电路信号与系统

12
3. 耦合电感上的电压、电流关系
当i1、 i2为时变电流时，磁通链也将随时间变化，从而 在线圈两端产生感应电压u1、 u2 。 当i1、 i2、 u1、u2方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感 应定律和楞次定律， u1、u2 分别由两部分组成：
di1 di2 d 1 d( 11 12 ) d(L1 i1 Mi2 ) L1 M u1 dt dt dt dt dt
2.理想变压器的主要性能
（1）变压关系
+ u1 _ *
n:1
* + u2 _
k 1
1 2 11 22
d 1 d u1 N1 dt dt
d 2 d u2 N2 dt dt
若 n:1
理想变压器模型
u1 N 1 n u2 N 2
+ u1 _
3.耦合电感的T型等效
（1）同名端为共端的T型去耦等效


I1
j M * *

I2
2 jL2
I1
I2
2 j(L2-M) jM 3

1 j(L1-M)
1 jL1

3

I

I

U 13 jL1 I 1 jM I 2 jω( L1 M ) I 1 jM I
是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。 当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。
1. 空心变压器电路

I1

R1
j M *
R2

+ –
j L1
* j L2
I2
Z=R+jX
US
副边回路 原边回路
2 理想变压器的三个理想化条件
理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的 理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。
线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通 11 ，称为自感磁通 线圈2中通入电流i2时, 产生的磁通会有部分或全部穿过线圈1 这部分磁通 12称为互感磁通。 所以线圈1中的磁通由两部分组成，一部分是自身产生的 另一部分是线圈2对它的影响产生的。
11
12
i1
N1
i2
N2
载流线圈通过彼此的磁场相互联系的物理现象 1 磁耦合：
Ri L di dt
R R1 R2
L L1 L2 2 M
（2）反接串联
i + + R1 L1 u1 M – + u L2 R2
去耦等效电路
+
i R
*
* u2
– –
u –
L
u R1i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt
3

I

I

U 13 jL1 I 1 jM I 2 jω( L1 M ) I 1 jM I

U 23 jL2 I 2 jM I 1 jω( L2 M ) I 2 jM I

I I1 I 2



10.3
理想变压器
变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接电源， 另一线圈接负载。
同样线圈2中的的磁通链也由两部分组成
2 22 21 L2 i2 M 21i1
称M12和M21为互感系数，单位亨利（H）
注 （1）M值与线圈的形状、几何位置、磁介质有关，与
线圈中的电流无关，一般满足M12=M21 （2）L总为正值，M值有正有负。
11
i1 N1 + u1 i2 N2 + u2 -
M
di1 di2 u L1 M dt dt di2 di1 u L2 M dt dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
i2
*
L2
( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt
等效电感：
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
*
*
+ u2 _
u1 N1 n u2 N2
（2）变流关系
i1
+ u1 _ * L1
n:1 M * L2
i2 + u2 _
di1 di2 u1 L1 M dt dt 1 t 0 M i1 ( t ) 0 u1 ( )d L1 i2 (t ) L1
考虑到理想化条件： L 1
i1
u11
对于自感电压，由于电压电流为同一线圈上的，只需 参考方向确定，其数学描述便可容易地写出，而不用考虑 线圈绕向。
对于互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因 此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路 分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端和异名端 的概念。
同名端
当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时 流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这 两个对应端子称为两个互感线圈的同名端。
解得u, i 的关系： i
M i1 * L1
* i2 L2
i = i1 +i2
去耦等效电路
+ u –
i + u –
( L1 L2 M ) di u L1 L2 2 M dt
2
Leq
等效电感：
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
（2） 异侧并联
i + u – i1 * L1
3 2Βιβλιοθήκη 1i1*
N1
i2
△
N2
i3
N3
△
*
注意：线圈的同名端必须两两确定。
由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再 考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。
M * i1 M * i1 * + u21 –
di1 u21 M dt
di1 u21 M dt
u1
–
u2
–
i1 1 i2 n
1 p u1i1 u2 i2 u1i1 u1 ( ni1 ) 0 n
表明：
（a）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信
号和能量的作用。
（b）理想变压器是无记忆的多端元件。
k 1 M L1 L2
L2 N 2 1 M L1 L1 N1 n
1 i1 ( t ) i2 ( t ) n
1 i1 ( t ) i2 ( t ) n
若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：
（3）变阻抗关系



I I11
n:1
* *
I2
I I11
第十章 含有耦合电感的电路
耦合电感元件属于多端元件，在实际电 路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振 荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦 合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌 握包含这类多端元件的电路问题的分析方法 是非常必要的。
10.1
11
互感
12
i1
N1
i2
N2
两线圈间有磁的耦合。
* –
u21 +
例
+ u1 _
i1 * L1
M * L2
i2
i1
M * L1
i2
+ u2 _
+ u1 _
L2 *
+ u2 _
u1 L1
di1 di M 2 dt dt
di1 di2 u1 L1 M dt dt
di1 di2 u2 M L2 dt dt
di1 di2 u2 M L2 dt dt
自感电压 互感电压
同理，线圈2两端的电压为
di2 di1 d 2 d( 22 21 ) d(L2 i2 Mi1 ) L2 M u2 dt dt dt dt dt di1 di2 d 1 d( 11 12 ) d(L1 i1 Mi2 ) L1 M u1 dt dt dt dt dt
去耦等效电路 i + + R1 L1 u1 M – +* u L2 R2 u2 – – + R u – L
i
*
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di dt
（1）无损耗 （2）全耦合 （3）参数无限大
线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的 磁导率无限大。
k 1 M L1 L2
L1, L2 , M , 但 L1 L2 N 1 N 2 n
以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工 程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器 对待，可使计算过程简化。
( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di dt Ri L di dt
R R1 R2
L L1 L2 2 M
L L1 L2 2 M 0
2. 耦合电感的并联
（1）同侧并联
di1 di2 u L1 M dt dt
di2 di1 u L2 M dt dt
2 自感磁通链和互感磁通链：
对线圈1来说， 磁通 11在交链自身的线圈时产生的磁通链Ψ11 称为自感磁通链 磁通 12在交链线圈1时的产生的磁通链Ψ12 称为互感磁通链
11 12
i1 N1 i2 N2
所以线圈1中的磁通链Ψ1由自感磁通链Ψ11和互感磁通链Ψ12组成