老师专属二次曲线上的四点共圆问题解题研究第二境界(下篇)

老师专属二次曲线上的四点共圆问题解题研究第二境界（下

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老师们：四点共圆是一个经典问题，很多优秀老师都以此做为切入点发表研究文章。本文为您收集四点共圆问题的研究现状，尝试剖析作者的研究思路。四点共圆问题有两个研究方向：求证四个点共圆和推导四点共圆的充要条件。以下从三个角度来梳理研究思路。第一境界：掌握已有的解题技巧；第二境界：剖析背后的思维方法；第三境界：分享自己的研究成果。

纯几何角度在小编多方查证下：四点共圆问题在80，90年代还曾入选过《初级中学课本_几何》中。（那个时候小编还没出生！所以对于更早的课本有没有四点共圆问题小编就不知道了，在网上只找到了89年版的）以下是该书中涉及证明四个点共圆的定理：图1：对角互补图2：公共弦图3：外角等于内对角图4：相交弦定理?图5：切割线定理可以看出这些证明四点共圆的方法都是纯几何证法。在初中范围内，证明四点共圆的方法一般有7种[1]：1，圆的定义法：根据圆的定义“到定点的距离等于定长的集合为圆”。首先寻找圆心，之后去求出各点到圆心的长度。在高中遇到四点共圆问题时，很多学生和老师的思路也是如此。2，对角互补法：利用“如果一个四边形的对角互补，那么它内接于圆。”

进行证明。找出四边形的一组对角，之后证明它们互补，进而得出四个点共圆。3，公共边法：利用“有相同边的两个三角形，且公共边的对应的角相等且在边的同一侧，那么这两个三角形内接于同一个圆”，进行证明。4，外角等于它的内对角法：找到一个角的外角和其内对角相等即可得证。其原理和对角互补法相似，不过多阐述。5，圆幂定理：圆幂定理即为相交弦定理，切割线定理和割线定理的统一形式。它的具体内容为：如果交点为P的两条相交直线与圆O 相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。一般运用其逆定理证明四点共圆，很多高中老师都是运用圆幂定理去推导四点共圆的充要条件。6，证明四点组成的图形是矩形，等腰梯形等必有外接圆的图形[2]。7，托勒密定理：托勒密定理为“圆的凸内接四边形的对边乘积和等于对角线乘积”。运用托勒密定理的逆定理进行证明。以上即为初中（30年前）常见的证明四点共圆的方式。虽然说现在这些定理推论都不教了，但是遇到四点共圆问题还是要用这些东西。名义上是减负，但是不会这些去证明四点共圆问题反而让学生感到更加困难。那我们为什么要介绍四点共圆问题的纯几何方法呢？经过小编大量的阅读四点共圆方面的文章，发现很多老师的工作都是基于这些纯几何的定理推论。解析几何角度在高中知识点的范畴内，四点共圆问题很少有纯几何的题目（除了数学竞赛外[3]）。作为圆锥曲线的一部分，圆的问题

一般都是紧密的和圆锥曲线联系在一起。更有很多老师不满足于研究这种退化的二次曲线，把四点共圆问题放到非退化的二次曲线背景去研究。我们在前文中提到，很多老师都是基于圆幂定理来证明四个点共圆或者推导四点共圆问题的

充要条件。我们再来看下圆幂定理：如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。那么证明四点共圆问题时，我们可以先用四个点构建一个四边形并用代数式表示出两条对角线的方程之后和圆锥曲线

联立。求得PA·PB和PC·PD的值，证明它们相等进而得证四点共圆。四点共圆的充要条件的推导也是基于圆幂定理之上。这样推导的四点共圆充要条件为：圆锥曲线上四个不同的点组成的四边形对角线倾斜角互补。在证明四点共圆问题和推导四点共圆充要条件有一个小技巧就是可以用交点P 建立两条对角线的参数方程。这样PA·PB和PC·PD的值可以用韦达定理得出，并且避免讨论直线没有斜率的情况[4]。继续考察圆幂定理可以发现：保持四个点不重不漏，四边形可已作出三组相对的线段。那么基于圆幂定理，我们当然可以直接判断：1. 四个点共圆则其组成的四边形的对边平行或倾斜角互补（两条直线平行时因为没有交点，所以无法用圆幂定理，下同）；2. 四个点组成的四边形中的三组直线只要有一组直线的倾斜角互补（即四点共圆），则剩下的两组直线平行或倾斜角互补。值得一提的是：张乃贵老师在其

《圆锥曲线上四点共圆充要条件的研究》[5]一文中并没有假定四点已经共圆，而是直接给出我们上面的2个推论。在其证明过程中发现当抛物线上的四个点共圆时，它们的纵坐标之和等于0。即：在姬士学，王恩权老师的文章中也给出了相同的推论[6]。这个条件是抛物线上四点共圆的一个充要条件。在几何即圆幂定理的指导下，能做出的工作基本如此。各位老师可以试着计算下，反正小编是算的手软了。然而以甘志国老师为代表的一些老师并没有囤于前人的思路，反而从另一个角度来看待四点共圆问题[7][8][9][10][11]。甘志国老师通过构建曲线簇去找出一条经过四个点的圆的方程。这样做的好处使得计算大大的简便，并且绕过了圆幂定理这个“缺失”的知识点。比如说接下来这道题：解题思路：这种解法及背后的意义在我们上篇的文章都有讨论，请各位老师进入名师锻造公众号进行观看。那么基于这种想法，我们设两条对角线的方程为：若四点共圆，则可得出的结论为：该条件为四点共圆的充要条件，我们发现它和圆幂定理得到的条件等价，但是圆幂定理可以快速的判断两组对边的倾斜角情况（该条件也可判断，但是需要一定的计算去判断组合后的圆的半径是否有意义）。在线性组合的思想下我们可以得出什么？两条圆锥曲线有4个交点，则这四个点共圆[8][11]。这在几何的背景下很难想到。（具体的证法各位老师可以观看我们本专题的视频）当四点共圆时，其中的一边上的两个

定点不断接近，考虑极限的情况，又可以得出什么呢？（答案当然在小编第一喜欢的甘老师四点共圆的视频中啦）甘老师的工作都是基于退化的二次曲线上，那么在非退化的二次曲线上呢？这个时候二次曲线的方程变为：在线性组合的思想下我们知道想要组合成圆的标准方程，则需要消去含有xy 的交叉项，并且使二次项的系数相等且不为0。联立这两个方程组:进行线性组合，当四点共圆时，我们可以得到：同样的有四个交点的两条圆锥曲线，四点共圆的充要条件是：通过圆幂定理进行推导，思路和退化情况没有差别，最后得出：这些就是高中范围内四点共圆问题的常见推论和其思路。高等数学角度在求证四个点共圆的问题上，一些老师从矩阵的角度出发，给出只要其中有三个点不共线的四点满足下列矩阵即可共圆。我们可以把圆的标准方程看做：则该矩阵是关于圆的系数的四元一次方程组，若四点满足该矩阵，则证明方程组有唯一解，即四点共圆。这里要注意的是三点不能共线，否则可能解出A=0的直线方程（四点共线时）。在小编看文章时很多研究者忽略了这一点，广大老师需要注意。而有一些老师把四点共圆放在复平面的背景下来考虑。复数表示角度简洁方便，自然就可以联想到用关于角度的定理去推导，在我们一开始介绍的纯几何证法有提到：如果一个四边形对角互补，则这个四边形内接于圆。那么基于这个证法，复平面下的四点共圆充要条件的推导思路如下[12]：这里有

两点需要注意：一是下面这个式子的顺序：要注意好谁做分子，谁做分母。分子分母上下顺序相反会造成旋转角度相反，在阅读一些关于复平面四点共圆的文章时，有的老师上下顺序便弄反了。二是小编设四点交代了四点的顺序，所以证明会简单，不用讨论角1和角3的位置关系，有些老师没有像小编这样取巧，证明的思路会更复杂些，但是最后的结论是一样的[12]。以上便为四点共圆问题的研究现状，感兴趣的老师可以根据我们罗列的参考文献找到相应文档资料。当然甘志国老师已将研究成果以视频教学形式完整展示出来，想探究甘老师解题思路的您赶快来观看专题视频吧！地址在评论区留言！参考文献[1] 陈新星,赵启鸾.四点共圆判定定理证明归纳[J].中学教研,1984.[2] 戴浩池.点的共圆证明浅谈[J].

云南教育,1981:42-43.[3] 黄志军.高中数学竞赛中的几道四

点共圆题[J].中等数学,2014(7):2-6.[4] 姜坤崇.标准二次曲线上四点共圆的充要条件[J].中等数学,1984(5):9-10.[5] 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的研究[J].数学教

学,2012(7):7-8.[6] 姬士学.王恩权.抛物线上四点共圆的一个充要条件[J].中学数学月刊(苏州),1997(1):24-25.[7] 甘志国.

对一道高考题的研究[J].数学通讯,2005(22):21.[8] 甘志国.二次曲线上的四点共圆问题的探究[J].数学通

讯,2013(7):40-41.[9] 甘志国.简解二次曲线上的四点共圆问

题[J].数学教学研究,2015(8):64-65.[10] 邹生书.构建曲线系

方程简解四点公园问题[J].河南理科教学研

究,2012(5):40-41.[11] 徐有详.圆锥曲线四点共圆充要条件的统一证明及简单拓展[J].数学教学,2013(1):27-28.[12] 戴丽萍.四点共圆的一个复数形式条件[J].中等数学,1992(2):27

次曲线上的四点共圆问题的完整结论

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论甘志国(该文已发表数学通讯，2013(7下)：40-41) 百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθ)(sin cos,(b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2] 2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k . 文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”. 文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线2 2y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补. 结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补. 请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4. 定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆. 证明过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ① 式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含2 2,y x 项

第12讲圆与圆锥曲线综合

第12讲圆与圆锥曲线综合【教学目标】知识与技能（1）能解决圆与圆锥曲线综合出现等有关问题；（2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。过程与方法（1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题；（2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。情感态度与价值观（1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。（2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。教学重点：圆和圆锥曲线的综合问题教学难点：圆和圆锥曲线的综合问题考点链接：能够对圆锥曲线的问题进行探究、分析 [典型例题] 例1 若已知曲线C 1方程为)0,0(18 2 2 ≥≥=-y x y x ，圆2C 的方程为（x-3）2+y 2=1，斜率为k （k ＞0）直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，3=AB ，则直线AB 的斜率为（） A ．1 B ． 21 C ．3 3 D ．3 例2 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过），（05，则椭圆的标准方程__________________．例3 已知椭圆E ：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）过点P （3，1），其左、右焦点分别为F 1，F 2，且621-=?F F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若M ，N 是直线x=5上的两个动点，且F 1M ⊥F 2N ，圆C 是以MN 为直径的圆，其面积为S ，求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程．

高考圆锥曲线压轴题型汇总

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高考圆锥曲线压轴题型总结直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。使用韦达定理时需注意成立的条件。题型4有关定点，定值问题。将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。（湖北卷）设A 、B 是椭圆 λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为 λ=++-=2 23,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根， 0])3(3)3([422>--+=?∴k k λ ② ) 3,1(.3) 3(2221N k k k x x 由且+-= +是线段AB 的中点，得 .3)3(,1222 1+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A .0))(())((33, 3212121212 2222121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意， . ) (3,2 12121y y x x k x x AB ++- =∴≠ . 04),1(3). ,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+?>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλΘ

专题直线与圆、圆锥曲线知识点

专题直线与圆、圆锥曲线一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2tan x x y y k --= =α 2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式： 121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴???≠=?21 2 121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ?≠；⑶1l 和2l 重合???==?2 12 1b b k k ；⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线： 0:, 0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴???≠=?122 11 22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合?? ?==?1 2211 221C B C B B A B A ；⑷0212121=+?⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-= 6、点到直线距离公式： 2 2 00B A C By Ax d +++= 7、两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2 2 21B A C C d +-= 二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()2 2 2 r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22 D E - - ，半径为r = 2、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

课题名称非圆二次曲线的车削加工

浙江工业职业技术学院日期年月日熟练掌握各种常见非圆二次曲线地车削加工方法，学会各种常见非圆二次曲线地车削加工编程、控制尺寸精度及形位公差地方法，并能合理安排加工工艺. 课时安排＜30学时） 1、工艺分析 2、学生编程 3、下料及准备工作 4、数控加工 5、检测评分检测手段 1、游标卡尺 2、千分尺 4、深度千分尺 5、螺纹塞规、环规 6、半径规 7、曲线样板安全及注意事项 1、遵守实训场地安全文明生产制度 2、遵守数控车床地安全操作规程课后分析

其氽玖图4-1实训图纸一 2、工艺分析该零件主要地加工内容包括外圆粗、精加工、切槽及螺纹地加工 .加工工艺如下： <1 ）零件左端加工左端加工时从 M20X1.5 —直加工到° 40纭mi 外圆.装夹时也应考虑工件长度应以一夹一顶地装夹方式加工教案过程: 课题四非圆二次曲线地车削加工一、新课导入：本模块 < 共3个课题）学习非圆二次曲线地车削加工方法尺寸精度、形状位置公差和表面粗糙度地控制方法和确保方法地编制方法. 二、新课讲授： 1、零件图纸 .需要同学们熟练掌握，理解数控加工宏程序 7t±0.03

<2 ）零件右端加工右端加工较简单，只需夹住■- 24 ±^9外圆，粗精加工椭圆即可? 3、刀具选择 <1 ）选用3地中心钻钻削中心孔? <2 ）粗、精车外轮廓及平端面时选用93 °硬质合金偏刀< 刀尖角35 °、刀尖圆弧半径0.4mm ）. <3 ）螺纹退刀槽采用4mm切槽刀加工. <4 ）车削螺纹选用60。硬质合金外螺纹车刀. 具体刀具参数见下表 4、切削用量选择（1）背吃刀量地选择.粗车轮廓时选用ap=2mm,精车轮廓时选用ap=0.5mm ；螺纹车削选用ap=0.5. （2）主轴转速地选择.主轴转速地选择主要根据工件材料、工件直径地大小及加工地精度要求等都有联系,根据图2-1要求，选择外轮廓粗加工转速800r/min,精车为 1500r/min.车螺纹时，主轴转速n=400r/min. 切槽时主轴转速n=400r/min. （3）进给速度地选择.根据背吃刀量和主轴转速选择进给速度，分别选择外轮廓粗精车地进给速度为130mm/mi n 和120mm/mi n ;切槽地进给速度为 30mm/mi n. 具体工步顺序、工作内容、各工步所用地刀具及切削用量等详见下表切削用量表

老师专属二次曲线上的四点共圆问题解题研究第二境界(下篇)

老师专属二次曲线上的四点共圆问题解题研究第二境界（下篇）老师们：四点共圆是一个经典问题，很多优秀老师都以此做为切入点发表研究文章。本文为您收集四点共圆问题的研究现状，尝试剖析作者的研究思路。四点共圆问题有两个研究方向：求证四个点共圆和推导四点共圆的充要条件。以下从三个角度来梳理研究思路。第一境界：掌握已有的解题技巧；第二境界：剖析背后的思维方法；第三境界：分享自己的研究成果。纯几何角度在小编多方查证下：四点共圆问题在80，90年代还曾入选过《初级中学课本_几何》中。（那个时候小编还没出生！所以对于更早的课本有没有四点共圆问题小编就不知道了，在网上只找到了89年版的）以下是该书中涉及证明四个点共圆的定理：图1：对角互补图2：公共弦图3：外角等于内对角图4：相交弦定理?图5：切割线定理可以看出这些证明四点共圆的方法都是纯几何证法。在初中范围内，证明四点共圆的方法一般有7种[1]：1，圆的定义法：根据圆的定义“到定点的距离等于定长的集合为圆”。首先寻找圆心，之后去求出各点到圆心的长度。在高中遇到四点共圆问题时，很多学生和老师的思路也是如此。2，对角互补法：利用“如果一个四边形的对角互补，那么它内接于圆。”

圆锥曲线直与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线位置关系一、基础知识：（一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例（1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=，整理可得： ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例：（1）联立直线与双曲线方程：22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?，消元代入后可得： ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2 2 2 0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθθ)(sin ,cos (b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2] 2016年高考卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考、卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k . 文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”. 文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线2 2y px =的接四边形同时接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补. 结论2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的接四边形同时接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补. 请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4. 定理 1 若两条二次曲线 22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆. 证明过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ① 式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项

与圆锥曲线焦点三角形相关的圆专题

与圆锥曲线焦点三角形有关的圆专题 1.点P 是双曲线22 22 1x y a b -=右支上一点, 12,F F 分别为左、右焦点. 12PF F ?的内切圆与 x 轴相切于点G .若点G 为线段2OF 中点,则双曲线离心率为( ) A. 21+ B. 2 C. 2 D. 3?3 答案：B 解析： 12112212121212112,,2,+=2,,,C PF F D FG F G F E PF PF F D F E FG F G a FG F G c FG a c OG a PF F ?==∴-=-=-=∴=+∴=∴?∴∴设圆是焦点三角形的内切圆，与各边相切于点D 、G 、E,则PD=PE,F 又双曲线焦点三角形的内切圆与x 轴相切于顶点，c=2a,e=2 注：双曲线焦点三角形的内切圆与x 轴相切于顶点. 2.已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上异于顶点的一动点，圆为的内切圆，若是其中的一个切点，则 A 3->x B 3-

3.已知双曲线()22 2210,0x y a b a b - = >>的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线右支上一点 (异于右顶点), 12PF F ?的内切圆与x 轴切于点()2,0,过2F 作直线l 与双曲线交于,A B 两点,若使2 AB b =的直线l 恰有三条,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. ()1,2 B. ()1,2 C. ( ) 2,+∞ D. ()2,+∞ 答案：C ()2 22222223,2,4, 8,22,2. b b a b a a c c a b c C a =<>=+>>>解析：如图，依题意双曲线的通径且所以=2,b 所以，所以答案为 4.设双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的左,右焦点为12,,F F P 是双曲线C 上的一点, 1PF 与x 轴垂直, 12PF F ?的内切圆方程为()()2 2 111x y ++-=,则双曲线C 的方程为 ( ) A. 22123 x y -= B. 2212y x -= C. 2212x y -= D. 22 13y x -= 答案：D

圆锥曲线的特殊性质

1命题12．椭圆两个共轭直径上的正方形之和等于两个对称轴上的正方形之和．命题13．双曲线两个共轭直径上的正方形之差等于两个对称轴上的正方形之差．命题31．椭圆或双曲线的两条共轭直径所构成的平行四边形(以其交角为内角)等于两条对称轴所构成的矩形． 2我探究的这一特性是在抛物线、椭圆和双曲线上讨论的——过圆锥曲线的焦点，做一条弦与圆锥曲线相交，则由焦点分割弦得到的两段线段长度的倒数之和，与圆锥曲线离心率和焦点到相应准线的距离相乘的倒数的两倍；但是对于双曲线，当这两个交点分别位于两支上面的时候，之和应该改为之差。这样说来可能比较抽象，那么用数学表达式来说明一下。设m和n是焦点分割弦形成的线段的长度，e代表圆锥曲线的离心率，p代表焦点到相应准线的距离，则有112mnep+=恒成立，对于交点位于两支上的弦，满足112mnep?=的关系。换句话说，焦点分割弦得到的线段长度的倒数之和或者之差是一个定值，只与圆锥曲线有关系，而与点在圆锥曲线的位置没有关系。这给我们什么启示呢 3用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。因此托勒密定理得证。 1．第二定义的统一性圆的准线在∞,0=e. 2．极坐标方程的统一性3．曲线上一点光学性质的统一性椭圆：点光源在一个焦点上，光线通过另一个焦点。双曲线：点光源在一个焦点上，反射光线与另一焦点到反射点的连线在同一条直线上。抛物线：点光源在焦点上，反射光线相互平行且垂直于准线。具体应用：探照灯4．一般弦长公式具有统一性5．过焦点弦长公式具有统一性6．过曲线上一点切线方程的统一性7．直径所对周角之斜率乘积的统一性8．焦点弦端点切线的交点轨迹的统一性9．过焦点且和焦点弦垂直的的直线和焦点弦端点切线的关系统一性10．过非等轴双曲线曲线上一点做互相垂直弦共有的性质11．过曲线上一点做倾斜角互补直线所成弦而具有共有的性质12．内部焦点弦被焦点分成两个焦半径倒数和为定值13．圆锥曲线内部外部点代入方程后不等式符号的统一性14．过同一焦点两任意焦点弦AB和CD，AC和BD交点轨迹统一15．任意一弦BA延长交准线于E，则FE平分BFA外角16．任意一弦BA延长交准线于E，则FE平分BFA外角，又任意一弦AN延长交准线于Q，则FQ平分BFA外角后得到EFQ是直角17．过一个焦点交圆锥曲线于MN，做MN的垂直平分线交轴与P则离心率等于2PF/MN 18．二次曲线和二次曲线交于两点AB，联立两方程消X得0)(=YH,消Y得0)(=XG则AB为端点的圆的方程就是0)()(=+YHXG（必须先保证X和Y系数相同）19．若有弦AB,AB中点为),(00.yxP 则弦AB方程为0)2,2(),(00=???yyxxfyxf 20．圆锥曲线通径长统一为定值ep2 21．利用统一的圆锥曲线方程中判别式可以判断曲线类型22．F是焦点，E是F对应准线L和轴交点AD垂直L，BC垂直L 则有BD、AC同时平分线段EF（一组关系）23．F是焦点，E是F对应准线L和轴交点AB是过焦点F的弦，BC平行FE，N是线段 EF的中点，则BC

圆锥曲线与方程知识点详细

椭圆 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 22 1=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<

非圆曲线数学处理的一般方法

非圆曲线非圆曲线数学处理数学处理数学处理的一般的一般的一般方法方法方法数控系统一般只有直线和圆弧插补的功能，对于非圆曲线轮廓，只有用直线或圆弧去逼近它，“节点”就是逼近线段与非圆曲线的交点。一个已知曲线的节点数主要取决于逼近线段的形状（直线段还是圆弧段），曲线方程的特性以及允许的逼近误差。将这三者利用数学关系求解，即可求得一系列的节点坐标，并按节点划分程序段。以下简介常用的直线逼近及圆弧逼近的数学处理方法。 2.1 常用非圆曲线直线逼近方法常用非圆曲线直线逼近方法 2.1.1 等间距的直线逼近的节点计算这是一种最简单的算法。如图2.1所示，已知方程)(x f y =，根据给定的x ?求出i x ，求i x 代入)(x f y =即可求得一系列i y ，即为每个线段的终点坐标，并以该坐标值编制直线程序段。 X Y N M M ) (x f 图2.1 等间距逼近方法的原理图 x ?取值的大小取决于曲线的曲率和允许误差δ。一般先取1.0=?x 试算并校验。误差校验方法如图2.1中的右图所示，MN 为试算后的逼近线段，作''N M 平行于MN 且两直线的距离为允δ。根据节点的坐标可求得 MN 方程：0=++c by ax ，则''N M 的方程为22b a c by ax +±=+允δ 求解联立方程： ) (22x f y b a c by ax =+±?+＝允δ （2－1）如果无解，即没有交点，表示逼近误差小于允δ；如果只有一个解，即等间

距与轮廓线相切，表示逼近误差等于允δ；如果有两个或两个以上的解，表示逼近误差大于允δ，这时应缩小等间距坐标的增量值，重新计算节点和验算逼近误差，直至最大的逼近误差小于等于允δ。等间距法计算简单，但由于取定值x ?应保证曲线曲率最大处的逼近误差允许值，所以程序可能过多。用此种方法进行数学处理，它的逼近曲线与轮廓线的逼近误差参差不齐，程序明显增多，影响机床的加工效率，不适合大批量的加工，成本也比较高。 2.1.2 等弦长直线逼近的节点计算就是使所有逼近线段的长度相等，如图2.2所示。计算步骤如下： X Y ) (x f y = 允 δ 图2.2 等弦长逼近方法的原理图（1）确定允许的弦长：由于曲线各处的曲率不等，等弦长逼近后，最大误差max δ必在min R 处（设为图中的CD 段），则l 为允允）δδmin 2min 2 min 22(2R R R l ≈??= （2）求min R 。曲线)(x f y =任一点的曲率半径为 /y")y'(1R 3/22+= （2－2）取0/d =dx R ，即 0'")'1("'322=+?y y y y （2－3）根据)(x f y =求得'""'y y y 、、，并由式（2－3）求得x 值代入式（2－2）即得min R 。

圆锥曲线经典性质总结及证明

Gandongle 椭圆双曲线的经典结论一、椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF

圆与圆锥曲线的交汇性问题例析

圆与圆锥曲线的交汇性问题例析随着新课程标准的不断推进与深入，高考对解析几何的要求也随之发生了很大的变化，对圆的要求大大提高，对圆锥曲线的要求则相对降低.因此，近几年圆与圆锥曲线的交汇性问题渐渐成为高考的命题热点，此类问题不仅将圆的内容及性质纳于其中，也将对圆锥曲线的要求体现出来，是当前一种新的命题趋势.下面精选2014年高考中的部分试题并予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法. 1.圆与椭圆的交汇性问题图1例1（2014年陕西卷文20）如图1，已知椭圆 x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点（0，3），离心率为12，左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0）. （1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=-12x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|=534，求直线l的方程. 分析（1）构造关于a，b，c的方程组求解；（2）利用直线与圆的位置关系得|CD|，将直线方程与椭圆方程联立得方程组，利用根与系数的关系得|AB|，构造关于m的方程求m，进而得出直线l的方程. 解析（1）由题设知b=3，

ca=12， b2=a2-c2，解得a=2， b=3， c=1，∴椭圆的方程为x24+y23=1. （2）由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，∴圆心到直线l的距离d=2|m|5，由db>0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=32|F1F2|. （1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切. 求直线l的斜率. 分析（1）直接利用|AB|=32|F1F2|及椭圆中a，b，c之间的关系得到a，c的关系，进而求得离心率；（2）利用F1P?F1B=0求出P点坐标满足的条件，再由P点坐标满足椭圆的方程，求出P点坐标，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求解. 解析（1）设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0）. 由|AB|=32|F1F2|，可得a2+b2=3c2. 又b2=a2-c2，则c2a2=12，所以，椭圆的离心率e=22. （2）由（1）知，a2=2c2，b2=c2，故椭圆方程为 x22c2+y2c2=1.

高考数学圆锥曲线与方程解题技巧方法总结

圆锥曲线与方程解题技巧方法总结学习目标：熟悉并掌握常见的圆锥曲线的解题方法：定义法、参数法、待定系数法、点差法等重点难点：数形结合、函数与方程、转化与划归等解题思想的应用题型一圆锥曲线定义的应用规律与方法： 1、圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略． 2、研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．例1 若点M (2,1)，点C 是椭圆x 216＋y 2 7 ＝1的右焦点，点A 是椭圆的动点，则|AM |＋|AC |的最小值是________ 跟踪训练1 已知椭圆x 29＋y 2 5 ＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点，求|PA |＋|PF 1|的最大值．

题型二有关圆锥曲线性质的问题规律与方法有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．例2 已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2 3n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 ( ) A ．x ＝±152y B ．y ＝± 152x C ．x ＝±34y D ．y ＝±34x 跟踪训练2 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2 9 ＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．题型三直线与圆锥曲线位置关系问题规律与方法： 1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行． 2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题． 3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等．例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆C 的方程； (2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为 32 ，求△AOB 面积的最大值．

非圆曲线的逼近讲解

课程课程设计任务设计任务设计任务用计算机高级编程语言(如VB,VC++等)来实现非圆曲线的逼近,可任选直线逼近(等间距法、等弦长法、等误差法等)或圆弧逼近. 要求在满足允许误差的前提下, 使得逼近的直线段或圆弧段数的数量最少(即最优解). 要求如下: (1) 列出一般的直线或圆弧逼近的算法(流程图). (2) 列出改进的直线或圆弧逼近的算法(流程图)—即优化算法. 比较改进前与改进后的两种算法结果 . (3) 针对任意给定的某一由非圆曲线所构成的平面轮廓, 根据指定的走刀方向、起刀点 ,自动生成CNC 代码 . (4) 在屏幕上显示该非圆曲线所构成的平面轮廓 . 软件设计过程软件设计过程非圆曲线的逼近算法及程序设计非圆曲线的逼近算法及程序设计 1．等间距的直线逼近的节点等间距的直线逼近的节点算法算法算法已知方程y=f(x), 根据给定的△x 求出x i , 将x i 代入y=f(x)即可求得一系列y i . x i 、y i 即为每个线段的终点坐标 ,并以该坐标值编制直线程序段. △x 的大小取决于曲线的曲率和允许误差δ . 一般先取△x=0.1试算并校验 . 误差校验方法如下 : 如图, MN 为试算后的逼近线段, 作MN

平行于MN且两直线距离为δ允. 图1 等间距逼近根据节点的坐标可求得MN方程: ax+by+c=0 则ax+by=c±δ允√a⌒2+b⌒2 求解联立方程: δ允=(ax+by-c)/ ±√a⌒2+b⌒2 y=f(x) 如果无解,即没有交点,表示逼近误差小于δ允;如果只有一个解, 即等距线与轮廓线相切, 表示逼近误差等于δ允; 如果有两个或两个以上的解, 表示逼近大于δ允, 这时应缩小等间距坐标的增量值, 重新计算节点和验算逼近误差, 直至最大的逼近误差小于或等于δ允.

圆锥曲线经典性质总结及证明

圆锥曲线的经典结论一、椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. （中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF

9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕 10. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。（点差法） 11. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.（点差法） 12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.（点差法）二、双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.（同上） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（同上） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.（同上） 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）（同上） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.（同上） 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是 00221x x y y a b -=.（同上）

老师专属二次曲线上的四点共圆问题解题研究第二境界(下篇)

次曲线上的四点共圆问题的完整结论

第12讲 圆与圆锥曲线综合

高考圆锥曲线压轴题型汇总

专题直线与圆、圆锥曲线知识点

课题名称非圆二次曲线的车削加工

老师专属二次曲线上的四点共圆问题解题研究第二境界(下篇)

圆锥曲线 直与圆锥曲线的位置关系

最新学习情境10非圆二次曲线类零件的车削加工描述

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

与圆锥曲线焦点三角形相关的圆专题

圆锥曲线的特殊性质

圆锥曲线与方程知识点详细

非圆曲线数学处理的一般方法

圆锥曲线经典性质总结及证明

圆与圆锥曲线的交汇性问题例析

高考数学圆锥曲线与方程解题技巧方法总结

非圆曲线的逼近 讲解

圆锥曲线经典性质总结及证明

第12讲圆与圆锥曲线综合

圆锥曲线直与圆锥曲线的位置关系

非圆曲线的逼近讲解