常见不等式
不等式基本公式
不等式基本公式不等式是数学中重要的研究对象之一，它在数学及其应用中起着重要的作用。
在不等式的研究中，有一些基本的公式和定理是非常有用的，可以用来解决各种不等式的问题。
以下是一些不等式的基本公式和相关参考内容。
1. 一次不等式公式：对于任意实数a，b和c，有以下公式：（1）加法公式：如果a > b，则a + c > b + c。
（2）减法公式：如果a > b，则a - c > b - c。
（3）乘法公式：如果a > b，并且c > 0，则ac > bc；如果c < 0，则ac < bc。
（4）除法公式：如果a > b，并且c > 0，则a/c > b/c；如果c < 0，则a/c < b/c。
2. 平方不等式公式：（1）平方不等式定理：对于任意实数a，如果a > 0，则a² > 0；如果a < 0，则a² > 0。
（2）平方根不等式公式：对于任意实数a，如果a > 0，则√a > 0；如果a < 0，则√a不存在。
3. 二次不等式公式：（1）零点判别法：对于任意实数a，b和c，二次函数f(x) =ax² + bx + c的零点x0满足以下关系：当Δ = b² - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = b² - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ = b² - 4ac < 0时，方程没有实数根。
（2）二次函数开口情况：对于任意实数a，二次函数f(x) = ax²的开口情况有以下几种情况：当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
4. 常见不等式：（1）Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a₁, a₂, ..., aₙ和b₁, b₂, ..., bₙ，有以下不等式：(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂+ ... + aₙbₙ)²。
几类常见不等式-简单完美总结
)
（答： （ （4）若不等式 (−1) n a < 2 + _____
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 −1 3 +1 , ） ） ； 2 2
(−1) n +1 对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 n
（答： a = 0 时，{x | x < 0} ； a > 0 时，{x | x >
1 1 或 x < 0} ； a < 0 时，{x | < x < 0} 或 a a
x < 0} ） 提醒： （1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示； （2）不等式 解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的不 x−2 等式 ax − b > 0 的解集为 (−∞,1) ，则不等式 （－1,2） ） > 0 的解集为__________（答： ax + b 十一．含绝对值不等式的性质： a、b 同号或有 0 ⇔ | a + b |= | a | + | b | ≥ || a | − | b ||= | a −b |； a、b 异号或有 0 ⇔ | a − b |= | a | + | b | ≥ || a | − | b ||= | a + b |. 如设 f ( x) = x 2 − x + 13 ，实数 a 满足 | x − a |< 1 ，求证： | f ( x) − f (a ) |< 2(| a | +1) 十二． 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题： 不等式恒成立问题的常规处理方式？ （常 应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结 构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题 若不等式 f ( x ) > A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x )min > A 若不等式 f (x ) < B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x )max < B 如（1）设实数 x, y 满足 x 2 + ( y − 1) 2 = 1 ，当 x + y + c ≥ 0 时， c 的取值范围是______ ； （答： 2 − 1, +∞ ） （2）不等式 x − 4 + x − 3 > a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围_____ （答： a < 1 ） ； （3） 若不等式 2 x − 1 > m( x − 1) 对满足 m ≤ 2 的所有 m 都成立， 则 x 的取值范围_____
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法
ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根 二次函数 y=ax2+bx+c的 图象 （a＞0） ax2+bx+c＞0 （a＞0）
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x 2、已知a≠b，解关于的不等式：
a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式
x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a x x b 0
ax b
b ( ＞a＞b＞0 ) a
＞0
2
=0
无实根
＜0
两相异实根
b b 4ac x 1 、2 = 2a
两相等实根 b x1=x2= 2a
{x｜x＜x1或 {x｜x∈ R x＞x2 } 且X≠X1}
R
ax2+bx+c＜0 {X｜X1＜X （a＞0） ＜X2}
4、分式不等式的源自法x 0 （1）简单分式不等式的解法 如： 3 x
5、解关于x的不等式：
ax2-2(a+1)x+4＞0 6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7 (其中a≠0)
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
常用函数不等式
常用函数不等式在数学中，函数不等式是我们经常会用到的概念。
它们可以帮助我们更加深入地理解数学中的关系，进而推导问题的答案。
本文将就常用函数不等式进行讨论。
一、AM-GM不等式AM-GM不等式，即算术平均数不小于几何平均数，可以表示为：$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$其中 $n$ 个数 $a_1, a_2, ..., a_n$ 的算术平均值不小于它们的几何平均值。
这个不等式的应用非常广泛，可以用来解决各种实际问题。
例如，当我们需要在给定的一组数中寻找它们的平均值时，我们就可以使用这个不等式。
另外，当我们需要证明某些不等式时，也可以用这个不等式作为基础。
二、Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Schwarz不等式是一个用于线性代数的不等式，可以表示为：$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$其中 $a_1, a_2, ..., a_n$ 和 $b_1, b_2, ..., b_n$ 是实数。
Cauchy-Schwarz不等式在Linbox等线性代数库中有着广泛的应用。
在实际问题中，它可以帮助我们更好地理解矩阵和向量的关系。
例如，在机器学习中，数据点可以表示为向量，而许多算法都是基于矩阵运算的。
因此，这个不等式也应用得非常广泛。
三、Chebyshev不等式Chebyshev不等式是一个由俄罗斯数学家Pafnuty Chebyshev发现的不等式，可以表示为：$\frac{1}{n}(a_1 + a_2 + ... + a_n)\cdot (b_1 + b_2 + ... + b_n) \geq\frac{1}{n}(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)$其中 $a_1 \geq a_2 \geq ... \geq a_n$，$b_1 \geq b_2 \geq ... \geq b_n$。
常用函数不等式
常用函数不等式一、引言函数不等式是数学中重要的研究对象之一，它研究函数之间的大小关系。
在实际问题中，函数不等式有着广泛的应用，可以用于证明数学命题、解决最优化问题等。
本文将介绍一些常用函数不等式，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
二、Cauchy不等式Cauchy不等式是函数不等式中的经典之作，它描述了两个实数序列的内积与其模的关系。
设有两个n维实数向量x=(x1,x2,⋯,x n)和y=(y1,y2,⋯,y n)，则Cauchy 不等式可以表示为：∑x i ni=1y i≤√(∑x i2ni=1)(∑y i2ni=1)其中，等号成立的条件是x和y线性相关。
三、均值不等式均值不等式是函数不等式中的另一类重要不等式，它描述了函数的平均值与其极值之间的关系。
常见的均值不等式有算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）、几何平均-调和平均不等式（GM-HM不等式）等。
1. AM-GM不等式AM-GM不等式是一种简单而常用的函数不等式，它描述了非负实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
对于n个非负实数x1,x2,⋯,x n，AM-GM不等式可以表示为：x1+x2+⋯+x nn ≥√x1x2⋯x n n等号成立的条件是x1=x2=⋯=x n。
2. GM-HM 不等式GM-HM 不等式是描述非负实数的几何平均值不小于它们的调和平均值的函数不等式。
对于n 个非负实数x 1,x 2,⋯,x n ，GM-HM 不等式可以表示为：√x 1x 2⋯x n n ≥n 1x 1+1x 2+⋯+1x n等号成立的条件是x 1=x 2=⋯=x n 。
四、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是函数不等式中的一类重要不等式，它描述了内积与范数之间的关系。
设有两个n 维实数向量x =(x 1,x 2,⋯,x n )和y =(y 1,y 2,⋯,y n )，则柯西-施瓦茨不等式可以表示为：(∑x i n i=1y i )2≤(∑x i 2n i=1)(∑y i 2ni=1)其中，等号成立的条件是x 和y 线性相关。
大学中常用不等式
大学中常用不等式,放缩技巧一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1) ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)(a+b)p≥ap+ bp (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
不等式的性质与证明方法总结
不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。
不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。
本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。
这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。
2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。
这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。
3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。
这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。
4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。
这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。
二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。
2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。
均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。
3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。
高考不等式公式大全
高考不等式公式大全高考数学中常常涉及到不等式的解题，下面是一些常见的不等式公式：1. 两边加上或减去相同的数：若a > b，则a + c > b + c；若a< b，则a + c < b + c。
（c为任意实数）2. 两边乘以或除以相同的正数：若a > b，则ac > bc；若a < b，则ac < bc。
（c为正实数）3. 两边乘以或除以相同的负数：若a > b，则ac < bc；若a < b，则ac > bc。
（c为负实数）4. 两个不等式相加或相减：若a > b 且 c > d，则a + c > b + d；若a < b 且 c < d，则a + c < b + d。
5. 两个不等式相乘：若a > b 且 c > d，则ac > bd；若a < b 且c < d，则ac > bd。
6. 平方的不等式：若a > b，则a² > b²；若a < b 且 a与b都是非负数，则a² < b²。
7. 绝对值的不等式：若|a| > |b|，则a² > b²；若|a| < |b|，则a² <b²。
8. 倒数的不等式：若a > b 且 a与b都是正实数，则1/a < 1/b。
9. 二次函数不等式：若ax² + bx + c > 0，则当a > 0时，有D ＜ 0且x ∈ R；当a < 0时，有D ＞ 0且x ∈ R。
这些是一些常见的不等式公式，希望对你有帮助！。
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1、算术-几何平均值不等式
在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为个正实数，它们的算术平均数是
，它们的几何平均数是。
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：
等号成立当且仅当。
2、柯西不等式
二维形式
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)
扩展：((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+..
.+an·bn)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n)
三角形式
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√*(a+c)^2+(b+d)^2+
等号成立条件：ad=bc
注：“√”表示平方根
3、托勒密定理、托勒密不等式
圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对
角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、
托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅
当共圆或共线。
4、费马点
在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
（3）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
三角形中费马点的找法：
当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点。
5、莱布尼茨定理
点A\B\V。