数值逼近：插值(1)
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
数值逼近知识点总结
数值逼近知识点总结一、基本概念1.1 逼近误差在数值逼近中，我们通常会用逼近值来代替某个函数的真实值。
这个逼近值和真实值之间的差称为逼近误差，通常表示为ε。
逼近误差可以分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指逼近值与真实值之间的差值，表示为|f(x)-Pn(x)|。
相对误差是指绝对误差与真实值的比值，表示为|f(x)-Pn(x)|/|f(x)|。
通常情况下，我们希望逼近误差越小越好。
1.2 逼近多项式在数值逼近中，我们通常会用一个多项式来逼近某个函数。
这个多项式通常称为逼近多项式，记为Pn(x)，其中n表示多项式的次数。
逼近方法的目的就是找到一个逼近多项式，使得它可以尽可能地接近原函数。
1.3 逼近点在进行数值逼近的过程中，逼近点的选择对逼近结果有很大的影响。
通常情况下，我们会选择一些离散的点，然后通过这些点来构造逼近多项式。
这些点通常称为逼近点，记为(xi, yi)。
1.4 逼近方法数值逼近的方法有很多种，常见的包括插值法、最小二乘法、迭代法等。
这些方法各有特点，适用于不同的逼近问题。
在接下来的篇幅中，我将详细介绍这些方法的原理和应用。
二、插值法2.1 基本概念插值法是数值逼近中常用的一种方法，它的基本思想是通过已知的数据点来构造一个插值多项式，然后用这个多项式来逼近原函数。
插值法的优点是可以通过已知的数据点来精确地确定逼近多项式。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种通过拉格朗日基函数来构造插值多项式的方法。
假设给定n+1个互不相同的插值点(xi, yi)，我们要求一个n次多项式Pn(x)，满足条件Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)。
那么Pn(x)的表达式为：\[Pn(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+...+ynLn(x)\]其中Li(x)为拉格朗日基函数，表达式为：\[Li(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^n\frac{x-xi}{xi-xj}\]拉格朗日插值法的优点是简单易懂，容易编程实现。
数值分析第五章插值法
数值分析第五章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，它的目的是通过已知数据点之间的插值多项式来逼近未知数据点的函数值。
插值法可以在信号处理、图像处理、计算机图形学等领域中广泛应用。
在插值法中，最常用的方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是一种利用拉格朗日插值多项式来逼近函数的方法。
对于n个已知数据点(xi, yi)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = ∑(yi * li(x))其中，li(x)表示拉格朗日基函数，定义为：li(x) = ∏[(x - xj)/(xi - xj)] (j≠i)可以证明，在给定的n个数据点上，拉格朗日插值多项式L(x)满足：L(xi) = yi牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来逼近函数。
对于n个已知数据点(xi, yi)，差商可以定义为：f[xi] = yif[xi, xi+1] = (f[xi+1] - f[xi]) / (xi+1 - xi)f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)通过差商的递归定义，可以得到牛顿插值多项式N(x)的表达式，其中：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...与拉格朗日插值法类似，牛顿插值多项式N(x)也满足：N(xi) = yi这两种插值方法都有自己的优点和缺点。
拉格朗日插值法简单易懂，计算量小，但当数据点较多时，多项式的次数会很高，容易出现龙格现象。
而牛顿插值法可以通过求差商一次次递推得到插值多项式，计算效率较高，且具备局部逼近性，不易出现龙格现象。
除了拉格朗日插值法和牛顿插值法，还有其他插值方法，如分段线性插值、样条插值等。
分段线性插值是利用线性多项式逼近函数，将数据点之间的区间分为若干段，每段内使用一条线性多项式进行插值。
多项式插值与数值逼近理论
多项式插值与数值逼近理论多项式插值和数值逼近是数学分析领域中重要的数值计算方法，在科学计算、数据处理和图像处理等领域具有广泛应用。
本文将介绍多项式插值和数值逼近的基本概念、方法和应用。
一、多项式插值多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数，使该函数在给定点处的函数值与真实值尽可能接近的方法。
插值多项式通过在已知数据点之间“填充”适当的多项式函数，从而实现对未知函数的近似估计。
1.1 基本定义给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，其中x0<x1<...<xn，多项式插值的目标是找到一个n次多项式 P(x)，使得P(xi) = yi 对于所有的 i=0,1,...,n 成立。
1.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式是一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，拉格朗日插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( yi * li(x) )其中li(x) = ∏[j=0,n,j≠i]( (x-xj)/(xi-xj) )，称为拉格朗日基函数。
1.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式是另一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，牛顿插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( ci * Ni(x) )其中Ni(x) = ∏[j=0,i-1]( x-xj )，ci 是插值节点上的差商。
二、数值逼近数值逼近是一种利用已知数据点来估计未知函数的方法，数值逼近的目标是找到一个函数近似值，使其与真实值之间的差别尽可能小。
数值逼近可以通过多项式逼近、三角函数逼近等方法实现。
2.1 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常用的数值逼近方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，最小二乘逼近的目标是找到一个 m 次多项式 P(x)，使得P(x) = ∑[i=0,m]( ai * φi(x) )，其中 ai 是待确定的系数，φi(x) 是 m 个已经确定的基函数。
数值逼近方法在工程计算中的应用
数值逼近方法在工程计算中的应用数值逼近方法是数学中一种重要的方法，它在工程计算中也有广泛的应用。
本文将从数值逼近方法的概念、分类及应用三个方面进行探讨。
一、数值逼近方法的概念数值逼近方法是数值计算中一种利用数值计算机来求函数近似值的方法。
它利用多项式或分段多项式来逼近原始函数，以此达到一定的精度要求。
通常数值逼近方法分为插值法和最小二乘法两种类型。
插值法即将原始函数y=f(x)转化为插值函数y=P(x)，P(x)是一定次数的多项式。
而最小二乘法是指找到一条拟合曲线，使得拟合曲线与原始函数之间误差平方和最小。
二、数值逼近方法的分类插值法是数值逼近方法中的一种重要方法，它可分为拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值等几种。
拉格朗日插值是最基础的插值方法，其算法步骤简单，但随着数据点数量的增多，误差也会增大。
牛顿插值和拉格朗日插值不同之处在于，牛顿插值是利用差商的形式求解插值多项式。
而埃尔米特插值是一种利用原函数值及导数值确定多项式系数的方法，可以使插值函数逼近基函数的导数值。
另外，最小二乘法也是数值逼近的一种重要方法。
最小二乘法常用于数据拟合，可分为线性回归和非线性回归。
线性回归是利用最小二乘法求解一条直线拟合数据，而非线性回归则需要寻找一条曲线来拟合数据。
当数据点数量较多时，非线性回归的计算量也会大大增加。
三、数值逼近方法的应用数值逼近方法在工程计算中有广泛的应用，例如：（1）机械工程。
在机械工程中，数值逼近方法可用于机械件的设计及机械系统分析。
例如，在机械结构优化中，可以利用最小二乘法对不同材质的性能指标进行拟合，以寻找最优方案。
（2）电子工程。
在电子工程中，数值逼近方法用于电路分析及优化。
例如，在电路分析中，可以利用插值法求解未知信号的值，以分析电路的性能。
（3）土木工程。
在土木工程中，数值逼近方法用于土地测量及结构分析。
例如，在土地测量中，可以利用插值法及最小二乘法对地形数据进行拟合，以进行精确的地形分析。
数值分析期末考卷
数值分析期末考卷一、选择题（每题4分，共40分）A. 插值法B. 拟合法C. 微分法D. 积分法A. 高斯消元法B. 高斯赛德尔迭代法C. 共轭梯度法D.SOR方法3. 下列哪个算法不是求解非线性方程的方法？A. 二分法B. 牛顿法C. 割线法D. 高斯消元法A. 梯形法B. 辛普森法C. 高斯积分法D. 复化求积法A. 欧拉法B. 龙格库塔法C.亚当斯法D. 高斯消元法A. 幂法B. 反幂法C. 逆迭代法D. QR算法A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 共轭梯度法D. 高斯消元法A. 拉格朗日插值法B. 牛顿插值法C. 埃尔米特插值法D. 分段插值法A. 前向差分法B. 后向差分法C. 中心差分法D. 拉格朗日插值法A. 牛顿法B. 割线法C. 雅可比迭代法D. 高斯消元法二、填空题（每题4分，共40分）1. 数值分析的主要任务包括数值逼近、数值微积分、数值线性代数和______。
2. 在求解线性方程组时，迭代法的收敛速度与______密切相关。
3. 牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} = x_k f(x_k)/______。
4. 在数值积分中，复化梯形公式的误差为______。
5. 求解常微分方程初值问题，龙格库塔法的阶数取决于______。
6. 矩阵特征值的雅可比方法是一种______方法。
7. 梯度下降法在求解无约束优化问题时，每次迭代的方向为______。
8. 拉格朗日插值多项式的基函数为______。
9. 数值微分中的中心差分公式具有______阶精度。
10. 在求解非线性方程组时，牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} =x_k J(x_k)^{1}______。
三、计算题（每题10分，共60分）1. 给定数据点（1，2），（2，3），（3，5），（4，7），求经过这四个数据点的拉格朗日插值多项式。
2. 用牛顿迭代法求解方程x^3 2x 5 = 0，初始近似值为x0 = 2，计算前三次迭代结果。
数值分析与计算方法的基本原理
数值分析与计算方法的基本原理数值分析与计算方法是一门涉及数学、计算机科学和工程学的学科，主要研究如何利用数值计算的方法解决实际问题。
本文将从数值分析和计算方法的基本原理两个方面进行论述。
一、数值分析的基本原理数值分析的基本原理是通过数学方法对实际问题进行近似计算，以获得问题的数值解。
它主要涉及数值逼近、数值积分、数值微分和数值代数等方面。
1. 数值逼近数值逼近是指通过一系列已知的数值来近似表示一个函数或者数值。
其中最常用的方法是插值和拟合。
插值是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些点上与原函数值相等；拟合是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些点上与原函数的差别最小。
插值和拟合可以用于曲线拟合、数据预测等问题。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算的方法对函数的积分进行近似计算。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。
这些方法通过将积分区间划分成若干小区间，在每个小区间上用简单的数值计算方法来估计积分值，然后将这些估计值相加得到近似的积分值。
3. 数值微分数值微分是指通过数值计算的方法对函数的导数进行近似计算。
常用的数值微分方法有有限差分法和微分拟合法。
有限差分法通过计算函数在某一点的前后差值来估计导数的值；微分拟合法通过在某一点附近构造一个拟合函数，然后计算该函数的导数来估计原函数的导数。
4. 数值代数数值代数是指通过数值计算的方法解决线性代数方程组、非线性方程和矩阵特征值等问题。
常用的数值代数方法有高斯消元法、迭代法和特征值分解等。
这些方法通过将复杂的代数问题转化为简单的数值计算问题来求解。
二、计算方法的基本原理计算方法是指利用计算机进行数值计算的方法，它主要涉及数值计算软件、算法设计和计算机编程等方面。
1. 数值计算软件数值计算软件是指专门用于进行数值计算的软件工具，如MATLAB、Python的NumPy库和SciPy库等。
这些软件提供了丰富的数学函数和数值计算工具，方便用户进行各种数值计算操作。
数值分析实验报告1
p
得到m=(00)T
即M0=0 ;M1=;M2=;M3=;M4=0
则根据三次样条函数定义，可得：
S(x)=
接着，在Command Window里输入画图的程序代码，
下面是画牛顿插值以及三次样条插值图形的程序：
x=[ ];
y=[ ];
plot(x,y)
hold on
for i=1:1:5
y(i)= *(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)
Pn=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+ f[x0,x1,x2](x-x0) (x-x1)+···+ f[x0,x1，···xn](x-x0) ···(x-xn-1)
我们要知道牛顿插值多项式的系数，即均差表中得部分均差。
在MATLAB的Editor中输入程序代码，计算牛顿插值中多项式系数的程序如下：
【实验原理】
《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的相应算法和相关性质。
【实验环境】（使用的软硬件）
软件：
MATLAB 2012a
硬件：
电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑
操作系统：Windows 8 专业版
处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @
实验内容：
【实验方案设计】
第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。
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§2 Lagrange Polynomial
Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
y
10.5 -
下面哪个是 l2(x)的图像？
y
10.5 -
A
10.5 -
y
C
0 -0.5 -
1
2
3
4
5
6
x
0 -0.5 -
1
2
3
4
5
6
x
0 -0.5 -
1
2
3
4
5
6
x
例：已知
§1 Introduction
如：通常用代数多项式或分段代数多项式作为 p( x) ,并使
) p ( x i ) f ( x i ) 对 i 0 ,1 , , n成立。这样确定的 p( x 就
是我们希望得到的插值函数。
f ( x)
p(x) f(x)
p( x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
插值法定义
第二章 插值
§1 引 言
/* Interpolation */
许多实际问题都用函数 y f ( x)来表示某种内在规 律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测 得到的。得到的只是 [ a , b ] 上一系列点 x i 的函数值 y i f ( x i )( i 0 ,1, , n ) 这只是一张函数表。有的函数虽有解析表达式，但由于 计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，比如平 方根表、立方根表、对数表和三角函数表等等。为了研 究函数的变化规律，往往需要求不在表上的函数值。因 此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数 f (x) 近似 f ( x)。 的特性，又便于计算的简单函数 p( x) ,用 p( x)
插值余项 /* Remainder */ 设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C [a, b] , f ( n 1 )在[a , b]内存在, 考察截断误差 R ( x) f ( x) L ( x) n n
n
Rn ( x) K ( x) ( x xi ) R n+1 个零点 n(x) 至少有 ( x0 ) ( x 1 ) 0 ，则 Rolle’s Theorem: 若 ( x ) 充分光滑， i 0 n ( x0 , x1 ) 使得 ( ) 0 。 ( t ) 存在 任意固定 x xi (i = 0, …, n), 考察 Rn ( t ) K ( x ) ( t x i ) 0 0 ( x0 , x1 ), 1 i ( x1 , x2 ) 推广：若 ( x0 ) ( x1 ) ( x2 ) 0 ( n 1) (t)有 n+2 个不同的零点 x … x x ( x ) 0 , ) (a , b ) 0 n ( 0 , 1 ) 使得 ( x0 使得 ( 0 ) ( 1 ) 0
sin 1 , sin 1 , sin 3 6 2 4 3 2 2
§2 Lagrange Polynomial
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 5 并估计误差。 50 0 解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
( 2 .1 )
成立，就称 p( x)为 f ( x)的插值函数，点 x0 , x1 , x n 称为 插值节点，包含插值节点的区间 [a, b] 称为插值区间， （2.1）称为插值条件，求插值函数 p( x)的方法称为插值法。 若p( x)为次数不超过 n的代数多项式，即 其中 a n为实数，就称 p( x) 为插值多项式，相应的插值法称 为多项式插值。若 p( x) 为分段多项式，就是分段插值。若 p( x) 为三角多项式，就称为三角插值。
(x xj ) li ( x ) ( xi x j ) ji
n j 0
Ln ( x )
l ( x) y
i0 i
n
i
§2 Lagrange Polynomial
特别地，一点零次插值多项式为
Ln ( x) y0
两点一次插值（线性插值）多项式为
x x0 x x1 y0 y1 L1 ( x ) x 0 x1 x1 x 0
设函数 y f ( x)在区间 [ a , b ]上有定义，且 已知在点 x 0 , x 1 , , x n上的值 y 0 , y1 , , y n 若存在一简单函数 p( x)，使
p( xi ) yi ,
i 0 ,1, 2 , n
§1 Introduction
a x0 x1 xn b
§1 Introduction
其系数行列式为
n 2 1 x0 x0 x0
n 2 1 x1 x1 x1 Vn ( x0 , x1 ,, xn ) 2 n 1 xn xn xn
式中V n ( x 0 , x 1 , , x n ) 称为Vandermond行列式。 利用行列式性质可得 n i1
=
x x1 x 0 x1
y0 +
x x0 x1 x 0
y1 l i ( x ) y i
i 0
1
l0(x)
l1(x)
§2 Lagrange Polynomial The mathematician S. had to move to a new place. His wife didn't trust him very much, so when they stood down on the street with all their things, she asked him to watch their ten trunks, while she got a taxi. Some minutes later she returned. Said the husband: "I thought you said there were ten trunks, but I've only counted to nine!" The wife said: "No, they're TEN!" "But I have counted them: 0, 1, 2, ..."
条件：无重合节点，即 i j
xi x j
n = 1 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1 ( x ) l 0 ( x ) y 0 l 1 ( x ) y 1 使得 L 1( x0 ) y 0 , L1 ( x1) y 1 可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。 y1 y 0 L1 ( x ) y0 ( x x0 ) x1 x 0
p( x) a0 a1 x an x n
(2.2)
§1 Introduction
插值多项式的存在唯一性 设 p(x) 是形如 (2.2) 的插值多项式，用 H n 代表所有次 数不超过 n 的多项式集合，于是 P ( x ) H n .所谓插值多项 式 p( x) 存在且唯一，就是指在集合 H n中有且只有一个 p(x) 满足插值条件p ( x i ) y i , i 0 ,1 , n。 由插值条件可得
§1 Introduction
定理 (唯一性) 满足 P ( x i )
的插值多项式是唯一存在的。 证明： (另一证法）
y i , i 0 , ... , n 次数不超过 n
反证：若不唯一，则除了pn(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Ln(x) 满足 Ln(xi) = yi 。 考察 Qn ( x) Pn ( x) Ln ( x) , 则 Qn 的次数 n 而 Qn 有 n + 1个不同的零点 x0 … xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 P ( x ) Pn ( x ) p ( x ) ( x x i ) 也是一个插值
i0 n
多项式，其中 p( x )可以是任意多项式。
§2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
求 n 次多项式 Ln ( x ) y0 l 0 ( x ) y1 l1 ( x ) yn l n ( x ) 使得
Ln ( x i ) y i , i 0,1, , n
, x1
18
利用 x0
L1 ( x ) x / 4 1 x / 6 1 6 4 / 6 / 4 2 / 4 / 6 2 sin 50 0 L1 ( 5 ) 0.77614 这里 f ( x) sin x , f (2) ( x ) sin x , x ( , ) 18 6 3 ( 2) f ( x ) ( x )( x ) 而 1 sin x 3 , R1 ( x) 2 2 2! 6 4 0.01319 R1 ( 5 ) 0.00762 sin 50 = 0.7660444… 18 外推 /* extrapolation */ 的实际误差
n1 li(x)
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Ln ( x )
l (x) y
i 0 i
n
i
，则显然有Ln(xi) = yi 。
每个 li 有 n 个零点 x0 … xi … xn n f 节点 li ( x) Ci ( x x0 )...(x xi )...(x xn ) Ci ( x x j ) ji j 0 1 li ( xi ) 1 Ci j i ( xi x j )