空调温度控制系统的数学模型教程文件

空调温度控制系统的
数学模型
空调温度控制系统的数学模型
一、 恒温室的微分方程
为了研究上的方便，把图所示的恒温室看成一个单容对象，在建立数学模型，暂不考虑纯滞后。

1． 微分方程的列写
根据能量守恒定律，单位时间内进入恒温室的能量减去单位时间内由恒温室流出的能量等于恒温室中能量蓄存的变化率。

即
,⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
恒温室内蓄每小时进入室内每小时室内设备照热量的变化率的空气的热量明和人体的散热量
⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎣⎦每小时从事内排每小时室内向出的空气的热量室外的传热量
上述关系的数学表达式是：
111()()c a b n a d C Gc q Gc dt αθθθθθγ
-=+-+ (2-1) 式中 1C —恒温室的容量系数（包括室内空气的蓄热和设备与维护结构表层的蓄热）
（千卡/ C ︒ ）；
a θ—室内空气温度，回风温度（C ︒）；
G —送风量（公斤/小时）；
1c —空气的比热（千卡/公斤 ）；
c θ —送风温度（C ︒）；
n q —室内散热量（千卡/小时）；
b θ—室外空气温度（C ︒）；
γ—恒温室围护结构的热阻（小时 C ︒/千卡）。

将式（2—1）整理为：
111111111n b a c a q d Gc C dt Gc Gc Gc θθθγθγγγ
++=++++ 11111n a q Gc Gc Gc γθγ⎛⎫+ ⎪ ⎪=+ ⎪+ ⎪⎝⎭
(2-2)
或 11()a a c f d T K dt
θθθθ+=+ (2-3) 式中 111T R C = —恒温室的时间常数（小时）。

111
1R Gc γ
=+ —为恒温室的热阻（小时 /千卡）
1
111
Gc K Gc γ
=+ —恒温室的放大系数（/C C ︒）； 1b n f q Gc θγ
θ+
= —室内外干扰量换算成送风温度的变化（C ︒）。

式（2—3）就是恒温室温度的数学模型。

式中 和 是恒温的输入参数，或称输入量；而 是恒温室的输入参数或称被调量。

输入参数是引起被调量变化的因素，其中起调节作用，而起干扰作用。

输入量只输出量的信号联系成为通
道。

干扰量至被调量的信号联系成为干扰通道 。

调节量至被调量的信号联系成为调节通道。

如果式中是f θ个常量,即0f f θθ=,则有
110()a a c f d T K dt
θθθθ+=+ (2-4) 如果式中c θ是个常量,即c θ0c θ=，则有 1
10()a a c f d T K dt
θθθθ+=+ (2-5) 此时式成为只有被调节量和干扰量两个的微分方程式.此式也称为恒温室干扰通道的微分方程式。

2． 增量微分方程式的列写
在自动调节系统中,因主要考虑被调量偏离给定值的过渡过程.所以往往希望秋初被调增量的变化过程.因此,我们要研究增量方程式的列写.所谓增量方程式就是输出参数增量与输入参数增量间关系的方程式。

当恒温室处在过渡过程中,则有：
0a a a θθθ=+∆，0c c c θθθ=+∆， 0f f f θθθ=+∆ (2-7)
式中带“∆” 项增量.
将式(2—7)代入式（2—3）得： 101001()()a a a c f c f d T K K dt
θθθθθθθ∆+∆=-+++∆+∆ 将式(2—6)代入式（2—8）得： 11()a a c f d T K dt
θθθθ∆+∆=∆+∆ 式中（2—9）是恒温式增量微分方程式的一般表达式，显然，它与式（2—3）有相同的形式 。

对上式取拉式变换,克的恒温室的传递函数如下:
1111
K W T S =+
二、 热水加热器对象的微分方程
如前所述，谁加热器可以是个双容对象，存在容量滞后，为了使研究问题简化，可以把图2—7水加热器看成水加热器看成是一个容量滞后的单容对象，这里掀不考虑它的纯滞后，那末水加热器对象特性了用下述微分方程式来描述： 440c c f d T K W dt
θθθθ∆+∆=∆+∆+∆ 式中 c θ∆ —水加热器后空气温度的变化（C ︒）；
4T —水加热器的时间常数（小时）；
W ∆—热水流量变化（ 3米/小时）；
0θ∆—水加器前送风温度的变化（C ︒）；
4f θ∆—进入水加热器的热水温度的变化引起的散热量变化折合成送
风温度的变化（C ︒）；
4K —水加热器的放大系数（/C ︒小时公斤 ）。

他的物理意义是当热水
流量变化一个单位是引起的散热量变化社和送风温度的变化。

当热水器前送风温度为常量且进入水加热的温度不变时，即00θ∆= ，
0f θ∆= ，由上式可以得到热水加热器1SR 对象调节通道的微分方程式如下： 4400c c f d T K W dt
θθθθ∆+∆=∆+∆+∆ 当热水加热器前送风温度为常量且进入加热器的热水流量变化为常量，即 00θ∆=，0W ∆= ，由上述可得到热水加热器2SR 的对象
调节通道的微分方程式如下：
44c c f d T dt
θθθ+∆=∆ 对上加热器1SR 及2SR 取拉式变换,可得二者传递函数的传递函数如下:
()4441
K W s T S =+ '441()1W s T S =+ 三、 敏感元件及变送器的特性
敏感元件及变送器也是自动调节系统中的一个重要组成部分，他是自动调节系统的“感觉器官”，调节器根据特的信号作用。

1．敏感元件的微分方程
根据热平衡原理，热电阻每小时有周围介质吸收的热量与每小时周围介质传入的热量相等，故无套管热电阻的热量平衡方程式为： 2()z a z d C F dt
θαθθ=- 式中 2C —热电阻热容量（/C ︒千卡）；
z θ —热电阻温度（C ︒）；
a θ —介质温度（C ︒）；
α —介质对热电阻的传热系数（2/C ︒千卡米小时）；
F —热电阻的表面积
（2米）； 由式 得 22z a d z T K dt
θθθ+= 如令敏感元件的放大系数21K =，则上式可写成 2z a d z T dt
θθθ+= 式中 222T R C = —敏感元件的时间常数（小时），其中21R F α=
为敏感元件的热阻力系数（/C ︒小时千卡）。

其时间常数与对象的时间常数相比较 ，一般都较小。

当敏感元件的时间常数小道可以忽略时，式就变成
2z a K θθ=
2．变送器的特性
采用电动单元组合仪表时，一般需要将被测的信号转换成统一0—10毫安的电流信号，采用气动单元组合仪表需转换成统一的0.2—1.0公斤/2厘米信号。

他们在转换时其时间常数和之滞后时间都很小，可以略去不计。

所以实际上相当于一个放大环节。

此时变送器特性可用下式表示：
Z B Z B K θ=
式中 Z B —经变送器将成比例变幻后的相应信号（2/毫安或公斤厘米）；
Z θ—敏感元件反映的被测参数（温度）（ C ︒ ）；
B K —变送器的防大系数。

四、 敏感元件及变送器特性
考虑到敏感元件为一阶惯性元件，二变送器为比例环节，将式（2—19）代入式（2—16）得： 2
2Z Z B a dB T B K K dt θ+= 其增量方程式： 22
Z Z B a d B T B K K dt θ∆+∆=∆ 如果敏感元件的时间常数的数值与对象常数比值可略去时，则有： 2Z B a B K K θ∆=∆
即敏感元件加变送器这一环节可以看成是一个比例环节。

对敏感器及变送器微分方程取拉式变换可得其传递函数如下：
()2W s K =
五、 执行器的特性
执行器是调节系统中得一个重要组成部分,人们把它比喻成工艺自动化的“手脚”.它的特性也将直接印象调节系统的调节质量,根据流量平衡关系,可列出气动执行机构的微分方程式如下: 3dW T W F P dt k
α+=∆ 式中 333T R C = —气动执行机构的时间常数 （分）；
3C —薄膜式的容量系数，并假定为常数3
3/⎛⎫ ⎪⎝⎭
米公斤厘米； 3R —是从调节器到调节阀之间到导管的阻力系数23//⎛⎫ ⎪⎝⎭
公斤厘米米小时； W —热水流量（ 3米/小时）；
P —调节起来的气压信号（2/公斤厘米）；
α—流量系数；
k —执行器的弹簧的弹簧系数;
在实际应用中，一般都将气动调节阀作为一阶惯性环节来处理，其时间常数为数秒之数十秒之间，而对象时间常数较大时，可以把气动调节发作为放大环节来处理、则简化的调节系统的微分方程如下： W F P k α
∆=∆
3W K P ∆=∆
式中 3K k α
= —气动调节阀的防大系数。

对敏感器及变送器微分方程取拉式变换可得其传递函数如下：
()33W s K =。