LTI时间系统响应的经典时域分析方法
连续时间系统的时域分析经典法
在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
m
d2 dt 2
v(t)
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2d dt
(Bet
)
3(Bet
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
i(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R1LC
e(t)
d2 d t2
i(t
)
1 R1C
d i(t) 1 d
dt
R1C dt
iL
连续时间系统
N阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足
h ( n ) (t ) an 1h ( n 1) (t ) a1h' (t ) a0 h(t ) bm ( m ) (t ) bm 1 ( m 1) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
[解] y f (t ) f (t ) h(t )
f ( ) h(t )d
= 3u ( ) 2e 3(t )u (t )d
t 3 2e-3(t - ) d = 0 0 2(1 e 3t ) = 0
试求系统的冲激响应。 解：当f (t)=(t)时, y(t)=h(t), 即
dh(t ) 6h(t ) 2 (t ) 3 ' (t ) dt
动态方程式的特征根s= 6, 且n=m, 故h(t)的形式为
h(t ) Ae 6 tu (t ) B (t )
d [ Ae 6t u (t ) B (t )] + 6[ Ae 6t u (t ) B (t )] 2 (t ) 3 ' (t ) dt h(t ) 3 (t ) 16e 6 tu (t ) 解得A= 16, B =3
yh (t ) e1t ( K1 cos 1t K1 sin 1t ) e it ( Ki cos it Ki sin it )
常用激励信号对应的特解形式
输入信号 K Kt Ke-at(特征根 sa) Ke-at(特征根 s=a) Ksin0t 或 Kcos0t Ke-atsin0t 或 Ke-atcos0t
齐次解yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析连续LTI系统的时域分析是信号与系统学中的重要课题。
MATLAB作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的工具和函数来进行信号与系统的分析。
下面将介绍MATLAB在连续LTI系统时域分析中的应用。
首先，我们需要了解连续LTI系统的基本概念。
一个连续域线性时不变系统（LTI系统）可以由它的冲激响应完全描述。
冲激响应是系统对单位冲激信号的响应。
在MATLAB中，可以使用impulse函数来生成单位冲激信号。
假设我们有一个连续LTI系统的冲激响应h(t)，我们可以使用conv 函数来计算系统对任意输入信号x(t)的响应y(t)。
conv函数实现了卷积运算，可以将输入信号与冲激响应进行卷积运算得到输出信号。
例如，我们假设一个连续LTI系统的冲激响应为h(t) = exp(-t)u(t)，其中u(t)是单位阶跃函数。
我们可以使用以下代码生成输入信号x(t)和计算输出信号y(t)：```matlabt=-10:0.1:10;%时间范围x = sin(t); % 输入信号h = exp(-t).*heaviside(t); % 冲激响应y = conv(x, h, 'same'); % 计算输出信号```这段代码首先定义了时间范围t，然后定义了输入信号x(t)和冲激响应h(t)。
接下来，使用conv函数计算输入信号和冲激响应的卷积，设置参数’same’表示输出信号与输入信号长度相同。
最后，得到了输出信号y(t)。
在得到输出信号后，我们可以使用MATLAB的绘图功能来可视化结果。
例如，使用以下代码可以绘制输入信号和输出信号的图像：```matlabfigure;plot(t, x, 'b', 'LineWidth', 2); % 绘制输入信号hold on;plot(t, y, 'r', 'LineWidth', 2); % 绘制输出信号xlabel('时间');ylabel('幅度');legend('输入信号', '输出信号');```除了卷积运算外，MATLAB还提供了许多其他函数来进行连续LTI系统的时域分析。
LTI时间系统响应的经典时域分析方法
LTI时间系统响应的经典时域分析方法【摘要】在信号与系统的学习中，由于信号系统频域分析法和复频域分析法具有物理意义明确，计算简便的特点，越来越多的人习惯了用频域和复频域分析法来求解系统。
而直观易于理解的经典时域分析法却被忽略，很多信号与系统的教材都缺少对其系统的介绍。
系统介绍LTI时间系统响应的经典时域分析方法的求解步骤和方法，并在此基础上分析经典法的适用场合和优缺点。
【关键词】经典法微分方程线性时不变、动态、因果、集总参数连续或离散的系统简称线性时不变系统（Linear Time Invariant , LTI）。
系统分析就是根据已知的系统的参数和结构，研究系统的特性，也就是求解系统的输入和输出的关系。
在进行系统分析时，一般的分析步骤是根据已知的系统结构和参数进行建模，即对离散系统列写差分方程，对连续系统列写微分方程。
然后求解模型，也就是求解列写的微分方程或者差分方程。
最后说明解的物理意义，当然这一步不是必须的，可以根据要求来看是否要解释其物理意义。
由此可见，系统分析时，最重要也是最关键的步骤就是求解模型。
在模型的求解过程中可以采取的方法很多，比如不经任何变换、以时间t为函数变量的时域分析法；经过拉氏变换转换为复频域的复频域分析法等。
时域分析法中，又有经典法和算子法。
算子法是把求导符号用一个算子符表示，然后算子符可以参与到数学的基本运算中，大大简化了微分方程的复杂的求解方法。
由于算子法这一计算简便的特点，所以被很多教材重点介绍，而忽略了直观且易于理解的经典法。
经典法的计算虽然稍微麻烦一些，但是经典法求解系统是学习其他方法的基础，也是理解系统的全响应分解为自然响应和受迫响应的基础。
另外，在电路中求解一阶和二阶电路系统重点介绍的就是经典法。
所以经典法求解系统在信号与系统的学习中起着举足轻重的作用，也是我们必须要系统掌握的一种方法。
一、经典时域分析方法的求解步骤和方法经典时域分析方法即直接求解微分方程，微分方程的全解即系统的全响应，由齐次微分方程的通解 r n(t) 和非齐次方程的特解 r p(t) 组成。
典型系统的时域响应与稳定性分析
典型系统的时域响应与稳定性分析1. 时域响应分析时域响应指的是系统在时间上的响应特性。
时间域分析主要是利用微分方程分析系统的时域响应。
对于一个线性时不变系统（LTI）来说，可以通过拉普拉斯变换来得到系统的微分方程和传递函数，然后通过求解微分方程或者使用传递函数的极点和零点分析系统的时域响应。
常见的系统时域响应包括阶跃响应、脉冲响应和正弦响应。
这里以阶跃响应为例：阶跃响应可以用系统的传递函数 H(s) 通过拉普拉斯逆变换来求得：h(t) = L^-1[H(s)]其中，L^-1表示拉普拉斯逆变换。
如果系统的传递函数可以表示为有理函数的形式，可以通过部分分式分解和拉普拉斯逆变换将传递函数分解为简单的分式形式，例如：H(s) = K / (s+a)(s+b)上述传递函数的分解形式可以根据不同的分母极点对系统的时域响应进行分析。
例如，对于第一种分解形式，系统的时域响应可以表示为：h(t) = K1e^(-at) - K2e^(-bt)其中，K1和K2是待定系数，可以根据初值条件求解。
根据这个时域响应可以得到系统的稳定性分析结论：当a和b的实部均小于零时，系统是稳定的；当a和b的实部均大于零时，系统是不稳定的；当a和b的实部均等于零时，系统是临界稳定的。
2. 稳定性分析稳定性分析是对系统的稳定性进行判断和评价的过程。
系统的稳定性取决于时域响应的长期行为，可以通过系统的极点和零点的位置来进行判断。
对于一个单输入单输出（SISO）的线性时不变系统（LTI），系统的稳定性可以根据系统的传递函数 H(s) 的极点位置进行判断。
如果所有的极点都位于s平面的左半平面，也就是实部都小于零，则系统是稳定的。
如果存在一个或多个极点位于s平面的右半平面，则系统是不稳定的。
如果极点都位于s平面的虚轴上，则系统是临界稳定的。
稳定性分析是控制系统设计过程中必不可少的一步，它能够帮助控制工程师预测系统的行为并避免不稳定的结果。
在实际应用中，稳定性分析可以应用于飞行控制系统、机器人控制系统、电力系统等领域，为实际系统的设计和控制提供基础支持。
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的
卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意
信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导
(t) h(t)
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4
齐次解yh(t)
yh (t)
K1e2t
K
e4t
2
t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
[例2-4-3] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动
态方程 y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0+)=1, y ‘(0+)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， (1)求系统的零状态响应y(t) 。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
实验三连续时间LTI系统的时域分析实验报告
实验三连续时间LTI系统的时域分析实验报告一、实验目的通过实验三的设计和实现，达到如下目的：1、了解连续时间LTI（线性时不变）系统的性质和概念；2、在时域内对连续时间LTI系统进行分析和研究；3、通过实验的设计和实现，了解连续时间LTI系统的传递函数、共轭-对称性质、单位冲激响应等重要性质。
二、实验原理在常见的线性连续时间系统中，我们知道采用差分方程的形式可以很好地表示出该系统的性质和特点。
但是，在本实验中，我们可以采用微分方程的形式来进行相关的研究。
设系统的输入为 x(t)，输出为 y(t)，系统的微分方程为：其中，a0、a1、…、an、b0、b1、…、bm为系统的系数，diff^n(x(t))和diff^m(y(t))分别是输入信号和输出信号对时间t的n阶和m阶导数，也可以记为x^(n)(t)和y^(m)(t)。
系统的单位冲激响应函数 h(t)=dy/dx| x(t)=δ(t),则有：其中，h^(i)(t)表示h(t)的第i阶导数定义系统的传递函数为：H(s)=Y(s)/X(s)在时域内，系统的输出y(t)可以表示为：其中，Laplace^-1[·]函数表示Laplace逆变换，即进行s域到t域的转化。
三、实验步骤1、在Simulink中，构建连续时间LTI系统模型，其中系统的微分方程为：y(t)=0.1*x(t)-y(t)+10*dx/dt2、对系统进行单位冲激响应测试，绘制出系统的单位冲激响应函数h(t)；4、在S函数中实现系统单位冲激响应函数h(t)的微分方程，并使用ODE45框图绘制出系统单位冲激响应函数h(t)在t=0~10s之间的图像；6、利用数据记录栏，记录系统在不同的参数下的变化曲线、阶跃响应函数u(t)和单位冲激响应函数h(t)的变化规律。
四、实验数据分析1、单位冲激响应测试那么，当输入信号为单位冲激函数δ(t)时，根据系统的微分方程，可以得知输出信号的形式为：即单位冲激响应函数h(t)为一个包含了单位冲激函数δ(t)在内的导数项序列。
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析
MATLAB与信号实验-——-连续LTI系统的时域分析在信号处理中，MATLAB是一个强大的工具，它提供了许多功能，使我们能够模拟和分析各种信号系统。
对于连续LTI系统，时域分析是一个重要的方法，它允许我们直接观察系统的输入和输出信号之间的关系。
下面是一个关于连续LTI系统的时域分析的实验。
一、实验目的本实验的目的是验证连续LTI系统的时域响应，通过使用MATLAB模拟系统，我们可以观察到不同的输入信号产生的输出信号，从而了解系统的特性。
二、实验步骤1.定义系统：首先，我们需要定义我们的连续LTI系统。
这可以通过使用MATLAB中的lti函数来完成。
我们需要提供系统的传递函数，它描述了系统的输入和输出之间的关系。
2.设置输入信号：为了观察系统的行为，我们需要设置一个合适的输入信号。
在MATLAB中，我们可以使用square函数来生成一个方波信号，该信号具有固定的频率和幅度。
3.模拟系统：使用MATLAB的lsim函数，我们可以模拟我们的连续LTI系统。
这个函数将输入信号和系统的传递函数作为参数，然后计算出系统的输出信号。
4.分析结果：我们可以使用MATLAB的图形功能来观察输入和输出信号。
这可以帮助我们理解系统的行为，并验证我们的模型是否正确。
三、实验结果与分析在实验中，我们使用了不同的输入信号（如方波、正弦波等）来测试我们的连续LTI系统。
对于每种输入信号，我们都观察了系统的输出信号，并记录了结果。
通过对比不同的输入和输出信号，我们可以得出以下结论：1.对于方波输入，系统的输出信号是带有延迟的方波，这表明系统对突变信号的响应是瞬时的。
2.对于正弦波输入，系统的输出信号是与输入信号同频同相位的正弦波，这表明系统对正弦波的响应是具有稳定性的。
这些结果验证了连续LTI系统的基本特性：即对于单位阶跃函数（突变信号）的输入，系统的响应是瞬时的；而对于周期性输入（如正弦波），系统的响应具有稳定性。
这些结果与我们在理论上学到的知识相符，从而验证了我们的模型是正确的。
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LTI时间系统响应的经典时域分析方法
【摘要】在信号与系统的学习中，由于信号系统频域分析法和复频域分析法具有物理意义明确，计算简便的特点，越来越多的人习惯了用频域和复频域分析法来求解系统。
而直观易于理解的经典时域分析法却被忽略，很多信号与系统的教材都缺少对其系统的介绍。
系统介绍LTI时间系统响应的经典时域分析方法的求解步骤和方法，并在此基础上分析经典法的适用场合和优缺点。
【关键词】经典法微分方程
线性时不变、动态、因果、集总参数连续或离散的系统简称线性时不变系统（Linear Time Invariant , LTI）。
系统分析就是根据已知的系统的参数和结构，研究系统的特性，也就是求解系统的输入和输出的关系。
在进行系统分析时，一般的分析步骤是根据已知的系统结构和参数进行建模，即对离散系统列写差分方程，对连续系统列写微分方程。
然后求解模型，也就是求解列写的微分方程或者差分方程。
最后说明解的物理意义，当然这一步不是必须的，可以根据要求来看是否要解释其物理意义。
由此可见，系统分析时，最重要也是最关键的步骤就是求解模型。
在模型的求解过程中可以采取的方法很多，比如不经任何变换、以时间t为函数变量的时域分析法；经过拉氏变换转换为复频域的复频域分析法等。
时域分析法中，又有经典法和算子法。
算子法是把求导符号用一个算子符表示，然后算子符可以参与到数学的基本运算中，大大简化了微分方程的复杂的求解方法。
由于算子法这一计算简便的特点，所以被很多教材重点介绍，而忽略了直观且易于理解的经典法。
经典法的计算虽然稍微麻烦一些，但是经典法求解系统是学习其他方法的基础，也是理解系统的全响应分解为自然响应和受迫响应的基础。
另外，在电路中求解一阶和二阶电路系统重点介绍的就是经典法。
所以经典法求解系统在信号与系统的学习中起着举足轻重的作用，也是我们必须要系统掌握的一种方法。
一、经典时域分析方法的求解步骤和方法
经典时域分析方法即直接求解微分方程，微分方程的全解即系统的全响应，由齐次微分方程的通解 r n(t) 和非齐次方程的特解 r p(t) 组成。
r (t)= r n(t)+ r p(t) .
非齐次方程的特解又称为系统的受迫响应（forced response），齐次方程的通解也叫自由响应（natural response）。
可见，自由响应包括两输入响应的全部和零状态响应中和零输入响应只差一个常系数的部分，受迫响应包括零状态响应中除
去和零输入响应只差一个常系数部分剩下的全部。
（1）微分方程的解的通式的求解方法
对于连续时间系统，设系统方程的一般形式为
非齐次方程的特解即微分方程的特解。
非齐次方程的特解的形式，受激励信号的控制。
常用激励信号对应的特解的形式
（2）代入初始值求系统的响应
如要求出系统的响应，则根据系统的初始条件求出一般形式的系数就可以了。
系统初始条件的求解方法：
1.所给的系统的初始条件个数只要和系统的微分方程的阶数一致就可以，不一定非得是所需要的初始条件的形式，这时就要根据所给的初始条件求出求解系数所需要的条件代入。
2.由初始状态求初始值
对于LTI系统，如果输入没有冲激和它的各阶导数，则系统由状态（0 -）
到状态（0 +）不会发生跳跃，即 f(0 +)=f(0 -) 。
二、经典法的缺点
由受迫响应的求解可知，用经典法求解系统的响应时，解的形式过于依赖激励信号的结构形式，且当激励较为复杂时，用经典法就无法求解。
虽然如此，但是经典法求解系统的响应是我们学习信号与系统时必须要掌握的一个方法，此方法是我们直接运用数学知识分析系统的一种最为直接的方法，无需理解信号复杂的物理意义，也是我们学习系统的其他解法的基础。
此外，此方法的另一个缺点是，当激励信号或者初始条件发生改变时，则需全部求解，也就是一改全改。
虽然经典法存在很多缺点，但是其在信号系统的学习和求解系统中起着奠定学习基础的作用，所以它的重要性是不容忽略的，也是我们学习系统的人必须要掌握的一种系统求解方法。
参考文献：
[1]管致中.信号与线性系统（上册）.高等教育出版社，2004.
[2]邱关源.电路.高等教育出版社，2006.。