为何正弦交流电电流与电压的有效值是最大值比／2
探究正弦交流电有效值与最大值的关系
探究正弦交流电有效值与最大值的关系许文【摘要】@@ 交变电流的最大值I<,m>和U<,m>是交变电流在一个周期内所能达到的最大数值.交变电流的有效值I和U是根据电流的热效应定义的,即让交流与直流通过相同阻值的电阻,如果它们在相同的时间内产生的热量相等,这一直流的数值叫做这一交流的有效值.【期刊名称】《物理通报》【年(卷),期】2011(000)005【总页数】3页(P29-31)【作者】许文【作者单位】华中科技大学附属中学,湖北武汉,430074【正文语种】中文交变电流的最大值Im和Um是交变电流在一个周期内所能达到的最大数值．交变电流的有效值I和U是根据电流的热效应定义的，即让交流与直流通过相同阻值的电阻，如果它们在相同的时间内产生的热量相等，这一直流的数值叫做这一交流的有效值．对于某一确定的交流电，其有效值与最大值间存在一定的关系．正弦交流电的有效值与最大值之间的关系，目前中学物理各种版本的教材中一般都是直接给出．在当今新课标的理念下，我们可以从理论与实验两方面对这一问题展开探究，有利于培养学生的探究能力、实验能力、分析问题与解决问题的能力．1 理论探究方法1：设想将正弦交流电i=Imsinωt通过阻值为R的电阻，则电阻发热的功率为作出P-t图像(图1)，在一个周期T内电阻发热量Q1即为图中曲线下的面积(也等于图1中长为T高为即若将某一直流电流I通入该电阻，则在时间T内的发热量Q2 = I2RT．当Q1=Q2时，可得图1方法2：我们据交变电流有效值的定义知交流电ia=Imsinωt(图2)与ib=Imcosωt (图3)的有效值应相同．设想让它们分别通过同一电阻R，则在时间T内产生的热量均为Q ．现把时间T分成很多时间微元ΔT，则Q=∑ia2RΔT=∑(Imsinωt)2RΔTQ=∑ib2RΔT=∑(Imcosωt)2RΔT则有2Q=∑Im2(sin2ωt+cos2ωt)RΔT=Im2R∑ΔT=Im2RT若将某一直流电流I通入该电阻，则在时间T内发热量Q=I2RT，可得图2图3方法3：设流过定值电阻R的电流按正弦规律变化，即i=Imsinωt，交流电的瞬时功率为P=i2R=Im2Rsin2ωt因为代入得此式中后一项在一个周期内平均值为零，因此在一个周期内交流电平均功率为(为最大瞬时功率的一半).如果考虑一个恒定电流I与其等效，即P=I2R，就有即所以方法4：设通过定值电阻R的电流按正弦规律变化，即i=Imsinωt ，交流电的瞬时功率为P=i2R=Im2Rsin2ωt则一个周期内电阻R上产生的热量为因为代入得有此式第二项积分为零，所以如果有一个恒定电流I与其等效，即Q′=I2RT，则所以有2 实验探究2.1 设计方案如图4所示，a、b两端接6 V的正弦交流电源，R为总阻值为200 Ω的滑动变阻器，用演示交流电压表的10 V挡测滑动变阻器输出端电压的有效值U，用J2459演示示波器测滑动变阻器输出端电压的最大值Um．(这里也可用双踪示波器同时测量U与Um)图42.2 数据记录与处理按图4将各实物器材连成实验电路．调节示波器Y衰减和Y增益，使纵坐标定格为每格2 V，调节扫描范围与扫描微调，使荧光屏上显示2～3个正弦波形．实验中调节滑动头的位置，测出20组U与Um的值，并将测量值填入Excel的表中，用Excel对数据进行分析与处理．(1)启开软件Excel，在A1中输入符号U/V，在B1中输入符号Um/V；(2)在A2～A21 中记录U的测量值，在B2～B21中记录相应的Um测量值；(3)选中A2：B21区域，单击图表按钮出现“图表向导对话框”，在“图表类型”中选取“X、Y散点图”，在子图表类型中选“平滑线散点图”，再依次按下一步按钮，直到完成(图5)；(4)右击图5中任一数据点，选“添加趋势线”，在“类型”中选“线性”，在“选项”中选“显示公式”，确定后就会出现Um 与U的函数关系式．图52.3 结论在一定的实验误差范围内，正弦交流电的最大值与有效值的关系为3 发散思考问题：正弦交流电的有效值I与最大值Im的关系是那么当有效值与最大值关系为时，该电流一定是正弦交流电吗？答案：电流有效值与最大值关系是的不一定都是正弦交流电．如图6所示的交变电流显然不是正弦交流电，但这个交变电流的最大值是Im ，设其有效值为I．据有效值的定义有故图64 教学反思新课标的教学理念强调学生获取知识的过程．微积分知识已经引入到目前高中数学课程中．探究正弦交流电的有效值与最大值的关系，可以很好的引导学生从数学方法与物理实验的多角度进行探索，充分培养学生的探究能力．以实验为基础是物理教学的基本特征；物理实验对激发学生学习兴趣、启迪学生思维、培养科学方法和创新精神均能产生积极有效的作用．课堂上教师应千方百计地提供机会，让学生亲身体验物理实验操作过程，使物理创新式的学习过程成为一种“活、乐、动”的过程；在物理实验操作过程中去发现新问题、萌发新思想、形成新思路、寻找新方法、开拓新领域、获得新知识和技能．这种让他们亲自参与亲身体验的学习方法，能极大地调动其学习积极性，提高学习效率．。
正弦量的三要素和有效值
如Im 、Um。
首页
2．角频率、周期、频率 正弦量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用ω 表示，单位是弧度/秒，即
t
正弦量完成一次周期变化所需要的时间，称为周期，用T 表示，单位是秒。
正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数，称为频率，用 f 表示，单位是赫兹。
选零点为计时起点，则初相ψ =0，如图3-7所示是不同初相时
几种正弦电流的解析式和波形图。
首页
i
Im
i Im sint
0
t
a)
i i Im sin(t π 6)
i
i Im sin(t π 2)
0
t
b)
i i Im sin(t π 6)
0
t
0
t
π/6
π/6
首页
例3-3 两个同频率正弦电流的波形如图3-6所示，试写出 它们的解析式，并计算二者之间的相位差。
解 解析式
i/A 10 i1
i1
10 s in(314t
π )A 4
8
i2
i2
8 s in(314t Nhomakorabeaπ )A 4
0
4
4
0.02s
相位差
ωt/rad
i1
i2
π 4
(
c)
d)
图3-3 初相不同的几种正弦电流的波形图 a)初相为0; b)初相为π/2; c)初相为π/6; d)初相为-π/6
首页
注意：正弦量的初相、相位以及解析式都与参考方向有 关。改变参考方向，就是将正弦量的初相加上或减去π。
电工学-正弦交流电路
O
f 而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故
XL 与 f 的关系 可视为开路。
2.3.3 电容元件的交流电路
1. 电压电流关系 i
+
u
C
–
i
u Um sint i Im sin( t 90 )
+j •
u
I
波 形O 图
电流超前电压 90 电压与电流大小关系 电压与电流相量式
t
U XCI U jXC I
2.1 正弦电压与电流 I, U
直流电路在稳定状态下电流、电压的大
小和方向是不随时间变化的，如图所示。
正弦电压和电流是按正弦规律周期性
变化的，其波形如图示。
O u, i
t
电路图上所标的方向是指它们的参考
方向，即代表正半周的方向。
负半周时，由于的参考方向与实际方
+
向相反，所以为负值。
实
i
O i
t
际 方
第 2 章 正弦交流电路
在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应 用更为广泛。
正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所 产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。
本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分 析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。
本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期电压和电流。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物 理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。
•
UL
为正
时电路 中电压 电流相 量图
•
• UL UC
•
U
•
UR
•
UC
的大小和正负由
电气维修电工考试题库()
电气维修电工考试题库{TX|填空}//填空题1、正弦交流电的有效值等于最大值的倍；平均值等于最大值的倍。
[答案] 1/2、2/π2、正弦交流电路中的三种纯电路是纯电路、纯电路和纯电路。
[答案] 电阻、电感、电容3、正弦交流电路中的三种电功率表是功率、功率和功率。
[答案] 视在、有功、无功4、两个同频率正弦量之间的相位关系通常有、、和四种。
[答案] 同相、反相、超前、滞后5、正弦交流电路中，负载的三种电路性质分别是性、性和性。
[答案] 阻、感、容6、三相交流电源对称的条件是相等、相等、互差。
[答案] 大小、频率、相位、120 o7、在三相四线制供电系统中，线电压为相电压的倍，线电压在相位上对应相电压。
[答案]3、超前、30o8、三相交流电源有两种连接方式，即形连接和连接。
[答案] Y、△9、三相电源作△连接时，线电压为相电压的倍。
[答案] 110、测量电流时，应让电流表与被测负载相联。
测量电压时，应让电压表与被测负载相联。
[答案] 串、并11、为了减小测量误差，应让电流表的内阻尽量、电压表的内阻尽量。
[答案] 小、大12、用兆欧表测量电气设备的绝缘电阻前，必须先电源，再将被测设备进行充分的处理。
[答案] 切断、放电13、三相异步电动机直接启动时的启动电流一般为额定电流的倍，它会造成电源输出电压的。
[答案] 4-7、大幅度下降14、三相笼型异步电动机常用的降压启动方法有、、、。
[答案] 定子回路串电阻、自耦变压器、星-三角形降压启动、延边三角形降压启动15、Y-△形降压启动是指电动机启动时，把定子绕组接成，以降低启动电压，限制启动电流，待电动机启动后，再把定子绕组改接成，使电动机全压运行。
这种启动方法适用于在正常运行时定子绕组作连接的电动机。
[答案] 星形、三角形、三角形16、所谓制动，就是给电动机一个与旋转方向的转矩，使它迅速停转。
制动的方法一般有和两类。
[答案] 相反、机械制动、电力制动17、机械制动是利用，使电动机断开电源后迅速停转的。
电工电子技术第2章
第2章 正弦交流电路
在交流电路中，因各电流和电压多 +j A 为同一频率的正弦量，故可用有向线段 b r 来表示正弦量的最大值(有效值) Im 、 ψ Um(I、U)和初相ψ ，称为正弦量的相量。 O a +1 在正弦量的大写字母上打“•”表示，如 图2-5 有向线段的表示正弦量 幅值电流、电压相量用 I m、 m表示，有 U • U 效值电流、电压相量用 I 、 表示。将电 U • 路中各电压、电流的相量画在同一坐标 φ I ψ 中，这样的图形称为相量图。 ψ 同频率的u和i可用图2-6相量图表示。 图2-6 u和i的相量图 即 超前 Iφ°，I或 U滞后φ°。 U
第2章 正弦交流电路
2.1
正弦交流电的基本概念
正弦交流电压和电流的大小和方向都按正弦规律 作周期性变化，波形如图2-1a。
u U m s in ( t u ) i I m s in ( t i )
(2-1)
为便于分析，在电路中电压参考方向用“+”、“–” 标出，电流参考方向用实线箭头表示；电压、电流实 际方向用虚线箭头表示如图2-1b、c所示
第2章 正弦交流电路
u Im O φ Ψu Ψi i Um
u
i
t
T
图2-2 u和i相位不等的正弦量波形图
当φ=0º 时，称u、I同相；当φ=180º 时，称u比i反相； 当φ=±90º 时，称u与i正交 。 u i u i
u i
ui
u
i
t
u
i
O a) 同相
t O
b) 反相
O c)正交
t
图2-3 正弦量的同相、反相和正交
第2章 正弦交流电路
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值
交换【2 】电的瞬时价.最大值.有用值和平均值交变电流的大小和偏向都随时光作周期性变化,所以要精确描写交变电流的产生的后果,须要用到“最大值.有用值.瞬时价.平均值”四个物理量.交换电的“最大值.有用值.瞬时价.平均值”常称为交换电的“四值”.这四个相似但又有差别的物理量,轻易造成凌乱,懂得好“四值”对于进修交换电有极大的关心.一、精确把握概念1. 瞬时价：交换电流.电压.电动势在某一时刻所对应的值称为它们的瞬时价.瞬时价随时光的变化而变化.不同时刻,瞬时价的大小和偏向均不同.交换电的瞬时价取决于它的周期.幅值和初相位.以正弦交换电为例（从中性面开端计时）.则有：其瞬时价为：e=E m sinωti=I m sinωt u=U m sinωt2．最大值：交变电流的最大值是指交变电流在一个周期内所能达到的最大值,它可以用来表示交变电流的强弱或电压的高下.以正弦交换电为例.则有：E m =nB ωS,此时电路中的电流强度及用电器两头的电压都具有最大值,即I m =r R E m, U m =I m R.3．有用值：交变电流的有用值是依据电流的热效应来界说的,让交变电流和恒定电流畅过雷同阻值的电阻,假如在雷同的时光内产生的热量相等,我们就把这一恒定电流的数值叫做这一交变电流的有用值.交换电的有用值是依据它的热效应肯定的.交换电流i 经由过程电阻R 在一个周期内所产生的热量和直流电流I 经由过程统一电阻R 在雷同时光内所产生的热量相等, 则这个直流电流I的数值叫做交换电流i的有用值, 用大写字母表示, 如I. U等.一个周期内直流电经由过程电阻R所产生的热量为：交换电经由过程同样的电阻R,在一个周期内所产生热量：依据界说,这两个电流所产生的热量应相等,即将代入上式i=I m sinωt4．平均值：交变电流的平均值是指在某一段时光内产生的交变电流对时光的平均值.对于某一段时光或某一进程,其平均感应电动势：I tN E 平均电流→∆∆•=φ=U r R E 平均电压→+=I R •二.正弦交换电的“四值”之间的关系1.正弦交换电的有用值与最大值的关系： U=m mU U 707.02=,I=m m I I 707.02=注：I U 是电流.电压的有用值,I m .U m 是电流.电压的最大值2.正弦交换电的平均值与最大值和有用值的关系：m m P I I I 637.02==π,m m P U U U 637.02==π,I I P 90.0=,U U P 90.0=注：I p .U p 是电流.电压的平均值三.“四值”解题办法小结：交变电流有四值,即有用值.平均值.最大值和瞬时价．各值何时运用,对比如下情形肯定：（1）在研讨电容器是否被击穿时,要用峰值（最大值）．因电容器上标明的电压是它在直流电源下工作时所推却的最大值．（2）在研讨交变电流的功率和产生的热量时,只能用有用值．（3）在求解某一时刻线圈受到的磁力矩时,只能用瞬时价．（4）在求交变电流流过导体的进程中经由过程导体截面积的电量时,要用平均值．。
交流电平均值、最大值、有效值
交流电的平均值、瞬时值、最大值、有效值1．从交流发电机来看这些概念的实值。
1、发电模式：N 匝线圈，其面积为S ，总电阻为r ，在一匀强磁场中（磁感应强度为B ），绕垂直于B 的轴，以角速度ω匀速转动；即构成交流电源；交流电源通过滑环和电刷引到外电路，即构成交流全电路。
2、概念的理解：A 、最大值，当线圈平面与磁场平行时，出现最大值。
最大电动势Em=NB ωS最大电流Im=rR Em +，R 两端的最大电压Um=I m ·R 。
注意：最大值与线圈的形状、以及转动轴处于线圈平面内哪个位置无关，但转轴应与磁感线垂直。
B 、瞬时值：交流全路中，其电动势、电流、电压、均随时间发生周期性变化，如从中性面开始计时，其瞬时值分别为：e=Emsin ωt i=Imsin ωt u=Umsin ωtC 、有效值：对于正弦（或余弦）交流电，有效值=2最大值 。
有效值也叫均方根值 即 E=2EmI=2ImU=2UmD 、 平均值： 对于某一段时间或某一过程，其平均感应电动势： I t NE 平均电流→∆∆∙=φ=U rR E 平均电压→+=I R ∙ 2、容易出现的错误：（1）有效值的理解：有效值=2最大值，学生容易把条件“正弦或余弦”交流电忽视，对于非正弦或余弦交流电，学生很难建立起电流热效应方程，以求解有效值。
如：求以下交流电的有效值。
学生容易出现以下几种答案： a : U=2, b : U=2 c: U=2正确的解法： 建立电流热效应方程： 2.01.031.05222⨯=⨯+⨯RU R R 即： U=17 （V ）注意：①各种交流用电器上所标的额定电压、电流均指有效值。
②交流电表的示数全为有效值。
③电器元件（如电容）的击穿电压（耐压值）指的是最大值，但保险丝熔断电流为有效值④一般所说交流电的值，均为有效值⑤ 求解交流电产生的热量问题时，必须用有效值，不能用平均值。
⑥中各量均为有效值。
⑦ 若计算通过电路某一截面的电量，需用电流的平均值。
电气控制1-2章a
电气控制1－2章练习题1．填空题（l）电路可以说成是由_____________、_____________和_____________三大部分组成的。
（2）在分析与计算电路时，常任意选定某一方向作为电压或电流的_____________，当所选电压或电流方向与实际方问一致时，电压或电流为_____________值；反之为_____________值。
（3）给功率为60 w的用电器供电3天，供给的电能是_____________。
若电价为0 .3元／度，则该用电器需付的电费是。
（4）、一个标有“1kΩ，10 W”的电阻，允许通过的最大电流是_____________，允许加在它两端的最大电压是_____________。
（5）有三个阻值为6Ω的电阻，若把它们串联，等效电阻是_____________Ω；若把它们并联，等效电阻是_____________Ω；若把两个并联后，再与第三个串联，等效电阻应是_____________Ω。
（6）如图1．6所示电路中U ab＝10 V，则电压U＝_____________，电流的大小等于_____________。
（7）已知电阻R1＝2R2，如果将其串联，则通过电阻R1与R2中的电流之比是_____________；电阻R1与R2两端电压之比是_____________,电阻R1与R2消耗的功率之比是_____________。
（8）已知电阻3R1＝R2，如果将其并联，则通过电阻R1与R2中的电流之比是_____________，电阻R1与R2两端电压之比是_____________，电阻R1与R2消耗的功率之比是_____________。
（9）电阻串联可获得电阻值_____________的电阻，还可以扩大_____________表的量程；电阻并联可获得阻值_____________的电阻，额定电压相同的负载几乎都是_____________使用的。
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Ｘ ／ ２
同 的 电阻 供 电 ， 在相同时间 ７ １ 内， 每个 电阻产 生 的热量是 Ｕ 两个电阻产生的总热量为
， ， ＝
Ｖ ２
。 很多 同学 感到很 困惑 。
。
其实 ， 用 常规代数方 法也 可 以证 明有效值 的得 出 。
证法 一 如 图 １ ，假 设有 两 个 交变 电压 其 最 大 值 与 周 期 均 相 同 ，瞬 时值 表达 式 分 别 为 １ １ ， ＝
发热功率是一个定值 ， 与时刻 ｔ 无关 ， 所 以在 一
电有效 值 的 理 解 ，也 能 够 帮 他 们 开 拓另 一 条 思
路。
（ 栏 目编 辑 罗琬 华 ）
个周期 内两个 电阻上 总的发 热量为 （ ）
。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ７ － ０ ６ —１ ８
作 者 简介 ： 范振 强 （ １ ９ ８ ０ －） ， 男， 中学 一 级 教 师 ， 市骨 干教 师 ， 主 要 从 事 高 中物 理 教 学 工 作 ， 荣 获 市级 优 秀教 师等 荣誉 。
范 振 强
河 北 南 宫 中学 ， 河 北 南宫 ０ ５ ５ ７ ５ ０
摘要 ： 本 文 用 代 数 方 法 通 过 热 效 应 相 等 证 明 了 正 弦 式 交 流 电 电 流 与 电 压 的 有 效 值 为
关键词 ： 正弦式交流电 ； 有 效值 ； 最 大 值 中图分类号 ： Ｇ６ ３ ３ ． ７ 文献标识码 ： Ａ
尸 ＝ 厂Ｒｓ ｉ ｎ
一
的热 量相 等 ， 设 都 为 Ｑ， 产生 的 总热量 Ｑ 总 ＝ ２ Ｑ。 在
任 一 时刻 ｔ ， 这 两个 电阻上 的热功 率分 别 为
＝ ＝ ， ： 。
ｗｔ 因为 ｓ ｉ ｎ ｔ ｏ ） ｔ ＝ — １ － — ｃ ｏ ｓ ２
代人 得 下 １』 ２ 尺一 了 １』 ２ 尺． ｃ 。 ｓ ２ ｏ Ｊ
Ｖｏ １ ． ３５ Ｎ Ｏ． ５ ０ ７
物 理 教 学 探 讨
ａｃ ｈｉ ｎ Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ Ｔｅ ｇ
— — — —
第３ ５卷 总 第 ５ ０ ７期
２ ０ １ ７年 第 ９期
９ ． ２ ０ １ ７ ． ４ ０．
为 何正弦交 流电电 流与电 压的 有效值是最大值比
、
２
＼ ＼． ． 、 Ｖ 。 Ｖ
． ． 、
上式 中 。后 一项 在一 个 周期 内平 均值 为零 。
因此， 在一个周期内 交流电平均功率为：
（ 为最 大 瞬时功 率 的一半 ） 。
厂 １ Ｒ
图 １ Ｕ － ｔ图
如果 考 虑 一个 恒 定 电流 ，与其 等Fra bibliotek效 ，即 Ｐ
Ｕ ￣ ｓ ｉ ｎ ｅ ｏ ｔ 、 Ｕ ２ ＝ Ｕ ｍ ｃ ｏ ｓ （ ＿ Ｏ ｔ ， 其中， ６ ０ － ２ Ｔ ｒ。 把 它 们分别 加
Ｊ
＝
由热 效应 的等 效可 知 ２ ．
。
。可 得
而这个 恒 定 电流 的电压 就 是正 弦交
、 ／２
变 电流 的 电压 的有效 值 。 电流 、 电动 势 的有效 值
， ， ＝ 古 。
文章编号 ： １ ０ ０ ３ — ６ １ ４ ８ （ ２ ０ １ ７ ） ９ — ０ ０ ４ ０ — １
正 弦式 交 流 电的 有效 值 一 般 是 用 微 积 分 证
用 一个 恒定 电压 为 的 电源 ， 分 别 给两个 相
明的 。由于高 中阶段 还不 具 备这 方面 的知识 ，高 中物 理课 本 中对 正 弦 交 流 电 的有 效 值 直 接 给 出
可 同法证 得 。
在 两 个 阻值 相 同 的电阻 上 ，设 电 阻 的阻值 为 尺，
由于 电流 的热 效 应 与 电流 的 方 向及 先 后 作 用 的
时间顺 序无 关 。 故 在 一个 周期 内两个 交 流 电产生
证 法 二 设 流 过定 值 电 阻 尺 的 电 流按 正 弦 规律 变化 ， 即ｉ ＝ Ｉ ｍ ｓ ｉ ｎ ｗ ｔ ， 交 流 电的瞬 时功率 为
Ｆ Ｒ， 就有 Ｐ ＝ Ｐ， 即 １ Ｊ ２ Ｒ 所以 ， ＝
，
两个 电阻上总 的发热 功率为 Ｐ ＝ Ｐ Ｉ ＋ 尸 ２ ＝
２
２
。
Ｒ
：
尺
。
可见 … ， 两个 ’…电阻上 ～… 总 ～ 的
希望 以 上 的证 明能 够 帮助 学 生 加 深 对 交 流