题目：傅里叶级数
数学本科毕业论文傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用
本科生毕业论文（申请学士学位）论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用作者姓名刘军专业名称数学与应用数学指导教师许志才/ 张玲2014年6月学生：（签字）学号：2012220146论文答辩日期：2014年x月xx日指导教师：（签字）目录摘要： 0关键词 0Abstract 01绪论 (1)2傅里叶级数的概念 (1)2.1周期函数 (2)2.2傅里叶级数的定义 (2)3 傅里叶变换的概念及性质 (10)3.1傅里叶变换的概念 (10)3.2傅立叶变换的性质 (11)4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 (12)5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 (12)5.1傅里叶级数的应用 (12)5.2傅里叶变换的应用 (13)参考文献 (14)傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。
除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。
傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。
很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。
在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。
关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性Fourier series And Fourier TransformsAbstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms.Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transformas a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications.Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features.Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic1绪论傅里叶级数是法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出来的，从而极大的推动了偏微分方程理论的发展，在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
傅里叶级数
Fourier与小波变换发展概况 与小波变换发展概况
1822年Fourier变换 在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。 年 变换,在频域的定位最准确 变换 在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确， δ 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持 变换， 年 变换 ， 固定不变。不构成正交基。 固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编码 提出金字塔式图像压缩编码， 年 提出金字塔式图像压缩编码 子带编码(subband coding),多采 多采 样率滤波器组(multirate 样率滤波器组(multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 提出规范正交基。 年 提出规范正交基 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波函数的存在。 系进行改进， 年 对 系进行改进 证明了小波函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波 年 提出了连续小波 1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出离散的小波基 年 提出离散的小波基 1986年,Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基， 证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基， 年 证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基 证明了小波的自正交性。 证明了小波的自正交性。 1987年,Mallat统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法。 统一了多分辨率分析和小波变换， 年 统一了多分辨率分析和小波变换 给出了快速算法。
a0 ∞ 下面推到假设： 下面推到假设： + ∑ | an | + | bn | 收敛 2 n =1
成人高考数学复变函数与积分变换考核试卷
D. L{sin(at)} = a/(s²+a²)
（）
6.对于傅里叶变换，以下表述正确的是（）
A.傅里叶变换是一种积分变换
B.傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号
C.傅里叶变换具有线性性质
D. A、B、C都正确
（）
7.以下关于复变函数积分变换的表述，正确的是（）
B. f(z)在z=0处的解析延拓与f(z)在z=0处的解析性质有关
C. f(z)在z=0处的解析延拓的收敛域与f(z)在z=0处的解析性质有关
D. A、B、C都正确
（）
16.以下关于积分变换的表述，正确的是（）
A.积分变换是一种线性变换
B.积分变换可以解决微分方程初值问题
C.积分变换可以简化计算过程
8.拉普拉斯变换可以解决微分方程的初值问题。（）
9.在复变函数中，任何连续函数的积分都是路径无关的。（）
10. Z变换是复变函数积分变换的一种，常用于控制理论。（）
五、主观题（本题共2小题，每题10分，共20分）
1. (10分)请说明复变函数解析的概念，并给出两个解析函数的例子。
2. (10分)请解释傅里叶级数的概念，并说明其在信号处理中的应用。
A.函数在整个复平面上解析
B.函数在一个单连通区域内解析
C.函数在一个多连通区域内解析，但积分路径不包围任何奇点
D.函数在一个多连通区域内解析，积分路径包围了奇点
（）
13.以下哪些是复变函数的应用领域？（）
A.量子力学
B.电路分析
C.流体力学
D.数论
（）
14.关于积分变换的性质，以下哪些是正确的？（）
浅析傅立叶级数的性质及其应用-郭海山
河南科技学院2014届本科毕业论文（设计）论文题目：浅析傅立叶级数的性质及其应用学生姓名：***所在院（系）：数学科学学院所学专业：数学与应用数学导师姓名：张振亮完成时间：2014年5月1日浅析傅立叶级数的性质及其应用摘要傅立叶级数理论经历了近两百年的发展后已经成为现代数学的核心研究领域之一。
一方面，它与偏微分方程论、复变函数论、概率论、代数及拓扑等许多数学分支都有密切关系。
另一方面，它是工程技术、经典物理及量子力学等学科中的重要工具，它在热学、光学、电磁学、医学、空气动力学、仿生学、生物学等领域都有广泛的应用。
傅立叶级数理论的产生是数学发展史上的重大事件。
它的产生彻底平息了关于弦振动问题的争论，同时引领数学分析走向严格化。
傅立叶级数越来越广泛应用在各个学科领域中，也越来越广泛应用到了实际社会生活的各个领域中。
关键词：傅立叶级数，运算，性质，应用Analysis The Propertiesand Application 0fFourier SeriesAbstractFourier series theory afternearly two hundred yearsof development has become one of the core research fieldof modern mathematics. On the one hand, thereare very closerelationship between it with theory of partial differential equations, complex function theory, probability theory, algebraic topology, and many otherbranchs of mathematics. On the otherhand, it is an important tool in classic physi cs and quantum mechanics, engineering technology, also, it have a wide rangeof applications in thermodynamics, optics, electromagnetism, medicine, aerodynamics, bionics, biology and otherfields. The generationof Fourier series theory is a majoreventin the histo ry of the development of mathematics. The appear anceof Fourier series completelysettled the argument over of string vibration probl em, at the same time, lead to the normal izati on of mathematical analysis. Fourier series is more and more widely used in various disciplines, and is beingmore and more widely applied to each fieldof the actual social life.Keyword：Fourier Series , Operation , Property , Application目录1.引言............................................................错误！未定义书签。
高等数学基础与应用考核试卷
C. f(x) = e^(-x)
D. f(x) = 1/x (x ≠ 0)
8.关于泰勒公式，以下哪些说法是正确的？（）
A.它给出了函数在某一点的近似表示
B.它的余项Rn(x)随n的增大而减小
C.它在x远离展开点时仍然有效
D.它可以用来求解微分方程
9.以下哪些条件可以保证一个级数是收敛的？（）
12.行列式det(A)表示矩阵A的（）。
A.体积
B.面积
C.行数与列数的乘积
D.奇偶性
13.拉格朗日插值多项式的形式是（）。
A. L(x) = Σ[ypi(x - xj)/(xi - xj)]
B. L(x) = Σ[yj*pi(x - xi)/(xj - xi)]
C. L(x) = Σ[ypi(xj - x)/(xi - xj)]
D. L(x) = Σ[yj*pi(x - xj)/(xi - xj)]
14.若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f(x)在[a, b]上的定积分为（）。
A.正数
B.负数
C.零
D.取决于a, b的值
15.假设函数f(x)在点x=a处可导，若f'(a)=0，且f''(a)>0，则f(x)在点x=a处（）。
D. f(x) = |sin(x)|
14.在求解线性方程组时，以下哪些方法可以使用？（）
A.高斯消元法
B.克莱5.关于向量空间，以下哪些说法是正确的？（）
A.它是由一组向量构成的集合
B.它必须包含零向量
C.它必须对向量的加法和标量乘法封闭
D.它的维数等于其基的向量个数
7.矩阵A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)的行列式是______。
数字信号处理作业解答
数字信号处理作业解答作业题目1：确定下列信号的周期（1）()sin 0.1n π （2）()cos 0.3n π （3）()cos 0.10.2n π- （4）28j n eπ解：（1）由()()220sin 0.1=sin n n ππ，可知其周期为N =20 （2）由()()2cos 0.3=cos 3n n ππ⎡⎤⎣⎦，可知其周期为N =20（3）由()()220cos 0.10.2=cos 0.2n n ππππ--，其中2π为无理数，可知该信号周期不 存在，为非周期信号（4）28j n eπ周期为N =8作业题目2：图示为一周期为10的随意连续时间周期信号 （1） 写出它的傅里叶级数形式；（2） 该级数式表明f(t)可以分解为哪些信号的叠加？解：（1）()()210jnt nn f t F eπ+∞=-∞=∑（2）该级数式表明f(t)可以分解为频率为210π整数倍的一系列虚指数信号的叠加，也就是： ()()()()()2222101010102221012++++++j t jt jt j t f t F eF eF F eF eππππ----=作业题目3：写出周期信号x(n)的傅里叶级数形式()()()()1cos cos 1nx n n n ππ=+++-解：先确定信号周期为N=12，基波频率为212π， 先将x(n)化为： ()()()()21262212121cos 2cos3j nx n n n eπππ=+++利用欧拉公式：()()()()()()22222121212121222336111122221j n j n j n j n j nx n eeeeeπππππ--=+++++将()()()()22221212121221039,j n j n j n j n eeeeππππ--==带入得x(n)傅里叶级数形式为：()()()()()()222221212121212236910111122221j n j n j j n j n nx n eeeeeπππππ=+++++作业题目4：写出周期信号x(n)的傅里叶级数形式，确定傅里叶系数，并画出频谱图解：信号周期为N=6，其傅里叶级数形式为：()()265jknk k x n a eπ==∑其中傅里叶系数：()()()()26265-0-0161000000616jk n k n jk a x n ex e ππ==⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦=∑ 因此：()()()()()()()26222226666650234516111111666666jk nk j n j n j n j n j n x n ee e e e e ππππππ===+++++∑ 频谱图：作业题目5：已知某周期信号x(n) 频谱图如下，求该信号x(n)。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷2(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．在空间直角坐标系下，方程2x2＋3y2＝6表示的图形为( )A．椭圆B．柱面C．旋转抛物面D．球面正确答案：B解析：由题知2x2＋3y2＝6可化为了，因为柱面公式＝1 故方程表示图形为柱面．答案为B．2．设fx(x0，y0)－0，fy(x0，y0)＝0，则在点(x0，y0)处函数f(x，y) ( ) A．连续B．一定取得极值C．可能取得极值D．的全微分为零正确答案：C解析：A是错误的．因多元函数在某一点可导，不能保证函数在该点连续．B 也是错误的．由题目的条件只能断定点(x0，y0)是驻点，而驻点是可疑的极值点，它不一定是极值点．C是正确的．因为驻点是可疑的极值点．D是错误的．一般会认为df＝f(x0，y0)dx＋fy(x0，y0)dy＝0。
是正确的，却忘记了这个等式成立的前提是f(x，y)在点(x0，y)处可微．而在多元函数中可导不一定可微．答案为C．3．设积分区域Ω：x2＋y2≤R2，0≤z≤1，则三重积分(x2＋y2)dxdydz＝( )A．B．C．D．正确答案：B解析：用圆柱面坐标0＜θ＜2π，0＜r＜R 0＜z＜1答案为B．4．下列方程中为一阶线性非齐次方程的是( )A．y’＝2yB．(y’)2＋2xy＝exC．2xy’＋x2y＝－1D．y’＝sin正确答案：C解析：本题考查一阶线性非齐次方程的定义．由一阶线性微分方程的定义知，(y’)2＋2xy＝ex不是一阶线性微分方程；由一阶线性(非)齐次微分方程的定义知y’＝2y是齐次微分方程；只有选项C，2xy＋x2y＝－1是一阶线性非齐次方程．答案为C．5．设正项级数收敛，则下列无穷级数中一定发散的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由无穷级数的一般项un不是n→∞时的无穷小量，则级数发散来判断，选项D一定发散．答案为D．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换,那就过来掐死我吧
如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、嘛叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。
高等数学竞赛选拔考核试卷
A.定积分的换元法可以简化被积函数
B.定积分的换元法需要引入雅可比行列式
C.定积分的换元法只能用于线性换元
D.定积分的换元法可以推广到多变量函数的积分
17.关于向量场的散度和旋度，以下说法正确的是（）
A.散度描述了向量场源和汇的性质
B.旋度描述了向量场的旋转性质
A. f(x)在[0,1]上的平均值
B. f(x)在[0,1]上的定积分
C. f(x)在[0,1]上的变上限积分
D. f(x)在[0,1]上的原函数
17.三阶行列式的值为0，则（）
A.行列式的三行（或三列）线性相关
B.行列式的三行（或三列）线性无关
C.行列式至少有一行（或一列）为零向量
D.行列式的元素至少有一个为零
A. 1/3
B. 1/6
C. 1/12
D. 1/24
5.设f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，则f(x)的极大值为（）
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
6.矩阵A的行列式为0，则（）
A. A一定是奇异矩阵
B. A一定可逆
C. A的列向量线性无关
D. A的行向量线性相关
7.若f(x) = (sin x)/x，则f'(π/2)等于（）
A.必有极大值
B.必有极小值
C.必有拐点
D.以上都不一定
3.若级数∑(n=1 to ∞) a_n的收敛半径为R，则级数∑(n=1 to ∞) a_n^2的收敛半径是（）
A. R
B. R/2
C. 2R
D. √R
4.二重积分∬_D f(x,y) dσ中，区域D为y=x^2，x属于[0,1]，则该二重积分的值为（）
2023 年考研数学一真题及答案解析
2023年全国硕士研究生招生考试数学一试题一、选择题:1~10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1.曲线1ln 1y x e x的斜渐近线为A.y x e B.1y x eC.y xD.1y x e2.若微分方程0y ay by 的解在 , 上有界，则A.0,0a b B.0,0a b C.0,0a b D.0,0a b 3.设函数 y f x 是由2,sin x t t y t t确定，则A. f x 连续， 0f 不存在.B. 0f 存在， f x 在0x 处不连续.C. f x 连续， 0f 不存在.D. 0f 存在， f x 在0x 处不连续.4.已知(1,2,...)n n a b n ，若级数1nn a与1nn b均收敛，则“1nn a绝对收敛”是“1nn b绝对收敛”的A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件5.已知n 阶矩阵,,A B C .满足 ABC O ，E 是n 阶单位矩阵，记矩阵OA BC E ，AB C O E ，E AB ABO 的秩分别为123,,r r r ，则A.123r r r B.132r r r C.312r r r D.213r r r 6.下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是A.11022003aB.1112003a aC.11020002aD.11022002a7.已知向量121212212,1,5,03191.若 既可由12, 线性表示，也可由12, 线性表示，则A.33,4k kR B.35,10k k R C.11,2k kR D.15,8k kR 8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则E X EXA.1e B.12C.2eD.19.设12,,,n X X X 为来自总体 21,N的简单随机样本，12,,,mY Y Y为来自总体22,2N 的简单随机样本，且两样本相互独立.记1111,,n m i i i i X X Y Y n m221111n i i S X X n ，22111mi i S Y Y m ，则A. 2122~,S F n m S B. 2122~1,1S F n m S C. 21222~,S F n m S D. 21222~1,1S F n m S 10.设12,X X 为来自总体 2,N的简单随机样本，其中(0) 是未知参数.若12ˆa X X为 的无偏估计.则aA.2B.2二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.11.当0x 时，函数 2ln 1f x ax bx x 与 2cos x g x e x 是等价无穷小，则ab.12.曲面222ln 1z x y x y 在点 0,0,0处的切平面方程为.13.设f x 是周期为2的周期函数，且 1,0,1f x x x ，若01cos 2n n a f x a n x，则21n n a.14.设连续函数 f x 满足： 2f x f x x ，20f x dx ，则 31f x dx.15.已知向量12311010111,,,10111111αααβ，112233k k k γααα，若,(1,2,3)T T i i i γαβα，则222123k k k.16.设随机变量,X Y 相互独立，且1~1,3X B，1~2,2Y B，则 2P X Y .三、解答题:17~22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设曲线 0y y x x 经过点 1,2，该曲线上任一点 ,P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距.（1）求 y y x .（2）求函数 1x f x y t dt在(0,) 的最大值.18.（本题满分12分）求函数 23,f x y y x y x 的极值.19.（本题满分12分）设空间有界区域 由柱面221x y 和平面0z 和1x z 所围成， 为 的边界曲面的外侧，计算曲面积分2cos 3sin I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy.20.（本题满分12分）已知 f x 在 ,a a 上具有二阶连续导数.证明：（1）若 00f ，则存在 ,a a ，使得 21f f a f a a.（2）若f x 在,a a 内取得极值，则存在,a a ，使得212f f a f a a.21.（本题满分12分）已知二次型2221231231213,,2222f x x x x x x x x x x ，22212312323,,2g y y y y y y y y .（1）求可逆变换x y P ，将二次型 123,,f x x x 化成 123,,g y y y .（2）是否存在正交变换x y Q ，将二次型 123,,f x x x 化成 123,,g y y y .设二维随机变量 ,X Y 的概率密度为 22222,1,0,x y x y f x y，其他.（1）求,X Y 的协方差.（2）,X Y 是否相互独立？（3）求22+Z X Y ，求Z 的概率密度.23考研数一真题答案速查一、选择题1.考点：渐近线答案：B.1y x e2.考点：常系数线性微分方程答案：C.0,0a b 3.考点：参数方程求导，分段函数求导答案：C. f x 连续，但 0f 不存在.4.考点：数项级数敛散性的判定答案：A.充分必要条件5.考点：矩阵的秩答案：B.132r r r 6.考点：相似对角化答案：D.11022002a 7.考点：向量的线性表示答案：D.15,8k kR 8.考点：常见分布答案：C.2e9.考点：三大抽样分布答案：D.21222~1,1S F n m S 10.考点：估计量的评选标准（无偏性）答案：A.2二、填空题11.考点：等价无穷小答案：212.考点：空间曲面的切平面答案：20x y z 13.考点：傅里叶级数答案：014.考点：定积分的换元法答案：1215.考点：向量内积与线性方程组答案：11916.考点：常见分布答案：13三、解答题17.考点：切线方程、一阶线性微分方程、函数求最值答案：（1）ln 2y x x x ；（2） f x 的最大值为241544f e e.18.考点：多元函数求极值答案： ,f x y 在210,327处取极大值2104,327729f.19.考点：第二类曲面积分（高斯公式）答案：5420.考点：泰勒中值定理的证明答案：（1）在0x 处泰勒展开，用介值定理推论处理余项.（2）在极值点处泰勒展开，用介值定理推论处理余项.21.考点：二次型的配方法、合同与相似答案：（1）111010001P ，x y P （2）不存在正交变换，因为两个二次型的系数矩阵不相似.22.考点：协方差、独立性、随机变量函数的分布答案：（1）0.（2）不独立.（3） 2,01,0,Z z z f z其他.。
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k1 1 (2k )2
1768年：生于法国奥塞尔。 1807年：推导出著名的热传导方程，
提出任何周期信号都可用 正弦函数的级数表示。 1822年：出版专著《热的解析理论》, 提出任一函数都可以展成三 角函数的无穷级数。 1830年：卒于巴黎。
周期函数的傅里叶级数
若函数 f x 以 2l 为周期，即
f x 2l f x
cos 2kt
E(t)
E0
E0 2
s in t
2E0
1
k1 1 (2k )2
cos 2kt
A
E0
E0
2
2 E0
3
0 2
2 E0
15
4
2 E0
35
6
频率
整流后，产生直流信号， 除基频信号外，主要是偶倍频信号。
Fourier 级数的应用
全波整流信号
E(t) E0 | sin t | ( t )
狄利克雷( Dirichlet )定理 若函数 f (x) 满足条件 1) 在每个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在每个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
a0
2
k 1
ak
cos
k
l
x
bk
sin
k
l
x
f x,
x为连续点
f
x
f
x ，
x为间断点
2
Fourier 级数的应用
例1、半波整流 E(t) E0 sint
E(t)
2
o
2 3 t
0
( / t 0)
E(t) E0 sint (0 t /)
E(t)
a0 2
k 1
(ak
cos kt
bk
sin kt)
a0
1
/
0
/
E0
s in tdt
2E0
ak
1
/
0
/
E0
sin t
ak
1 l
l l
f
x cos k x dx
l
②
bk
1 l
l l
f
x sin k x dx
l
由公式 ② 确定的 a0, ak , bk 称为函数
f ( x) 的傅里叶系数 ; 以 f ( x) 的傅里
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 f ( x)
的傅里叶级数 .
Fourier 级数的收敛性
内容小结
周期为 2l 的函数的傅里叶级数为
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
cos
k
l
x bk
sin
k
l
x)
( x 间断点)
其中
a0
1 l l l
f
x dx
ak
1 l
l
k
f ( x) cos
l
l
xd x
bk
1 l
l
k
f ( x) sin xd x
l
l
(k 1,2, )
f x 展开为级数
f
x
a0 2
k 1
ak
cos
k
l
x
bk
sin
k
l
x
三角函数系
1, cosπx , cos2πx , coskx ,
l
l
l
sin πx , sin 2πx , sin kx ,
l
l
l
三角函数系的正交性
nm
mn
l n x m x
cos cos dx 0
l
l
l
l sin n x sin m x dx 0
数学物理方法 Mathematical Methods for Physics
数理方法是链接数学和物理的桥梁
“数学是数学，物理是物理，但物理可 以通过数学的抽象而受益，而数学则可 以通过物理的见识而受益。”
——莫尔斯
§5.1 傅里叶级数 The Fourier series
傅里叶（J. B. J. Fourier）
2 2
E(t)
2E0
4E0
k 1
cos 2kt
4k 2 1
A E0
E0
2
2 E0
3
E(t)
2 E0
15
2 E0
35
0 2-/2 4o /26
频率 t
A
2 E0
4 E0
3
4 E0
15
4 E0
35
o 2 4 频率
无基频信号，主要是偶倍频信号。
参考文献： 【1】同济大学数学系，《高等数学》，第六版下册 【2】吴崇试，《数学物理方法》，北京大学出版社 【3】胡广书，《现代信号处理教程》，清华大学出版社
l
l
l
l cos n x cos n x dx l
l
l
l
l sin n x sin n x dx l
l
l
l
l cos n x sin m x dx 0
l
l
l
l
11dx 2l
l
注意：积分区间是一个周期
f
x
a0 2
k 1
ak
cos
k
l
x
bk
sin
k
l
x
①
a0
1 l l l
f
x dx