时域瞬态响应
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时域瞬态响应性能指标
时域瞬态响应性能指标包括：
（1）上升时间 （Rise
Time ） ：响应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零时刻上升到达稳态值所需的时间。
如系统无超调，理论上到达稳态值时间需无穷大，则上升时间定义为响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。
（2）峰值时间 （Peak Time ） ：响应曲线从零时刻到达峰值的时间，即响应曲线从零上升到第一个峰值点所需的时间。
（3）最大超调量 （Maximum Overshoot ） ：单位阶跃输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值之差。
通常用百分数表示。
（4）调整时间 （Settling Time ） ：响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。
（5）延迟时间 （Delay
Time ） ：响应曲线从零上升稳态值50％所需的时间。
（6）振荡次数 ：在调整时间响应曲线振荡的次数。
上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反映系统的快速性，而最大超调量 、振荡次数反映系统的相对稳定性。
欠阻尼：
1.上升时间
2.峰值时间
3.最大超调量
4.调整时间
5.上升时间
r t p t p M s t d t )(11)(12βπζωβπω--=-=n d r t 21ζωπωπ-==n d p t 221)1(ζζπζωπζω----==e e M n n p n s t ζωζ2
1ln 05.0ln ---=n d t ωζ7.01+=。
Chap3-时域瞬态响应分析54页
8
dxo(t) 1 dt t0 T
时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工 程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95% ~98%时，认为系统响应过程基本结束。从 而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。
将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：
t
e T 1xo(t)
1t T
ln1xo(t)
e(t)xi(t)xo(t)T(1etT) e()T
11
5、三种响应的比较
系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。
注意到： 对一阶系统：
( t ) d 1 ( t )
dt
1(t ) d t
dt
xo
稳态响应：在某一输入信号的作用下，系统在时 间趋于无穷大时的输出状态。
特点:(1)直接在时域中对系统进行分析校正，直观，准确；
(2) 可以提供系统时间响应的全部信息；
(3)基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
2
时域分析概述
典型输入信号
脉冲信号 (突变过程)
(t)
阶跃信号
（工业过程）
u (t)
dxo(t) dt
t0
T12
对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽 度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。
6
3、一阶系统的单位阶跃响应
X
i
(s)
1 s
X t o(s)G (s)X i(s)T1 s11 s1 ss 1 1T
xo(t)1e T, t0
第三章 时域瞬态响应分析
时域分析概述 一阶系统的瞬态响应分析 二阶系统的瞬态响应分析 二阶系统系统性能指标 高阶系统的瞬态响应分析
控制工程基础 第3章 时域瞬态响应分析
X o s k sm b1sm1 bm1s bm
X i s
sn a1sn1 an1s an
k sm b1sm1 bm1s bm
q
r
s pj
s2
2
kk
s
2 k
j 1
fi(t) D
图 3-26
图 3-27
解：根据牛顿第二定律
fi t kxo t Dxo t Mxo t
拉氏变换，并整理得
Ms2 Ds k X o s Fi s
X o s Fi s
1 Ms2 Ds k
1 k kM s2 D s
峰值点为极值点，令 dxo t 0 ，得
dt
nentp
1 2
sin
dtp
d
e
nt
p
1 2
cos dt p
0
因为 e nt p 0
所以
tan d t p
d n
tan
dtp
d
0
即输出响应为输入函数与脉冲响应函数的
卷积，脉冲响应函数由此又得名权函数。
求上升时间 tr 由式（3.5）知
xo (t) 1
e nt
1 2
sin d t
arctan
1
2
1t
将 xo (tr ) 1代入，得
11
tp
d
n
1 2
3时域瞬态响应分析
时域瞬态响应分析
二阶系统的单位阶跃响应 1、当0 1时，称为欠阻尼
二阶系统的极点是一对共轭复根，传递函数可表示为：
X o ( s) n2 H ( s) X i ( s) ( s n jd )(s n jd )
1
d n
2
阻尼自振荡角频率
Im
(n ) 2 (n 1 2 ) 2 n
cos
n n
0 Re
arccos arctan
1 2
时域瞬态响应分析
单位阶跃响应为：
Xo( s ) H ( s ) Xi ( s ) 1 ( s n jd )( s n jd ) s s n n 1 2 2 s ( s ) d ( s ) 2 d2
2 2
e
( 2 1 ) nt
时域瞬态响应分析
各种阻尼二阶系统单位脉冲响应曲线
时域瞬态响应分析
二阶系统的单位斜坡响应 1、01
2 1 2 1 n t 2 x0 (t ) t e sin[( n 1 t arctg ] 2 2 n n 1 2 1
超调量
允许误差± Δ
td
0.02或0.05
tr
t
tp ts
时域瞬态响应分析
1、上升时间tr （Rising Time ） 从零时刻到首次达到稳态值的时间。对于没有超调 的系统响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。 2、峰值时间tp （Peak Time） 响应曲线从零时刻到达峰值的时间，即响应曲线从 零上升到第一个峰值点所需要的时间。 3、最大超调Mp （Maximum Overshoot） 单位阶跃输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值的 差。通常用百分数表示。 4、调整时间ts （Settling Time）
第3 章 时域瞬态响应分析 - 过控
dc1 (t ) c (t ) dt dct (t ) c1 (t ) dt
单位脉冲 函数响应
积分
c1 (t ) 1 et /T
1 c (t ) e T
t T
三者之间的关系
积分 积分
微分
单位阶跃 函数响应
微分
单位斜坡 函数响应
单位抛物线 函数响应
微分
系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导 数；或者说，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响 20 应的积分。
0
y (t )
t1
t
t
① 系统的过渡过程不仅仅取决于系统本身的特性，还与外加 输入信号的形式有关。 ② 许多系统的外加输入信号是事先不可能知道的。
一、时间响应及典型输入信号
典型输入信号
在分析和设计系统时，必须预先规定一些具有特殊 形式的试验信号作为系统的输入，这种输入信号称为典 型输入信号。 对典型信号的要求： 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于求解分析； 实际中可以实现或近似实现。
14
为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时 间常数T。下面是减小时间常数的一个方法：
R( s )
-
E (s)
1 Ts 1
C (s)
0.5 G (s) 0.5Ts 1
通过反馈，使得时间常数减小了一半。
15
二、一阶系统的时间响应
2、单位脉冲响应
当输入为单位脉冲函数
c(t)
1 T
1 R( s ) 1 G ( s ) Ts 1
拉氏反变换
t
一阶系统单位阶跃响应
c(t ) 1 e
t / T
瞬态响应： et T 稳态响应：1
单位脉冲 函数响应
积分
c1 (t ) 1 et /T
1 c (t ) e T
t T
三者之间的关系
积分 积分
微分
单位阶跃 函数响应
微分
单位斜坡 函数响应
单位抛物线 函数响应
微分
系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导 数；或者说，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响 20 应的积分。
0
y (t )
t1
t
t
① 系统的过渡过程不仅仅取决于系统本身的特性，还与外加 输入信号的形式有关。 ② 许多系统的外加输入信号是事先不可能知道的。
一、时间响应及典型输入信号
典型输入信号
在分析和设计系统时，必须预先规定一些具有特殊 形式的试验信号作为系统的输入，这种输入信号称为典 型输入信号。 对典型信号的要求： 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于求解分析； 实际中可以实现或近似实现。
14
为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时 间常数T。下面是减小时间常数的一个方法：
R( s )
-
E (s)
1 Ts 1
C (s)
0.5 G (s) 0.5Ts 1
通过反馈，使得时间常数减小了一半。
15
二、一阶系统的时间响应
2、单位脉冲响应
当输入为单位脉冲函数
c(t)
1 T
1 R( s ) 1 G ( s ) Ts 1
拉氏反变换
t
一阶系统单位阶跃响应
c(t ) 1 e
t / T
瞬态响应： et T 稳态响应：1
时域瞬态响应分析
特点:
(1) 稳定,无振荡; (3) 调整时间为(3～4)T;
t xo (t ) 1 e T 1(t )
(2) 经过时间T 曲线上升到0.632 的高度;
(4) 在t = 0 处,响应曲线的切线斜率为1/T;
(5) 由响应函数得.
1 lg e t lg 1 xo (t ) T
时域分析法就是根据系统的微分方程 , 采用拉氏变换 法直接解出系统的时间响应 , 再根据响应的表达式及 对应曲线来分析系统的性能 . 用时域分析法分析系统 性能具有直接、准确、易于接受等特点.
3.1 时域响应以及典型输入信号
在输入信号作用下 ,系统输出随时间的变化过程称为系 统的时间响应.时间响应通常由两部分组成:瞬态响应和 稳态应响. 瞬态响应(又称过渡过程)是指系统在某一输入信号作用 下,其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程. 稳态响应 (又称静态响应)是指时间 t趋于无穷时,系统的 输出状态.
由此可见 , 三种典型输入信号单位脉冲、单位阶跃和 单位速度之间存在着积分和微分的关系 . 它们的时间 响应之间也存在着同样的积分和微分的关系 . 这是线 性定常系统时间响应的一个重要性质.
3.3 二阶系统的瞬态响应
二阶系统 :用二阶微分方程描述的系统 .它的典型形式是 二阶振荡环节.
2 X o ( s) n 1 2 2 2 2 X i (s) T s 2Ts 1 s 2n s n
2 1 式中， d 称为阻尼自 n
振角频率.
n
j
s
j
n
s
0
n
2
n 1
1
2
时域瞬态响应分析
β = arctan
ξ
ωd = ωn 1 − ξ 2
x0 (t ) = 1 −
e
−ξω n t 2
1−ξ
sin(ω d t + β )
临界阻尼（ ２. 临界阻尼（ξ=1） ）
s1, 2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 = −ω n
系统有两个相等的实极点，位于复平面左半面。 传递函数
2 2 X o (s) ωn ωn Φ(s) = = 2 = 2 X i ( s ) s + 2ξω n s + ω n (s + ω n )2
时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入信号
的作用下，其输出信号随时间的变化情况。 具体地说，如果系统可用以下的线性常系数微分方 程描述
( ( & a 0 xon ) (t ) + a1 xon −1) (t ) + L + a n −1 xo (t ) + a n x0 (t ) . (m) ( m −1) = b0 xi (t ) + b1 xi (t ) + L + bm −1 x i (t ) + bm xi (t )
σ% = M p% =
ξ 阻尼比
ω n 无阻尼自然频率
二阶系统的特征方程
s 2 + 2ξω n s + ω 2 = 0
特征方程的根（闭环极点）
s1, 2 = −ξω n ± ω n ξ − 1
2
显然，特征根的性质取决于阻尼比ξ的大小，而特征根在复 平面的分布决定系统的性能，如稳定性。
二.二阶系统单位阶跃响应 二阶系统单位阶跃响应
单位阶跃响应
2 ωn 1 × X 0 ( s) = Φ( s) X i ( s) = 2 (s + ω n ) s
第三章 时域瞬态响应
添加副标题
时域瞬态响应
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 时域瞬态响应的基 本概念
03 时域瞬态响应的分 析方法
04 时域瞬态响应在工 程中的应用
05 时域瞬态响应的未 来发展
添加章节标题
时域瞬态响应的基本概 念
定义与特性
时域瞬态响应：描 述系统在时域中的 瞬态响应特性
定义：系统在输入 信号作用下的输出 信号随时间的域信号进行分析
现代分析方法
快速傅里叶变换（FFT）：快速计 算傅里叶变换，适用于长信号分析
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
拉普拉斯变换：将时域信号转换为 复频域信号进行分析
小波变换：将时域信号分解为不同 尺度的小波，适用于非平稳信号分 析
优缺点比较
优点：能够直观地反映系统的动态特性，易于理解和分析 缺点：需要大量的数据，计算量较大 优点：可以分析系统的稳定性和稳定性裕度 缺点：不能直接反映系统的频率特性，需要进一步处理才能得到频率响应
瞬态激励：通常 采用阶跃函数、 脉冲函数等作为 瞬态激励
响应测量：通过 测量系统在瞬态 激励下的输出信 号来获取系统的 瞬态响应
数据处理：对测 量数据进行处理 和分析，以获取 系统的瞬态特性 参数
时域瞬态响应的分析方 法
经典分析方法
傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，便于分析 拉普拉斯变换：将时域信号转换为复频域信号，便于分析 卷积定理：用于分析两个信号的卷积，得到新的信号 傅里叶级数：将时域信号分解为傅里叶级数的形式，便于分析 拉普拉斯变换的逆变换：将复频域信号转换为时域信号，便于分析 傅里叶变换的逆变换：将频域信号转换为时域信号，便于分析
时域瞬态响应
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 时域瞬态响应的基 本概念
03 时域瞬态响应的分 析方法
04 时域瞬态响应在工 程中的应用
05 时域瞬态响应的未 来发展
添加章节标题
时域瞬态响应的基本概 念
定义与特性
时域瞬态响应：描 述系统在时域中的 瞬态响应特性
定义：系统在输入 信号作用下的输出 信号随时间的域信号进行分析
现代分析方法
快速傅里叶变换（FFT）：快速计 算傅里叶变换，适用于长信号分析
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
拉普拉斯变换：将时域信号转换为 复频域信号进行分析
小波变换：将时域信号分解为不同 尺度的小波，适用于非平稳信号分 析
优缺点比较
优点：能够直观地反映系统的动态特性，易于理解和分析 缺点：需要大量的数据，计算量较大 优点：可以分析系统的稳定性和稳定性裕度 缺点：不能直接反映系统的频率特性，需要进一步处理才能得到频率响应
瞬态激励：通常 采用阶跃函数、 脉冲函数等作为 瞬态激励
响应测量：通过 测量系统在瞬态 激励下的输出信 号来获取系统的 瞬态响应
数据处理：对测 量数据进行处理 和分析，以获取 系统的瞬态特性 参数
时域瞬态响应的分析方 法
经典分析方法
傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，便于分析 拉普拉斯变换：将时域信号转换为复频域信号，便于分析 卷积定理：用于分析两个信号的卷积，得到新的信号 傅里叶级数：将时域信号分解为傅里叶级数的形式，便于分析 拉普拉斯变换的逆变换：将复频域信号转换为时域信号，便于分析 傅里叶变换的逆变换：将频域信号转换为时域信号，便于分析
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1t 1e T
1t
常数
故 T1lgetlg1xo(t)
据此鉴别系统是否为一阶惯性环节。
Lg[1-xo(t)] t
0
T1lgetlg1xo(t)
3.2.2一阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡输入 xi(t)t1t
象函数为
Xi
s
1 s2
则
Xo
s
Xo s Xi s
Xi
s
1 Ts1
1 s2
1 s2
T s
T sT1
二阶系统的瞬态响应：
Xo(s)
2 n
Xi(s) s22nsn2
1. 单位脉冲响应 2. 单位阶跃响应
欠阻尼 0 1 临界阻尼 1 过阻尼 1
3. 单位斜坡响应
零阻尼 0 负阻尼 0
3.4 时域分析性能指标
时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬 态响应形式给出的。
t 1. 上升时间 r
进行拉氏反变换，得
x o (t) 1 2212 1 1e 2 1 n t 2212 1 1e 2 1 n t 1t
特点：无超调，过渡时间长。
4. 零阻尼 0
二阶系统的极点是一对共轭虚根。
Xo (s) Xi (s)
n2 s2 n2
进行拉氏反变换,得
Xo
形式一：
Xo(s) Xi(s)
s2
2 n
2nsn2
为阻尼比；
为无阻尼自振角频率
n
形式二： Xo(s)
1
Xi(s) T2s22Ts1
T 1 n
3.3.1二阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃输入 xi(t) 1t
象函数为 Xi s 1 s
则
Xo
s
Xo s Xi s
Xi
s
n2
1
s2 2ns n2 s
根据二阶系统的极点分布特点,分 五种情况进行讨论。
峰值点为极值点，令 dxo t 0 ， 得
dt
n1 e 2 ntpsindtp de 1 n 2tpco sdtp 0
因为 entp 0
所以
tandtp
d tan n
dtp
tp
d
n
1 2
3. 求取最大超调量
Mp
将上式代入到单位阶跃响应表达式中，得
Mp xo (tp ) 1
s s
Xi
s
1 Ts1
1 s
1 T 1 1
s
Ts1
s
s
1 T
进行拉氏反变换
xo(t)
1t 1e T
1t
特点：
(1) 稳定，无振荡；
(2) 经过时间 T 曲线上升到 0.632 的高度；
(3) 调整时间为 (3～4)T ；
(4) 在 t = 0 处，响应曲线的切线斜率为 1/T；
(5)
xo(t)
1. 欠阻尼 0 1
二阶系统的极点是一对共轭复根。
X Xo i((ss))snjd n 2snjd 式中，d n 1，2 称为阻尼自振角频率。
X os1 ss s n 2n d2s nn 2 d2
进行拉氏反变换，得
xo(t) 1entcos(dt)12entsin(dt) 1t
xo(t) 1e 1 nt2sin dtarctan12 1t
特点：1. 以 d 为角频率衰减振荡；
2. 随着 的减小，振荡幅度加大。
2. 临界阻尼 1
二阶系统的极点是二重负实根。
Xo (s) Xi (s)
s
n2 n
2
进行拉氏反变换,得
Xos1ssnn2s1n
x o (t) 1 n te n t e n t1t
例 下图所示系统，施加 8.9N 阶跃力后，记录其 时间响应如图，试求该系统的质量 M、弹性刚度 k 和粘性阻尼系数 D 的数值。
解：根据牛顿第二定律
f i t k x o t D x & o t M & x & o t 拉氏变换，并整理得源自M s2DskXosFis
Xos
1
1 k kM
0.03
Mkn2 12.99672 77.3kg
D2nM20.61.9677.3
181.8N/rad/s
• 作业：3-2
•
3-6
•
3-7
•
3-11
•
3-19
•
3-20
•
3-30（3）、（4）
•
3-31
s1ss2
s
n2
xo(t)1co s(nt)1t
特点： 无阻尼 等幅振荡。
5. 负阻尼 0
二阶系统的极点具有正实部。 响应表达式的指数项变为正指数，随着时间
t ，其输出 xo t ，系统不稳定。
其响应曲线有两种形式：
发散振荡
单调发散
3.3.2二阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入 xi(t) t 象函数为 X i s 1
k
t
0
x
gt
d
输出响应为输入函数与脉冲响 应函数的卷积，脉冲响应函数由 此又得名权函数。
5. 正弦函数：
数学表达式：xi(t) as0i nttt0 0
示意图：
3.1节小结
时域响应及典型输入信号：
1. 瞬态响应及稳态响应的概念
2. 典型输入信号 阶跃函数
斜坡函数 加速度函数 脉冲函数 正弦函数
2. 斜坡信号
数学表达式：
xi
(t)
at 0
t 0 t 0
示意图：
3. 加速度信号
数学表达式： xi(t) a0t2
示意图：
t 0 t 0
4. 脉冲信号 数学表达式：
xi
(t)
tl0i m0 ta0
0t t0
示意图：
0 t 0或t t0
当系统输入为单位脉冲函数时，其输出 响应称为脉冲响应函数。
=
1-
-n
e
n
1- 2
sin
arctan
1- 2
=e =e
-n
n
1- 2
-
1- 2
1-
2
-1
4. 求取调整时间 t s
xo(t) 1e 1 nt2sin dtarctan12 1t
以进入±5%的误差范围为例， 解 ent 5%
1 2
ln0.05ln 12
选择哪种函数作为典型输 入信号，应视不同系统的 具体工作情况而定。
3.2 一阶系统的瞬态响应
一阶系统：
能够用一阶微分方程描述的系统。 它的典型形式是一阶惯性环节。
Xo s 1 Xi s Ts 1
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃输入 xi(t) 1t
象函数为 Xi s 1 s
则
Xo
s
Xo Xi
11e1 ntr2sindtr
arctan
12
因为 entr 0
所以
sindtr arctan
12
0
由于上升时间是输出响应首次达到稳态
值的时间，故
dtr arctan
12
tr 1 d arctan1 2 n 1 1 2 arcco s
2. 求取峰值时间 t p
xo(t) 1e 1 nt2sin dtarctan12 1t
ent
sin(dt)1t
特点：1. 以 d 为角频率衰减振荡；
2. 随着 的减小，振荡幅度加大。
2. 临界阻尼 1
二阶系统的极点是二重负实根。
Xo (s) Xi (s)
s
n2 n
2
进行拉氏反变换,得
Xo
s
s
n2 n
2
xo(t) n 2tent 1t
3. 过阻尼 1
xo(t)dxo1(t)dt
2
n 21e21nt e21nt1t
3.3.3 二阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡输入 xi(t)t1t
象函数为
Xi
s
1 s2
则
Xo
s
Xo Xi
s s
Xi
s
s2
n2 2ns
n2
1 s2
分三种情况进行讨论。
1. 欠阻尼 0 1
2. 临界阻尼 1
3. 过阻尼 1
3.3节小结
Fis M s2Dsk s2Dsk
s22k 1 nn s2n 2
MM
由 Mp e
1 2
0.0029 0.03
有 0.6
由
tp
n
12 n
2 10.62
有 n 1.96rad/ s
xolsi m 0sXoslsi m 0sMs21DskFis lsi m 0sMs21Dsk8s.98k.90.03m k8.9297N/m
进行拉氏反变换
xo(t)t
1t
TTe T
1t
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入 xi(t) t
象函数为 Xi s 1
则
Xo s
Xo Xi
s s
Xi
s 1 1
Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
xo
(t)
1 T
1t
eT
1t
xo(t)
1 T
1t
eT
1t
3.2节小结
一阶系统的瞬态响应：
则
Xo
s
Xo s Xi s
Xi
s
s2
n2 2n s
n2
1
分三种情况进行讨论。
1. 欠阻尼 0 1
二阶系统的极点是一对共轭复根。