斜面间的碰撞没有动能损失，斜面有足够长，要求质点最后仍能回到原出发点，Ф应满足什么条件？解析：整个运动过程中，质点的机械能守恒，显然，若质点能回到原出发点，则它沿斜面向上的运动和向下的运动应该是互相对称的，亦即质点沿斜面方向运动到其能达到的最高点后，它应沿“原路”返回。
这样，有两种情况都能满足这一要求。
一是质点最后一次与斜面相碰时，其速度方向刚好与斜面垂直，则其反弹起来的速度必与其碰前的速度大小相等而方向相反，这样，质点此后的运动将把其上升过程的运动“反演”一次，可回到原出发点。
二是质点最后一次与斜面相碰后，其反弹起来的速度恰沿竖直向上的方向，则质点弹起后作竖直上抛运动，当质点达到竖直上抛的顶点后，接着便会将此前的运动“反演”，也会回到原出发点。
求解斜上抛运动“射高”和“射程”的两个小妙招
高一使用2021年2月■潘慧斜上抛运动是一种复杂的曲线运动，往年高考中很少出现考查斜上抛运动相关计算的试题，而2020年高考山东卷中出现了涉及求解斜上抛运动“射高”和“射程”的试题，使得很多同学感觉不知从何入手。
下面介绍两个求解斜上抛运动“射高”和“射程”的小妙招，希望能够帮助同学们轻松化解这类难题。
一、正交分解求“射高”斜上抛运动的“射高”是指做斜上抛运动的物体在运动过程中距水平面或斜面的最大距离，因此建立以竖直方向或垂直于斜面方向为y轴的平面直角坐标系，将做斜上抛运动物体的初速度或加速度沿x轴和y轴正交分解，就可以利用“沿y轴方向的末速度为0”这个隐含条件求“射高”了。
1.正交分解初速度。
例1固定在水平地面上的迫击炮炮筒与水平方向成60°角，炮弹从炮口射出时的速因为射高隐含着“竖直方向上的末速度为0”这个条件，所以应建立以竖直方向为y轴的平面直角坐标系。
因为初速度不在坐标轴上，所以需要沿y轴方向分解初速度，从而分析得出沿y轴方向分运动的规律，最后运用运动学公式即可求得炮弹的射高。
2.正交分解初速度和加速度。
例2如图2所示，固定在倾角6—30°的斜面上的迫击炮炮筒与水平方向成30°角，炮弹从炮口射出时的速度是V0,若忽略空气阻力和炮筒的长度，已知重力加速度为g o求炮弹射出后距斜面的最大距离。
度是V0,若忽略空气阻力和炮筒的长度，已知重力加速度为g o求炮弹的射高。
建立如图3所示的平面直角坐标系，将炮弹的斜上抛运动建立如图1所示的平面直角坐标系，将炮弹的斜上抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动。
将炮弹的初速度V0沿y轴方向分解得V y—V0sin60°。
设炮弹的射高为h,因为炮弹到达最高点时在竖直方向上的末速度为0,所以在竖直方向上根据运动学公式得0—V——gh。
联立以上二式解得h _3V=8g°图1分解为沿斜面方向的匀加速直线运动和垂直于斜面方向的匀减速直线运动。
(2021年整理)斜抛运动知识要点
(完整版)斜抛运动知识要点编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)斜抛运动知识要点）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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斜抛运动知识要点【知识要点】1.对概念的理解：根据斜抛运动的概念可知：斜抛运动应同时满足两个条件，一是物体的初速度V0不等于零,且方向斜向上；二是物体仅受到重力的作用，根据牛顿第二定律易知斜抛运动物体的加速度即为重力加速度g,方向竖直向下，它和平抛运动以及竖直方向上的抛体运动的加速度是一样的。
2.斜抛运动的简单处理法（运动的分解与合成法）前面学习平抛运动的时候我们为了处理问题的方便，知道把平抛运动看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上自由落体运动的合运动，那么今天学习斜抛运动仍可使用前面学习的方法，巧妙的把斜抛运动看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动的合运动。
3.斜抛运动的规律如图1，物体以初速度v0斜向上抛出,其方向与水平方向的夹角θ角。
110. 高中物理中的斜抛运动如何分析？
110. 高中物理中的斜抛运动如何分析？关键信息1、斜抛运动的定义和特点定义：＿___________________________特点：＿___________________________2、斜抛运动的分解水平方向：＿___________________________竖直方向：＿___________________________3、斜抛运动的基本公式水平位移公式：＿___________________________竖直位移公式：＿___________________________速度公式：＿___________________________4、斜抛运动的射程和射高射程的影响因素：＿___________________________射高的影响因素：＿___________________________5、斜抛运动的实际应用体育项目中的应用：＿___________________________日常生活中的应用：＿___________________________1、斜抛运动的定义和特点11 定义斜抛运动是指将物体以一定的初速度沿与水平方向成一定角度抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动。
12 特点斜抛运动具有以下特点：121 运动轨迹为抛物线。
122 加速度恒为重力加速度 g，方向竖直向下。
123 水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动（先竖直上抛，再竖直下抛）。
2、斜抛运动的分解21 水平方向水平方向不受力，速度大小不变，做匀速直线运动。
水平方向的速度分量为 Vx ＝V0 cosθ，其中 V0 为初速度，θ 为初速度与水平方向的夹角。
22 竖直方向竖直方向受重力作用，加速度为 g，做匀变速直线运动。
竖直方向的速度分量为 Vy ＝V0 sinθ gt。
3、斜抛运动的基本公式31 水平位移公式水平位移 X ＝V0 cosθ × t，其中 t 为运动时间。
斜抛运动最大射程问题分析
斜抛运动最大射程问题分析作者：刘尚昊来源：《科技资讯》2018年第25期摘要：本文着眼于讨论物体从一定高度被抛出后，其水平方向的最大射程与抛射角之间的关系，讨论了斜抛运动达到最大射程应满足的条件，并通过理论公式的证明和实际数据的测量，指出45°不再是能够得到最大射程的角度。
本文通过具体计算了实际铅球抛出的最大射程和抛射角，并且随机取数进行了实验，从而得出了二者之间的关系，为斜抛运动的实际应用提供了力学理论依据。
关键词：斜抛运动最大射程抛射角力学理论依据中图分类号：O313 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）09（a）-0233-021 分部求导法该分析方法需要经过两次的求导，通过判断导数的大小和倒数的解，判断能否取到最大的射程。
将该物体在空中进行斜抛运动的时间假设为t，则可以得到物体在坐标轴X和Y方向的运动方程，如下：X=v0tcosθ （1）Y=H+v0tsinθ-1/2gt2 （2）假设物体在经过时间T以后由斜抛运动落地，此时物体的坐标为x=R，y=0，此时上式（1）（2）则变为：R=v0Tcosθ （3）0=H+v0Tsinθ-1/2gT2 （4）将上式联立起来，即可得出水平射程的表达式：R={v0{sin2θ+[sin22θ+8gH/v02cos2θ]1/2}}/2g （5）当物体落地后，H=0时，可以将上式化简为：R=v02sin2θ/g （6）假设物体的最大射程为Rm，在求解最大射程时使用导数求极值的方法，分析最大射程和抛射角度θ之间的关系，在求解时引入无量纲参数定义为Z：Z=gH/v02在进行求导时，令R对θ的一阶导数R’=0，此时可以得到最后求解出结果为：cos2θ=z/（1+z）（7）然后对R进行二次求导，即可以推论出R的二阶导数是小于零的，因此可以得出R是能够取得最大值的。
因此得出：Rm=vo2（1+2z）1/2/g （8）T=vo2/g[2（1+z）]1/2 （9）θm=1/2arccos（z/1+z）（10）根据上式当中的化简结果可知，决定最大射程的影响因素不仅包括抛射角度θ，还有无量纲参数Z，因此影响最大射程的参数还有距离地面的高度H和物体运动的初速度v0。
1.5斜抛运动
Voy Ө
Vo VoX
x
mg
抛射角 (仰角)
三
斜抛运动的规律
射程与射高
射高：在斜抛运动中，物体能到达的最大高度 射程：物体从抛出点到落地点的水平距离
vo
Ө
射高H
射程X
射高
ymax
2 v0 sin 2 2g 2g
2 v0 y
射程
Байду номын сангаасxmax
2 2v0 sin v0 sin 2 v0 xt v0 cos t v0 cos g g
位移: y v 0y t gt 2 v 0sin θ t gt 2
2 2 2 v0 sin 2 2v sin cos v sin 2 射程： X 0 = 0 2g 2g g g 2 v0y
1 2
1 2
y max 3、射高：
课本23页第4题
vo
Ө
v0 当 45时，x , 射程x最大. g
2
弹道曲线
定义： 物体的初速度很大时(如射出的枪弹、炮弹 等)，空气阻力的影响是很大的，轨迹不再是 理论上的抛物线，这种实际的抛体运动曲线
通常称为弹道曲线。
1、斜抛运动分解为
水平方向： 匀速直线运动 竖直方向： 竖直上抛运动
2、斜抛运动的规律： 速度 :vx =v0x =v0cosθ 水平方向: 位移: x=voxt= v0tcosθ 竖直方向： 速度:vy=v0y-gt=v0sinθ -gt
运动学之斜抛物体在斜坡上的射程
射程公式可化为
S
v02[sin(2
g cos2
)
sin
]
y v0
当2θ - α = π/2时，即
π
42
射程最大。 θ α S O
P x
射程的最 大值为
SM
v02 (1 sin ) g cos2
v02
g(1 sin )
当θ1 + θ2 = 90°+ α时， 可得
S1
v02[sin(21 g cos2
下抛，S'趋于无穷大，表示物体无法落在悬崖侧面上。
如果物体竖直向下抛，物体就沿着悬崖的侧面向下运动。不 计摩擦，物体与悬崖的接触点都是射程，但不存在最大射程。
图例表示斜坡的仰角，仰角 越大，射角取值范围就越小。
每条曲线都 有一个极大 值，表示最 大射程。
所有射程曲线最后都交于一点(90,0)， 说明不管坡度为多少，物体竖直上抛 时，最后都落在原处，射程当然为零。
最大射程随 仰角的增加 而减小。
[讨论]
S 2v02 sin( ) cos v02[sin(2 ) sin ]
g cos2
g cos2
①在平地上斜抛物体时，α = 0，可得水平射程
S v02 sin 2 g
最大射程为
SM
v02 g
此时的射角为θ = π/4。
y v0 θα S
P
O
x
②当α = π/2时，山坡就变成峭壁，物体只能竖直上抛，沿 峭壁运动。不计摩擦，物体与峭壁的接触点都是射程。
最大射程为
SM
v02 2g
这正是竖直上抛的最大高度。
射程
S
2v02
sin( ) cos g cos2
高中物理研究斜抛运动-例题思考沪科版必修三
研究斜抛运动-例题思考1.斜抛运动有斜上抛运动和斜下抛运动两种，当斜上抛时，被抛物体所能达到的高度叫射高，抛出点与落点之间的水平距离叫射程.如下图：物体斜上抛的仰角为θ，抛出的初速度为v 0.我们先将v 0正交分解为水平分速度v 0x 和竖直分速度v 0y .根据数学关系可以得出：v 0x =v 0cos θv 0y =v 0sin θ假设把物体看作是可忽略空气影响的“理想抛体〞，那么根据运动分解的理论可知：斜上抛物体水平方向不受力，应做匀速直线运动，其速度为v 0x ＝v 0cos θ，其位移方程应为：x =v 0cos θ·t ①斜上抛物体竖直方向受向下的重力，与竖直向上的初速度v 0y ＝v 0sin θ的方向相反，应做竖直上抛运动，其位移方程应为：y =v 0sin θ·t －21gt 2② 由①式可以导出:t =θcos 0v x ③ 将③式代入②式，导出：y ＝tan θ·x －2220cos 2x v g θ④ 我们称导出的④式为“斜上抛物体运动的轨道方程〞.如果斜上抛物体是在水平面上进行的，那么它的抛出点和落地点应在同一水平面上(这实际上是日常最常见的斜上抛情况)，也就是说物体在竖直方向的起点到终点的位移y =0.因此我们将y ＝0代入前面导出的④式(即“轨道方程〞)，就可推导出最大水平位移x m (即“射程〞). x m =gv θ2sin 20,即“射程公式〞. 现在我们根据“射程公式〞讨论前面所提出的问题——当v 0不变时，以多大的仰角θ斜上抛出的物体射程最远？ 据射程公式： x m ＝gv θ2sin 20，可以看出g 是常量，假设v 0不变，那么决定x m 大小的因素就只有sin2θ的数值了.根据数学知识我们知道正弦的最大值为：sin90°＝1因此当sin2θ＝sin90°时，x m 值最大那么：2θ＝90°，所以θ＝45°.①即当抛物的初速度v 0不变时，以45°的仰角斜上抛出的物体射程最远.由此，能推导出斜上抛物体运动的“射高公式〞H ＝g v 2sin 220θ. ②推导出斜上抛物体运动的“飞行时间公式〞T ＝gv θsin 20. [例1] 如下图，从O 点发射一速度为v 0的子弹，竖直靶AC 与发射点的水平距离为d .如果子弹射至靶面时正好与靶面垂直.(1)求投射角θ多大？(2)证明AB 的高度为瞄准点AC 高度的一半.思路：这是斜抛运动通常的解题思路和方案.可以充分利用我们前面推导出的公式来直接求解.解析：(1)子弹射中靶子时与靶子垂直，说明子弹在B 点速度方向是水平的.因而B 点是轨迹的最高点，d 是射程的一半.即2d =gv θ2sin 20 解之得投射角θ=202arcsin 21v dg . (2)子弹射到B 点所经历的时间t =gv θsin 0 BC 是在时间t 内由于重力作用于子弹自由下落的距离，BC =21gt 2=21g (g v θsin 0)2=g v 2sin 220θ AB 是子弹做斜抛运动上升的最大高度(即射高)，AB =gv 2sin 220θ 所以BC =AB =21AC . 2.斜抛运动虽然是比较复杂的一种运动，但我们在处理时并不一定按照一种僵化的方案来分解.如果能巧妙地选择分运动，将会使分析解决问题变得简单.[例2] 子弹以初速度v 0、投射角α从枪口射出，刚好能掠过一高墙，如下图.假设测得枪口至高墙顶连线的仰角为θ，求子弹从发射到飞越墙顶的时间.思路：该题中子弹的斜抛运动可以按照常规分解为水平方向和竖直方向的运动来求解，但要麻烦一些，如果我们能把该斜抛运动看成沿v 0方向的匀速直线运动和自由落体运动的合成，就可简化运算，下面分别用两种方法来比较一下.解析：解法一：把斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动.设从发射到飞越墙顶的时间为t ，那么在水平方向和竖直方向上的分位移为x =v 0cos α·ty =v 0sin α·t －21gt 2 由题设条件知y =x ·tan θ故可解得t =gv )tan cos (sin 20θαα⋅-. 解法二：把斜抛运动分解为沿v 0方向的匀速直线运动和自由落体运动，如下图.由正弦定理，可得)90sin()sin(2102θθα+︒=-t v gt 解得t =θθαcos )sin(20g v - 由三角函数关系知道这两个答案是相等的.例题解析[例1] 如下图，打高尔夫球的人在发球处(该处比球洞所在处低15 m)击球，该球初速度为36 m/s ，方向与水平方向成30°角.问他会把球向球洞处打到多远?(忽略空气阻力)解析：小球初速度的水平分量和竖直分量分别是v 0x ＝v 0cos θ＝36cos30°＝31.2 m/s ，v 0y ＝v 0sin θ＝36sin30°＝18.0 m/s .由y ＝CD ，可得CD ＝v 0y t －21gt 2， 代入量，整理后可得t ＝2.40 s 或1.28 s其中t ＝1.28 s 是对应于B 点的解，表示了该球自由飞行至B 点处所需时间.因此在本例中，应选解t ＝2.40 s.在此飞行时间内，球的水平分速度不变，于是最后可得x =v 0x t =31.2×2.40 m=74.7 m.点评：该题考查实际问题中的斜抛运动.涉及到斜抛运动中的一个分运动——竖直上抛运动的时间能出现双解.这两个时间，一个是在上升过程中，一个在下落过程中.一般的斜抛运动考查的抛出点和落地点在同一水平面上，而该题的落地点与抛出点不在同一平面内，在时间的考查上也有新意.。