2020高中数学训练专题、函数的基本性质(解析版)
2020高中数学训练专题
二、函数
函数的基本性质
1 x 2
1,x 0 2
2
是偶函数
12
x 2
1,x 0 2
答案】
x
2
2x 解析】对于 A ， f (x) 的定义域为 x 2，不关于原点对称，不是奇函数．
x2
f( x) x
x 2
1 ，不满足奇偶性的定义，是非奇非偶函数． 对于 C ，函数的定义域为 ( ,0) (0, ) ，关于原点对称．当 x 0时， f ( x) 1
( x)2
1
1 2
1 2 1 2
( x 2 1) f(x)；当x 0时， f( x) ( x)2 1
x 2 1 f(x)．综上可知， 函数
f(x)是 2
2 2
奇函数．
对于 D ， f(x) 1的图象为平行于 x 轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数．
1．下列判断正确的是 A ．函数 f
(x)
x 2x
是奇函数 x2
B ．函数
f (x)
x x
2
1 是非奇非偶函数
D ．函数 f (x) 1 既是奇函数又是
偶函数 f (x)
C ．函数
对于 B
，
f(x) x
x 2
1，
故选 B.
【名师点睛】对于 C，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明f( x)与f (x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．若 D 项中的函数是f(x) 0 ，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数．
xx
2 ．函数 y e
3 e 的图象大致是 x 3
x
对称，排除 C 选项；
0.5
1 e
由
x 3
x 0 ，解得 x 0 且 x 1 ， f 0.5 e
，排除
D 选项；
0.125 0.5
10
1 e
10
f 10
e 10
1，故可排除 B 选项 .
f 10
1000 10
1
所以本小题选 A.
名师点睛】 本小题主要考查函数图象的识别， 主要通过函数的奇偶性和函数图象上的特殊点进行排
除， 属于基础题 .求解时，根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项 .
2x
3．函数 y=
，x ∈(m ，n ］最小值为 0，则 m 的取值范围是
x1
A ．(1，2)
B ．( –1，2) .
C ． ［1，2)
D ．［–1，2)
【答案】 D
2 x
3 x 1 3
【解析】函数 y= –1，且在 x ∈(–1，+∞)时，函数 y 是单调递减函数，在
x=2
x 1 x 1 x 1
时， y 取得最小值 0；根据题意 x ∈(m ，n ］时 y 的最小值为 0，∴m 的取值范围是 –1≤m<2．
解析】令 xx
f x e 3 e
，则 f x f x ，故函数 x 3 x xx f x e
3 e
为偶函数，其图象关于 x
3 x
y 轴
答案】
故选 D ．
4．已知f (x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在［0, )上为增函数，则f 2 ，f 4 ，f 3 的大小顺
f x 为定义在( , ) 上的偶函数，且f x 在[0, ) 上为
增函数，所以f 4 f 4 ， f 2 f 2 ，
又0 2 3 4 ，所以f 2 f 3 f 4 ，所以f 2 f 3 f 4 ．
故选 A ．
5．若f x ，g x 均是定义在R 上的函数，则“f x 和g x 都是偶函数”是“f x g x 是
偶函数”的
A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】若f x 和g x 都是偶函数，则f x f x ，g x g x ，f x g x f x g x ，即
f x
g x 是偶函数，充分性成立；
当f x x ，g x 2x 时，f x g x 是偶函数，但是f x 和g x 都不是偶函数，必要性不成立，
f x 和
g x 都是偶函数”是“f x g x 是偶函数”的充分而不必要条件，故选 A.
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，利用奇偶性的定义证明充分性成立，利用特殊函数证明必要性不成立，从而可得结果.属于中档题 .判断充分条件与必要条件应注意：
首先弄清条件p 和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质判断p q,q p .对于带有否
定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价
性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理 .
序是
A ．f 2 f 3 f 4 C．f 4 f 3 f 2 答案】 A B．f 4 f 2 f 3
D．f 3 f 2 f 4
解析】本题主要考查函数的性质．因为
6．若函
数2x22x,x 0
f x
为奇函数，则实数a 的值为x2ax,x 0
2
A．2 B．2
C．1 D．1
答案】 B
【解析】f x 为奇函数，f x f x ，
当x 0 时，x 0 ，f x f x x2 2x x2 2x ，
2
又x 0 时，f x x2ax，a 2.
本题正确选项为 B.
【名师点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题 .根据函数为奇函数，求得当
x 0 时f x 的解析式，与已知的解析式对应即可得到结果 .
7．关于函数f x x 1 1的下列结论，错误的是
A ．图象关于x 1对称B．最小值为1
C．图象关于点1， 1 对称D．在，0 上单调递减
【答案】 C
x 2， x 1 【解析】由题意可得：f x x 1 1 ，x，x 1
绘制函数图象如图所示，
观察函数图象可得：
图象关于x 1对称，选项 A 正确；最小值为1 ，选项 B 正确；图象不关于点1，1 对称，选项 C 错误；在，0 上单调递减，选项 D 正确 .
故选 C.
【名师点睛】本题主要考查分段函数的性质，函数图象的应用，函数的性质等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力 .求解时，将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数图象考查函数的性 质即可 .
A ．－ 1
B ．1
C ．－ 5
D ． 5
【答案】 C
e
x 1 e x
1
【解析】因为 f ( x)是奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，所以 g( x) e x 1 2 g(x) e x 1
2，
e x 1 e x 1
所以 g(－ x)＝ －g(x)－4，所以 g(－3)＝ － g(3) －4＝ － 5，
故选 C ． 【名师点睛】本题主要考查函数的基本性质，利用函数的奇偶性的定义求函数值． 9．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x 2) f(x)，当 0 x 1时， f(x) x 2
，则
f 1 f 2 f 3 f 2019
A ． 2019
B ． 0
C ． 1
D ． - 1
【答案】 B
解析】由 f x 4 f x 2 f x 得： f x 的周期为 4 . 又 f x 为奇函数，
f 1 1， f 2 f 0 0 ， f 3 f 1 f 1 1， f 4 f 0 0，
f 1 f 2 f 3 f 4 0.
f 1 f 2 f 3 f 2019 505 f 1 f 2 f 3 f 4 f 4 0. 本题正确选项为 B.
【名师点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的综合应用问题，关键是能够得到函数的周期，利用周期性 和奇偶性求解出一个周期内的函数值的和 .即根据 f x 2 f x 可先推导出 f x 的周期为
4 ，再利
用函数为奇函数且周期为 4 求出 f 1 f 2 f 3 f 4 0 ，最后根据周期性可求解出结果 .
8．设函数 (x) g(x) x
e1
x
2，若 f (x)是奇函数，
g(3) 1 ，则 g( 3)
x,xy 0 2 2
10．定义运算： x ▽y ＝ ，例如： 3▽4＝ 3，(－2)▽4＝4，则函数 f(x)＝x 2
▽(2x －x 2
)的最大
值为
y,xy 0
【答案】 4
【解析】依题意得，当 x 2
(2x －x 2
) ≥0，即 0≤x ≤2时， f(x)＝ x 2
的最大值是 22
＝4；
2 2 2 2
当 x 2(2x －x 2)<0，即 x<0或 x>2时，f(x)＝2x －x 2＝－(x －1)2
＋1<0．
因此，函数 f(x)的最大值是 4．故填 4． 【名师点睛】本题主要考查不等式的解法与函数的性质等基础知识，意在考查考生的运算求解能力与推 理能力．
11．已知函数 y |4x m|在区间 1, 上单调递增 ，则 m 的取值范围为 ___________ ．
【答案】 ( ,4]
m
4x m(x ) 4 【解析】由于 y 4x m = 4
，则函数 y 4x m m 4x(x )
4
m ,， ,
4 ，
所以要使函数 y 4x m 在区间 1, 上单调递增，则 m
1，解得： m 4，
4
故 m 的取值范围为 ( ,4].
【名师点睛】本题主要考查分段函数的单调性，关键是掌握初等函数单调性的判断，属于基础题 .求解
时，先去绝对值，得到函数 y |4x m|为分段函数，求出单调区间，即可得到 m 的取值范围 . 2
12．设 f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f x x 2
，若对任意的 x
[a ，a ＋2]，不等式
f x a f 3x 1 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ___________ ．
【答案】 ( , 5]
2
【解析】本题考查函数的性质．当 x 0 时， f x x 2
，此时 f x 单调递增；
而 f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 f x 在 R 上单调递增；
若 f x a f 3x 1 ，则 x a 3x 1，即 a 2x 1在 x [a, a 2]上恒成立，即a 2 a 2 1
m 的增区间为 m
4 , ，减区间为
恒成立，解得 a 5 ，
故实数 a 的取值范围是 ( , 5] ．
解析】根据题意，依次分析选项：
0，1 上，其解析式为 y sin x ，单调递增，符合
题意；
1
0，1 上，其解析式为 y ( 1) ，单调递减，不符合
题意；
2
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的定义，属于
基础题．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．判断函数的奇偶性， 首先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性，此时不必求 f(－ x)．当定
义域
关于原点对称时，若证明函数具有奇偶性，应运用定义，将 f(－x)与 f(x)进行比较，有时不易变形时，
可直接计算 f(－x) ±f(x)，判断其是否为零；若证明函数不具有奇偶性，只需找到一组相反量的函数值， 不满足 f(－a)＝f(a)和 f(－a)＝－ f(a)即可．
14．若函数 f (x) sinx ln ax 1 4x 2
的图象关于 y 轴对称，则实数 a 的值为
A ．2
B ．4
13．下列函数中，既是偶函数，又在区间 0，
1 上单调递增的是 B ． y
sinx
3
0，
1 上为减函数，不符合题意； 对于 A ， y
对
于
B ，
y
对
于 C ，
y 对
于 D ， y
故选
B ．
cos x ，为余弦函数，在 x 3
，为奇函数，不符合题意
A ． y
cosx
答案】
sinx ，为偶函数，
1 x
，为偶函数，且
在
2
C．2 D．4 【答案】 C
【解析】依题意，函数f (x)为偶函数 .
由于 m(x) sin x 为奇函数，故 g(x) ln ax 1 4x 2
也为奇函数 而 g( x) ln ax 1 4x 2
，
故 g( x) g(x) ln ax 1 4x 2
ln ax 1 4x 2
0 ，
2 2 2
即 ln 1 4x 2 a 2x 2
0，解得 a 2.
故选 C.
【名师点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查两个函数相乘的奇偶性判断，属于基础题 .求解时，
根据函数 f x 为偶函数， sin x 为奇函数， 判断出 g(x) ln ax 1 4x 2
为奇函数， 根据奇函数的
定义列方程，求得 a 的值即可 .
故
x
1
x
2
，∴函数 f x
是 0, 上的增函数，
1 1 x x
2 x 1
∵1<20.2<2,0<0.22<1,log 25>2，∴ 0.22<20.2
< log 25 ，∴ b 【名师点睛】本题主要考查函数的单调性，比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算 求解能力 .求解时，由 x 2 f x 1 x 1 f x 2 <0可知函数 f x 是 0, 上的增函数，结合自变量的大 x 1 x 2 x 15．已知 f x 为定义在 0, 上的函数， 若对任意两个不相等的正数 x 1,x 2 ，都有 x 2 f x 1 x 1 f x 2 <0， 记a f 22 0.02.2 ,b f 00 .2 .22 2 ,c 20.2 0.2 2 f log 2 5 ， log 25 A ． a B ． b< a C ． c< a D ． c 答案】 B 解析】因为 f x 是定义在 0, 上的函数，对任意两个不相等的正数 x 1,x 2 ，都有 x 2 f x 1 x 1 f x 2 <0 x 1 x 2 小比较函数值 (即实数 a， b， c的大小 )即可. 16．函数 f(x) 的定义域为 (3a 2,3 a)，若 f(x 1)为偶函数，且当 x (2a,5a) 时， f(x) a x ，则 1 3 3 1 A ． f(3a) f( ) f( a) B ． f(3a) f( a) f( ) 3a 2 2 3a 1 3 1 3 C ． f ( ) f(3a) f ( a) D ． f( ) f ( a) f (3a) 3a 2 3a 2 答案】 A 解析】若 f(x 1)为偶函数，则 f( x 1) f(x 1)，故函数 f ( x)的图象关于直线 x 1对 称． 又函数 f (x)的定义域为 (3a 2,3 a)，则 3a 2 3 a 2 1，解得 a 1 2 5 1 x 故当 x (1,2) 时， f x (2)x 单调递减， 1 2 2 4 3 3 3 5 又 f 3a f(3 2)， f(31 a ) f (2 3) f(2 32 ) f(4 3)， f(23 a) f(3 4) f(2 3 4) f(5 4)， 即 f (3a) f(31 a ) f(23 a)，故选 A ． f x lo g 2 x 3 ，则 f 2018 f 2019 A ． 3 B ． 2 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】由 f x 2 f x 1 得： f x 3 f x ，即 f x 是周期为 3的周期函数， f 2018 f 2019 f 673 3 1 f 673 3 f 1 f 0 ， f x 为R 上的奇函数， f 1 f 1 lo g 24 2且 f 0 0， f 2018 f 2019 2. 本题正确选项为 C. 【名师点睛】本题考查利用抽象函数的周期性和奇偶性求解函数值的问题，关键是能够将自变 所以 f(3 2) f(4 3) f (5 4)， 17．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数， 对任意的 x R 都有 f x 2 f x 1 ，当 x 0,3 2 时， 2 量通过 的取值范围是 答案】 1,1 2 x e e 因为 f (x) 3x 2 2 e x e x 3x 2 2 2 e x e x 0，所以数 f x 在 R 上单调递增， 又 f a 1 f 2a 2 0，即 f 2a 2 f 1 a ，所以 2a 2 1 a ，即 2a 2 a 1 0， 解得 1 a 1 ，故实数 a 的取值范围为 1,1 ． 22 f x 1 成立，若 g x f x 1 x ，则 g 2017 答案】 1 18． 19． 周期性和奇偶性转化为已知区间内的值，从而利用已知区间的解析式来进行求解 .求解时，根据 f x 2 f x 1 可得函数周期为 3，从而将所求式子变为 f 1 f 0 ，利用函数的奇偶性的性 质和在 x 0,3 2 时的解析式即可求得结果 . 已知函数 f(x) x 3log x 2 1 x 2，若 f(a) 7(a R )，则 f ( a) 答案】 7 解析】易知 f （x ）的定义域为 R ，且关于原点对称， ∵f(﹣x) ( x) 3 log ( x)2 1 x 2 x 3 log x 3 log x 2 1 x 2 f(x)， ∴f （x ）是 R 上的偶函数， ∴ f （﹣ a ）＝ f （a ）＝ 7． 故答案为 7． 1 x 2 1 x 名师点睛】 本题考查了函数奇偶性的判断， 关键是对对数式的真数分子有理化， 属基础题． 求解时， 先求出 f （x ）的定义域，然后判断 f （ x ） 的奇偶性，根据奇偶性可得答案． 已知函数 f(x)=x 3 2x+e x 1 x ，其中 e e 是自然数对数的底数，若 f a 1 +f 2a 0，则实数 a 31 解析】因为 f x x 3 2x x f x ，所以函数 f x 是奇函数， 20． 已知 f x 是定义在 R 上的函数， f 1 1，且对任意 x R 都有： f x 5 f x 5 与 f x 1 解析】本题考查函数的性质与求值．因为 g x f x 1 x ，所以 g x x 1 f x ． 所以 g x 5 x 5 1 f x 5 f x 5 g x x 1 5 ， g x 1 x 1 1 f x 1 f x 1 g x x 1 1 ， 所以 g x 5 g x ， g x 1 g x ， 所以 g x g x 5 g x 4 g x 3 g x 2 g x 1 ， 所以 g x 1 g x ，所以 g x 是以 1 为周期的周期函数． 所以 g 2017 g 1 f 1 1 1 1． 解题技巧】推出 g x 是以 1 为周期的周期函数，是解决此题的关键． sinx x f(x)= 2 在[ , ] 的图像大致为 cosx x 解析】由 f( x) c s o in s( ( x x ) ) (( x x ))2 co s s in x x x x 2 f(x)，得 f (x)是 奇函数，其图象关于原点对称． 故选 D ． 名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取 性质法和赋值法，利用数形结合思想解题． 1 π (2π)2 1, f (π) π 1 π2 0 ，可知应为 D 选项中的图象． 21．【 2019 年高考全国Ⅰ卷理 又 图象关于原点成中心对称，排除选项 C ． 解析】设 2x 3 y f （x ） 2x 2 x ，则 f （ x ） 2 2（ x x ）2 3 x 2x 3 xx 2 x 2 x f （x ） ，所以 f （x ） 是 奇函数， 又 f （4） 2 4 3 24 2 4 0, 排除选项 D ； f （6） 2 6 3 26 2 6 7 ，排除选项 A ， 故选 B ． 【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作重基础知识、基本计算能力的考查． 23．【 2019 年高考全国Ⅲ卷理数】设 f x 是定义域为 R 的偶函数，且在 0,+ 单调递减，则 A ． B ． C ． 132 log 3 ）＞ f （ 2 2 ）＞ f （ 2 3 ） 4 123 log 31 ）＞ f （2 3 ）＞ f （2 2 ） 4 3 2 1 2 2 ）＞ f （ 2 3 ）＞ f 23 D ． f (2 3)> f (2 2)> f (log 31 ) 4 答案】 C 1 【解析】 f x 是定义域为 R 的偶函数， f (log 3 1 ) f (log 3 4)． 4 2 3 2 3 log 34 log 33 1,1 20 2 3 2 2, log 34 2 3 2 2， 又 f x 在（0， +∞）上单调递减， 故选 C ． 名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间 递增，舍去 C. 因此选 B. ∴ f (log 3 4) f 2 3 23 f 22 1 f log 3 4 . 解析】 x 0, f x f x , f x 为奇函数，舍去 A ； 1 f 1 e e 1 0 ，∴舍去 D ； f x e x e x x 2 e 2x x 2 ex x 2 e x , x 2时， f x 0， f(x)单调 2 23 24． 量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案． 答案】 ee 2 x 名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思 1）由函数的定义域，判断图象左右的路： 函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结（详细） 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)． 1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 二、二分法 1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c; 求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ， 则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式. 课题：___函数的解析式___ 教学任务 教 学 目 标 知识与技能目标会求简单函数的解析式 过程与方法目标 学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中 总结简单函数的解析式三种类型及解法。理解掌握 换元法、待定系数法，体会建立数学模型。培养学 生分类讨论的数学思想。 情感,态度与价值 观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创 造，让他们在学习活动中培养独立的分析和建模的能力。 重点理解掌握应用换元法、待定系数法求简单函数的解析式 难点能初步掌握用数学模型解决实际问题，并能注意实际问题中的定义域 教学过程设计 问题与情境 设计 意图 活动1课前热身（资源如下） 1、设 ? ? ? ? ? < = > + = )0 (0 )0 ( )0 (1 ) ( x x x x x fπ，则f{f[f(－1)]}=_______ ___ 2、若一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1，则() f x= 3、已知：) (x f=x2-x+3 ，则 f(x+1) = , f( x 1 )= 4、若 x x x f - = 1 ) 1 (求f(x) = 5、客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙 地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙 地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过 的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）. A. B. C. D. . 从正 反两 种情 况出 发，让 学生 回忆 体会 函数 解析 式用 法和 求法。 活动2类型解法 函数的解析式的几种类型及解法： 1、已知所要求的函数类型（一次、二次、反比例、指对数等）， 利用待定系数法来求； 2、已知复合函数一般用变量代换（换元）法； 3、涉及实际问题求解析式，需建立数学模型即：把实际问题转 化为数学问题。 培 养学 生用 自己 的语 言来 总结 类型 与解 法 活动3提高探究 资源1、求满足下列条件的函数() f x的解析式： ①已知一次函数() f x，满足3(1)2(1)217 f x f x x +--=+. ②若二次函数满足(0)0 f=，且(1)()1 f x f x x +=++ ③设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得 的线段长为2 2. 掌 握利 用待 定系 数法 求解 析式。 人教版高中数学公式整理 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如 ，，不同上含参数的不等式(为参 数)恒成立的充要条件是 。 (2)在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数) 恒成立的充要条件是 。 (3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数) 的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数) 有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 ， 或且 ，成立 且或 13.四种命题的相互关系(右图): 14.充要条件记表示条件，表示结论 1充分条件：若，则是充分条件. 2必要条件：若，则是必要条件. 3充要条件：若，且，则是充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 15.函数的单调性的等价关系 (1)设那么 上是增函数； 上是减函数. (2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. 求函数解析式常用的方法 求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 （一）待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1：已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。 解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0 由(1)()1f x f x x +=++ 得 22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++ 得 212211120011()22 a a b b a b c c b c c f x x x ?=?+=+????++=+?=????=?=??? ∴=+ 小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= k x (k≠0)；f(x)为 二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) （二）换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例2 ：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。 解析： 1视为t ，那左边就是一个关于t 的函数()f t , 1t =中，用t 表示x ,将右边化为t 的表达式，问题即可解决。 1t = 2220 1 ()(1)2(1)1()(1)x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥ 小结：①已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t ，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。 注意：换元后要确定新元t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。 (三)配凑法 已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用 函数解析式 1、已知2(21)42f x x x +=-,求()f x 表达式。 2、已知1()2()23f x f x x +=+，求()f x 表达式。 3、已知2(1)21f x x +=+，求(1)f x -，()f x 。 4、已知23()2()23f x f x x --=-，不求()f x 的解析式，直接求(0)f ，(2)f 。 5、已知2 211()11x x f x x --=++，求()f x 解析式。 6、设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1f =，并且对任意的实数x,y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 。 7、若函数2 2()1x f x x =+，求111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++。 8、已知函数()x f x ax b =+，(2)1f =且方程()0f x x -=有唯一解，求()f x 表达式。 9、设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 。 10、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 11、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 12、已知函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。 13、设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 。 14、设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1 1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式。 15、设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f 。 16、已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求()f x 的解析式。 17、已知f （x ＋ x 1）＝x 3＋31x ，求()f x 的解析式。 18、已知函数()f x 是一次函数，且满足关系式3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式。 19、已知2(1)lg f x x +=，求()f x 。 20、已知()f x 满足1 2()()3f x f x x +=，求()f x 。 O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 利用周期性求函数解析式 周期性是函数的一种性质，当我们通过题目的已知条件，能够判断函数是周期函数时，再相关性质，求函数的解析式，就能简单一些了。今天我们就根据实际例子，看看如何利用周期性，求函数的解析式。 先看例题 例：设f (x )是定义在区间(,)-∞+∞上，且以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(21,21)k k -+，已知当0x I ∈时，2 ()f x x =，求f (x )在k I 上的解析式 解：由已知，当k =0时，0(1,1)I =- 我们利用区间转移的方法，如果k x I ∈ 即0(21,21)2x k k x k I ∈-+?-∈ 121x k ?-<-< 则有：2 (2)(2)f x k x k -=- 又因为该函数以2为周期，所以有(2)(),f x k f x -= 所以函数在k I 上的解析式为：2()(2)f x x k =- 一般规律： 区间转移： 将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间。 进而求出，该区间上的函数解析式 再看一个例题加深印象 练：设f (x )是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线x =1对称，当[]2,0x ∈-时，()22.f x x x +＝ 当[]2,4x ∈时，求f (x )的解析式 首先通过题目条件，证明函数为周期函数 因为函数关于x =1对称，且函数为奇函数 所以有()(2)()f x f x f x ＋＝－＝－ 又因为(2)()f x f x +=- 所以：()()(4)(2)[]f x f x f x f x ＋＝－＋＝－－＝ 所以函数为周期函数，且周期T =4 因为函数在[]2,0x ∈-上的解析式已知，所以 由[]2,4,4[2,0],x x ∈-∈- 可得：()22(4)2(4)(4)68.f x f x x x x x ----＝＝＋＝＋ 总结： 1.根据题目条件，判断、证明函数为周期函数. 2.将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间. 3.根据题目条件，以及函数性质，确定所求区间上的解析式 练习： 1.设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值. 2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在0，1］上是一次函数，在1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5. (1)证明:f (1)+f (4)=0; (2)试求y =f (x ),x ∈1,4］的解析式； (3)试求y =f (x )在4，9］上的解析式. 答案： 函数解析式的求法大盘点 函数解析式的求解方法较多，在此，我归纳了几类供大家学习，希望对大家有所帮助。 一． 方程组法 型型和此法主要适用(x) )()()()()(c tx bf x af x c x t bf x af =+=+。 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。 联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。 ，求满足函数例3)(3)(-)(2)-()(2)(,)(,)()(2)()(.1x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f ==????=-=----=-- 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。，求满足函数例)2(31)()2(31)(1 )(2)1()1(2)(,1)(,1)()1(2)()(.2x x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f +--=+--=???? ????-=--=----=-- 点评：方程组法求函数解析式关键是根据所给表达式列出方程组。 )()()()()()()()()()(x f x t c x bf x t af x c x t bf x af x t x x c x t bf x af 即可解出，即替换为型需把???????=+=+=+， ).()()()()()()((x) )()(x f tx c x bf tx af x c tx bf x af tx x c tx bf x af 即可解出，即替换为型需把???=+=+=+ 高中数学函数知识点总结 1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是y x x x = --432 lg ()()()（答： ，，，）022334Y Y 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数 x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数 x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ []的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 []（答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解 出x 的范围，即为 [])(x g f y =的定义域。 例 若函数 )(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。 分析：由函数 )(x f y =的定义域为?? ? ???2,21可知：221≤≤x ； 所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。 求函数解析式的几种基本方法及例题： 1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 此法较适合简单题目。 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2). （2） 已知2 2 1)1(x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1(2 -+ =+ x x x x f ， 21≥+ x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f (2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(2 2 -=-+-=t t t t f 1)(2 -=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(2 2 +=-+=+∴ )0(≥x (2)设 .)(,,,1 11 1111 11-= ∴-= - = = =x x f t t t f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。 例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x, 则应有.)(12121 0224 2222 --=∴?? ???-=-==∴?????=+-==x x x f c b a c a b a 四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例4 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解 x x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1，得： x x f x f 1 )(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得： x x x f 323)(-- = 五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式 课题7：函数的概念（一） 一、复习准备： 1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： （一）函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： (),y f x x A =∈ 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 （1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ； （2）二次函数2 y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。 （3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。 （二）区间及写法： 设a 、b 是两个实数，且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} （三）例题讲解： 例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 变式：求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2．已知函数1()2f x x =+， （1） 求()()2 (3),(),33f f f f --的值；(2) 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。 （四）课堂练习： 1． 用区间表示下列集合： {}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或 2． 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值； 3． 课本P 19练习2。 高考复习专题：函数的基本性质专题复习 求函数定义域的常用方法：无论什么函数，优先考虑定义域 1偶次根式的被开方式非负；分母不为0；零指数幂底数不为零； 对数真数大于0且底数大于0不等于1；tanx 定义域? ?? ? ??∈+≠ Z k k x x ,2ππ 2复合函数的定义域：定义域是x 的范围，f 的作用范围不变 1.y=x x x -+||)1(02.y=2 3 2 53 1x x -+- 3.y= x x x x -+-||2 32 4.y x x = --15 1 1 5. (21)log x y -= 6. ) 3lg(-=x y 7. x x y 2= 8. 2lg 2 1x y = 9. 02 )45() 34lg()(-++=x x x x f 训练： 1、函数y= )34(log 25.0x x -的定义域为__________. 2、f(x)的定义域是[-1，1]，则f(x+1)的定义域是 3、若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数)(log 2 1x f 的定义域是 （） A ．]2,21[ B ．]2,0( C ．),2[+∞ D ．]2 1 ,0( 4、已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则)(x f 的定义域为 ， (2)x f 的定义域为 5、已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（） A.[]05 2 ， B.[]-14， C.[]-55， D.[]-37， 6、函数12 1)(-+ += x x x f 的定义域是 .（用区间表示）． 7、已知函数 1 )(2+=x x f 的定义域是 } 2,1,0,1{-，则值域 为 ． 8、函数 ) (x f y =的定义域是[1，2]，则 ) 1(+=x f y 的定义域 是 ． 9、下列函数定义域和值域不同的是（） （A ）15)(+=x x f （B ）1)(2+=x x f （C ）x x f 1)(=（D ） x x f =)( 10、已知函数)(x f y =的图象如图1所示，则函数的定义域是（） (A)[－2,0](B)]5,1[]0,2[I - (C)[1,5](D)]5,1[]0,2[Y - 11、若函数y=lg(4－a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是() A ．(0，+∞) B ．(0，2) C ．(-∞，2) D ．(-∞，0) 12、为何值时，函数347 2+++= kx kx kx y 的定义域为 R ． 一次函数法 1. 已知函数()23 {|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为 二次函数法（配方法） 2. 求下列函数值域： 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法（直接变换法） 如：f （x-1）=x+1，求f （x ）的解析式。 2) 待定系数法 如：若f{f[f(x)]}=27x+26,求f （x ）的解析式。 3) 换元法 如：f （1 x ）=x+2x ，求f （x ）。 4) 消参法 如：如果f （x ）满足af （x ）+f （x 1）=ax ，x ∈R ，且x ≠0，a ≠+1，求f （x ）。 5) 特殊值法 如：设f （x ）是R 上的函数，f （0）=1，并且对任意实数x 、y 有f （x-y ）=f （x ）-y （2x-y+1），求f （x ）。 6、函数最大（小）值 ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小） 值 ○ 2 利用图象求函数的最大（小）值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； 练习： 1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2．已知221)1(x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ?=,且212)()1(x x g x g x ?=-++,求)(x f 与)(x g . 4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 5．设)(x f 是定义在*N 上的函数,若1)1(=f ,且对任意的x,y 都有：xy y x f y f x f -+=+)()()(, 求)(x f . 高一数学函数 一、知识结构 二、重点难点 重点：有关映射与函数的概念，要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域；幂函数的图象和性质；单调性的概念；反函数的概念；要掌握函数的图象和性质；对数运算与指数运算的关系，对数式与指数式的互化；对数性质和运算法则； 难点：映射的概念；幂函数的应用；用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间；反函数的求法；利用指数函数的性质，结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题；对数概念与各名称的意义的理解；注意法则应用的条件和推导。 三、知识点解析 1、函数： （1）定义：1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量,x y ，并且对于x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有惟一确定的值和它对应，那么y 就是x 的函数，记为()y f x ；2）近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。 ； 上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同，函数实质上是从集合A 到集合B 的一个特殊的映射，其特殊性在于集合A 、B 都是非空数集。自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C 叫做函数的值域。这里应该注意的是，值域C 并不一定等于集合B ，而只能说C 是B 的一个子集； （2）三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射。 2、函数的单调性： （1）定义：对于给定区间上的函数()f x ，1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数；2）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <，都有12()()f x f x >，那么就说 ()f x 在这个区间上是减函数； （2）证明函数单调性的方法：1）用定义；2）利用已知函数的单调性；3）利用函数的图像；4）依据符合函数单调性有关结论；5） 1212 ()() 0()f x f x f x x x ->?-为增函数， 1212 ()() 0()f x f x f x x x - 高一函数复习 一、函数的概念与表示 １、映射 映射：设A 、B 是两个集合,如果按照某种映射法则f ,对于集合A 中的任一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到Ｂ的对应法则ｆ)叫做集合A 到集合B 的映射,记作f ：A →B 。 注意点：(１)对映射定义的理解; （２）判断一个对应是映射的关键:Ａ中任意，Ｂ中唯一；对应法则f . 给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象. 注意:(１）A 中的每一个元素都有象,且唯一;?(2)B 中的元素未必有原象,即使有,也未必唯一；?(3) ａ的象记为f (a ). 【例题1】设集合A =｛x ｜0 ≤ x ≤ ６},B ={ｙ|０ ≤ ｙ ≤ 2｝,从A 到Ｂ的对应法则f 不是映射的是（ ）. A . ｆ:x →y ＝12x ?? B ． f :x →ｙ=13 x ?C . ｆ：x →ｙ=14x ? D . f ：x →ｙ＝16x 【变式练习1】若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 ( ） (１）A 中的任一元素在Ｂ中必须有像且唯一; （2)Ａ中的多个元素可以在B 中有相同的像; (3)B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4)像的集合就是集合B ． A 、１个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 D 、4个 2、函数 构成函数概念的三要素:①定义域；②对应法则；③值域 两个函数是同一个函数的条件：当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时. 【例题１】下列各对函数中,相同的是（ )高中数学函数解析式求法
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